专题02 第二章 一元二次函数、方程和不等式（考点串讲）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

人教版（2024）数学高一上期末考点大串讲 串讲02 第二章 一元二次函数、 方程和不等式 01 02 03 目 录 题型剖析 考点透视 押题预测 【清单01】作差法比较大小 【清单02】不等式的性质 【清单03】重要不等式 【清单04】基本不等式链 【清单05】四个二次的关系 【清单06】一元二次不等式的解法 【清单07】分式不等式的解法 考点一：比较两个代数式的大小 【答案】C 考点二：基本不等式（和为定值求积的最值） 考点三：基本不等式（积为定值求和的最值） 【答案】C 考点四：基本不等式（凑项（系数）） 考点五：基本不等式（常数代换法） 考点六：基本不等式（二次与二次（或一次）商式） 【答案】4 考点七：条件等式求最值 【答案】A 考点八：对钩函数求最值 【答案】D 考点九：基本不等式的恒成立问题 【答案】D 考点十：在实际问题中判断使用基本不等式求最值 考点十：在实际问题中判断使用基本不等式求最值 考点十一：一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数不含参数） 考点十二：一元二次不等式（含参）的求解（二次项系数含参） 考点十三：一元二次不等式（含参）的求解（不能十字相乘法） 考点十四：一元二次不等式与对应函数、方程的关系 【答案】BCD 考点十五：解分式不等式 【答案】B 考点十六：一元二次不等式在上恒（能）成立 考点十七：不等式在区间上 恒（能）成立 【答案】D 考点十八：不等式中的新定义题 考点十八：不等式中的新定义题 考点十九：一元二次不等式中的新定义问题 考点十九：一元二次不等式中的新定义问题 考点十九：一元二次不等式中的新定义问题 【答案】D 【答案】D 【答案】AC 作差法的依据：①；②；③ 步骤： (1)作差； (2)变形； （目的：便于判定差的符号，常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等） (3)定号；（当差的符号不确定时，一般需要分类讨论） (4)下结论。（根据当差的正负与实数大小关系的基本事实下结论） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （其中，当且仅当时，取“”号） （注意：一正，二定，三相等，特别“一正”，“三相等”这两类陷阱） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例1】（24-25高一上·北京延庆·期中）若和，则和的大小关系为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，， 所以，当且仅当时取等号，所以，故选：C. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例2】（24-25高三上·山东枣庄·期中）求下列各式的最值 (1)当时，求的最小值； (2)已知，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例3】（24-25高一上·北京·期中）当时，恒成立，则的最大值为 （    ） A．6 B．10 C．12 D．13 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以由题意可知，，即的最大值为. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例4】（24-25高一上·上海闵行·期中）函数的最小值是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】, 当且仅当时等号成立，故所求最小值为， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例5】（24-25高一上·湖南·期中）已知两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】由均为正实数，且， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 则不等式有解等价于有解， 即有，解得或. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例6】（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例7】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因，则， 则. 当且仅当，结合，， 即，时取等号. 故选：A 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例8】（23-24高二上·河南）已知函数的最小值为，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】若，则，故A选项不满足题意； 若，则，当且仅当，即时，“”成立，这显然不成立，故B选项不满足题意； 若，则，故C选项不符合题意； 若，则，当且仅当时，“”成立，故D选项符合题意． 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例9】（23-24高二上·黑龙江绥化）设正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为正数，满足， 则，因为， 所以，则，当且仅当即时等号成立. 因为不等式对任意实数恒成立，即恒成立. ，所以，即对任意实数恒成立. 令，因为，所以. 所以. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例10】（24-25高一上·福建泉州·期中）某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入72万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入15万元，在对市场进行调研分析完后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总收益为（单位：万元）． (1)求的表达式，并求当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为多少万元； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总收益最大？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）甲产品的投入为万元，则乙产品的投入为万元， 当时， 当时， 综上： , 即当甲产品投入26万元时，两种产品的总收益为88万元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2）当时,令， 则总收益为 显然当时，（万元）. 当时, , 当且仅当.. , 该公司在甲产品投入39万元，在乙产品投入33万元，总收益最大，最大总收益为89.5万元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例11】1．（24-25高一上·甘肃武威·期中）解下列不等式: (1)； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1），即， ， 解得， 所以的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当，则，可得，解集为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例12】（24-25高一上·上海嘉定·期中）（1）已知实数，解关于的不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，， 即，可得，解集为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 当时，， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例13】（24-25高一上·广东广州·期中）设函数. (1)对，恒成立，求的取值范围. (2)解不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）若，显然，符合题意； 若，则， 由，即在上恒成立， 即，， 令， 当且仅当，即时取得最小值，所以， 则的取值范围为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）根据题意可知， 若，则， 若， 当，即时，， 当，此时原不等式为，即， 当，此时，令， 此时不等式解集为， 若，此时，不等式解集为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例14】（多选）（24-25高一上·广东潮州·期中）已知不等式的解集为，下列说法正确的是（    ） A．； B．，2是方程的两个实数根； C．； D．不等式的解集为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】对于A，由一元二次不等式的性质可得解集为闭区间时，，故A错误； 对于B，由一元二次不等式的性质可得为方程的两个根，故B正确； 对于C，由B可得，解得，故C正确； 对于D，由C可得不等式即，即， 所以解集为或，故D正确； 故选：BCD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例15】（24-25高一上·吉林·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】不等式等价于不等式，即不等式， 即不等式，解得或. 故选：B 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例16】（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【答案】 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例17】（24-25高一上·湖南长沙·期中）若不等式对一切恒成立，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为不等式对一切恒成立， 所以在区间上恒成立， 由对勾函数的性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，，当时，， 所以，故， 故选：D 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例题18】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）若一个集合含有个元素，且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“复活集”. (1)直接写出一个2元“复活集”（无需写出求解过程）； (2)求证：对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4； (3)是否存在某个3元“复活集”，其元素均为正整数?若存在，求出所有符合条件的3元“复活集”；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）设一个2元“复活集”为（），则， 由于，所以一个2元“复活集”可为（答案不唯一）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）由上述分析可知，2元“复活集”（）满足， 若，则即， 所以（舍去）或即， 所以对任意一个2元“复活集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3）设元“复活集”，其中都是正整数，且两两不相等， 根据集合元素的互异性和无序性，不妨设， 根据“复活集”可得， 因为，所以存在元素均为正整数的元“复活集”. 设，则，由， 得，整理得， 由于且都是正整数，所以， 所以，此时元“复活集”为. 当时，由，得，所以， 由于且都是正整数，所以只有满足， 但与矛盾，所以当时，不存在元素均为正整数的元“复活集”. 综上所述，存在某个3元“复活集”，所有符合条件的3元“复活集”为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【例19】（23-24高一·江苏）定义两个函数的关系，函数，的定义域为，，若对任意的，均存在，使得，我们就称为的“子函数”． (1)若，，判断是否为的“子函数”，并说明理由； (2)若是的“子函数”，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）由“子函数”的定义可知，若为的“子函数”，则的值域是的值域的子集，故只需要判断的值域是否是值域的子集即可， 因为开口向上，对称轴为， 所以当时，， 又，，故， 所以的值域为， 因为在上单调递增，且，， 所以的值域为， 显然，所以是的“子函数”； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）因为， 所以当时，，易得； 当时，，由得，即， 综上：的值域为， 因为，开口向上，对称轴为， 所以当时，在上单调递增，故，即， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 根据子函数的定义及数轴法得，即，故； 当时，在上单调递减，故，即， 所以，即，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，故， 所以，解得，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，故， 所以，解得，故； 综上：，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 1．（24-25高一上·四川内江·期中）设，对于使成立的所有常数，我们把的最小值叫做的上确界．若，，且，则的上确界为（    ） A．－4 B．－3 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】，且， ， 当且仅当即时等号成立， 则有，即得，即的上确界. 故选：D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 2．（24-25高一上·湖南·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为，所以， 又，所以， 令，，则，， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 3．（多选）（24-25高一上·黑龙江·期中）已知正数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】因为正数，满足， 对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故A正确； 对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误； 故选：AC. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 4．（24-25高一上·安徽·期中）已知关于的函数． (1)若，求时的取值范围． (2)是否存在实数，满足当时，的最大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）当时，可转化为：. 所以或. 所以的取值范围是：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）函数在的最大值，可能是在行或或时取得. 若.此时为开口向上的抛物线，且，，所以满足题意. 若.此时为开口向下的抛物线，且，，对称轴为，所以满足题意； 若，解得或. 当时，，对称轴为，故不合题意. 综上可知：存在实数或，使得满足当时，的最大值为3. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 5．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 【详解】（1）根据题意知 ， 整理得； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 （2）当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， , 当且仅当，即时等号成立， ，的最大值是， 当单株施肥量为千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $$