专题03 等式性质与不等式的性质、基本不等式（考点清单+知识导图+ 11个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

清单03 等式性质与不等式的性质、基本不等式 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】作差法比较大小 作差法的依据：①；②；③ 步骤： (1)作差； (2)变形； （目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等） (3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论） (4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论） 【清单02】不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 【清单03】重要不等式 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 【清单04】基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） （注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱） 【考点题型一】比较两个代数式的大小 【解题方法】作差法 【例1】（24-25高一上·北京延庆·期中）若和，则和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）下列命题:①若，则    ②若，则③若，则    ④若，则其中真命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有 .（请填“”、“”、“”、“”、“”） 【考点题型二】基本不等式（和为定值求积的最值） 【例2】（24-25高三上·山东枣庄·期中）求下列各式的最值 (1)当时，求的最小值； (2)已知，求的最大值. 【变式2-1】（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若，且，则的最大值是 ． 【变式2-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【考点题型三】基本不等式（积为定值求和的最值） 【例3】（24-25高一上·北京·期中）当时，恒成立，则的最大值为 （    ） A．6 B．10 C．12 D．13 【变式3-1】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的最小值是 . 【考点题型四】基本不等式（凑项（系数）） 形如： 【例4】（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 【变式4-1】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知，则的最大值是 . 【变式4-2】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，则当且仅当 时，有最小值 ． 【考点题型五】基本不等式（常数代换法） 形如：①已知，求； 或已知，求 【例5】（24-25高一上·湖南·期中）已知两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【变式5-1】（24-25高一上·天津红桥·期中）已知，，且，则的最小值 . 【变式5-2】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知正数满足，则的最小值为 . 【考点题型六】基本不等式（二次与二次（或一次）商式） 形如：或者，常用换元法：令 【例6】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【变式6-1】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 【考点题型七】条件等式求最值 形如：，目标①求型；目标②求型 【例7】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·天津西青·期中）已知、为正实数，且，则的最小值是 . 【变式7-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知正实数，满足. (1)求的最小值，并求出此时，的值； (2)若的最小值是25，求的值. 【考点题型八】对钩函数求最值 形如或者 【例8】（23-24高二上·河南）已知函数的最小值为，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（多选）（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列命题中，是假命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式8-2】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若，则的最大值是 【考点题型九】基本不等式的恒成立问题 【例9】（23-24高二上·黑龙江绥化）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【考点题型十】在实际问题中判断使用基本不等式求最值 【例10】（24-25高一上·福建泉州·期中）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总收益为（单位：万元）． (1)求的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？ 【变式10-1】（24-25高一上·北京·期中）已知某商品每件的成本为8元，每月销量（万件）与每件售价（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为（    ）（注：净利润销售总额总成本） A．10元 B．12元 C．15元 D．16元 【变式10-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（    ） A．等于20g B．大于20g C．小于20g D．以上都有可能 【考点题型十一】不等式中的新定义题 【例11】（24-25高一上·四川成都·期中）对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． (1)请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； (2)写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； (3)如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【变式11-1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ． 【变式11-2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“复活集”. (1)直接写出一个2元“复活集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个3元“复活集”，其元素均为正整数?若存在，求出所有符合条件的3元“复活集”；若不存在，说明理由. 提升训练 1．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知 ，则以下错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．与的取值有关 4．（湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 5．（浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 6．（24-25高一上·北京·期中）使“函数的最小值为2”为假命题的的一个值可以是（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 7．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 8．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知正数x、y满足，不等式恒成立.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高一上·河北石家庄·期中）设正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 10．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期中）若且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 11．（24-25高一上·海南海口·期中）若，则的最小值为 . 12．（24-25高一上·河北·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 四、解答题 13．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知正实数满足：. (1)求的最大值； (2)求的最小值； 14．（24-25高一上·贵州·期中）已知，，且. (1)求的取值范围； (2)证明：； (3)求的最小值. 15．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 16．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）问题：正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值； (2)若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)求代数式的最小值，并求出使得最小的的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 等式性质与不等式的性质、基本不等式 （个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】作差法比较大小 作差法的依据：①；②；③ 步骤： (1)作差； (2)变形； （目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等） (3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论） (4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论） 【清单02】不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 【清单03】重要不等式 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 【清单04】基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） （注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱） 【考点题型一】比较两个代数式的大小 【解题方法】作差法 【例1】（24-25高一上·北京延庆·期中）若和，则和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据条件，通过作差法，得到，即可求解. 【详解】因为，， 所以，当且仅当时取等号，所以， 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·江西南昌·期中）下列命题:①若，则    ②若，则③若，则    ④若，则其中真命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小 【分析】根据不等式的性质以及作差法可判断结果. 【详解】对于①：若，则， 即或，故①错误； 对于②：若，当时，，故②错误； 对于③：若，， 则，故③正确； 对于④：若，， 所以，故④错误； 综上，只有③正确， 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一上·福建莆田·期中），，，则有 .（请填“”、“”、“”、“”、“”） 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为， 故. 故答案为：. 【考点题型二】基本不等式（和为定值求积的最值） 【例2】（24-25高三上·山东枣庄·期中）求下列各式的最值 (1)当时，求的最小值； (2)已知，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 【变式2-1】（24-25高一上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）若，且，则的最大值是 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 【变式2-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，，且． (1)求xy的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）方法一：利用基本不等式得到，求出；方法二：由得到，，求出的最大值为； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最值. 【详解】（1）方法一：∵，，， ∴，当且仅当，即，时等号成立， ∴，∴，的最大值为； 方法二：，解得， ，， 当时，的最大值为，此时； （2）∵， 又∵，，∴，， ∴，当且仅当时等号成立， ∵，∴，，∴， ∴当，时，的最小值为9． 【考点题型三】基本不等式（积为定值求和的最值） 【例3】（24-25高一上·北京·期中）当时，恒成立，则的最大值为 （    ） A．6 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以由题意可知，，即的最大值为. 故选：C 【变式3-1】（24-25高一上·陕西宝鸡·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将原式变形为，利用基本不等式求得最小值. 【详解】因为， 当且仅当，即时取等号， 所以最小值为， 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的最小值是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用配凑法、基本不等式解决即可. 【详解】由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以函数的最小值是. 故答案为：. 【考点题型四】基本不等式（凑项（系数）） 形如： 【例4】（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】, 当且仅当时等号成立，故所求最小值为， 故答案为：. 【变式4-1】（24-25高一上·贵州六盘水·期中）已知，则的最大值是 . 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】解：， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 的最大值是. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，则当且仅当 时，有最小值 ． 【答案】 /0.5 2 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】,当且仅当，即时取等号，且的最小值为2， 故答案为：，2 【考点题型五】基本不等式（常数代换法） 形如：①已知，求； 或已知，求 【例5】（24-25高一上·湖南·期中）已知两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得不等式有解等价于有解，解出即可得. 【详解】由均为正实数，且， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 则不等式有解等价于有解， 即有，解得或. 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高一上·天津红桥·期中）已知，，且，则的最小值 . 【答案】5 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”妙用即可得解. 【详解】因为，，且， 所以 ， 当且仅当，即时取“”. 故答案为：5. 【变式5-2】（24-25高一上·云南德宏·期中）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将展开，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即时，取得最小值为， 故答案为：. 【考点题型六】基本不等式（二次与二次（或一次）商式） 形如：或者，常用换元法：令 【例6】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 【变式6-1】（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】利用基本不等式可求，当且仅当时等号成立，化简已知即可求解. 【详解】解：因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 【变式6-2】（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 【答案】6 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 【考点题型七】条件等式求最值 形如：，目标①求型；目标②求型 【例7】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】条件等式求最值 【分析】由可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】因，则， 则. 当且仅当，结合，， 即，时取等号. 故选：A 【变式7-1】（24-25高一上·天津西青·期中）已知、为正实数，且，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为、为正实数，由基本不等式可得， 即， 因为，所以，，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知正实数，满足. (1)求的最小值，并求出此时，的值； (2)若的最小值是25，求的值. 【答案】(1)，， (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据“1”的代换，结合基本不等式求解； （2）利用基本不等式求出的最小值，进而求出值. 【详解】（1）由变形得到：， 于是， 当且仅当，时取等号， 所以. （2）， 当且仅当时取等号，解得. 【考点题型八】对钩函数求最值 形如或者 【例8】（23-24高二上·河南）已知函数的最小值为，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对勾函数求最值 【分析】取特殊值可判断AC，利用基本不等式可判断BD. 【详解】若，则，故A选项不满足题意； 若，则，当且仅当，即时，“”成立，这显然不成立，故B选项不满足题意； 若，则，故C选项不符合题意； 若，则，当且仅当时，“”成立，故D选项符合题意． 故选：D. 【变式8-1】（多选）（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列命题中，是假命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】对勾函数求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用特殊值判断A、C，利用基本不等式判断D，根据对勾函数的性质判断B. 【详解】对于A：当时，故A错误； 对于B：因为，又在上单调递增， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以恒成立，故B正确； 对于C：当，时，故C 错误； 对于D：因为， 所以， 当且仅当，即、时取等号，故D正确； 故选：AC 【变式8-2】（多选）（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若，则的最大值是 【答案】ACD 【知识点】基本不等式求和的最小值、对勾函数求最值 【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用对勾函数的性质判断B. 【详解】对于A，，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，， 令，则且，因为在上单调递增， 所以，即，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，，， 当且仅当时取等号，故D正确， 故选：ACD． 【考点题型九】基本不等式的恒成立问题 【例9】（23-24高二上·黑龙江绥化）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，然后根据不等式恒成立，将问题转化为关于的不等式求解. 【详解】因为正数，满足， 则，因为， 所以，则，当且仅当即时等号成立. 因为不等式对任意实数恒成立，即恒成立. ，所以，即对任意实数恒成立. 令，因为，所以. 所以. 故选：D. 【变式9-1】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知，且，若对任意的恒成立，则实数的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意，问题可转化为对任意的恒成立，由题设条件得到，进而得到，接着结合基本不等式求得最小值得到即可求实数的取值范围. 【详解】因为对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 又因为，可得， 则， 当且仅当即时等号成立， 所以最小值为，所以，可得，即， 所以，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【详解】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 【考点题型十】在实际问题中判断使用基本不等式求最值 【例10】（24-25高一上·福建泉州·期中）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总收益为（单位：万元）． (1)求的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？ 【答案】(1)，88万元 (2)在甲产品投入39万元，在乙产品投入33万元 【知识点】求二次函数的值域或最值、利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可；（2）分情况求出各段的最大值，结合换元，基本不等式，二次函数知识求解即可. 【详解】（1）甲产品的投入为万元，则乙产品的投入为万元， 当时， 当时， 综上： , 即当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为88万元. （2）当时,令， 则总收益为 显然当时，（万元）. 当时, , 当且仅当.. , 该公司在甲产品投入39万元，在乙产品投入33万元，总收益最大，最大总收益为89.5万元. 【变式10-1】（24-25高一上·北京·期中）已知某商品每件的成本为8元，每月销量（万件）与每件售价（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为（    ）（注：净利润销售总额总成本） A．10元 B．12元 C．15元 D．16元 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】由每件售价，表示出每月的净利润，再利用基本不等式求最大值，等号成立时，即可求得，可得答案. 【详解】设每月的净利润为， 由题意， ， 当且仅当，即时，等号成立， 则每件售价应定为元. 故选：B. 【变式10-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）现使用一架两臂不等长的天平称20g药品，操作方法如下：先将10g的砝码放在天平左盘中，取出一些药品放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g的砝码放在天平右盘中，再取出一些药品放在天平左盘中，使得天平平衡．你认为两次实际称得的药品总重量（    ） A．等于20g B．大于20g C．小于20g D．以上都有可能 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】利用平衡条件得出的表达式，结合基本不等式可得答案. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B 【考点题型十一】不等式中的新定义题 【例11】（24-25高一上·四川成都·期中）对于基本不等式，即当，时有（当且仅当时不等式取“=”），我们称为正数，的算术平均数，为它们的几何平均数，两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．这只是均值不等式的一个简化版本．均值不等式的历史可以追溯到19世纪，由在1882年发表的论文中首次提出．均值不等式，也称为平均值不等式或平均不等式，是数学中的一个重要公式．它的基本形式包括调和平均数、几何平均数、算术平均数和平方平均数之间的关系．它表明：个正数的平方平均数大于等于它们的算术平均数大于等于几何平均数大于等于调和平均数，且当这些数全部相等时，等号成立． (1)请直接运用上述不等式链中某个的情形求的最小值； (2)写出时调和平均数与几何平均数之间的关系，并证明； (3)如图，把一块长为的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子．问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】(1) (2)，其中，， (3)切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由基本不等式证明不等关系、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据已知条件给出的不等式求解即可； （2）根据已知条件给出的几何平均数大于等于调和平均数写出不等式即可，证明见详解； （3）设出小正方形的边长，表示出盒子的容积，利用不等式求解最值即可. 【详解】（1）由题意得 所以时，， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）由题意可知，当时， 调和平均数与几何平均数之间的关系为，其中，，， 当且仅当时，等号成立. 证明： 所以，，当且仅当时，等号成立. 根据题意，可设，，， 用，，替换，，可得， 当且仅当时，等号成立. 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. （3）设小正方形的边长为，则盒子的高，底边边长为， 可得盒子的容积为，其中， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以切去的正方形边长为时，才能使盒子的容积最大，最大容积为. 【变式11-1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）定义：为实数中较大的数．若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据的范围，讨论的大小关系，在每种情况中分别用均值不等式和不等式的性质确定的范围，即可得解． 【详解】设， 则由题意可得， 因为，所以 ①当时，， 只需考虑， 所以，， 所以，可得，当且仅当时取等号； ②当时，，只需考虑， 所以， 可得，当且仅当时取等号. 综上所述，的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是在利用均值不等式和不等式的性质时，特别注意同向不等式的应用和均值不等式成立的条件. 【变式11-2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“复活集”. (1)直接写出一个2元“复活集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个3元“复活集”，其元素均为正整数?若存在，求出所有符合条件的3元“复活集”；若不存在，说明理由. 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)证明见解析； (3)存在某个3元“复活集”，所有符合条件的3元“复活集”为：. 【知识点】基本不等式求和的最小值、集合新定义 【分析】（1）根据“复活集”的定义写出一个2元“复活集”. （2）利用基本不等式证得结论成立. （3）先求得一个3元“复活集”，然后证明这个“复活集”是唯一的，从而确定正确答案. 【详解】（1）设一个2元“复活集”为（），则， 由于，所以一个2元“复活集”可为（答案不唯一）. （2）由上述分析可知，2元“复活集”（）满足， 若，则即， 所以（舍去）或即， 所以对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4. （3）设元“复活集”，其中都是正整数，且两两不相等， 根据集合元素的互异性和无序性，不妨设， 根据“复活集”可得， 因为，所以存在元素均为正整数的元“复活集”. 设，则，由， 得，整理得， 由于且都是正整数，所以， 所以，此时元“复活集”为. 当时，由，得，所以， 由于且都是正整数，所以只有满足， 但与矛盾，所以当时，不存在元素均为正整数的元“复活集”. 综上所述，存在某个3元“复活集”，所有符合条件的3元“复活集”为. 【点睛】关键点睛:在第（3）小问中的求解过程中，关键在于利用分类讨论和整数的性质，确定元素的取值范围.通过先假设一个元素等于1，利用方程的对称性和因式分解，找出了满足条件的所有正整数解，并证明了这个解的唯一性；再假设，由“复活集”定义和整数的性质得，从而再由正整数性质进一步可求解. 提升训练 1．（24-25高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知 ，则以下错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】由不等式的基本性质判断各选项即可. 【详解】因为， 所以，，故AB正确； 而，， 所以，，故C正确，D错误. 故选：D. 2．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用不等式性质，先求解出的范围，然后可求即的范围. 【详解】因为，所以， 所以，即， 故选：D. 3．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．与的取值有关 【答案】B 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】由作差法结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 4．（湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题）已知正实数满足，则恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式求的最小值，再将恒成立问题转化为最值问题，可得不等式，求解即可. 【详解】因为，且为正实数， 所以 ，当且仅当，即时，等号成立. 所以，则 因为恒成立，所以，解得， 故选：A. 5．（浙江省宁波市五校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题）已知，，且，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，得到答案. 【详解】，且， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 6．（24-25高一上·北京·期中）使“函数的最小值为2”为假命题的的一个值可以是（   ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】D 【知识点】已知命题的真假求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式求出取得最小值的条件，进而求出的范围，再利用其否定为真命题即可得解. 【详解】依题意，， 当且仅当，即时取等号，而，则， 由“函数的最小值为2”为假命题，所以. 故选：D 7．（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【知识点】条件等式求最值 【分析】由解出a，代入，进行适当变形，应用基本不等式求最小值即可. 【详解】解：因为正数a，b满足， 所以，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. 故选：D 8．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知正数x、y满足，不等式恒成立.则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当，即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立，所以， 所以实数m的取值范围是. 故选：C. 9．（多选）（24-25高一上·河北石家庄·期中）设正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本（均值）不等式可判定ABD是正确的，举反例说明C是错误的. 【详解】对A：因为， 当且仅当，即时取“”，故A正确； 对B：因为 ， 当且仅当，即时取“”，故B正确； 对C：当时，满足，此时，故C错误； 对D：因为，由A选项可知，， 所以，当且仅当时取“”，故D正确. 故选：ABD. 10．（多选）（24-25高一上·江苏无锡·期中）若且，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AC 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，且， A选项，，当且仅当时等号成立， ，解得， 所以，所以A选项正确. B选项，由A选项的分析可知，当且仅当时， 取得最小值为， 而，但此时，所以取不到最小值， 所以B选项错误. C选项，（则①），， ， 当且仅当时，等号成立， 所以C选项正确. D选项， ， 但，与①矛盾，故等号不成立，所以D选项错误. 故选：AC 11．（24-25高一上·海南海口·期中）若，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】通过配方化简函数，利用基本不等式求最小值. 【详解】由题意得，， ∵，∴，， ∴， 当且仅当，即时，. 故答案为：2. 12．（24-25高一上·河北·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】6 【知识点】条件等式求最值 【分析】化简可得，结合解不等式可得，解不等式可得结论. 【详解】因为，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 解得或（舍去）， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知正实数满足：. (1)求的最大值； (2)求的最小值； 【答案】(1) (2)25 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）直接利用基本不等式即可求得答案； （2）利用“1”的巧用，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）因为正实数满足：，故， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为； （2）正实数满足：， 则， 当且仅当，结合，即时取等号， 故的最小值为25. 14．（24-25高一上·贵州·期中）已知，，且. (1)求的取值范围； (2)证明：； (3)求的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)8. 【知识点】基本不等式求和的最小值、数与式 【分析】（1）直接根据基本不等式即可求解； （2）将“”中的“3”用“”替换即可证明； （3）化简：，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，，所以，. 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 故的取值范围为. （2）因为，所以， 则. （3）因为，所以. 因为，，，所以， 当且仅当时，等号成立， 则，即的最小值是8. 15．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）作出图形，计算出、的长，结合题意可计算出此人从海岛到达地的时间； （2）求出、的长，根据题意可得出，可得，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】（1）解：如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为. （2）解：如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 16．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）问题：正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足，求的最小值； (2)若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)求代数式的最小值，并求出使得最小的的值． 【答案】(1) (2)，当且仅当且同号时等号成立 (3)时，取得最小值 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）由，结合基本不等式，求得，即可求解； （3）令，得到，构造，由（2）知，即可求解. 【详解】（1）解：因为且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是． （2）解：由， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当且同号时等号成立，所以， 此时也满足. （3）解：令，由，可得， 则， 因为，所以，构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即． 所以时，取得最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$