专题03 第三章 函数的概念与性质（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

人教版（2024）数学高一上期末考点大串讲 串讲03 第三章 函数的概念与性质 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 押题预测 【清单01】函数的定义 【清单02】函数的三要素 【清单03】求函数解析式 【清单05】函数的图象 【清单05】函数的图象 【清单06】函数的单调性 【清单06】函数的单调性 【清单07】函数的奇偶性 【清单08】函数奇偶性的判断 【清单08】函数奇偶性的判断 【清单08】函数奇偶性的判断 【清单09】幂函数的图象与性质 【清单09】幂函数的图象与性质 考点一：求常规函数的定义域 【答案】B 考点一：求常规函数的定义域 考点二：求抽象函数、复合函数的定义域 【答案】D 考点三：值域问题 考点三：值域问题 考点四：求函数的解析式（待定系数法） 考点四：求函数的解析式（待定系数法） 考点五：求函数的解析式（换元法） 【答案】B 考点六：求函数的解析式（方程组（消去）法） 考点七：函数概念中新定义题 考点七：函数概念中新定义题 考点八：函数图象识别 【答案】A 考点八：函数图象识别 【答案】C 考点九：判断并证明函数的单调性 考点十：求函数的单调区间 【答案】A 考点十：求函数的单调区间 考点十一：求复合函数的单调区间（注意优先考虑定义域） 考点十二：根据函数单调性求参数 【答案】A 考点十二：根据函数单调性求参数 考点十三：判断函数的奇偶性 ①②④ 考点十四：利用函数奇偶性求参数，求值 【答案】C 考点十四：利用函数奇偶性求参数，求值 【答案】C 考点十五：利用函数奇偶性解不等式 【答案】AC 考点十五：利用函数奇偶性解不等式 考点十六：函数的对称性和周期性 【答案】D 考点十七：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用 【答案】ABD 考点十七：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性综合应用 【答案】BCD 考点十八：利用函数奇偶性求解析式 考点十九：分段函数的单调区间 考点十九：分段函数的单调区间 考点二十：根据分段函数的单调性求参数 【答案】C 考点二十：根据分段函数的单调性求参数 【答案】D 考点二十一：分段函数的值域或最值问题 【答案】C 考点二十一：分段函数的值域或最值问题 【答案】C 考点二十二：二次函数的最值问题（不含参数的二次函数最值问题） 考点二十三：二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题） 考点二十三：二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题） 考点二十三：二次函数的最值问题（含参数的二次函数最值问题） 考点二十四：恒成立与能成立问题 考点二十五：抽象函数综合问题 考点二十六：函数基本性质中的新定义问题 考点二十六：函数基本性质中的新定义问题 考点二十六：函数基本性质中的新定义问题 【答案】B 【答案】C 一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集. 函数的四个特征： ①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． （2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． （3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法． （2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围. （3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， （4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5.1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”） ① ② ③ ④ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5.2、函数图象的对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5.3、函数图象的翻折变换（绝对值变换） ①的图象的图象； （口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方） ②的图象的图象. （口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 6.1增函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上单调递增.（如图：图象从左到右是上升的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是增函数(increasing function). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 6.2减函数 一般地，设函数的定义域为，区间，如果，当时，都有， 那么就称函数在区间上是单调递减.（如图：图象从左到右是下降的） 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，称它是减函数(decreasing function). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 7.1偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. 7.2奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 8.1定义法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）求，根据与的关系，判断的奇偶性： ①若是奇函数 ②若是偶函数 ③若既是奇函数又是偶函数 ④若既不是奇函数也不是偶函数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 8.2图象法： （1）先求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称. （2）若的图象关于轴对称是偶函数 （3）若的图象关于原点对称是奇函数 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 8.3性质法： ，在它们的公共定义域上有下面的结论： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 9.1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象） 当时，我们得到五个幂函数： ；；；； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1-1】（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数 的定义域为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可得，解得， 所以定义域为， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1-2】（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2-1】（24-25高一上·吉林白城·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为函数的定义域为，则， 由，解得，所以函数的定义域为， 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3-1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且， 整理可得，即该方程在上有解， 当时，，显然成立； 当时，有，整理得，即， 综上，有函数值域为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）函数的值域为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，则，，则在上是减函数， 所以， 所以，故的值域为， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4-1】（23-24高一上·云南昆明）已知为一次函数，且，则的值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】为一次函数，可设， ， ，解得：或，或， . 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4-2】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知二次函数满足条件，及. (1)求的解析式； (2)解不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设，， 则， 又，， 所以，恒成立， ，解得，所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）不等式，即， 即，即， 当时,解得， 当时,解得， 当时,解得， 综上可得,当时,不等式的解集为， 当时,不等式的解集为， 当时,不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，则，所以， 所以. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设， 则. ，解得，或， 或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）令，则， ， 即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立， 得，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么， （1）求函数的“不动点”和“稳定点”； （2）求证：； （3）若，且，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由，解得， 由有，解得， 所以函数的“不动点”为4，“稳定点”为4； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）证明：若，则，显然成立； 若，设，有，则有， 所以，故， 综上，； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）因为，所以方程有实根，即有实根， 所以或，解得， 又由得：，即， 由（1）知，故方程左边含有因式， 所以，又， 所以方程要么无实根，要么根是方程的解， 当方程无实根时，或，即， 当方程有实根时，则方程的根是方程的解， 则有，代入方程得，故， 将代入方程，得，所以. 综上：的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8-1】（24-25高一上·广东清远·期中）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】的定义域为R，且， 所以为奇函数，图象关于原点对称，排除CD； 又，B错误，A正确. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8-2】（24-25高一上·北京朝阳·期中）函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】根据函数的解析式，易知该函数的定义域为，故选项A错误；令，得，故选项B错误； 当时，的增长速度远大于，所以当时，，故选项D错误. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 设,,且, 则 . 因为,所以,, 当,时,,此时函数为减函数; 当,时,,此时函数为增函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（24-25高一上·广东珠海·期中）已知函数，． (1)画出当时，函数的图象； (2)探究函数的单调性． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，.图象如下： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）当时，， ，越大，反比例函数知道也越大，则也增大， 则在上单调递增.在上也单调递增. 当时，在上单调递增. 当时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式10-1】（24-25高一上·广东茂名·期中）函数的单调递减区间为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、. 故答案为：、. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）函数的单调增区间是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12-1】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】根据题意得到，，解得，即. 故选：A. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12-2】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为， 且函数在上单调递减，则，解得或， 则函数的减区间为、，由题意可得，可得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于④，中，，当时，， ；当时，，， 因此，④是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（24-25高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为 ① ② ③      ④ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于①，函数的定义域为， ，①是； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于②，函数中，，解得， ，，②是； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于③，中，，而，，③不是； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（24-25高一上·四川成都·期中）已知为定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为为定义在R上的奇函数， 所以得， 所以，故， 则， 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式14-1】（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函数，且，则（   ）. A． B． C． D．3 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以. 所以. 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15-1】（多选）（24-25高一上·湖南永州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且对任意，当时，总有，则满足的x的值可能是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由题意可知，在上是增函数， 而为奇函数，故在上也是增函数，所以在R上单调递增. 因为， 所以，即， 所以，解得. 故选：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15-2】（24-25高一上·天津南开）定义在上的偶函数，当时，为减函数，则满足不等式的的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为函数是定义在区间上的偶函数， 所以等价于， 因为当时，为减函数， 则，解得，或， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（24-25高三上·辽宁锦州·期中）已知函数为偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则（   ） A．2024 B．2 C．1 D．0 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为函数为偶函数，所以的图象关于直线对称， 所以，即， 又因为函数的图象关于点对称， 所以，进而可得： 又，所以，即， 所以函数的周期为4， 所以. 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于D，易知，由可得， 又，所以； 所以，即D正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（多选）（24-25高一上·重庆·期中）已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C．存在函数，使得对，都有 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于A，根据题意由可得； 又为奇函数，联立， 两式相加可得，因此的图象关于点对称，即A正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于B，由A选项可知，又为偶函数，所以， 可得，即，所以， 即是以8为周期的周期函数，可知B正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 对于C，假设存在函数，使得对，都有， 由，， 可得，，可得； 因此，又， 即的函数值不唯一，构不成函数关系，因此假设不成立，即C错误. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式17-1】（多选）（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且，则（    ） A． B．的一个周期是3 C．的一个对称中心是 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由，可得， 所以有，所以是周期为的周期函数，选项B正确； 又是上的奇函数，知，可得， 无法确定，的值，选项A错误； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由，及，可得， 所以的图象关于点对称，选项C正确； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 由的周期为3， 得，选项D正确. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例18】（24-25高一上·陕西咸阳·期中）已知函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数， 所以， 即时，的解析式为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间（不需要证明）； (2)求集合M={m|使方程有两个不相等的实根}. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，得或 ， ， 当时，得，， 即. 函数的图象如图所示，单调递增区间为和，单调递减区间为和. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间（不需要证明）； (2)求集合M={m|使方程有两个不相等的实根}. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）当 时， ， 当时，取最大值4. 由题意可知，函数与y=m的图象有两个不同的交点， 故集合M={m|m>4或m=0}. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例20】（24-25高一上·河南洛阳·期中）设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，. 对于反比例函数（），当时，在各自区间上单调递减. ，要使在上单调递增，则，解不等式得.    当时，，对于指数函数（且）， 当时函数单调递增.所以，解这个不等式得到.    在处，需要满足，即， 解得.   综合以上三个条件，取交集得到实数的取值范围是. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式20-1】（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，单调递增， 在上单调递增，，解得：， 实数的取值范围为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例21】（24-25高一上·天津·期中）给定函数，，用表示函数，中的较大者，即,，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D．2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】令，解得或， 作出函数的图象如图所示： 由图象可知，当时，取得最小值为． 故选：C． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ∴当或时，有最小值3. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【变式21-1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）若，记，则函数的最小值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．12 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 则的图象如下： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例22】（24-25高一上·贵州·期中）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)求在上的值域. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设，则， 所以， 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）可知，则的图象关于直线对称. 由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 则. 因为，，所以. 故在上的值域是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23-1】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数． (1)已知，若，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)函数的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，， 所以，所以，解得； 故实数取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故； 当，即时，在上单调递减，故； 综上所述； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）由（2）可知 当时，在上单调递增，此时的最大值为； 当时，在上单调递增， 在上单调递减，此时的最大值为； 当时，在上单调递减，此时的最大值为； 综上所述的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；  (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，即函数的图象关于轴对称， 则函数图象如图所示， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为,． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例23-2】（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象；  (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）令，则，则， 又因为函数是定义在上的偶函数，所以， 则， 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）当时，， 则，其对称轴为， 因为， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例24-1】（24-25高一上·黑龙江·期中）已知函数. (1)证明：函数在区间上单调递增； (2)设，若对任意的，，恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）证明：设， 则， 因为，所以，，， 所以， 所以函数在区间上单调递增， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由（1）知，函数在区间上单调递增， 所以当时，， 则问题转化为，当时，恒成立 又函数在上单调递减，所以， 所以，解得， 故实数的取值范围为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例25】（24-25高一上·湖北·期中）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当时，. (1)证明：是偶函数； (2)如果，解不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得，再令，得， 从而，于是有， 所以是偶函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由于，所以， 于是不等式可化为， 由（1）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数， 所以可得， 解得，所以不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例26】（24-25高一上·湖北·期中）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”. (1)求证：是函数的一个“优美区间”； (2)求证：函数不存在“优美区间”； (3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）在区间上单调递增，又， 当时，， 根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2），设， 可设或， 则函数在上单调递减. 若是的“优美区间”，则 两式相减可得：， 又，所以，即， 代入方程组，得到，原方程无解. 函数不存在“优美区间”. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3），设. 有“优美区间”， 或， 在上单调递增. 若是函数的“优美区间”，则， 是方程， 即（*）的两个同号且不等的实数根. ， 或， 由（*）式得. ， 或， 当时，取得最大值. . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高一上·山东·期中）函数的图象经过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】函数的图象经过点,则， 则，故，即，所以是减函数． 又，所以是奇函数， ，则转化为，即, 根据减函数性质知道，，解得. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高一上·广东广州·期中）定义在上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数，且，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上为增函数， 由可得，可得， 即，解得. 所以，不等式的解集为. 故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（24-25高一上·山东·期中）已知函数为上的奇函数，当时，，且. (1)求函数的解析式； (2)若实数满足不等式，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为函数为上的奇函数，所以， ，解得， 即时，， 当时，，， 所以. 所以； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）当时，是减函数，， 当时，是减函数，， 所以在上是减函数， 由，，解得． 所以的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且，. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则， 即，可得对任意的恒成立，故， 所以，，则，解得，故. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）函数在上为减函数，证明如下： 任取、，且，则，，，， 因为， 则 ，即， 故函数在上为减函数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上为减函数， 由可得，得，即， 即，可得，解得或. 因此，不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$