5.1 认识二元一次方程组（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

5.1 认识二元一次方程组 【考点1 二元一次方程的概念】 【考点2 二元一次方程组的概念】 【考点3 二元一次方程的解】 【考点4 二元一次方程组的解】 知识点1 二元一次方程 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程 的解． 知识点2：二元一次方程组 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方 程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3.二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 【考点1 二元一次方程的概念】 【典例1-1】下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】若方程是二元一次方程，则 ， ． 【变式1-1】下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【考点2 二元一次方程组的概念】 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 6．下列不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【考点3 二元一次方程的解】 【典例3-1】方程的正整数解的个数是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 【典例3-2】若是关于、的方程的一个解，则的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【典例3-3】二元一次方程若用含的代数式表示，则 ． 【变式3-1】二元一次方程的正整数解的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-2】二元一次方程中，当时，y的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】已知 是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ． 【变式3-4】若，则 ．（用含y的代数式表示） 【考点4 二元一次方程组的解】 【典例4】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列方程组中，解为的是（    ） A． B． C． D． 1．下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 3．已知二元一次方程，则用关于x的代数式表示y正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知是方程的一个解，那么常数的值是（    ） A．5 B． C．3 D． 5．下列方程的解为 的是（　 　） A． B． C． D． 6．以为解的方程组是（   ） A． B． C． D． 7．已知方程用含的代数式表示，则 . 8．已知方程：为二元一次方程，则的值为 ． 9．二元一次方程共有 组正整数解． 10．已知是二元一次方程的一组解，那么的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 认识二元一次方程组 【考点1 二元一次方程的概念】 【考点2 二元一次方程组的概念】 【考点3 二元一次方程的解】 【考点4 二元一次方程组的解】 知识点1 二元一次方程 1.概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． 2.二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程 的解． 知识点2：二元一次方程组 1.方程组：把 x+y=2 和x-y=0 合在一起写成 ，就组成了一个方程组 2.概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方 程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． 3.二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 【考点1 二元一次方程的概念】 【典例1-1】下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、是二元二次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、是二元一次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【典例1-2】若方程是二元一次方程，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的概列出方程求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：， ， 故答案为：，． 【变式1-1】下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元二次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； B、是二元二次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、是二元一次方程，故此选项符合题意； D、是一元一次方程，不是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义：方程中含有两个未知数，且含未知数的项的次数是1．可得：方程是二元一次方程． 故选：B 【变式1-3】若方程是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程叫二元一次方程，根据定义可得：，，，求出、，即可解答． 【详解】解：方程是关于，的二元一次方程，， ，，， 解得：，， ， 故答案为：． 【考点2 二元一次方程组的概念】 4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．据此进行解答即可． 【详解】解：A、含有3个未知数，不是二元一次方程组，不合题意； B、含有二元二次方程，不是二元一次方程组，不合题意； C、含有3个未知数且含有二次方程，不是二元一次方程组，不合题意； D、符合二元一次方程组的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 5．下列各项中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解定义中的“共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程”是解答的关键．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； B、该方程组是二元一次方程组，符合题意； C、是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； D、该方程组中含有三个未知数，故不是二元一次方程组，不符合题意． 故选：B． 6．下列不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的识别．熟记定义，是解题的关键．共含有2个未知数的两个一次方程，组成的方程组叫做二元一次方程组，根据二元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A、该方程组中的第一个方程是分式方程，所以不是二元一次方程组，符合题意； B、该方程组是二元一次方程组，不符合题意； C、该方程组是二元一次方程组，不符合题意； D、该方程组是二元一次方程组，不符合题意． 故选：A． 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解；A、方程组中的一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； B、含未知数的项的次数有不是1的方程，不是二元一次方程组，不符合题意； C、含未知数的项的次数有不是1的方程，不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【考点3 二元一次方程的解】 【典例3-1】方程的正整数解的个数是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要是考查了二元一次方程的解，准确计算是解题的关键．要求二元一次方程的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数的值即可． 【详解】解：由，得， ∵x，y都是正整数， ∴是正整数， 满足条件的x值只能是，，， 分别与之对应：，，， ∴，，． ∴有3组， 故选：D． 【典例3-2】若是关于、的方程的一个解，则的值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，把代入，再解关于的方程即可． 【详解】解：是关于、的方程的一个解， ， 解得：， 故选：A． 【典例3-3】二元一次方程若用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，用含x的代数式表示出y是解题的关键．由，通过移项及将y的系数化为1，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3-1】二元一次方程的正整数解的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二元一次方程组的解，先根据题意得到，再根据x、y都是正整数，得到一定是3的倍数，据此讨论y的值，确定x的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴一定是3的倍数， ∴当时，满足题意， 当时，满足题意； ∴二元一次方程的正整数解的个数是2个， 故选：B． 【变式3-2】二元一次方程中，当时，y的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键． 把代入得，，再解方程即可． 【详解】解：把代入得， ， 解得：， 故选：C． 【变式3-3】已知 是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的解，直接把x，y的值代入进而计算得出答案，正确代入计算是解题关键． 【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-4】若，则 ．（用含y的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查二元一次方程的知识．注意：要表示谁，谁就写在等式的左边．本题还可以有变式，用含的代数式表示．将看作已知数，看作未知数，表示即可． 【详解】解：， 移项，得：． 故答案为：． 【考点4 二元一次方程组的解】 【典例4】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可． 【详解】解：A.把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意； C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意； D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意； 故选：D 【变式4-1】下列是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解．把或代入，分别求得的值，据此即可判断． 【详解】解：当时，，解得， 当时，，解得， 观察四个选项，只有成立， 故选：B． 【变式4-2】解为 的方程组可以是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键． 【详解】解：、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 、将代入可知，，符合题意； 、将代入可知，，不符合题意； 故选：． 【变式4-3】下列方程组中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程组的解的定义，即适合方程组的每一个方程的解是方程组的解．运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解． 【详解】解：A、不是方程组的解，故该选项不符合题意； B、是方程组的解，故该选项符合题意； C、不是方程的解，故该选项不符合题意； D、不是方程的解，故该选项不符合题意． 故选：B． 1．下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，含有2个未知数，且含有未知数的项的次数均为1的整式方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、，是二元一次方程，符合题意； B、，含有2次项，不是二元一次方程，不符合题意； C、，不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、，含有2次项，不是二元一次方程，不符合题意； 故选A． 2．下列是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．二元一次方程必须符合以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②含未知数项的最高次数为一次；③方程是整式方程． 【详解】解：A．是二元一次方程，符合题意； B．中的次数是2，不是二元一次方程，故不符合题意； C．含1个未知数，不是二元一次方程，故不符合题意； D．的分母含未知数，不是整式方程，故不是二元一次方程，故不符合题意； 故选A． 3．已知二元一次方程，则用关于x的代数式表示y正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，通过移项求解即可． 【详解】解：， 移项得， 故选：C． 4．已知是方程的一个解，那么常数的值是（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程，将代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 5．下列方程的解为 的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把的值代入方程计算，即可求解． 【详解】解：选项，，符合题意； 选项，，不符合题意； 选项，，不符合题意； 选项，，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握代入求值的方法，有理数的运算法则是解题的关键． 6．以为解的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入代数式和分别求值即可得到最后结果． 【详解】解：，， ，， 以为解的方程组是． 故本题选：D． 【点睛】本题考查了是否是二元一次方程组的解，正确去括号解答是解题关键． 7．已知方程用含的代数式表示，则 . 【答案】 【分析】把y看做已知数表示出x即可． 【详解】方程2x+3y-1=0， 解得：x=， 故答案为 【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．已知方程：为二元一次方程，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．利用二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：因为方程为二元一次方程， 所以， 解得． 故答案为：3 9．二元一次方程共有 组正整数解． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，先求出，再根据x、y都是正整数，确定x的值，进而确定y的值即可，． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， ∴二元一次方程共有2组正整数解， 故答案为：2． 10．已知是二元一次方程的一组解，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能得出关于的方程是解此题的关键．把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$