第二十八章 锐角三角函数（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第二十八章 锐角三角函数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．计算的值为（　　） A． B． C． D． 2．中，，，边上的中线，则为（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．在中，若，，，则下列结论中正确的是（　） A． B． C． D． 6．如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 7．如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（　　）    A． B． C． D． 8．在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 9．如图，是的直径，是上任意一点（不与，重合），设，，所对的边分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 10．如图，在中，是斜边上的高，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 11．若，则的正切值h的范围是（   ） A． B． C． D． 12．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．608 B．608 C．64 D．68 13．如图，一个钟摆的摆长的长为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角为，点C是的中点，与交于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 15．图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．在中，，，则 ． 17．如图，在中，，，，则的长为 ． 18．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    19．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为 （结果保留根号）． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）在中，，已知，，求的三个三角函数值． 21．（6分）如图，在中，，，． (1)求的长． (2)求的值． 22．（7分）（1）计算：； （2）如图，在中，，，，求的长及的余弦值． 23．（6分）如图，在四边形中，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 24．（8分）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 25．（8分）如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量某隧道的长度，一架水平飞行的无人机在处测得正前方隧道的入口处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方隧道出口处的俯角为．线段的长为无人机距地面的垂直高度，点，，在地面的正投影在同一条直线上，其中，隧道高度米，米． (1)求无人机的飞行高度； (2)求隧道的长度．（参考数据：，， 26．（8分）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 27．（12分）【发现问题】 某公园在一个扇形草坪的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子，在A处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状． 【提出问题】 喷出的水距地面的高度与喷出的水与池中心的水平距㐫之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与O点的水平距离处达到最高点B，点B距离地面．于是小腾以所在直线为y轴，垂直于的地平线为x轴，点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点A、点B的坐标，从而得到y与x的函数关系式． 【解决问题】 （1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为，水流的最高点B的坐标为，求抛物线水流对应的函数关系式． （2）当喷头绕立柱旋转时，这个草坪刚好被水覆盖，求扇形草坪的面积．（结果用含的式子表示） （3）现要在扇形内的一块三角形区域地块中建造一个矩形花坛，如图2的设计方案是使G，H分别在，上，在上，设，当x为多少米时，矩形花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？ 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．计算的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，把特殊角的三角函数值代入算式计算即可得到结果，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．中，，，边上的中线，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的性质，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后利用勾股定理得到长，然后计算正弦即可． 【详解】解：∵，边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故选A． 3．在中，，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的变形计算，根据，求得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选A． 4．在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【详解】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 5．在中，若，，，则下列结论中正确的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义即：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义解答． 【详解】解：在中，，，， ，，，，． 故选：A． 6．如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点C作交于点E计算即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴设，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 7．如图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，选择其中两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则的值为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的正切值．设，根据正弦值，求出的长，再利用，进行求解即可．掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 【详解】解：设， 在中：， ∴， 在中：； 故选：B． 8．在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直角三角形的特征，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值；根据可得，则，再根据直角三角形的特征求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：． 9．如图，是的直径，是上任意一点（不与，重合），设，，所对的边分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆周角定理得出，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，，所对的边分别为，，， ∴，，， ∴，，． 故选：D． 【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角形函数．熟知直径所对的圆周角是直角及锐角三角形函数的定义是解题的关键． 10．如图，在中，是斜边上的高，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查三角函数求值，勾股定理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵中，是斜边上的高，， ∴，， ∴， ∴，故A选项不正确； ∴，故B选项不正确； ∴，故C选项不正确； ∴，故D选项正确， 故选：D． 11．若，则的正切值h的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正切的定义和记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 利用锐角正切随角度的增大而增大得到，然后根据特殊角的三角函数值对各选项进行判断． 【详解】解：， ， 即 故选：D． 12．如图1是一个小区入口的双翼闸机，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm（如图2），双翼的边缘AC＝BD＝60cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（　　） A．608 B．608 C．64 D．68 【答案】D 【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，在Rt△AEC中，AC＝60cm，∠PCA＝30°，可求AE，由对称性可知：BF＝AE，通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB即可． 【详解】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F， ∵AC＝60cm，∠PCA＝30°，∴AEAC＝30（cm），由对称性可知：BF＝AE， ∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝60+8＝68（cm）． 故选择：D． 【点睛】本题考查闸机的最大宽度，关键抓住两翼可以三角形处理，利用30°三角形解决问题． 13．如图，一个钟摆的摆长的长为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角为，点C是的中点，与交于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，由点C是的中点，为，可得的度数，已知的长为a，用余弦公式可表示，根据，可得的长． 【详解】解：点C是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 14．如图，矩形的对角线与交于点O，过点O作的垂线交，于E、F两点，若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．先根据矩形的性质，推理得到，再根据求得的长，即可得到的长． 【详解】解：，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 又中，， ， ， 故选：D 15．图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘的高度为米，支架的长为米，的坡度为，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是（   ）米？（精确到米；参考数据：，，，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，等腰三角形的判定和性质，由题意可得，，米，米，，，由的坡度为，可得，进而得到，即得，得到，过点作于，可得米，解得米，进而解可得米，即可得到米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，由题可知， ，，米，米，，， ∵的坡度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∵在中，米，， ∴， ∴米， ∴米， ∴点到地面的距离为米， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．在中，，，则 ． 【答案】 【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查三角函数的定义，由定义推出互余两角的三角函数的关系：若，则是解题关键． 17．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 18．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    【答案】/76度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 先求出，根据折叠的性质得到，由平行的性质得到，然后根据平角的定义得，据此可得的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质．作于点E，于点H，延长交于点K，则，则四边形是矩形，在中，可得，，从而得到，然后在中，根据，可得，即可求解． 【详解】解：如图，作于点E，于点H，延长交于点K，则，则四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）在中，，已知，，求的三个三角函数值． 【答案】，，． 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用、勾股定理，熟练掌握正弦，余弦，正切的定义是解答本题的关键． 先根据勾股定理求出的长，然后根据在直角三角形中，锐角的正弦为该角的对边比斜边，余弦为该角的邻边比斜边，正切为该角的对边比邻边，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 在中，，已知，， ， ， ， ． 21．（6分）如图，在中，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作边上的垂线，垂足为D．利用三角函数求出，根据勾股定理求出即可； （2）根据公式直接计算可得． 【详解】（1）解：如图，过点A作边上的垂线，垂足为D． 在中，， ∴． 由勾股定理，得， ， ∴． （2）在中，． 【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟记各三角函数的计算公式是解题的关键． 22．（7分）（1）计算：； （2）如图，在中，，，，求的长及的余弦值． 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了特殊角锐角函数值的混合运算，解直角三角形： （1）把特殊角锐角函数值代入计算，即可求解； （2）在直角三角形中已知一个角和一条边可以求出三角形的其他元素．通过，，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 23．（6分）如图，在四边形中，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)37.5 【分析】（1）根据所给条件证出，即可得出； （2）先根据三角函数求出的值，再根据勾股定理求出的值，最后根据和三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在中，，，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，三角函数和勾股定理是解题的关键． 24．（8分）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． 25．（8分）如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量某隧道的长度，一架水平飞行的无人机在处测得正前方隧道的入口处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方隧道出口处的俯角为．线段的长为无人机距地面的垂直高度，点，，在地面的正投影在同一条直线上，其中，隧道高度米，米． (1)求无人机的飞行高度； (2)求隧道的长度．（参考数据：，， 【答案】(1)无人机的飞行高度为185米； (2)隧道的长度约为430米． 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题． （1）过点作，垂足为，根据题意得到，，米，解直角三角形即可得到结论； （2）根据三角函数的定义得到米，求得（米），于是得到结论． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 由题意可知，，，米， 在中，，米， 米， 米， （米）， 答：无人机的飞行高度为185米； （2）解：在中， ，即， 米， （米）， （米）， 答：隧道的长度约为430米． 26．（8分）综合实践活动中，某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物和的高，因为这两栋建筑物高度相同，于是这个小组设计出一种简捷的方案，如图所示： （1）把直角尺的顶点放在两栋建筑物之间的地面上，调整位置使直角尺的两边，所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部和； （2）用皮尺度量和的长度； （3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A，，，，，，均在同一平面内．测得，．请求出这两栋建筑的高度． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 由“等角的余角相等”得到，继而，代入求解即可． 【详解】如图，由题意得，，， ，， ， ， ， ， 即， 设，可得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：两栋楼的高度为． 27．（12分）【发现问题】 某公园在一个扇形草坪的圆心O处垂直于草坪的地上竖一根柱子，在A处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状． 【提出问题】 喷出的水距地面的高度与喷出的水与池中心的水平距㐫之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与O点的水平距离处达到最高点B，点B距离地面．于是小腾以所在直线为y轴，垂直于的地平线为x轴，点O为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点A、点B的坐标，从而得到y与x的函数关系式． 【解决问题】 （1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为，水流的最高点B的坐标为，求抛物线水流对应的函数关系式． （2）当喷头绕立柱旋转时，这个草坪刚好被水覆盖，求扇形草坪的面积．（结果用含的式子表示） （3）现要在扇形内的一块三角形区域地块中建造一个矩形花坛，如图2的设计方案是使G，H分别在，上，在上，设，当x为多少米时，矩形花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）；（2）；（3），． 【分析】本题考查了扇形面积计算、二次函数的实际应用、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，关键是掌握扇形面积公式． （1）设抛物线顶点式，代入、两点，可得； （2）令，求得，即为草坪半径，用扇形面积公式可得； （3）已知，借助辅助线和相似三角形对应边成比例，表示出，求得矩形花坛的面积表示，可得当为多少米时，矩形花坛的面积最大，最大面积是多少平方米． 【详解】解：（1）设抛物线的解析式为， 水流的最高点的坐标为， ， 代入点坐标，得， 解得：， ； （2）令，则，解得或（舍去）， 扇形草坪的面积． （3）解：由矩形可得，，，， ， 过作，交于点， ，， ， ， ，， 同理可得，， ，， ∽， ， 同理可得，， ，， ， ， ，， 矩形花坛的面积， 时，矩形花坛的面积最大为平方米． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$