专题15.1 分式与分式的基本性质-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题15.1 分式与分式的基本性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 分式的识别】 1 【考点二 分式有意义的条件】 3 【考点三 分式无意义的条件】 5 【考点四 分式值为零的条件】 6 【考点五 分式的值】 7 【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】 8 【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】 10 【考点八 判断分式变形是否正确】 12 【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 13 【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 14 【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】 16 【考点十二 最简分式】 17 【考点十三 约分】 19 【过关检测】 20 【典型例题】 【考点一 分式的识别】 例题：（24-25八年级上·广西来宾·期中）在代数式，，，中，是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查分式的识别，熟记分式的定义是解题关键．根据分式的定义，依次判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，为分式，有2个， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）在式子中，分式有（ ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题关键，注意不是字母，是常数．根据分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此即可得到答案． 【详解】解：式子中，分式有，共2个， 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果A、B（不等于零）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解；在代数式，，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列各式，，，，，，，中，分式共有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查的是分式的定义．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，，，，是分式，共6个， 故选：B． 【考点二 分式有意义的条件】 例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）如果分式有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列分式中，无论为何值，一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零逐项排除即可，解题的关键是分式有意义的条件分母不为零． 【详解】解：、当时，无意义，不符合题意； 、当时，无意义，不符合题意； 、当时，无意义，不符合题意； 、无论为何值时，，一定有意义，符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分母不等于0． 由分式有意义的条件进行计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵分式有意义， ∴， ∴且． 故选：B． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得：， 故答案为：． 4．（2023·浙江宁波·模拟预测）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有无意义的条件的应用，解题的关键是熟练掌握分式以及二次根式有无意义的条件． 根据式子有意义的条件，构建不等式求解； 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 【考点三 分式无意义的条件】 例题：（23-24八年级上·湖南永州·期末）若分式无意义，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母等于零即可解答． 【详解】解：若分式无意义，则， ∴， ∴当时，分式无意义． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东汕头·期末）当时，下列分式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为零即为分式无意义的条件． 【详解】解：当时，， ∴当时，分式没有意义， 故选：． 2．若分式无意义，则x的值为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】直接利用分式无意义的条件，即分母等于零可得答案． 【详解】解：若分式无意义，则， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键． 【考点四 分式值为零的条件】 例题：（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为0，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式的值为0，即根据分子为零分母不为零建立式子求解，即可解题． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得且， 综上可知，， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为可得，求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵时，分式 无意义， ∴， ∴， ∵时，分式 的值为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点五 分式的值】 例题：（23-24八年级上·河南信阳·期末）当时，分式的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求分式的值．把代入计算即可． 【详解】解：把代入得， ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求分式的值，设()，求出、代入分式，即可求解；设辅助未知数进行求解是解题的关键． 【详解】解：， 可设()， 解得：， 原式 ； 故答案：． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）当时，分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算． 先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案． 【详解】解： 把代入上式中 原式 故答案为：． 【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】 例题：（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的值，解不等式组；根据题意得出（1）或（2），解不等式组，即可求解． 【详解】解：若分式的值为正数，则（1）或（2）， 解不等式组（1）得： 解不等式组（2）得： 所以的取值范围是或， 故答案为：或． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若的值为非负数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】 根据题意，列出不等式组，即可求解， 本题考查了，解一元一次不等式组，解题的关键是：根据题意列出不等式组． 【详解】解：根据题意得：或， 解得：或， 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据分式的值为负数，得到关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案，此题考查了分式的值、解一元一次不等式组等知识，根据题意得到关于x的两个不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】 例题：（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知值为正整数，则整数值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了分式的值，正整数的定义，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键； 根据题意列出关于m的方程，求出方程的解即可 【详解】解：值为正整数， 或， 解得：或， 故答案为：1或 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若分式的值为整数，请写出一个符合条件的m的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了分式的值，令，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为整数， 当，则， 经检验，是方程的解 故答案为：（答案不唯一）． 2．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）①若成立，则的取值范围是 ． ②若分式的值为0，则 ． ③已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 5 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，以及分式值为零的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． ①根据分式有意义的条件求解即可； ②根据分式为零的条件求解即可； ③首先将化简为，然后根据题意求出或或或，然后由分式有意义得到，求出a所有可能的值，然后求和即可． 【详解】①∵成立， ∴ ∴， 故答案为：； ②∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：； ③ ∵分式的值是整数， ∴或或或 ∴或或或 ∵ ∴ ∴或或 ∴ ∴满足条件的所有整数的和为5， 故答案为：5． 【考点八 判断分式变形是否正确】 例题：（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）下列各式从左向右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式．熟练掌握分式的基本性质，平方差公式是解题的关键． 根据分式的基本性质，平方差公式，对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，故A不符合要求； ，故B符合要求； ，故C不符合要求； ，故D不符合要求； 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列分式变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式变形正确，符合题意； B、，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级上·山东日照·期末）下列式子的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了约分，以及分式的基本性质．根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意； B、，原变形正确，故此选项符合题意； C、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意； D、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 例题：（23-24八年级上·山东烟台·期中）如果把分式中的，都扩大到原来的10倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 把分式中的和都扩大为原来的10倍，求出比值，然后与之前分式的值对比，即可得出答案． 【详解】解：分式中的和都扩大为原来的10倍， 得到的新分式为：， 即分式的值缩小为原来的． 故选B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）若的值均扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大9倍 C．扩大3倍 D．缩小3倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．将原式中的、分别用、代替，化简，再与原分式进行比较． 【详解】解：把分式中的与同时扩大为原来的3倍， 原式变为：， 这个分式的值扩大3倍． 故选：． 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ） A．扩大10倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键，把分式中的与分别换为与，计算得到结果，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， 则分式的值缩小为原来的． 故选：C． 【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 例题：（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 2．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 3．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数． (1)； (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解； （2）利用分式的基本性质解答，即可求解； （3）利用分式的基本性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】 例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，因此令分子分母同乘5即可． 【详解】解：， 故选A． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）将方程中分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查将分母化为整数，分子分母各自乘一个不为零的数，或等式左右两边同乘一个不为零的数，根据上述两种方式逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，整理得，故C正确，A错误； 或，整理得，故B和D错误． 故选：C． 【考点十二 最简分式】 例题：（23-24八年级上·云南玉溪·期末）下列分式中，是最简分式的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、，原分式不是最简分式，不符合题意； 故选：B. 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式．根据最简分式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．是最简分式，符合题意； B．不是最简分式，不合题意； C．不是最简分式，不合题意； D．不是最简分式，不合题意， 故选：A． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、，是最简分式，故本选项符合题意； C、，不是最简分式，故本选项不符合题意； D、，不是最简分式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【考点十三 约分】 例题：（2023秋·八年级课时练习）约分：（1）_____________；（2）_____________． 【答案】 【分析】先把分子分母因式分解，然后约分即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的约分化简，首先把分式的分子和分母分解因式，约分化简即可求解． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式约分后的结果是 . 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分，找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可．找出分式分子和分母的最大公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为： 2．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）将分式化为最简分式，所得结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的化简．根据分式的性质，进行约分化简即可．掌握分式的性质，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）约分：（1） ；（2） ． 【答案】 / 【分析】本题考查分式的约分，涉及提公因式、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）约去公因式即可解题； （2）先利用平方差公式分解因式，再约去公因式，即可解题． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，，其中分式的个数有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的判断，根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，逐一分析判断即可求解，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：，，是整式，不是分式，不符合题意；，是分式，符合题意； ∴分式的个数有个， 故选：． 2．（24-25八年级上·山东威海·期中）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简分式 【分析】此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 根据最简分式的定义判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，故此选项符合题意； B、，不是最简分式，故此选项不符合题意； C、，不是最简分式，故此选项不符合题意； D、，不是最简分式，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级上·海南三亚·阶段练习）若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：分式中的和都扩大为原来的3倍，变形为：， 所以变为原来的3倍， 故选：A． 4．（24-25八年级上·北京延庆·期中）不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的性质，平方差公式，分式乘方等知识，根据分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于的整式，分式值不变，即可得出答案，掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项变形错误，不符合题意； 、，原选项变形错误，不符合题意； 、，原选项变形错误，不符合题意； 、，原选项变形正确，符合题意； 故选：． 5．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列说法错误的是（    ） A．当分式时， B．当时，分式的值为正数 C．分式与的最简公分母是 D．分式约分的结果是 【答案】D 【知识点】分式值为零的条件、约分、最简公分母、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法，解题的关键是掌握分式值为0，即分子为零，计算后需要验证分母有没有意义．利用分式有意义的条件及分式为零的条件，最简公分母的求法依次判断即可． 【详解】解∶A． 当分式时，，正确，不符合题意； B． 当时，分式的值为正数，正确，不符合题意； C． 分式与的最简公分母是，正确，不符合题意； D．分式约分的结果是，故错误，符合题意； 故选∶D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东青岛·期中）将分式化为最简分式的结果为 ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查分式的化简．掌握分式的性质，是解题的关键． 根据分式的性质，进行约分化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 7．（2024七年级上·上海·专题练习）当 时，分式的值为零． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件可以求出的值． 【详解】解：由题意可得且， 解得． 故当时，分式的值为零． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集 【分析】本题考查了分式的值，解不等式组；根据题意得出（1）或（2），解不等式组，即可求解． 【详解】解：若分式的值为正数，则（1）或（2）， 解不等式组（1）得： 解不等式组（2）得： 所以的取值范围是或， 故答案为：或． 9．（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有 个． 【答案】3 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查分式的判断，根据分式的定义，形如，中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【详解】解：，，，，0，，中，分式有，，共3个； 故答案为：3． 10．（24-25八年级上·北京·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】 2或6 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式； （2）首先根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式，然后根据整数概念求解即可； 【详解】解：（1）由题意可得， ， 故答案为：； （2）由题意可得， ， ∵为正整数，且也为正整数， ∴或5， ∴或6， 故答案为：2或6； 三、解答题 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）当取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)且 (3)可取一切实数 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件： （1）根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可； （2）根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可； （3）根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可． 【详解】（1）解：当，即：时，分式有意义； （2）当，即：且时，分式有意义； （3）∵， ∴当取一切实数时，分式都有意义； 12．（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1) (2)且 (3) 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件、分式的求值 【分析】本题考查的是分式的求值，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，掌握分式的基础概念是解本题的关键； （1）直接把代入计算即可； （2）由分母不为0建立不等式求解即可； （3）由分子为0，分母不为0，再求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）∵有意义， ∴且， 解得：且； （3）∵的值为0， ∴， 解得：， ∵且， ∴且； ∴； 14．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)整数的值为0，1，3 【知识点】分式值为零的条件、分式无意义的条件、分式的求值 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式的计算，熟练掌握分式有意义的条件和分式的计算是解题的关键． （1）根据使得分式无意义，时分式的值为0，即可解得； （2）将，代入，得到分式为，逐一代入整数的值即可求解． 【详解】（1）解： 当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）解： ，， ， 当，， ，， ，， 综上，整数的值为0，1，3． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 【答案】（1）；（2）；（3）①，② 【知识点】分式值为零的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、将分式的分子分母的最高次项化为正数、将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变；分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变． （1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案； （2）根据分式的分子、分母、分式改变其中任意两个的符号，分式的值不变，可得答案； （3）根据解分式方程，可得答案；根据解不等式，可得答案． 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）①∵， ∴由得， 解得：； ②，得， 解得：． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】约分、分式的求值 【分析】本题考查了分式的基本性质，设法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握． （1）按照例子解题即可； （2）设，，，，三式相加得：，求得，代入计算即可． 【详解】（1）解：设，则，，， ； （2）解：设， ，，， 三式相加得：， ， ， ． 17．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： ， ． 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：_______； (2)将变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③； (2)，； (3)是，理由见解析． 【知识点】约分、代入消元法 【分析】题考查了分式的化简、因式分解．二元一次方程组的解法，解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的恒等式，求解即可； （3）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式（m，为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ∴， 解得：； （3）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.1 分式与分式的基本性质 目录 【典型例题】 1 【考点一 分式的识别】 1 【考点二 分式有意义的条件】 3 【考点三 分式无意义的条件】 5 【考点四 分式值为零的条件】 6 【考点五 分式的值】 7 【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】 8 【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】 10 【考点八 判断分式变形是否正确】 12 【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 13 【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 14 【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】 16 【考点十二 最简分式】 17 【考点十三 约分】 19 【过关检测】 20 【典型例题】 【考点一 分式的识别】 例题：（24-25八年级上·广西来宾·期中）在代数式，，，中，是分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）在式子中，分式有（ ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·北京通州·期中）在代数式，，，，中，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）下列各式，，，，，，，中，分式共有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【考点二 分式有意义的条件】 例题：（24-25八年级上·北京昌平·期中）如果分式有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列分式中，无论为何值，一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若分式有意义，则x的取值范围为（   ） A．且 B．且 C． D． 3．（24-25八年级上·湖南永州·期中）要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 4．（2023·浙江宁波·模拟预测）若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【考点三 分式无意义的条件】 例题：（23-24八年级上·湖南永州·期末）若分式无意义，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东汕头·期末）当时，下列分式没有意义的是（    ） A． B． C． D． 2．若分式无意义，则x的值为（    ） A．2 B． C． D．0 【考点四 分式值为零的条件】 例题：（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）若分式的值为，则的值为 ． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为0，则 ． 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 【考点五 分式的值】 例题：（23-24八年级上·河南信阳·期末）当时，分式的值是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知则 ． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）当时，分式的值为 ． 【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】 例题：（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若的值为非负数，则的取值范围是 ． 【详解】解：根据题意得：或， 解得：或， 故答案为：或． 2．（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】 例题：（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知值为正整数，则整数值为 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若分式的值为整数，请写出一个符合条件的m的值： ． 【详解】解：∵分式的值为整数， 当，则， 经检验，是方程的解 故答案为：（答案不唯一）． 2．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）①若成立，则的取值范围是 ． ②若分式的值为0，则 ． ③已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数的和为 ． 【考点八 判断分式变形是否正确】 例题：（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）下列各式从左向右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列分式变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东日照·期末）下列式子的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 例题：（23-24八年级上·山东烟台·期中）如果把分式中的，都扩大到原来的10倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）若的值均扩大为原来的3倍，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大9倍 C．扩大3倍 D．缩小3倍 2．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ） A．扩大10倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 例题：（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 2．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 3．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数． (1)； (2) (3)． 【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】 例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）将方程中分母化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点十二 最简分式】 例题：（23-24八年级上·云南玉溪·期末）下列分式中，是最简分式的是 （   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【考点十三 约分】 例题：（2023秋·八年级课时练习）约分：（1）_____________；（2）_____________． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式约分后的结果是 . 2．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）将分式化为最简分式，所得结果是 ． 3．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）约分：（1） ；（2） ． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式：，，，，，其中分式的个数有（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·山东威海·期中）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·海南三亚·阶段练习）若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．扩大9倍 4．（24-25八年级上·北京延庆·期中）不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广西南宁·期中）下列说法错误的是（    ） A．当分式时， B．当时，分式的值为正数 C．分式与的最简公分母是 D．分式约分的结果是 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东青岛·期中）将分式化为最简分式的结果为 ． 7．（2024七年级上·上海·专题练习）当 时，分式的值为零． 8．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·山东泰安·期中）下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有 个． 10．（24-25八年级上·北京·阶段练习）我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 三、解答题 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）当取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·全国·假期作业）已知分式． (1)当时，求分式的值； (2)当为何值时，分式有意义？ (3)当为何值时，分式的值为0？ 14．（23-24八年级下·江西九江·阶段练习）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)求的值． (2)当分式的值为正整数时，求整数的值． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）不改变分式的值，使分式的分子与分母中各项的系数都是整数； （2）不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是正数； （3）当满足什么条件时，分式的值：①等于0？②小于0？ 16．（2024七年级上·全国·专题练习）阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 17．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们可以将一个只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： ， ． 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：_______； (2)将变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数a的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为_______． 18．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，4x为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m、n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m、n的值； (3)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$