专题17 与二次根式有关运算的七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题17 与二次根式有关运算的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 3 类型二、含隐含条件的参数范围化简二次根式 4 类型三、复杂的复合二次根式化简 5 类型四、二次根式中的分母有理化 10 类型五、利用二次根式有关运算比较大小 13 类型六、二次根式中的新定义型探究问题 18 类型七、二次根式中的规律探究问题 21 压轴能力测评（14小题） 25 解题知识必备 知识点一：二次根式 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 知识点二：二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2.二次根式无意义：被开方数为负数，即； 知识点三：二次根式的性质 1.二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2.二次根式的性质：（） 3.二次根式的性质： 知识点四： 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广: （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. 3.二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广： 知识点五：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广：. 知识点六：最简二次根式 1.最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号. 知识点七： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点八： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点九：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 压轴题型讲练 类型一、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 例题：（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ． 【变式训练1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 类型二、含隐含条件的参数范围化简二次根式 例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ． 类型三、复杂的复合二次根式化简 例题：（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【变式训练1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【变式训练2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【变式训练3】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 类型四、二次根式中的分母有理化 例题：（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： (1)计算：　　　　　，　　　　　； 若n为正整数，请你猜想　　　　　． (2)计算：； 【变式训练1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）在数学学习中，小明遇到一道题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，．请你根据小明的解题过程，解决下列问题： (1)填空：_______，_______； (2)化简：． 【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化． 例如： ． (1)用上述方法化简； (2)． 【变式训练3】（23-24八年级下·福建莆田·期中）在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的: 请你根据小明的分析过程，解决如下问题 (1)化简： (2)若，求的值． 类型五、利用二次根式有关运算比较大小 例题：（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【变式训练1】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【变式训练2】（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【变式训练3】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 类型六、二次根式中的新定义型探究问题 例题：（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若，则称x和y是关于1的平衡数． (1)4与______是关于1的平衡数；与______是关于1的平衡数； (2)已知m为整数，若，判断与是不是关于1的平衡数，并说明理由． 【变式训练1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 【变式训练2】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 【变式训练3】（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 类型七、二次根式中的规律探究问题 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【变式训练1】（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）【规律探究题】观察下列运算： ①由，得； ②由，得； …… 问题： (1)______；______； (2)利用（1）中发现的规律计算： ． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东济宁·期中）【阅读材料】 （材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； （材料二）化简：． 解：． 【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题： (1)填空： _________， _________； (2)求的值． 压轴能力测评（14小题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C．5 D．6 2．（24-25八年级上·上海·期中）化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．－1 B．1 C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知，则x的取值范围是 ． 5．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么 ． 6．（24-25九年级上·四川内江·期中）形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知：实数在数轴上的对应点如图所示，化简：．    8．（24-25八年级上·福建三明·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (3)先化简，再求值：，其中． 9．（24-25九年级上·福建漳州·期中）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：第式，第式，第式，第式．… (1)根据规律直接写出第式； (2)若，求的值． 10．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 11．（17-18八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）阅读材料：像……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以所以 所以 所以 所以 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ； (2)比较大小: （填>， <， =， ≥或≤中的 一种）; (3)若，求的值． 13．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 14．（23-24八年级上·河北保定·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 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合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点八： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点九：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 压轴题型讲练 类型一、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 例题：（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵被开方数恒为非负数，即中，， ∴中，， ∴， 故答案为： ． 【变式训练1】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知，化简的结果是 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键. 根据，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果. 【详解】解：∵ ∴. 故答案为：5 【变式训练2】（23-24八年级下·安徽亳州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据题意先得到，再由进行化解求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）如果实数在数轴上的对应点的位置如图所示，化简代数式 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，立方根的定义，掌握二次根式的性质，立方根的定义，是解题的关键． 根据数轴的特点确定的符号和大小，再根据二次根式的性质，立方根的定义化简，即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置可得，，，， ∴ ， 故答案为： ． 类型二、含隐含条件的参数范围化简二次根式 例题：（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）二次根式化简结果正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，先根据，得出，二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质与化简． 【详解】∵，， ∴原式， ， 故选：． 【变式训练1】（23-24八年级下·河南安阳·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键． 由的积小于0得到与异号，再根据负数没有平方根得到大于0，进而确定出小于0，所求式子利用二次根式的化简公式即可得到结果． 【详解】 解：，与异号， ，， ， 则． 故选：C． 【变式训练2】（23-24八年级下·天津·期中）已知，，化简二次根式的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式训练3】（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简等知识，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】根据题意有：，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 类型三、复杂的复合二次根式化简 例题：（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； （2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 【变式训练1】（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：，再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查化简二次根式，活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【变式训练2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）先阅读材料，然后回答问题． (1)小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】(1)④， (2)①；② 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； （2）解：①原式 ； ②原式 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，涉及了配方法的运用和完全平方式的运用以及二次根式性质的运用． （1）由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为3和2后，即可得出结论；由条件对进行变形利用完全平方公式化简，确定a，b值为8和9后，即可得出结论 （2）由条件对进行变形利用完全平方公式的形式化简，求解．即可． 【详解】（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 类型四、二次根式中的分母有理化 例题：（23-24八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）阅读材料并解决问题：，像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： (1)计算：　　　　　，　　　　　； 若n为正整数，请你猜想　　　　　． (2)计算：； 【答案】(1)；； (2)2023 【分析】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的关键． （1）根据平方差公式，类比例子解答即可； （2）根据平方差公式，类比例子解答即可． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）解：原式 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东临沂·期中）在数学学习中，小明遇到一道题：已知，求的值．小明是这样解答的：∵，．请你根据小明的解题过程，解决下列问题： (1)填空：_______，_______； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的加减计算： （1）先分子和分母都乘进行分母有理化即可；分子和分母都乘进行分母有理化即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）解： ． 【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁铁岭·期中）在进行二次根式的化简时，我们有时会遇到形如，的式子，对于这类式子我们可以进一步将其化简，使其分母转化为有理数，这一过程叫做分母有理化． 例如： ． (1)用上述方法化简； (2)． 【答案】(1) (2)2024 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据例题的方法，分母有理化即可求解； （2）将每一项都分母有理化，继而即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练3】（23-24八年级下·福建莆田·期中）在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的: 请你根据小明的分析过程，解决如下问题 (1)化简： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化，乘法公式等知识点． （1）分子分母都乘，利用平方差公式计算化简即可； （2）将a的值的分子、分母都乘以得，将其配方代入计算可得答案． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴， ∴． 类型五、利用二次根式有关运算比较大小 例题：（23-24八年级下·山东济宁·期中）[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是______（写出一个即可），的有理化因式是_______（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式， 这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据所得规律计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ； （3）． 理由如下： ∵，， ∵， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24八年级下·山西吕梁·期中）阅读下列解题过程，回答问题： (1)化简：______，______； (2)利用上面的规律，比较______（填“”或“”或“”）． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式比较大小： （1）仿照题意求解即可； （2）根据分母有理化的方法得到，，根据，得到，． 【详解】（1）解： ； ， 故答案为：，； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·安徽淮南·阶段练习）我们知道形如，的数可以化简，其化简的目的主要是把分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化，我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是_________，的有理化因式是_________； (2)化简：； (3)比较，的大小，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． （1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （2）分子分母同乘以即可得出答案； （3）将原式按类比分母有理化的步骤进行化简，再根据分子相同，分母越大，式子越小即可比较大小． 【详解】（1）的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）； （3）；； ， ． 【变式训练3】（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： (1)化简； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是分母有理化： （1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案； （2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，，且， ∴． 类型六、二次根式中的新定义型探究问题 例题：（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）若，则称x和y是关于1的平衡数． (1)4与______是关于1的平衡数；与______是关于1的平衡数； (2)已知m为整数，若，判断与是不是关于1的平衡数，并说明理由． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握新定义，是解题的关键： （1）根据平衡数的定义，进行求解即可； （2）根据，求出的值，再根据平衡数的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：； （2）解：不是，理由如下： ， ∴，， ∴； ∴， ∴与不是关于1的平衡数． 【变式训练1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若与是关于15的友好二次根式，求； (2)若与是关于4的友好二次根式，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握“友好二次根式”的定义，是解题的关键： （1）根据定义，得到，求解即可； （2）根据定义，得到：，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）由题意： ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于6的共轭二次根式，求a的值； (2)若与是关于2的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的应用 【分析】此题主要考查了新定义：共轭二次根式的理解和应用，掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）由题意得：，化简即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； 【变式训练3】（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）我们规定用表示有序数对．给出如下定义：记，，其中，，将与称为有序数对的一对“对称数对”．例如；的一对“对称数对”为和． (1)有序数对的一对“对称数对”是＿＿＿； (2)若有序数对的一对“对称数对”相同，则y的值为＿＿＿； (3)若有序数对的一个“对称数对”是，则x的值为＿＿＿； (4)若有序数对的一个“对称数对”是，求的值． 【答案】(1)和 (2) (3) (4)6或 【知识点】利用二次根式的性质化简、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，解方程，二次根式的性质，理解和应用新定义是解本题的关键． （1）根据新定义即可得出结论； （2）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （3）根据新定义，列等式，解方程进而得出结论； （4）根据新定义，列方程或，解方程进而得出结论． 【详解】（1）解：， 有序数对的一对“对称数对”是和， 故答案为：和； （2）解：有序数对的一对“对称数对”相同， ， ， 故答案为：； （3）解：有序数对的一个“对称数对”是， ， ， 故答案为：； （4）解：有序数对的一个“对称数对”是， 或， 或， 或． 即的值为6或． 类型七、二次根式中的规律探究问题 例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 【变式训练1】（23-24八年级下·甘肃金昌·期中）【规律探究题】观察下列运算： ①由，得； ②由，得； …… 问题： (1)______；______； (2)利用（1）中发现的规律计算： ． 【答案】(1)；（n为正整数） (2)2024 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键． （1）根据已知算式得出规律即可； （2）根据（1）中得出的规律进行变形，再根据二次根式的加法法则进行计算，最后根据平方差公式求出答案即可． 【详解】（1）， （n为正整数） （2）原式 【变式训练2】（23-24八年级下·山东济宁·期中）【阅读材料】 （材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律． ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； （材料二）化简：． 解：． 【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题： (1)填空： _________， _________； (2)求的值． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题考查了数学中的阅读能力，规律问题，还有二次根式的化简，分母有理化，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算． （1）根据题意找到规律，，即可得到答案； （2）根据题意将原式进行分母有理化进行求解即可． 【详解】（1）解：，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）； ……， 以此类推，可知，， ；， （负值舍去）； 故答案为：，； （2）解：， ． 压轴能力测评（14小题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，一元一次不等式组解法，理解二次根式有意义的条件是解答关键． 根据二次根式有意义的条件求出，进而求出的值，代入中进行计算求解． 【详解】解：根据二次根式的意义得，， ， 当时，，， ， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海·期中）化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先判断m、n的符号，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北保定·期中）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算． 【详解】解：由图知：， ，， ． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简和解一元一次不等式，能根据二次根式的性质得出是解此题的关键．根据二次根式的性质得出，再求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 解得． x的取值范围是． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）用“☆”定义新运算，对于任意实数a，b，都有，例如：，那么 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了新定义运算，涉及了二次根式的化简，解题的关键是理解新定义运算，掌握二次根式的化简． 根据新定义运算，对式子进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 6．（24-25九年级上·四川内江·期中）形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据题目给出的方法结合完全平方公式将转化为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知：实数在数轴上的对应点如图所示，化简：．    【答案】 【知识点】实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用数轴判断式子的正负，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先根据数轴判断的正负，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 8．（24-25八年级上·福建三明·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)2030 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值． （1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； （2）根据错误的原因可得； （3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； 【详解】（1）解：当时， 原式 原式 ， 小亮错误， 故答案：小亮． （2）解：由题意得 ； 故答案：． （3）解：当时， 原式 原式 ． 9．（24-25九年级上·福建漳州·期中）根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题：第式，第式，第式，第式．… (1)根据规律直接写出第式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)168 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查的是分母有理化及二次根式的运算，根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据题意得出第n个式子即可； （2）根据（1）中的规律求出n的值即可． 【详解】（1）解：第式；； （2）解：， ， ， ， ， ， 解得． 10．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）观察下列各式及其验证过程 ， 验证： ， 验证： (1)按照上述等式及其验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用（为自然数且）表示的等式并给出说明． 【答案】(1)猜想，验证见详解 (2)，验证见详解 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题考查数字的变化类，理解题目所提供的等式的呈现规律是正确解答的关键． （1）根据题目中所提供的方法进行验证即可； （2）总结概括出一般的规律，用代数式表示出来，再利用题目所提供的方法进行验证即可． 【详解】（1）解：猜想， 验证：； （2）解：， 验证：． 11．（17-18八年级下·全国·单元测试）观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．此题是一个找规律的题目，观察时，既要注意观察等式的左右两边的联系，还要注意右边必须是一种特殊形式． （1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质，把根号内的移到根号外； （2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般．表示左边的式子时，观察根号外的和根号内的分子、分母之间的关系可得：． 【详解】（1） 验证： ； （2）． 验证： ． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）阅读材料：像……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知 求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为 所以 所以所以 所以 所以 所以 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ； (2)比较大小: （填>， <， =， ≥或≤中的 一种）; (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)< (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化， 对于（1），根据有理化因式确定即可； 对于（2），先求出两个数的倒数，再比较即可； 对于（3），先把a分母有理化，再整体代入. 【详解】（1）因为， 所以的有理化因式为. 故答案为：； （2）因为， 显然， 又因为和都是正数， 所以． 故答案为：． （3）因为， 所以， 所以， 则， 即. 所以，原式． 13．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 14．（23-24八年级上·河北保定·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 【答案】(1) (2)37或161 (3) 【知识点】二元一次方程的解、二次根式有意义的条件、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件： （1）根据“美好区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”； （2）根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相加得，得，，再根据“美好区间”的定义即可求解．． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ ∴无理数的“美好区间”是， 故答案为： （2）∵为“美好区间” ∴，为连续的整数 又∵是关于，的二元一次方程的一组正整数解 ∴是一个平方数 又∵ ∴满足题意的，的值为或 当时， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∴， 综上所述：的值为37或161． （3）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 两式相加得 ∴ ∴的算术平方根为 ∵ 的算术平方根的美好区间为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$