24.4 第2课时 切线的性质与判定-【木牍教育】2024-2025学年九年级数学下册同步教学优质课件（沪科版）

数 学 HK 九年级 下册 木牍教育-教学设计中心 制作 ※ 建议使用WPS2019打开。 沪科版九年级下册 第二十四章 课程讲授 课程导入 习题解析 课堂总结 24.4 直线与圆的位置关系 第二课时 切线的性质与判定 前 言 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的性质定理及判定定理.（重点） 3.能运用圆的切线的性质定理和判定定理解决问题.（难点） 学习目标及重难点 课时A计划 课程导入 看一看：观察下图中图形，试着发现它们的规律。 课时A计划 课程导入 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索1：切线的性质 自行车在沿着直线行驶的过程中，车印所在的直线与车轮对应的圆是 相切的，车轮上过切点的辐条所对应的直线与车印所在的直线是垂直的. 课时A计划 课程讲授 新课推进 如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l 垂直吗？如何证明？ A l O 课时A计划 课程讲授 新课推进 证明：当直线 l与⊙O相切时，切点为A，连接OA.这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点B，连接OB，因为点B在⊙O外，所以OB >OA. 这就是说，OA是点O到直线 l上任一点连线中最短的，故OA⊥l. B A O l 课时A计划 课程讲授 新课推进 A l O ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线 l ⊥OA. 圆的切线垂直于经过切点的半径． 应用格式： 切线性质： 课时A计划 课程讲授 新课推进 如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O相交于B，C两点，∠P＝30°，连接AO，AB，AC. (1)求证：△ACB≌△APO； (2)若AP＝ ，求⊙O的半径． 解析：(1)根据已知条件我们易得∠CAB=∠PAO=90°，由∠P=30°可得出∠AOP=60°，则∠C=30°=∠P，即AC=AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO； (2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角形求出半径OA的长. O A B P C 例1 课时A计划 课程讲授 新课推进 在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△ACB≌△APO. ∴ AO＝1，即⊙O的半径为1. (2)在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝ ， 解：(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°. ∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形， ∴AB＝AO，∠ABO＝60°. 又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. O A B P C 课时A计划 课程讲授 新课推进 探索2：切线的判定 问题：已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？ 观察：（1） 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系? （2）二者位置有什么关系？为什么？ 相等 互相垂直，平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直. O A B C 课时A计划 课程讲授 新课推进 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA为☉O的半径 BC⊥OA于点A BC为☉O的切线. 切线判定定理 应用格式 O A B C 课时A计划 课程讲授 新课推进 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？ A O. A B O. A O (1) (2) (3) (1)不是，因为没有垂直. (2),(3)不是，因为没有经过半径的外端点A. 在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 注意： 随堂小练习 课时A计划 课程讲授 新课推进 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线. 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切. 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. l A l O l r d 课时A计划 课程讲授 新课推进 如图,∠ABC=45°，AB是☉O的直径，AB=AC. 求证：AC是☉O的切线. 证明：∵ AB=AC，∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°. ∵ AB是☉O的直径， ∴ AC是☉O的切线. A O C B 例2 课时A计划 课程讲授 新课推进 如图，AB经过☉O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：AB是☉O的切线. O B A C 证明：连接OC(如图). ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是☉O的半径, ∴ AB是☉O的切线. 例3 课时A计划 课程讲授 新课推进 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，☉O与AB 相切于E.求证：AC 是☉O 的切线． B O C E A F 例4 证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵ ☉O 与AB 相切于E ， ∴OE ⊥ AB. 又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 中点． ∴ AO 平分∠BAC， ∴OE＝OF. ∵OE 是☉O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴ AC 是☉O的切线． 又OE⊥AB ，OF⊥AC. 课时A计划 课程讲授 新课推进 (1) 有交点，连半径,证垂直; (2) 无交点，作垂直,证半径. 证切线时辅助线的添加方法 例3 例4 有切线时常用辅助线添加方法 见切点，连切点，得垂直. 切线的其它重要结论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 课时A计划 课程讲授 新课推进 随堂小练习 1.判断下列说法是否正确. （1）与圆有公共点的直线是圆的切线. （ ） （2）与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.（ ） （3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线. （ ） （4）过圆的半径外端的直线是圆的切线. （ ） （5）过圆的半径外端并且与这条半径垂直的直线是 圆的切线. （ ） × × × √ √ 课时A计划 习题解析 习题1 2.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为（ ） A．40° B．35° C．30° D．45° 1.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是 . A P O 第1题图 相切 C P O 第2题图 D A B C 课时A计划 习题解析 习题2 如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径是多少？ O P B A 解：连接OB，则∠OBP=90°. 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中， OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3，即⊙O的半径为3. 课时A计划 习题解析 习题3 证明：连接OP. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB， ∴∠OPB=∠C. ∴OP∥AC. ∵PE⊥AC， ∴PE⊥OP. ∴ PE为☉O的切线. 如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的☉O交边BC于P， PE⊥AC于E. 求证:PE是☉O的切线. O A B C E P 课时A计划 习题解析 拓展提升 已知：△ABC内接于☉O，过点A作直线EF. （1）如图①，AB为直径，要使EF为☉O的切线，还需添加的条件是 （只需写出两种情况）： ① _________ ；② _____________ . （2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是☉O的切线. BA⊥EF ∠CAE=∠B A F E O B C 图 ① A F E O B C 图 ② 课时A计划 习题解析 证明：连接AO并延长交☉O于D,连接CD,则AD为☉O的直径，∠D+ ∠DAC=90 °. ∵ ∠D与∠B同对 , ∴ ∠D= ∠B. 又∵ ∠CAE= ∠B, ∴ ∠D= ∠CAE, ∴∠DAE= ∠DAC+ ∠EAC=90°, ∴DA⊥EF ∴EF是☉O的切线. A F E O B C D 课时A计划 课程总结 小结 切线的性质与判定 定义 判定定理 1个公共点，则相切 数量关系法 d=r，则相切 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 圆的切线垂直于经过切点的半径 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径. 有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直. 课时A计划 课后作业 课程总结 课时A计划对应章节. 课时A计划 $$