第二十八章 锐角三角函数（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第二十八章 锐角三角函数（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 2．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 3．如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，米，则树高为（    ） A．米 B．米 C．米 D． 米 6．下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，， ，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 9．在中，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 10．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为米，扶梯的长度是（    ）    A． B． C． D． 11．如图，从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是（    ） A． B． C． D． 12．侦察机在P观测目标R俯角为30°，向东航行2分钟到达点Q，此时观测目标R俯角为45°，符合条件的示意图是（　　　）． A． B． C． D． 13．如图，若要测量小河两岸正对的两点A，B的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 14．若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 15．如图，一艘轮船由港沿北偏东方向航行到港，然后再沿北偏西方向航行到港，港在港北偏东方向上，那么两港间的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．在中，，的余弦值为 ． 17．计算： ． 18．如图， ，点P在OA上， PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm ，则 OP的长是 ． 19．综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）求出图中的正弦值、余弦值和正切值． 21．（6分）计算： 22．（7分）在中，，，，解这个直角三角形． 23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 24．（8分）如图，富邦城即将建造一个大型摩天轮，工程师介绍若你站在距离摩天轮40米处（点），以的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（点），以的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（点）．（人的身高忽略不计） （1）求摩天轮的底部（点）到地面（点）的距离；（精确到个位） （2）求摩天轮的圆轮直径（即）．（精确到个位）（参考数据：） 25．（8分）根据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，现规定在以下情境中的速度不得超过，在一条笔直公路的上方A处有一探测仪，如平面几何图，，现探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得，2秒后到达C点，测得． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）       3       1        0.5       3       1        0.9       3       1        0.6       5       0        0.8       5       0        0.6       5       0        1.2 (1)求的距离．（结果精确到） (2)通过计算，判断此轿车是否超速． 26．（8分）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（）．如图（1），在中，，顶角的正对记作“”，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)如图（2），利用等腰直角三角形计算：______； (2)如图（3），在等腰中，，若，求的值． 27．（12分）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看待问题，养成科学的思维习惯．下面是李老师在“等腰直角三角形的探究”主题下设计的问题，请你解答． 在等腰直角中，，过点D，E分别作射线，交于点，点D，E分别在线段，上，且，，作射线，过点作于点，延长交射线于点． (1)如图1，试探究此时与的数量关系，并给出证明． (2)如图1，若，，求的度数． (3)若，，，求的长． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 锐角三角函数（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解是解决问题的关键． 【详解】解：． 故选：B． 2．如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形．利用网格特点得到，然后利用正切的定义求解． 【详解】解：由图得：，， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．根据锐角三角函数的定义得出，再代入求出答案即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选：D． 4．在中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义解答即可． 【详解】因为∠ACB=90°，CD⊥AB， 所以， 故选 B． 【点睛】此题考查三角函数的问题，关键是利用三角函数的定义解答． 5．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，米，则树高为（    ） A．米 B．米 C．米 D． 米 【答案】C 【分析】利用三角函数值中正切，可得到与的关系，计算即可． 【详解】在中， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查三角函数值的应用，注意区分三边对应关系． 6．下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数计算．根据题意熟记特殊角三角函数值是解决本题的关键，逐一计算选项即可选出本题答案． 【详解】解：A、∵，故A选项正确； B、∵，故B选项正确； C、∵， ∴，故C选项不正确； D、∵，故D选项正确； 故选：C． 7．如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∴， ∴． ∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意， 故选：D． 8．如图，在中，， ，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，此为基础且重要，必须熟练掌握知识点是解题关键．根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【详解】解：在中，，，， ， ， 故选：C． 9．在中，，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，求特殊角三角函数值，根据正弦为的锐角是30度求出，再根据30度角的余弦值为即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选B． 10．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为米，扶梯的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：如图，    在中，米， ∴米， 即扶梯的长度是米． 故选：D 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 11．如图，从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据仰角是向上看的视线与水平线的夹角进行判断即可． 【详解】解：从热气球A看一栋大楼顶部B的仰角是， 故选：A． 【点睛】本题考查仰角的定义，理解仰角的定义是解答的关键． 12．侦察机在P观测目标R俯角为30°，向东航行2分钟到达点Q，此时观测目标R俯角为45°，符合条件的示意图是（　　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义（在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角）来进行判断． 【详解】根据题意，得示意图 ，与选项A相符． 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用之俯角类问题，正确理解俯角的定义是解题的关键． 13．如图，若要测量小河两岸正对的两点A，B的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据正切的定义可得米． 【详解】解；在中，米， ∴米， 故选：C． 14．若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 15．如图，一艘轮船由港沿北偏东方向航行到港，然后再沿北偏西方向航行到港，港在港北偏东方向上，那么两港间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，根据特殊角的三角函数值计算即可． 根据题意作垂直于于点，根据计算可得，；根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：作垂直于于点．根据题意可得 ，，    ， ∴ ， ， ， . 故选A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．在中，，的余弦值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦．根据余弦的定义，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 故答案为：． 17．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查特殊角的三角函数的运算，根据三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 18．如图， ，点P在OA上， PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm ，则 OP的长是 ． 【答案】13cm 【分析】过点P作PE⊥OB，利用等腰三角形三线合一的性质求得CE的长，从而就得OE，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：过点P作PE⊥OB ∵CO=5cm，OD=8cm ， ∴CD=OD-CO=3 又∵PC=PD，PE⊥OB ∴CE= ∴OE=OC+CE= ∴在Rt△POE中， 故答案为：13cm． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及解直角三角形，掌握相关性质正确推理计算是解题关键． 19．综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点D作，由题意知：米，，，推出是等腰直角三角形，在中，利用正切函数求出的值，根据计算求解可得的值． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴古树的高度约为米． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）求出图中的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，，． 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理解出，再由正弦、余弦、正切公式代入求值即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，． 21．（6分）计算： 【答案】 【分析】本题考查特殊角三角函数值，二次根式的混合运算，掌握特殊角三角函数值以及二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方、乘法，再算加减法，即可求解． 【详解】解： 22．（7分）在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【分析】本题考查了解直角三角形，首先根据和的长度得出，继而求出，从而得出和的度数． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴ ∵， ∴， ∴． 23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ （1）求BD的长； （2）求tanC的值． 【答案】（1）12；（2） 【分析】（1）根据三角函数得出BD=12即可； （2）利用勾股定理得出AD=5，进而得出DC=8，利用三角函数解答即可． 【详解】解：（1）∵△ABC中，AB＝AC＝13，BD⊥AC于点D，sinA＝ ∴ 即 解得：BD＝12； （2）∵AC＝AB＝13，BD＝12，BD⊥AC， ∴AD＝5， ∴DC＝8， ∴tan∠C＝ 【点睛】此题考查解直角三角形问题，关键是根据三角函数得出BD的值． 24．（8分）如图，富邦城即将建造一个大型摩天轮，工程师介绍若你站在距离摩天轮40米处（点），以的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（点），以的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（点）．（人的身高忽略不计） （1）求摩天轮的底部（点）到地面（点）的距离；（精确到个位） （2）求摩天轮的圆轮直径（即）．（精确到个位）（参考数据：） 【答案】（1）22米；（2）摩天轮直径为56米 【分析】首先分析图形根据题意构造直角三角形．在RT△ABC和RT△ABD中，根据三角函数可求BC和BD的长，从而求解． 【详解】（1）（米） （2）（米） （米） 答：底部到地面距离为22米，摩天轮直径为56米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答此题的关键是此题的两个直角三角形拥有公共直角边，能够合理的运用这条边． 25．（8分）根据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，现规定在以下情境中的速度不得超过，在一条笔直公路的上方A处有一探测仪，如平面几何图，，现探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得，2秒后到达C点，测得． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值）       3       1        0.5       3       1        0.9       3       1        0.6       5       0        0.8       5       0        0.6       5       0        1.2 (1)求的距离．（结果精确到） (2)通过计算，判断此轿车是否超速． 【答案】(1) (2)没有超速 【分析】本题考查了解直角三角形的应用： （1）在与中，利用锐角三角函数定义求出与的长，由求出的长即可； （2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断． 【详解】（1）解：在中，， ，即， ∵在中，， ，即 ， ∴， 则的距离为； （2）解：根据题意得：， ∴此轿车没有超速． 26．（8分）阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（）．如图（1），在中，，顶角的正对记作“”，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)如图（2），利用等腰直角三角形计算：______； (2)如图（3），在等腰中，，若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，理解题中关于角的正对的定义是解题的关键． （1）根据题中正对的定义即可解决问题． （2）根据题中正对的定义即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 因为是等腰直角三角形， 所以． 则， 即． 故答案为：； （2）解：过点作的垂线，垂足为， 因为，， 则， 所以． 在中， ， 所以， 在中， ． 所以． 27．（12分）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看待问题，养成科学的思维习惯．下面是李老师在“等腰直角三角形的探究”主题下设计的问题，请你解答． 在等腰直角中，，过点D，E分别作射线，交于点，点D，E分别在线段，上，且，，作射线，过点作于点，延长交射线于点． (1)如图1，试探究此时与的数量关系，并给出证明． (2)如图1，若，，求的度数． (3)若，，，求的长． 【答案】(1)，证明见解析； (2) (3)的长为3或5． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的知识是解题的关键． （1）利用同角的余角相等可证明，，进而可得，由全等性质即可得出结论； （2）根据三角形内角和在中可求，继而可得，再由直角三角形的两个锐角互余即可求出； （3）根据点E和点H位置不同分两种情况画图讨论，即可解答． 【详解】（1）解： ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵于点G， ∴， ∴； （3）∵，，由（1）可知：， ∴，， 当点在线段上点H在点A右侧时，如图：      ∴， 当点在线段上，点H在点A左侧时，如图2-2：          ∴， 综上所述：线段的长为3或5． 试卷第2页，共36页 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