24.5 三角形的内切圆-【木牍教育】2024-2025学年九年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 九年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 沪科版九年级下册 第二十四章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 24.5 三角形的内切圆 前 言 1. 了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 2. 掌握三角形内心的性质并能加以应用. (重点) 3. 学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想. (难点) 学习目标及重难点 课时A计划 课程导入 李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大. 下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下. A O. B O. C O. D O. 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索1：三角形内切圆的作法及内心的性质 问题 如何画一个圆，使其与△ABC的三边都相切呢？ 思路：与三角形三边都相切，说明圆心到三边的距离相等，所以圆心为三条角平分线的交点 1. 作∠ABC，∠ACB的平分线BE， CF，设它们交于点O. 2. 过点O作OD⊥BC于点D. 3. 以点O为圆心、OD为半径作☉O. 则☉O即为所作. O C A B F E D 作法： 课时A计划 三角形内心的性质： 三角形的内心在三角形的角平分线上. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. C O A B F E D 课程讲授 新课推进 课时A计划 课程讲授 新课推进 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 这个三角形叫做圆的外切三角形. 内切圆的圆心叫做三角形的内心， C O A B F E D ☉O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心，△ABC是☉O的外切三角形. 课时A计划 课程讲授 新课推进 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边 垂直平分线的交点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三条 角平分线的 交点 1.OD=OE=OF 2.AO、BO、CO分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内部． ●O A B C C O A B F E D 课时A计划 课程讲授 新课推进 例1 如图,在 △ABC 中，∠B=43°，∠C =61°， 点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数. 解：连接IB，IC. 因为点I是△ABC 的内心，所以IB， IC分别是∠B、∠C的平分线. 在△IBC中，有 ∠BIC = 180°－(∠IBC+ ∠ICB) = 180°－ (∠B+ ∠C) = 180°－ (43°+61°)=128° A B C I 若I是△ABC的内心，则有 ∠BIC＝90°＋ ∠A. 课时A计划 课程讲授 新课推进 例2 如图所示，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求⊙O的半径r. 思路： 连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，利用S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC求解． 还可以发现四边形OECD为正方形，则可利用切线长定理，用含r的代数式表示AB的长，再求解． 课时A计划 课程讲授 新课推进 解：方法一：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF， 则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB. 在Rt△ABC中，AB＝ ∵S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC， ∴ ∴r＝ 课时A计划 课程讲授 新课推进 方法二：如图，连接OD，OE，则OE⊥AC，OD⊥BC， 又∵EC⊥CD，且OE＝OD＝r， ∴四边形OECD是正方形 ． ∴EC＝CD＝r . ∴AB＝AF＋BF＝AE＋BD ＝(AC－EC)＋(BC－CD) ＝3－r＋4－r＝7－2r . 又易知AB＝ ∴7－2r＝5 ，即r＝1 . 课时A计划 课程讲授 新课推进 (1)若三角形的面积为S，周长为l，内切圆半径为r， 则S＝ lr. (2)直角三角形内切圆的半径 r＝ (直角边长a＋直角边长b－斜边长c)． 拓展： 课时A计划 1. 如△ABC的内切圆⊙O和各边分别相切于D，E，F， 则O是△DEF的(　　) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 D 课程讲授 新课推进 随堂小练习 课时A计划 2.如图，⊙O与△ABC的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是（　　） A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心 C．△ABC是正三角形 D．△ABC是等腰三角形 课程讲授 新课推进 A 课时A计划 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径. 该木模可以抽象为几何如下几何图形. 课程讲授 新课推进 例3 课时A计划 A B r O D 解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD. ∵圆O是△ABC的内切圆, ∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线 ∵ △ABC是等边三角形, ∴ ∠OAB=∠OBA=30o ∵OD⊥AB，AB=3cm， ∴AD=BD= AB=1.5(cm) ∴OD=AD· tan30o= (cm) 答:圆柱底面圆的半径为 cm. 课程讲授 新课推进 C 课时A计划 习题解析 习题1 如图,在△ABC中,内切圆I与边BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若∠A=70°,则∠EDF=　　°. 55 课时A计划 习题解析 习题2 如图，直角三角形的两直角边BC=5 cm,AC=12 cm 则其内切圆的半径为______,外接圆的半径为_________. 2 cm 6.5 cm B C D F E A O 课时A计划 习题解析 习题3 如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB. 证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD，∴BD=ID． 课时A计划 课程总结 小结 三角形内切圆 作用 内心概念及性质 运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解. 有关概念 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$