24.6 第2课时 正多边形的性质-【木牍教育】2024-2025学年九年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 九年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 沪科版九年级下册 第二十四章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 24.6 正多边形与圆 第二课时 正多边形的性质 前 言 1.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念.（重点） 2.掌握正多边形的性质并能加以应用.（难点） 学习目标及重难点 课时A计划 课程导入 问题1 什么是正多边形？ 问题2 如何作出正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形. 将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形. 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索1：正多边形的性质 O A B C D 想一想1 以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？ E F G H EF是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC. GH是边AD、BC的垂直平分线， ∴OA=OD；OB=OC. ∴OA=OB=OC=OD. ∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆. 课时A计划 课程讲授 新课推进 O A B C D E F G H AC是∠DAB及∠DCB的角平分线，BD是∠ABC及∠ADC的角平分线， ∴OE=OH=OF=OG. ∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆. 课时A计划 课程讲授 新课推进 其它的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？ 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. 课时A计划 课程讲授 新课推进 O A B C D E F G H R r 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心. 外接圆的半径叫作正多边形的半径. 内切圆的半径叫作正多边形的边心距. 正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于 课时A计划 课程讲授 新课推进 求变成为a的正六边形的周长和面积. F A B C D E O G 解：如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足为G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为L和S. ∵ 多边形ABCDEF为正六边形， ∴ ∠BOC=60°，△BOC是等边三角形. ∴ L=6BC=6a. 在△BOC中，有 例1 课时A计划 课程讲授 新课推进 问题1 正n边形的中心角怎么计算？ C D O B E F A P 问题2 正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？ a R r 问题3 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？ 其中l为正n边形的周长. 课时A计划 课程讲授 新课推进 想一想2 画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？ 课时A计划 课程讲授 新课推进 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心.如果n为偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 课时A计划 课程讲授 新课推进 例2 如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线． （1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由； （2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积． 课时A计划 课程讲授 新课推进 （1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由； 解：连接BF，CE，则有BF∥AG，CE∥AG． 理由如下： ∵ABCDEFGH是正八边形， ∴它的内角都为135°． 又∵HA=HG，∴∠HAG=22.5°. ∴∠GAB=135°-∠1=112.5°． ∵正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称， 即∠BAG+∠ABF=180°，故BF∥AG． 同理，可得CE∥BF， ∴CE∥AG； 1 课时A计划 课程讲授 新课推进 P N M Q （2）有题意可知∠PHA=∠PAH=45°， ∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°， ∴四边形PQMN是矩形． ∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°， AH=BC=DE， ∴△PAH≌△QCB≌△MDE， ∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形． （2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积． 课时A计划 P N M Q 课程讲授 新课推进 在Rt△PAH中， ∵∠PAH=45°，AB=2， 故S四边形PQMN= ∴ PQ=PA+AB+BQ=2+2 课时A计划 课程讲授 新课推进 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2). C D O E F A P 抽象成 例3 课时A计划 利用勾股定理,可得边心距 亭子地基的面积 4m O A B C D E F M r 解：过点O作OM⊥BC于M. 在Rt△OMB中,OB＝4, MB＝ 亭子地基的周长l=6×4=24(m) 课程讲授 新课推进 课时A计划 2.作边心距，构造直角三角形. 1.连半径，得中心角； O A B C D E F R M r · 圆内接正多边形的辅助线 O 边心距r 边长一半 半径R C M 中心角一半 课程讲授 新课推进 课时A计划 习题解析 习题1 2. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要______cm. 1.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ___度.（不取近似值） 也就是要找这个正方形外接圆的直径 课时A计划 习题解析 习题2 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积． 解：∵正方形的面积等于4， ∴正方形的边长AB=2. 则半径为 ∴⊙O的面积为 课时A计划 习题解析 习题3 A B C D E F P 如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？ ∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18． 解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G. G H K ∴P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长. ∵六边形ABCDEF是正六边形 ∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF， ∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°， ∴∠CBD=∠BDC=30°，BD∥HK，且BD=HK. ∵CG⊥BD， ∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=6. 课时A计划 习题解析 如图,M,N分别是☉O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN. (1)求图①中∠MON=_______;图②中∠MON= ; 图③中∠MON= ; (2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系. A B C D E A B C D . A B C M N M N M N O O O 90 ° 72 ° 120 ° 图① 图② 图③ 拓展提升 课时A计划 课程总结 小结 正多边形的性质 正多边形的有关概念 正多边形和圆的关系 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 中心 半径 正多边形的有关计算 添加辅助线的方法： 连半径，作边心距 正多边形的对称性 边心距 中心角 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$