4.4.1对数函数的概念、4.4.2对数函数的图象与性质（第一课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.1 对数函数的概念 一、课前回顾 换底公式及推论： （1） _______________. （2） （3） 如果,且,, ,则 对数运算：（1） （2） _______________. （3） _______________. 二、学习目标 1、理解对数函数的定义，会求对数函数的定义域； 2、了解对数函数与指数函数之间的联系 3、在学习对数函数过程中，学会认识事物的特殊性与一般性之间的 关系 1.指数函数y=2x的定义域、值域、单调性分别是什么? 定义域为R,值域为(0,+∞),在R上单调递增. 2.将y=2x化为对数式得到什么结果?根据这一结果,对于区间(0,+∞)内的每一个y的值,是否都有唯一的实数x与之对应? x能否看作是关于y的函数? x=log2y,对于区间(0,+∞)内的每一个y的值,都有唯一的实数x与之对应,x能看作是关于y的函数. 问题 三、阅读课本130-132页回答下列问题 思考:判断一个函数是否是对数函数，要满足什么条件? 看系数：对数符号前面的系数为1； 2. 看底数：底数是大于0且不等于1的数； 3. 看真数：真数仅有自变量x,且x∈(0,+∞). 考点一 对数函数的判断 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）由 ，得 ，所以 .( ) √ （2） 是对数函数.( ) × （3）若 是对数函数，则 ，且 .( ) √ （4）函数 的定义域为 .( ) × 2.若对数函数 的图象过点 ，则 ____. <m></m> 解析：由题意设 ,且 ，则 ， 所以 ，故 ,即 ,所以 . 3.已知 为对数函数， ，则 ___. 解析：设 ，且 ， 则 ，所以 ，即 ， 所以 ， 所以 . 2 已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx, 则m=　　　. 解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2. 答案:2 3.若函数 是对数函数,则 ___. 5 解析：由对数函数的定义可知 解得 . 4.已知函数 则 ( ) 解析：选D. 因为 ， ， 所以 . 故选D. 考点二 对数型函数的定义域 （3） ； 【解】由题意可知, ，解得 .所以函数的定义域为 . （4） ； 【解】 由题意可知， 解得 .所以函数的定义域为 . 四、当堂检测（第131页） ①③ 2. 习题4.4（第140页） ；例题1 例1.（1）下列函数表达式中,对数函数有( ) ; ;; ; ; ; . B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 （2）.函数，且是对数函数,且过点,则 ___. [解析] 由题意.又,故,因此.所以 . 1 五、当堂训练（请同学完成以下例题及变式） 19 变式训练： 若函数为对数函数，则 等于( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 因为函数为对数函数，所以 解得 .故选B. 20 求下列函数的定义域． ，且 ； 解：由得 ， 所以函数的定义域是 ． 变式训练： 21 4.4.2 对数函数的图象与性质 （第一课时） 指数函数的性质包括哪些?如何探索指数函数的性质? 指数函数的性质包括定义域、值域、单调性、图象过定点等. 先通过列表、描点、连线的方法画具体的对数函数的图象, 再研究其性质,最后推广到一般. 与研究指数函数一样，我们首先画出y=log2x的图象，借助图象研究性质。 探索对数函数的图象与性质 x 1/4 1/2 1 2 4 ….. y=log2x -2 -1 0 1 2 … 列表 描点 连线 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. 对于底数互为倒数的两个对数函数，比如y=log2x和 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？ 列表 描点 连线 x 1/4 1/2 1 2 4 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 这两个函数的图象有什么关系呢？ 关于x轴对称 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 对数函数y=log2x和y=log3x的图象 2 1 -1 -2 1 2 4 O y x 3 底数a>1时,底数越大,其图象越接近x轴。 图象特征 代数表述 定义域: (0,+∞) 值 域: R 增函数 在(0,+∞)上是 图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升 对数函数 的图象. 0<a<1时,底数越小,其图象越接近x轴。 2 1 -1 1 2 4 O y x 3 图象特征 代数表述 定义域: ( 0,+∞) 值 域: R 减函数 在(0,+∞)上是 图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐下降 在x=1右侧，底大图低 试一试： x y 0 1 y=log a x y=log b x y=log c x y=log d x 比较a、b、c、d、1、0的大小。 答：b>a>1>d>c>0 0<a<1 a>1 图象 定义域 值域 性质 （2）减函数 （2）增函数 例：函数的图象过定点，则点 的坐标是______. [解析] 令，得 ， 此时 ， 所以函数的图象过定点 . 考点三 对数型函数定点问题 总结：求对数函数（对数型函数）的定点坐标方法是？ （1）令真数为1，（2）求出x值（3）代入求y （4）写出定点坐标. 31 变式训练: 函数，且恒过定点 ，则 ___. 5 [解析] 由题意，解得所以 . 32 练习：若函数 y=(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(3，2),则实数b,c的值分别为 。 ∵函数y = , (a > 0且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)， ∴ = 2恒成立， 故3+b=1，c=2， 解得: b= -2，c=2， 故答案为:-2，2. 考点四 比较大小 例：比较下列各组中，两个值的大小： （1） log23.4与 log28.5 （2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7 解:⑴∵对数函数y = log 2x 在(0,+∞)上是增函数 ∴ log 23.4＜log 28.5 ⑵∵对数函数 y = log 0.3 x ∴log 0.31.8＞log 0.32.7 且 3.4<8.5 且1.8<2.7 在(0,+∞)上是减函数 两个同底对数比较大小，构造一个对数函数，然后用单调性比较 （3） loga5.1与 loga5.9 解:（3）当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是 log a5.1＜log a5.9 log a5.1＞log a5.9 当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是 【方法提炼】 1.同底对数利用对数函数单调性进行比较； 2. 同真数对数利用对数函数图象进行比较； 3.底数、真数都不同，搭桥或借用中间量（0或1）进行估值比较； 4.含参对数比大小：分类讨论 在同一直角坐标系中，画出指数函数y=2x和对数函数y=log2x的图象，你能发现什么特点？. x y -1 0.5 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 ... ... x y 0.5 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 16 4 ... ... 函数y=log2x和y=2x 的图象关于直线y=x对称。 互为反函数的两函数图象关于直线y=x对称。 一般地，指数函数y=ax（a>0且a≠1）与对数函数y=logax（a>0且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。 反函数的性质： 1.反函数定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。 2.若原函数过点（a,b）,则反函数必过（b,a） 38 考点五 解不等式 ⑴ ln(2x) <0; ⑵ log2x < 2; ⑶ lg(1-x)>lg(x+1); ⑷ log0.5x2 > log0.5(x+2). 解： ⑴∵函数在(0，+∞) 上是增函数， 又， ∴当时， , ∴ . 考点五 解不等式 ⑴ ln(2x) <0; ⑵ log2x < 2; ⑶ lg(1-x)>lg(x+1); ⑷ log0.5x2 > log0.5(x+2). 解： (2)∵ ， ∴当时， 得 . 考点五 解不等式 ⑴ ln(2x) <0; ⑵ log2x < 2; ⑶ lg(1-x)>lg(x+1); ⑷ log0.5x2 > log0.5(x+2). 解： (3)∵函数在(0，+∞) 上是增函数， ∴当时，， 解得：0 . 考点五 解不等式 ⑴ ln(2x) <0; ⑵ log2x < 2; ⑶ lg(1-x)>lg(x+1); ⑷ log0.5x2 > log0.5(x+2). 解： (4)∵函数 在(0，+∞) 上是减函数， ∴当时，， 解得： . $$