精品解析：江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期高一年级期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的化简结果是（   ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 4. “”是“”成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 6. 若命题“”是假命题，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 8. 定义，设，则下列结论不正确的是（     ） A. B. 不等式的解集为 C. 当时，的最大值为 D. 在上单调递减 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（     ） A. 函数与函数是同一函数 B. 若函数，则 C. 二次函数的零点是， D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A. 为偶函数 B. C. 对，不等式总成立 D. 对，且，总有 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知，，则______（用，表示）． 13. 规定：表示不超过的最大整数，例如，.对于给定的，定义，则_______；若集合，则A中元素的个数是_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 求下列各式的值： （1）； （2）. 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 当时，若“”是“”成立的____，试判断实数是否存在？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 16. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）； （2）当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？ 17. 已知函数为上的偶函数. （1）求实数a，b的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，求实数m的取值范围. 18. 已知二次函数满足，，且在上的最小值为. （1）求的解析式； （2）求在上的最小值； （3）设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高一年级期中学情调研测试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由，解得，且， 则函数的定义域为. 故选：B. 2. 若，则的化简结果是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根式的运算法则直接化简即可. 【详解】，，. 故选：C. 3. 已知集合，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两个集合为点集，通过联立方程组，求出双曲线与直线的交点坐标，可得. 【详解】由，解得或， 所以. 故选：C. 4. “”是“”成立的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】对充分性和必要性分别给出反例即可. 【详解】当时，有，，但； 当时，有，但. 所以原条件不是充分的也不是必要的. 故选：D. 5. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. 1 B. 3 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集结合韦达定理即可求得的值. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 则的两根为，由韦达定理可知，， 又，解得，所以. 故选：C 6. 若命题“”是假命题，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的真假，可转化为不等式恒成立问题，分情况讨论可得参数范围. 【详解】命题“”是假命题，则有， 当时，恒成立，满足题意； 当时，有，解得， 综上可得的取值范围为. 故选：A. 7. 已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出各选项的解析式，结合奇函数的定义及单调性判断即可. 【详解】对于A，， 定义域为，在上单调递减； 对于B，， 定义域为，在上单调递减； 对于C，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数不为奇函数； 对于D，， 定义域为，在上单调递增， 设，则， 所以函数为奇函数，符合题意. 故选：D. 8. 定义，设，则下列结论不正确的是（     ） A. B. 不等式的解集为 C. 当时，的最大值为 D. 在上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】把表示为分段函数，作出函数图象，结合图象和函数解析式，对选项进行判断. 【详解】，解得或， 所以，函数图像如图所示， ，A选项正确； 不等式的解集为，B选项错误； 当时，在上单调递增，最大值为，C选项正确； 时，，在上单调递减，D选项正确. 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的有（     ） A. 函数与函数是同一函数 B. 若函数，则 C. 二次函数的零点是， D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据同一函数的条件判断；B选项，用换元法求函数解析式即可；C选项，求时的值；选项D，图像开口向上，在上单调递增，则，求解可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，故A不正确； 对于B，，则，且，所以，即，故B正确； 对于C，令，得解得或，故C正确； 对于D，的对称轴为，由在上单调递增，得，解得，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式判断选项A；基本不等式结合乘“1”法判断选项B；利用二次函数的性质判断选项C；算式平方后利用基本不等式求积的最大值判断选项D. 【详解】A，已知，且， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，A选项成立； B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，B选项错误； C，由，有，则， ， 所以当，时，的最小值为，C选项正确； D，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，D选项错误. 故选：AC. 11. 已知，都是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A. 为偶函数 B. C. 对，不等式总成立 D. 对，且，总有 【答案】ACD 【解析】 【分析】由是奇函数，是偶函数，且，求出和，利用偶函数的定义判断A选项；求函数值判断B选项；作差法比大小判断C选项；由不等式的性质判断D选项. 【详解】是上的奇函数，是上的偶函数，且， 则，有， 由，得，， ，为偶函数，A选项正确； ，B选项错误； 对，， 所以不等式总成立，C选项正确； 对，且，则，， 所以， D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：利用函数奇偶性的特征，由，得，求出和的解析式，解决选项中的问题即可. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 已知，，则______（用，表示）． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数与对数运算法则可得，再由换底公式化简可得结果. 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 13. 规定：表示不超过的最大整数，例如，.对于给定的，定义，则_______；若集合，则A中元素的个数是_______. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据题意直接代入运算即可得；整理可得，分和两种情况，结合的定义运算求解即可. 【详解】由题意可知，； 因为， 当时，则， 可得，则或2； 当时，则， 可得，则. 综上所述：，即集合A中元素的个数是2. 故答案为：；2. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）83 （2）10 【解析】 【分析】（1）运用指数幂的运算和根式的化简求值； （2）运用对数的运算和换底公式化简求值. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 15. 已知集合，． （1）当时，求，； （2）请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.） 当时，若“”是“”成立的____，试判断实数是否存在？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），或 （2） 当时，， 若选择条件①：可知集合A是集合的真子集， 则，且等号不能同时取到，解得， 所以实数的取值范围是； 若选择条件②：可知所以集合是集合A的真子集， 则有，且等号不能同时取到，解得， 所以实数的取值范围是； 若选择条件③：可知集合A等于集合， 则有，方程组无解， 所以不存在满足条件的实数. 【解析】 【分析】（1）根据题意求集合，进而根据集合间的运算求解； （2）根据题意可得.若选①：可知集合A是集合的真子集，根据真子集关系列式求解即可；若选②：可知所以集合是集合A的真子集，根据真子集关系列式求解即可；若选③：可知集合A等于集合，根据集合相等列式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 当时，， 所以； 又因为或，所以或. 【小问2详解】 略 16. 为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为万元，每生产万件需另投入流动成本万元，其中与之间的关系为：，且函数的图象过点.每件产品售价为元，假设小王生产的商品当年全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）； （2）当年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）万件，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）将点代入给定的函数解析式求出c，结合给定的函数模型即可求解； （2）当时，取得最大值10万元；当时，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 依题意得：当时，， 则，所以， 因为每件商品售价为元，则万件商品销售收入为万元， 依题意得：当时， ， 当时， ， 所以. 【小问2详解】 当时， 所以当时，取最大值10万元； 当时，. 当且仅当即时，取最大值14万元 因为，所以当时，取最大值14万元， 所以当年产量为万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为万元． 17. 已知函数为上的偶函数. （1）求实数a，b的值； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2）在上是增函数，证明如下： 由（1）知，当时，，任取， 则  ， 因为，所以，，，， 则，即，则， 所以是上的增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可；                  （2）利用定义法证明函数单调性；                          （3）由，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【小问1详解】 因为函数为上的偶函数， 则有，解得，所以， 则， 由，得，则. 【小问2详解】 是上的增函数，证明如下： 由（1）知，当时，，任取， 则 ， 因为，所以，，，， 则，即，则， 所以是上的增函数. 【小问3详解】 令，即， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 又，则， 由，即可转化为， 因为是上的偶函数，即求， 由（2）知是上的增函数，则， 解得或， 故实数的取值范围为. 18. 已知二次函数满足，，且在上的最小值为. （1）求的解析式； （2）求在上的最小值； （3）设，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）依题意利用待定系数法解方程即可得出函数解析式； （2）根据二次函数性质分类讨论求得函数函数在区间上的单调性，可得的表达式； （3）易知，将不等式恒成立转化为，再利用函数单调性计算可得. 【小问1详解】 由可知关于对称，且在上的最小值为； 故可设， 由可得，； 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 由（1）可知 ①当时，， 此时在区间上单调递减，可得， ②当时，， 此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，可得， ③当时， 此时在区间上单调递增，； 综上可得； 【小问3详解】 由题知，当时，； 即求对任意，存在，使得， 令，当时， 即对于，使得恒成立， 也即对于，使得恒成立， 可得， 令，所以， 因为在区间上单调递增，所以当时，； 因此可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将双变量不等式恒成立问题转化为求函数最小值问题，再利用换元法求得函数单调性即可得出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $