专题04 二次函数与一元二次方程、不等式（考点清单+知识导图+ 9个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

清单04 二次函数与一元二次方程、不等式 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】四个二次的关系 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【清单02】一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【清单03】分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【考点题型一】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数） 形如：（）或（） 核心方法：十字相乘法+分类讨论法 【例1】1．（24-25高一上·甘肃武威·期中）解下列不等式: (1)； 【答案】(1) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； 【详解】（1），即， ， 解得， 所以的解集为. 【变式1-1】（24-25高一上·甘肃白银·期中）解不等式： (1) 【答案】(1) 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）解一元二次不等式得解； 【详解】（1）由， 即， 或， 所以不等式的解集为. 【变式1-2】（24-25高一上·四川成都·期中）求解不等式，并利用数轴表示解集. 【答案】，数轴表示见详解. 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据二次函数图象的性质求解不等式. 【详解】对于方程，因为，所以有两个不相等的实数根， 解得，， 画出二次函数的图象， 结合图象得的解集为. 【考点题型二】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参） 形如：（）或（） 核心方法：十字相乘法+分类讨论法 【例2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）（1）已知实数，解关于的不等式. 【答案】【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集． 【详解】（1）当时，， 即，可得，解集为； 当时，， 当，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 当，则，可得，解集为， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【变式2-1】（24-25高一上·北京·期中）分别求下列关于的不等式的解集： (1). 【答案】(2)答案见解析 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】分解因式后，根据的大小关系分类讨论求解. 【详解】（2）由可得， 当，即时，由知，； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 综上，时，解集为；时，解集为； 时，解集为. 【变式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）已知 (1)若不等式的解集为，求a，b的值; (2)若b=2，且求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由不等式的解集得相应一元二次方程的解，结合韦达定理求解； （2）不等式变形为，再根据与1的大小分类讨论得出不等式的解集． 【详解】（1）因为的解集为， 所以，且和3是方程的两个实数根. ， 解得:. （2）当时， 等价于 因为，得 当，即时，不等式为，得， 当，即时，解不等式得或， 当，即时，解不等式得或， 综上，当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 当时，不等式的解集为. 【变式2-3】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】对于一元二次不等式，当时，不等式变为一次不等式；当时，可根据二次函数的图像性质求解.先将二次函数因式分解，再分情况讨论的取值范围来求解不等式. 【详解】（1）当时,此时不等式化为，移项可得，两边同时除以，根据不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，得到. （2）当时,将因式分解，得到. （i）当时,二次函数开口向下，方程的两个根为和，且.不等式的解为. （ii）当时,二次函数开口向上，方程的两个根为和. 当，即时，不等式化为，即，此时. 当，即时，不等式的解为或. 当，即时，不等式的解为或. 综上所得, 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或； 当时，； 当时，不等式的解为或. 【考点题型三】一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法） 核心方法：法 【例3】（24-25高一上·广东广州·期中）设函数. (1)对，恒成立，求的取值范围. (2)解不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】（1）分类讨论结合分离参数法、对勾函数的性质计算即可； （2）含参分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）若，显然，符合题意； 若，则， 由，即在上恒成立， 即，， 令， 当且仅当，即时取得最小值，所以， 则的取值范围为； （2）根据题意可知， 若，则， 若， 当，即时，， 当，此时原不等式为，即， 当，此时，令， 此时不等式解集为， 若，此时，不等式解集为， 综上所述：当时，解集为R，当时，解集为， 当时，解集为，当时， 解集为. 【变式3-1】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，分类讨论，解出即可； （2）先由开口方向分，和三种情形，再由的不同情况分类求解不等式. 【详解】（1）根据题意，等价于，恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意． 当，则满足，即，解得， 所以的取值范围是． （2）由题意，得， ①当时，不等式化为，解得； ②当时，开口向上，此时， （ⅰ），即时，方程无解，不等式解集为； （ⅱ），即时，方程有唯一解， 不等式解集为； （ⅲ），即时，方程有两解， ，，且， 则不等式解集为或． ③时，开口向下，此时， 显然，方程有两解， ，，且， 不等式解集为． 综上所述， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为． 【点睛】关键点点睛：求解不等式，要先由开口方向分，和三种情形，再由的不同情况分类求解不等式. 【考点题型四】一元二次不等式与对应函数、方程的关系 核心方法：根与系数的关系： 【例4】（多选）（24-25高一上·广东潮州·期中）已知不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A．； B．，2是方程的两个实数根； C．； D．不等式的解集为或． 【答案】BCD 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由一元二次不等式的性质可得A正确，B错误；结合韦达定理可得C正确；由一元二次不等式的解法可得D正确； 【详解】对于A，由一元二次不等式的性质可得解集为闭区间时，，故A错误； 对于B，由一元二次不等式的性质可得为方程的两个根，故B正确； 对于C，由B可得，解得，故C正确； 对于D，由C可得不等式即，即， 所以解集为或，故D正确； 故选：BCD. 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集 ． 【答案】 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意可知：的根为，且，利用韦达定理可得之间的关系，代入运算即可. 【详解】由题意可知：的根为，且， 则，可得， 不等式即为， 且，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高一上·陕西西安·期中）若不等式的解集为，则 ；不等式的解集为 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意确定的两根求得，即可求解. 【详解】由题意方程，有两根， 所以，解得：，所以， 所以即为：， 即， 即， 所以解集为：， 故答案为：， 【考点题型五】解分式不等式 【解题方法】转化为一元二次不等式 【例5】（24-25高一上·吉林·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将分式不等式化为整式不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】不等式等价于不等式，即不等式， 即不等式，解得或. 故选：B 【变式5-1】（24-25高一上·福建三明·期中）不等式 的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将分式不等式化为整式不等式结合一元二次不等式计算即可. 【详解】由不等式得：且， 即且，解得或，故B正确. 故选：B 【变式5-2】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】根据分式不等式的解法计算即可求解. 【详解】由，得， 解得或， 原不等式的解集为. 故答案为： 【考点题型六】一元二次不等式在上恒（能）成立 核心方法：判别法+分类讨论法 【例6】（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】不等式对应的二次函数开口向上，只需判别式小于0，函数图像与轴无交点，则不等式大于0恒成立，从而求出参数取值范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为： 【变式6-1】（24-25高一上·广东深圳·期中）一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由一元二次不等式恒成立的条件，求的取值范围. 【详解】一元二次不等式对一切实数都成立， 则有，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据即可求解. 【详解】因为不等式对一切实数都成立， 所以，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为:. 【考点题型七】不等式在区间上恒（能）成立 核心方法：变量分离法+基本不等式+对勾函数 【例7-1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）若不等式对一切恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】首先分离参数，然后结合对勾函数的性质求得函数的最值，从而可确定t的取值范围． 【详解】因为不等式对一切恒成立， 所以在区间上恒成立， 由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，，当时，， 所以，故， 故选：D 【例7-2】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值 【分析】分离参数，转化为不等式的存在问题进行求解，构造均值不等式求得最值，从而得到结果. 【详解】当时，由可得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故. 故选：B. 【变式7-1】（24-25高一上·北京大兴·期中）若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】令，将问题转化为，分类讨论与两种情况讨论，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】令，的对称轴为， 当，即时，， 所以，则，故； 当，即时，， 所以，则，故； 综上，，即实数的取值范围是. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高一上·北京·期中）命题“”为假命题的一个充分不必要条件是 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题、对勾函数求最值 【分析】问题化为为真命题，利用对勾函数的单调性求最大值，即可得，结合充分不必要条件写出一个符合要求的参数范围即可. 【详解】由题设，为假命题，故为真命题， 又在上递增，则，只需即可， 所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是. 故答案为：（答案不唯一） 【考点题型八】一元二次不等式的实际问题 核心方法：分解因式解不等式 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为 m. 【答案】97.5 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】由题意直接代入后解一元二次不等式即可； 【详解】由题意可得，， 即， 解得， 因此，运动员水平距离最多为97.5m. 故答案为：97.5. 【变式8-1】（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选：C. 【变式8-2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）某公司生产某种产品，其年产量为x万件时利润为万元. (1)当时，年利润为，若公司生产量年利润不低于400万时，求生产量x的范围； (2)在（1）的条件下，当时，年利润为.求公司年利润的最大值. 【答案】(1) (2)480万元 【知识点】基本（均值）不等式的应用、一元二次不等式的实际应用 【分析】（1）令，解之即可； （2）根据二次函数的性质和基本不等式即可得解. 【详解】（1）当时，令， 即，解得：， 所以生产量x的范围是； （2）当时，， 则， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 则此时最大值为万元， 综上，公司年利润的最大值为480万元. 【考点题型九】一元二次不等式中的新定义问题 【例9】（23-24高一·江苏）定义两个函数的关系，函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”． (1)若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由； (2)若是的“子函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是为的“子函数”；理由见解析 (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、分段函数的值域或最值、根据集合的包含关系求参数、一次函数的图像和性质 【分析】（1）先求出和的值域，根据子函数定义判断的值域是否是值域的子集即可． （2）先求出的值域，再根据轴动区间定讨论的值域，利用子函数的定义建立关于的不等式关系，即可求出的范围． 【详解】（1）由“子函数”的定义可知，若为的“子函数”，则的值域是的值域的子集，故只需要判断的值域是否是值域的子集即可， 因为开口向上，对称轴为， 所以当时，， 又，，故， 所以的值域为， 因为在上单调递增，且，， 所以的值域为， 显然，所以是的“子函数”； （2）因为， 所以当时，，易得； 当时，，由得，即， 综上：的值域为， 因为，开口向上，对称轴为， 所以当时，在上单调递增，故，即， 根据子函数的定义及数轴法得，即，故； 当时，在上单调递减，故，即， 所以，即，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，故， 所以，解得，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，故， 所以，解得，故； 综上：，即. 【变式9-1】（23-24高三下·四川）设表示函数在闭区间I上的最大值．若正实数a满足，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】作图分析函数的特点，再分类讨论. 【详解】函数的图像如下：    的对称轴为x=2，，； 分类讨论如下：①当时，， 依题意，，而函数在时是增函数，， ，故不可能； ②当时，，依题意，，即， 令，解得：，，，，如图； 则有：并且，解得：； 或者并且，无解； 故选：A. 【变式9-2】（23-24高二上·广东广州）对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记． (1)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若，且，求使得等式成立的x的取值范围； (3)在（2）的条件下，求在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、分段函数的值域或最值 【分析】（1）根据条件可得对任意的恒成立，利用根的判别式即可求出取值范围； （2）整理为，表示出，分类讨论即可； （3）由（2）得到，，，分类讨论求出取值范围进而得最小值. 【详解】（1）解：由题意可得，（2）恒成立， 即对任意的恒成立， 所以，解得，； （2）解：因为，所以， 因为，， 所以，时，； ①当时，，所以， 又因为，所以； ②当时，，所以， 因为，，所以，，所以上式不成立； 综上可知，的取值范围是； （3）由（2）知，且， 即， 所以当时，，所以（1）， 当时，， ①当时，又，即时，； ②当时，即时，（6）； 综上，，，， 由，解得时，； 由，解得时，； 当，即时，（6）； 综上． 【点睛】本题考查利用二次函数根的判别式求参数取值范围，考查新定义函数的最值，分类思想，属于难题． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先根据解集分析出与的关系以及的正负，然后化简不等式求解出解集即可. 【详解】因为的解集为， 所以且，所以， 所以，解得， 所以不等式的解集为， 故选：A. 2．（24-25高一上·北京·期中）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】根据恒成立，转化为，即可根据分式不等式的求解得解. 【详解】由于对任意的恒成立，故， 进而， 故选：B 3．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由原不等式的解可得b，c的值，然后可得新不等式的解. 【详解】由题设知方程有两根2和4，故由韦达定理得 ， 则.因此，解得. 即关于x的不等式的解集为. 故选：D． 4．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【详解】因为， 所以. 问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”. 因为，当时取“”. 所以. 故选：C 5．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由一元二次不等式的解集求出a，利用不等式恒成立得出关于m的不等式组，求出m的范围． 【详解】由题意得：一元二次方程的两根分别为2，3， 由根与系数的关系，可得， 则不等式， 即对于任意的恒成立， 等价于，或， 解得，或， 则实数的取值范围为. 故选：B 6．（24-25高一上·广东珠海·期中）命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】直接利用特称命题和全称命题的转换和二次函数的性质的应用求出结果． 【详解】因为“，使”是假命题， 所以，恒成立是真命题， 当时，，即，不恒成立，不符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数m的取值范围为. 故选：C. 7．（24-25高一上·吉林长春·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】应用基本不等式求出，不等式有解，只需即可. 【详解】因为正实数，满足， 所以， 所以 ， 当且仅当且，即时等号成立. 因为不等式有解， 所以只需，即即可， 所以或. 故选：D 8．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先分二次项系数为正得到解集，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数为负得到解集，因为里面包含了正负两种情况，所以再次分类讨论，得到可能的解集中的三个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即或， 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：或. 故选：A 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）不等式的解集是，则下列选项正确的是（   ） A．且 B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是 【答案】BCD 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据一元二次函数和一元二次不等式的关系，可以确定，并且，是方程的两个根，再利用韦达定理可得，，再分析选项即可. 【详解】对于，，，是方程的两个根，所以，，所以，，所以，，所以错误； 对于，，由可得不等式解集为，所以正确； 对于，当时，，，所以正确； 对于，由题得，因为，所以，所以， 所以不等式的解集是，所以正确． 故选：. 10．（24-25高一上·全国·期中）已知关于x的不等式解集为，则（   ） A． B． C． D．的解集为 【答案】AB 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式求和的最小值 【分析】A由不等式解集可得的符号；B由韦达定理即可得三者关系，即可判断选项正误；C选项，由B选项分析结合基本不等式可判断选项正误；D选项，由B选项分析可解不等式. 【详解】A选项，关于x的不等式解集为， 则，故A正确； B选项，由题可得方程的根为， 则由韦达定理，， 则，故B正确； C选项，由以上分析可知：， 当且仅当，即时取等号，故C错误； D选项，由B选项分析，，结合， 可得 ，故D错误. 故选：AB 三、填空题 11．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】分式不等式 【分析】将分式不等式，移项通分后再转化为整式不等式，结合一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式，移项得，即， 可化为，解得，则原不等式的解集为． 故答案为：． 12．（24-25高一上·云南昆明·期中）若“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由“，”为假命题，所以，恒成立，进而分离参数，求得的取值范围即可. 【详解】因为“，”为假命题，所以，恒成立， 即在上恒成立，当时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数，，，. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值； (2)当时，图像始终在图象上方，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、求二次函数的值域或最值、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集列方程即可求解； （2）将原问题转换为在上恒成立，从而对分类讨论即可求解； （3）由题意得在上的值域是在上的值域的子集，分别求出两个函数在上的值域，列不等式即可求解. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为或， 所以且方程的两根为，， 所以，解得，. （2）当时，， 因为函数的图象始终在图象上方， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 当时，不恒成立，所以不合题意； 当时，依题意得，解得. 综上，实数的取值范围为. （3）当时，，记. 当时，， 所以当时， ，记. 因为对任意，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得. 实数的取值范围为. 14．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设函数，其中. (1)若， （i）当时，求的最大值和最小值; （ii）对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i） ；（ii） (2) 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）当时，（i）由二次函数的性质直接求最大最小值；（ii）解不等式得解集，再根据不等式的解集与集合的关系求的取值范围. （2）转化为二次函数在给定区间的最大最小值问题求解. 【详解】（1）（i）当时，， 所以; （ii）当时，，由， 由题意：，所以. 所以的取值范围为. （2）设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，，都有”等价于“”. ①当时，，， 由，得，又，无解； ②当时，，， 由，得， 因此； ③当时，，， 由，得，因此； ④当时，，， 由，得，无解， 综上所述，实数的取值范围为区间. 15．（24-25高一上·陕西西安·期中）函数. (1)若的解集是或，求实数的值及函数在上的最值； (2)若，求的解集（用表示）. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【知识点】求二次函数的值域或最值、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）根据根与系数的关系求得参数的值，再根据二次函数的性质即可求解； （2）首先得关系，进一步对含参的不等式分类讨论即可求解. 【详解】（1）不等式的解集为或， 的两根为， ， ， 因为对称轴； ； （2）， 则， （i）当时，； （ii）当时，则， ①当时，； ②当时，若，即时，或， 若，即时，； 若，即时，或； 综上所述：①当时，不等式的解集为或； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为或； ④当时，不等式的解集为； ⑤当时，不等式的解集为. 16．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？ 【答案】(1)2秒 (2)20米/秒 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、解不含参数的一元二次不等式、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据条件可写出函数关系式，再结合基本（均值）不等式求函数的最小值. （2）把问题转化为恒成立问题，从而可求的取值范围. 【详解】（1）由题意得， 所以 当时，， ． 当且仅当时即时，等号成立. 答：此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为秒. （2）根据题意要求对于任意，恒成立， 即对于任意，，即恒成立， 由，得． 所以，即， 解得．所以． 答：汽车的行驶速度应限制在米/秒. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 二次函数与一元二次方程、不等式 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】四个二次的关系 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 【清单02】一元二次不等式的解法 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【清单03】分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 【考点题型一】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数） 形如：（）或（） 核心方法：十字相乘法+分类讨论法 【例1】1．（24-25高一上·甘肃武威·期中）解下列不等式: (1)； 【变式1-1】（24-25高一上·甘肃白银·期中）解不等式： (1) 【变式1-2】（24-25高一上·四川成都·期中）求解不等式，并利用数轴表示解集. 【考点题型二】一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参） 形如：（）或（） 核心方法：十字相乘法+分类讨论法 【例2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）（1）已知实数，解关于的不等式. 【变式2-1】（24-25高一上·北京·期中）分别求下列关于的不等式的解集： (1). 【变式2-2】（24-25高一上·福建漳州·期中）已知 (1)若不等式的解集为，求a，b的值; (2)若b=2，且求关于的不等式的解集. 【变式2-3】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）解关于x的不等式． 【考点题型三】一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法） 核心方法：法 【例3】（24-25高一上·广东广州·期中）设函数. (1)对，恒成立，求的取值范围. (2)解不等式. 【变式3-1】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围； (2)解不等式． 【考点题型四】一元二次不等式与对应函数、方程的关系 核心方法：根与系数的关系： 【例4】（多选）（24-25高一上·广东潮州·期中）已知不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A．； B．，2是方程的两个实数根； C．； D．不等式的解集为或． 【变式4-1】（24-25高一上·上海·期中）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集 ． 【变式4-2】（24-25高一上·陕西西安·期中）若不等式的解集为，则 ；不等式的解集为 【考点题型五】解分式不等式 【解题方法】转化为一元二次不等式 【例5】（24-25高一上·吉林·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·福建三明·期中）不等式 的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·期中）不等式的解集为 . 【考点题型六】一元二次不等式在上恒（能）成立 核心方法：判别法+分类讨论法 【例6】（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【变式6-1】（24-25高一上·广东深圳·期中）一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是 . 【变式6-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）“不等式对一切实数都成立”，则的取值范围为 ． 【考点题型七】不等式在区间上恒（能）成立 核心方法：变量分离法+基本不等式+对勾函数 【例7-1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）若不等式对一切恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·北京大兴·期中）若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·北京·期中）命题“”为假命题的一个充分不必要条件是 . 【考点题型八】一元二次不等式的实际问题 核心方法：分解因式解不等式 【例8】（24-25高一上·全国·课后作业）单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为 m. 【变式8-1】（23-24高一上·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【变式8-2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）某公司生产某种产品，其年产量为x万件时利润为万元. (1)当时，年利润为，若公司生产量年利润不低于400万时，求生产量x的范围； (2)在（1）的条件下，当时，年利润为.求公司年利润的最大值. 【考点题型九】一元二次不等式中的新定义问题 【例9】（23-24高一·江苏）定义两个函数的关系，函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”． (1)若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由； (2)若是的“子函数”，求的取值范围． 【变式9-1】（23-24高三下·四川）设表示函数在闭区间I上的最大值．若正实数a满足，则正实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二上·广东广州）对任意实数a，b，定义函数，已知函数，，记． (1)若对于任意实数x，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)若，且，求使得等式成立的x的取值范围； (3)在（2）的条件下，求在区间上的最小值． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东珠海·期中）命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·吉林长春·期中）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B．，或 C． D．，或 8．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）不等式的解集是，则下列选项正确的是（   ） A．且 B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是 10．（24-25高一上·全国·期中）已知关于x的不等式解集为，则（   ） A． B． C． D．的解集为 三、填空题 11．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）不等式的解集为 ． 12．（24-25高一上·云南昆明·期中）若“，”为假命题，则实数的取值范围为 . 四、解答题 13．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数，，，. (1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值； (2)当时，图像始终在图象上方，求实数的取值范围； (3)当时，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 14．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设函数，其中. (1)若， （i）当时，求的最大值和最小值; （ii）对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 15．（24-25高一上·陕西西安·期中）函数. (1)若的解集是或，求实数的值及函数在上的最值； (2)若，求的解集（用表示）. 16．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并根据车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，如下图所示．当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，）． 阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动 时间 秒 秒 距离 米 米 (1)请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$