专题16 一元一次不等式（组）的应用的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题16 一元一次不等式(组)的应用的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、列一元一次不等式 2 类型二、用一元一次不等式与二元一次方程组解决实际问题 3 类型三、用分式方程与一元一次不等式解决实际问题 6 类型四、列一元一次不等式组 10 类型五、用一元一次不等式组与二元一次方程组解决实际问题 11 类型六、用分式方程与一元一次不等式组解决实际问题 15 压轴能力测评（10题） 19 解题知识必备 1. 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数;②根据题中的不等关系列出不等式;③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 2. 由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 3. 由实际问题抽象出一元一次不等式组 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答． 压轴题型讲练 类型一、列一元一次不等式 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）“x的3倍与5的差不大于9”用不等式表示为 ． 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江·期中）八（1）班同学开展了“庆国庆”课外阅读知识竞赛．一共有20道题，答对每题加5分，不答不扣分，答错每题倒扣2分．已知小明答错的题数与不答的题数一样多，最后比赛得分超过75分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·全国·单元测试）老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，可列不等式为 ．（只列式不计算） 类型二、用一元一次不等式与二元一次方程组解决实际问题 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）近期，国风矿物质颜料在网络上大火，引得各绘画爱好者争先购买．其中“岩灰”和“石绿”风靡一时，1瓶“岩灰”和1瓶“石绿”总价100元，“石绿”比“岩灰”单价高40元． (1)分别求出“岩灰”和“石绿”的销售单价； (2)某同学欲购买两种颜料共10瓶，预算资金不超过400元，则该同学最多可以购买多少瓶“石绿”？ 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）某汽车贸易公司销售A，B两种型号的新能源汽车，该公司销售2辆A型车和5辆B型车的总价为99万元，销售1辆A型车和2辆B型车的总价为42万元． (1)求每辆A型，B型新能源汽车的价格各是多少万元． (2)有一出租车公司准备同该汽车贸易公司采购A，B两种新能源汽车共22辆，但投入资金不超过300万元，问最少需要采购A型新能源汽车多少辆? 【变式训练2】（24-25九年级上·重庆·期中）在“双十一”活动中，某淘宝店家上架300个商品和240个商品进行销售，已知购买2个商品和3个商品共需900元，购买1个商品和2个商品共需550元． (1)求商品和商品的售价分别是多少元？ (2)在商品售出总数量的，商品售出总数量的时，为了尽快回笼资金，店主决定对剩余的商品每个打折销售，对剩余的商品每个降价元销售，很快全部售完，若要保证销售总额不低于87600元，求的最小值． 【变式训练3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）某商店店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款电风扇，如表中是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 3台 5台 1800元 第二天 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） (1)求A、B两款电风扇的销售单价； (2)若该商店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款电风扇共30台，求A款电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，在销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 类型三、用分式方程与一元一次不等式解决实际问题 例题：（24-25八年级上·北京顺义·阶段练习）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍． (1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元？ (2)若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？ 【变式训练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为5.6元/套． (1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？ (2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套这种画图工具？ 【变式训练2】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）为了进一步落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，学校准备购买篮球和排球共45个，已知每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，购买篮球的数量比购买排球的数量少4个． (1)求篮球和排球的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，购买篮球和排球的总资金不超过2200元，并且篮球的数量不少于15个，共有几种购买方案？ 【变式训练3】（2024·湖南·模拟预测）随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务． (1)求两组员单单独完成此项任务各需多少天； (2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？ 类型四、列一元一次不等式组 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 类型五、用一元一次不等式组与二元一次方程组解决实际问题 例题：（24-25八年级上·重庆·期中）学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． (1)求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ (2)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【变式训练1】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）秋季由于气候干燥，天气转冷，用火用电情况大量增加，起火原因增多，火灾危险性加大．为了加强秋季防火用电安全，提高同学们的安全防范意识，某学校组织了“用电安全”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干支钢笔和中性笔．购买支钢笔和支中性笔共需元；购买支钢笔和支中性笔共需元． (1)求购买支钢笔和支中性笔各需多少元； (2)若学校购买钢笔和中性笔共支，其中钢笔的数量不得少于中性笔数量的，且总支出不超过元，那学校有哪几种购买方案？ 【变式训练2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元． (1)甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？ (2)该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶店有哪几种采购方案？ 【变式训练3】（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）“文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵元，买套甲种和套乙种共用元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的倍．该校共有哪几种购买方案？（写出所有购买方案） 类型六、用分式方程与一元一次不等式组解决实际问题 例题：（2024·重庆江津·模拟预测）某公司计划生产A货物1500吨，B货物1200吨．已知每天生产A货物的数是B货物的2倍，生产B货物所需的时间比A货物多30天． (1)公司每天可生产A，B两种货物各多少吨？ (2)生产完毕后，现计划用甲、乙两种型号的货厢共20节运送这批货物到另外一地仓库，已知90吨A货物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．若每节甲货厢的运费是1.5万元，每节乙货厢的运费是1万元．据此安排甲、乙两型货厢的节数，则方案的总运费最少是多少元？ 【变式训练1】（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价少20元，用1600元购买篮球的数量是用1000元购买足球数量的2倍． (1)求足球和篮球的单价． (2)学校准备购买足球和篮球共100个，要求篮球数量不超过足球数量的3倍，足球数量不超过27个，且希望尽可能节约购买经费，请你提供最合适的购买方案． 【变式训练2】（22-23九年级上·山东济南·期中）某校八年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本． (1)求打折前每本笔记本的售价是多少元？ (2)由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？ (3)哪种购买方案花费最少？并算出最少花费． 【变式训练3】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）某校为美化校园，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． (1)求甲乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？ (2)在该次校园绿化工程中，设安排甲队工作y天 ①再安排乙队工作_____天，完成该工程（用含有y的式子表示） ②若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.12万元，要使这次的绿化总费用不超过7.6万元，乙队的工作天数不超过34天，如何安排甲队的工作天数？ 压轴能力测评（10题） 一、填空题 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）用不等式表示“的倍减去大于”是 ． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ． 二、解答题 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．若要做两种纸盒共100个．设做竖式纸盒个，完成下列问题： (1)则需要做横式纸盒________个；（用含的式子表示） (2)现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，若按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ 4．（2024·广东·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍． (1)求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？ (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？ 5．（24-25八年级上·浙江金华·期中）某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台元，每月可以生产吨产品；型每台元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 6．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）为缅怀革命烈士的丰功伟绩，寄托对革命烈士的哀思，铜仁市某校组织八年级全体学生到万山区烈士陵园开展以“祭扫英烈”为主题的清明节扫墓活动．已知每辆60座客车的租金是45座客车租金的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆． (1)问每辆45座客车租金和每辆60座客车租金分别是多少元？ (2)该校八年级师生共有400人，计划租赁45座客车和60座客车共8辆，总租金不超过3600元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，租金多少？ 7．（23-24七年级下·云南昆明·期末）为响应国家开展“阳光体育运动”的号召，增强学生体质，促进学生身心健康发展．某校积极行动，给各班购买跳绳和排球作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个排球共需245元；购买1根跳绳和4个排球共需175元． (1)求购买一根跳绳和一个排球分别需要多少元； (2)某班需要购买跳绳和排球的总数量是54，且购买的总费用不超过1460元，若要求购买跳绳的数量不超过30根，求共有哪几种购买方案，并比较哪一种购买方案更省钱． 8．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）某学校为筹备初三同学们的毕业活动，准备为该校300名毕业生购进A，B两款衬衫，每件A款衬衫比每件B款衬衫多5元，用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同． (1)求A款衬衫和B款衬衫每件各多少元？ (2)学校计划用不多于13000元购买衬衫，那么最多可以购买A款衬衫多少件？ (3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款八折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，求m值． 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）双十一期间，某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个的售价比乙种书包每个的售价多6元，小成在该网店购买2个甲种书包和3个乙种书包共花费132元（免运费）．请解答下列问题： (1)甲、乙两种书包每个的售价各是多少元？ (2)已知甲种书包每个进价为25元，乙种书包每个进价为20元，该网店决定用不超过2275元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量超过52个，该网店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，采用哪一种方案获利最多？利润最多是多少元？ 10．（23-24七年级下·山东德州·期末）某体有用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元． (1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，且销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ (3)若体育用品店按（2）中利润最大方案去进货时，正值为促全民体育运动，两种跳绳每根各降价1元，体育用品店将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，则再次购进有哪几种方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 一元一次不等式(组)的应用的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、列一元一次不等式 2 类型二、用一元一次不等式与二元一次方程组解决实际问题 3 类型三、用分式方程与一元一次不等式解决实际问题 6 类型四、列一元一次不等式组 10 类型五、用一元一次不等式组与二元一次方程组解决实际问题 11 类型六、用分式方程与一元一次不等式组解决实际问题 15 压轴能力测评（10题） 19 解题知识必备 1. 一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数;②根据题中的不等关系列出不等式;③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 2. 由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 3. 由实际问题抽象出一元一次不等式组 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答． 压轴题型讲练 类型一、列一元一次不等式 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）“x的3倍与5的差不大于9”用不等式表示为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．首先表示的3倍与5的差为，再表示不大于9可得不等式． 【详解】解：由题意得：． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江·期中）八（1）班同学开展了“庆国庆”课外阅读知识竞赛．一共有20道题，答对每题加5分，不答不扣分，答错每题倒扣2分．已知小明答错的题数与不答的题数一样多，最后比赛得分超过75分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；设小明答错了道题，则答对的题数为道，根据最后比赛得分超过75分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设小明答错了道题，则答对的题数为道， 根据题意，． 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·全国·单元测试）老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，可列不等式为 ．（只列式不计算） 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设老师买了x副圆规，根据“老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生”即可列出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 【详解】解：设老师买了x副圆规， 由题意得：， 故答案为：． 类型二、用一元一次不等式与二元一次方程组解决实际问题 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）近期，国风矿物质颜料在网络上大火，引得各绘画爱好者争先购买．其中“岩灰”和“石绿”风靡一时，1瓶“岩灰”和1瓶“石绿”总价100元，“石绿”比“岩灰”单价高40元． (1)分别求出“岩灰”和“石绿”的销售单价； (2)某同学欲购买两种颜料共10瓶，预算资金不超过400元，则该同学最多可以购买多少瓶“石绿”？ 【答案】(1)30元；70元 (2)2瓶 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）设“岩灰”的销售单价为x元，“石绿”的销售单价为y元，结合1瓶“岩灰”和1瓶“石绿”总价100元，“石绿”比“岩灰”单价高40元，再建立方程组求解即可； （2）设该同学可以购买m瓶“石绿”，则购买瓶“岩灰”，结合购买两种颜料共10瓶，预算资金不超过400元，再建立不等式解题即可． 【详解】（1）解：设“岩灰”的销售单价为x元，“石绿”的销售单价为y元， 由题意等：， 解得：， 答：“岩灰”的销售单价为30元，“石绿”的销售单价为70元； （2）解：设该同学可以购买m瓶“石绿”，则购买瓶“岩灰”， 由题意得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m的最大值为2， 答：该同学最多可以购买2瓶“石绿”． 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）某汽车贸易公司销售A，B两种型号的新能源汽车，该公司销售2辆A型车和5辆B型车的总价为99万元，销售1辆A型车和2辆B型车的总价为42万元． (1)求每辆A型，B型新能源汽车的价格各是多少万元． (2)有一出租车公司准备同该汽车贸易公司采购A，B两种新能源汽车共22辆，但投入资金不超过300万元，问最少需要采购A型新能源汽车多少辆? 【答案】(1)每辆A型新能源汽车的价格是12万元，每辆B型新能源汽车的价格是15万元 (2)10辆 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键． （1）设每辆A型新能源汽车的价格是x万元，每辆B型新能源汽车的价格是y万元．再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设需要采购A型新能源汽车m辆，则采购B型新能源汽车辆．然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每辆A型新能源汽车的价格是x万元，每辆B型新能源汽车的价格是y万元． 依题意，得,解得: ． 答：每辆A型新能源汽车的价格是12万元，每辆B型新能源汽车的价格是15万元． （2）解：设需要采购A型新能源汽车m辆，则采购B型新能源汽车辆． 依题意，得，解得． 答：最少需要采购A型新能源汽车10辆． 【变式训练2】（24-25九年级上·重庆·期中）在“双十一”活动中，某淘宝店家上架300个商品和240个商品进行销售，已知购买2个商品和3个商品共需900元，购买1个商品和2个商品共需550元． (1)求商品和商品的售价分别是多少元？ (2)在商品售出总数量的，商品售出总数量的时，为了尽快回笼资金，店主决定对剩余的商品每个打折销售，对剩余的商品每个降价元销售，很快全部售完，若要保证销售总额不低于87600元，求的最小值． 【答案】(1)商品的售价是150元，商品的售价是200元 (2)8 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键： （1）设商品的售价是元，商品的售价是元，根据购买2个商品和3个商品共需900元，购买1个商品和2个商品共需550元，列出方程组进行求解即可； （2）根据销售总额不低于87600元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设商品的售价是元，商品的售价是元     解得         答：商品的售价是150元，商品的售价是200元． （2）由题意可得：     解得：      答：的最小值是8． 【变式训练3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）某商店店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款电风扇，如表中是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 3台 5台 1800元 第二天 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） (1)求A、B两款电风扇的销售单价； (2)若该商店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款电风扇共30台，求A款电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，在销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元 (2)超市最多采购A种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元 (3)超市不能实现利润1400元的目标，理由见解析 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设种型号的电风扇的销售单价是元，种型号的电风扇的销售单价是元，利用销售收入销售单价销售数量，结合近两周、两种型号的电风扇的销售数据，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购台种型号的电风扇，则采购台种型号的电风扇，根据采购总价不多于5400元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）超市销售完这30台电风扇不能实现利润为1400元的目标，利用总利润每台种型号的电风扇的销售利润采购数量每台种型号的电风扇的销售利润采购数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合，即可得出结论． 本题靠出来二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设种型号的电风扇的销售单价是元，种型号的电风扇的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：种型号的电风扇的销售单价是250元，种型号的电风扇的销售单价是210元； （2）解：设采购台种型号的电风扇，则采购台种型号的电风扇， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为10． 答：种型号的电风扇最多能采购10台，采购金额不多于5400元； （3）解：超市销售完这30台电风扇不能实现利润为1400元的目标，理由如下： 根据题意得：， 解得：， 又， 不符合题意，舍去， 超市销售完这30台电风扇不能实现利润为1400元的目标． 类型三、用分式方程与一元一次不等式解决实际问题 例题：（24-25八年级上·北京顺义·阶段练习）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍． (1)求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元？ (2)若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？ 【答案】(1)一批箱装饮料每箱的进价是200元 (2)每箱饮料至少标价296元 【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意找出题目所给的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． （1）设第一批箱装饮料每箱的进价是x元，根据第二批数量是第一批箱数的倍，列方程求解； （2）设每箱饮料的标价是y元，根据全部售完后总利润率不低于，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设第一批箱装饮料每箱的进价是元， 依题意列方程得， 解得：， 经检验，是所列方程的解， 答：第一批箱装饮料每箱的进价是200元． （2）解：设每箱饮料的标价是y元， 依题意得， 解得：， 答：至少标价296元． 【变式训练1】（23-24八年级上·全国·单元测试）经销商小李需要购进一批学生画图工具6000套，为此考察了甲、乙两个文具加工厂．已知甲厂的加工能力是乙厂的1.5倍，且甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，还了解到这种画图工具甲厂的出厂价格为6元/套，乙厂的出厂价格为5.6元/套． (1)求甲、乙两个加工厂每天能加工这种画图工具各多少套？ (2)小李计划从甲、乙两厂购买这种画图工具，且费用不超过35400元，他最多能向甲工厂购买多少套这种画图工具？ 【答案】(1)甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套 (2)4500套 【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具套，根据甲厂单独加工这批画图工具所需要的天数比乙厂单独加工这批画图工具所需要的天数少10天，列出分式方程，进行求解即可； （2）设小李向甲工厂购买y套，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设乙工厂每天可加工这种画图工具x套，则甲工厂每天可加工这种画图工具套，根据题意，可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ． 答：甲工厂每天可加工这种画图工具300套，乙工厂每天可加工这种画图工具200套． （2）设小李向甲工厂购买y套． 根据题意，得， 解得． 答：小李最多能向甲工厂购买4500套画图工具． 【变式训练2】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）为了进一步落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，学校准备购买篮球和排球共45个，已知每个篮球的价格是每个排球的价格的1.5倍，用480元单独购买篮球或排球，购买篮球的数量比购买排球的数量少4个． (1)求篮球和排球的单价分别是多少元？ (2)根据学校实际情况，购买篮球和排球的总资金不超过2200元，并且篮球的数量不少于15个，共有几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的单价是60元，排球的单价是40元 (2)六种购买方案，理由见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据“用480元单独购买篮球或排球，购买篮球的数量比购买排球的数量少4个”列出分式方程，解方程即可 ； （2）设购买a个篮球，则购买个排球，根据“购买篮球和排球的总资金不超过2200元”列出一元一次不等式，解不等式，结合题意即可得解． 【详解】（1）解：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元． 列方程得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：篮球的单价是60元，排球的单价是40元． （2）解：设购买a个篮球，则购买个排球． 根据题意，得， 解不等式得，． ∵篮球的数量不少于15个， ∴， ∴， ∵a为整数， ∴共有六种购买方案． 【变式训练3】（2024·湖南·模拟预测）随着年轻消费群体对健康关注度日益增长，某品牌保温杯的销量一路攀升，该生产企业抓住商机，计划加大生产一批优质保温杯，现有两组员工可完成这项任务．已知组员工单独完成此项任务所需的时间是组员工的1.5倍，若由两组合作完成，则需12天可完成此项任务． (1)求两组员单单独完成此项任务各需多少天； (2)根据市场需求，规定完成该任务所需时间不能超过8天，已知组原有10人，两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，假设组每个人的工作效率相同，则组至少增加多少人时，两组才能在规定时间内生产完这批保温杯？ 【答案】(1)B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天 (2)组至少增加17人 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用． （1）设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据两组合作完成，需12天可完成此项任务，列出分式方程求解即可，注意检验； （2）设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据两组合作2天后，组决定增加员工，组人数保持不变，两组继续合作，完成该任务所需时间不能超过8天，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B组员工单独完成此项任务需要x天，则A组员工单独完成此项任务需要天，根据题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则（天） 答：B组员工单独完成此项任务需要20天，A组员工单独完成此项任务需要30天； （2）解：设组至少增加m人，则组增加m人后的工作效率为，根据题意得： ，即， 解得：， 是正整数， m最小可取17， 答：组至少增加17人． 类型四、列一元一次不等式组 例题：（24-25八年级上·浙江宁波·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，理解不超过为小于等于，不少于为大于等于是解题关键．设购买篮球个，则购买排球个，再结合题意列出不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买排球个， 由购买资金不超过3600元，可列， 由购买篮球的数量不少于排球数量的一半，可列， 即可列不等式组为． 故选C． 【变式训练1】（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 【变式训练2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 类型五、用一元一次不等式组与二元一次方程组解决实际问题 例题：（24-25八年级上·重庆·期中）学校计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买台平板电脑比购买台学习机多元，购买台平板电脑和台学习机共需元． (1)求购买台平板电脑和台学习机各需多少元？ (2)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共台，要求购买的总费用不超过元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)购买一台平板电脑需元，一台学习机需元 (2)3种方案，见解析；购买平板电脑台，学习机台最省钱 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，以及二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键． （1）设购买一台平板电脑需元，一台学习机需元，根据题意列出方程组，解方程组即可求出和的值，即可； （2）设购买平板电脑台，则购买学习机台，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案． 【详解】（1）解：设购买一台平板电脑需元，一台学习机需元． 由题意得：， 解得：， 故购买一台平板电脑需元，一台学习机需元． （2）解：设购买平板电脑台，则购买学习机台． 由题意得：， 解得：， ∵是整数， ∴，，． 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 方案：购买平板电脑台，学习机台，费用为（元）； 则购买平板电脑台，学习机台最省钱． 【变式训练1】（24-25八年级上·湖南长沙·期中）秋季由于气候干燥，天气转冷，用火用电情况大量增加，起火原因增多，火灾危险性加大．为了加强秋季防火用电安全，提高同学们的安全防范意识，某学校组织了“用电安全”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干支钢笔和中性笔．购买支钢笔和支中性笔共需元；购买支钢笔和支中性笔共需元． (1)求购买支钢笔和支中性笔各需多少元； (2)若学校购买钢笔和中性笔共支，其中钢笔的数量不得少于中性笔数量的，且总支出不超过元，那学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)元；元 (2)种，方案见解析 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （）设购买一支钢笔需元，一支中性笔需元，根据购买支钢笔和支中性笔共需元；购买支钢笔和支中性笔共需元．可得出方程组，解出即可． （）设购买支钢笔，则购买支中性笔，根据钢笔的数量不得少于中性笔数量的，且总支出不超过元，列不等式组求出的取值范围，即可得出购买方案． 【详解】（1）解：设购买一支钢笔需元，一支中性笔需元． 由题意，得 解得 答：购买一支钢笔需元，一支中性笔需元． （2）解：设购买支钢笔，则购买支中性笔． 由题意，得 解得 ∵为整数， ∴，，． ∴有以下种购买方案： ①当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支； ②当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支； ③当购买钢笔的数量为支时，中性笔数量为支． 【变式训练2】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）某茶叶店准备从茶农处采购甲、乙两种不同品质的茶叶，已知采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元． (1)甲、乙两种型号的茶叶每斤分别是多少元？ (2)该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，采购的斤数需为整数，那么该茶店有哪几种采购方案？ 【答案】(1)400元，300元 (2)采购方案见解析 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设甲型号的茶叶每斤是元，乙型号的茶叶每斤是元，根据采购2斤甲型茶叶和1斤乙型茶叶共需要1100元，采购3斤甲型茶叶和2斤乙型茶叶共需要1800元，列出方程组，求解即可； （2）设采购甲型号的茶叶斤，则采购乙型号的茶叶斤，根据该茶叶店准备用不超过10200元的资金采购甲、乙两种型号的茶叶共30斤，其中购进甲种型号的茶叶的斤数不少于购进乙种茶叶的，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【详解】（1）解：设甲型号的茶叶每斤是元，乙型号的茶叶每斤是元， 由题意得：， 解得：， 答：甲型号的茶叶每斤是400元，乙型号的茶叶每斤是300元； （2）解：设采购甲型号的茶叶斤，则采购乙型号的茶叶斤， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ，11，12， 该茶店有3种采购方案： ①采购甲型号的茶叶10斤，乙型号的茶叶20斤； ②采购甲型号的茶叶11斤，乙型号的茶叶19斤； ③采购甲型号的茶叶12斤，乙型号的茶叶18斤． 【变式训练3】（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）“文房四宝”是中国独有的书法给画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某校为了落实双减政策，丰富学生的课后活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种类型的“文房四宝”、经过调查得知：每套甲种“文房四宝”的价格比每套乙种的价格贵元，买套甲种和套乙种共用元． (1)求甲、乙两种类型的“文房四宝”每套的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种类型的“文房四宝”共套，总费用不超过元，并且根据学生需求，要求购进乙种“文房四宝”的数量不超过甲种“文房四宝”数量的倍．该校共有哪几种购买方案？（写出所有购买方案） 【答案】(1)每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元 (2)共有种购买方案：方案一：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”；方案二：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”；方案三：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（）设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元， 根据题意列出方程组即可求解； （）设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”，根据题意列出不等式组，求出的取值范围即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出方程组和不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：设每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元， 根据题意得，， 解得， 答：每套甲种“文房四宝”的价格是元，每套乙种“文房四宝”的价格是元； （2）解：设购进套甲种“文房四宝”，则购进套乙种“文房四宝”， 根据题意得，， 解得， ∵为正整数， ∴可以为， ∴共有种购买方案： 方案一：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”； 方案二：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”； 方案三：购进套甲种“文房四宝”，套乙种“文房四宝”． 类型六、用分式方程与一元一次不等式组解决实际问题 例题：（2024·重庆江津·模拟预测）某公司计划生产A货物1500吨，B货物1200吨．已知每天生产A货物的数是B货物的2倍，生产B货物所需的时间比A货物多30天． (1)公司每天可生产A，B两种货物各多少吨？ (2)生产完毕后，现计划用甲、乙两种型号的货厢共20节运送这批货物到另外一地仓库，已知90吨A货物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．若每节甲货厢的运费是1.5万元，每节乙货厢的运费是1万元．据此安排甲、乙两型货厢的节数，则方案的总运费最少是多少元？ 【答案】(1)公司每天可生产A种货物30吨，生产B种货物15吨 (2)安排甲型货厢14节，安排乙型货厢节，，则总运费最少，是万元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的实际应用 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用． （1）设每天生产A货物的数是x吨，则每天生产B货物的数是吨，根据生产B货物所需的时间比A货物多30天，建立分式方程，求解，并检验即可； （2）设安排甲型货厢的节数为a节，则安排乙型货厢的节数为节，根据90吨A货物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．建立不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：设每天生产A货物的数是x吨，则每天生产B货物的数是吨， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，则， 答：公司每天可生产A种货物30吨，生产B种货物15吨； （2）解：设安排甲型货厢的节数为a节，则安排乙型货厢的节数为节， 根据题意得：， 解得：， 则共有三种方案： 方案一：安排甲型货厢14节，安排乙型货厢节，则费用为：（万元）； 方案二：安排甲型货厢15节，安排乙型货厢节，则费用为：（万元）； 方案三：安排甲型货厢16节，安排乙型货厢节，则费用为：（万元）； 答：安排甲型货厢14节，安排乙型货厢节，，则总运费最少，是万元． 【变式训练1】（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价少20元，用1600元购买篮球的数量是用1000元购买足球数量的2倍． (1)求足球和篮球的单价． (2)学校准备购买足球和篮球共100个，要求篮球数量不超过足球数量的3倍，足球数量不超过27个，且希望尽可能节约购买经费，请你提供最合适的购买方案． 【答案】(1)每个足球100元，每个篮球80元 (2)购买75个篮球，个足球，所花费用最少 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的实际应用 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键． （1）设一个足球的单价x元，则一个篮球的单价为元，根据“用1600元购买篮球的数量是用1000元购买足球数量的2倍”列方程求解即可； （2）设买篮球m个，则买足球个，根据要求篮球数量不超过足球数量的3倍，足球数量不超过27个，建立不等式求出解即可． 【详解】（1）解：设一个足球的单价x元，则一个篮球的单价为元，根据题意得：， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， （元）， 答：每个足球100元，每个篮球80元． （2）解：设购买篮球m个，则买足球个，根据题意得： ， 解得：． ∵ m为正整数， ∴ ，74，75， ∵足球的单价大于篮球的单价， ∴购买的篮球数量越多，足球数量越少，所花费用越少， ∴购买75个篮球，个足球时，所花费用最少． 【变式训练2】（22-23九年级上·山东济南·期中）某校八年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本． (1)求打折前每本笔记本的售价是多少元？ (2)由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？ (3)哪种购买方案花费最少？并算出最少花费． 【答案】(1)打折前每本笔记本的售价是4元 (2)一共有三种购买方案：方案一：购买笔记本68本，笔袋22件，方案二：购买笔记本69本，笔袋21件，方案三：购买笔记本707本，笔袋20件 (3)方案三：购买笔记本707本，笔袋20件花费最少，最少花费360元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设打折前售价为x，则打折后售价为，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可； （2）设购买笔记本m本，则购买笔袋件，根据购买总金额不低于360元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可； （3）分别计算出三种方案的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设打折前每本笔记本的售价是x元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 答：打折前每本笔记本的售价是4元； （2）解：设购买笔记本m本，则购买笔袋件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可以为68或69或70， ∴一共有三种购买方案：方案一：购买笔记本68本，笔袋22件，方案二：购买笔记本69本，笔袋21件，方案三：购买笔记本707本，笔袋20件． （3）解：方案一的费用元， 方案二的费用元， 方案三的费用元， ∵， ∴方案三：购买笔记本707本，笔袋20件花费最少，最少花费360元． 【变式训练3】（23-24八年级上·河北石家庄·期末）某校为美化校园，计划对面积为的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天． (1)求甲乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少？ (2)在该次校园绿化工程中，设安排甲队工作y天 ①再安排乙队工作_____天，完成该工程（用含有y的式子表示） ②若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.12万元，要使这次的绿化总费用不超过7.6万元，乙队的工作天数不超过34天，如何安排甲队的工作天数？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成绿化的面积是，乙工程队每天能完成绿化的面积是； (2)①；②应安排甲队工作8或9或10天． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的应用一元一次不等式组的应用： （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意，列出方程，即可求解； （2）①用乙队的工作量除以乙队的工作效率，即可；②设应安排甲队工作a天，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是． 答：甲工程队每天能完成绿化的面积是，乙工程队每天能完成绿化的面积是； （2）解：①再安排乙队工作天，完成该工程； 故答案为：． ②设应安排甲队工作a天，根据题意得： ， 解得：． ∵a取整数， ∴a取8，9，10， 答：应安排甲队工作8或9或10天． 压轴能力测评（10题） 一、填空题 1．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）用不等式表示“的倍减去大于”是 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了列不等式．首先根据题意列不代数式，再根据这个代数式大于列出不等式． 【详解】解：根据的倍减去可列代数式， 又因的倍减去大于， 可得不等式可得． 故答案为： ． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本，笔的单价为2元，笔记本单价为8元，若购买的总金额少于30元，依题意可列不等式： ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查不等式的应用，理解题意是解题关键．根据费用少于30元钱即可列出不等式即可． 【详解】解：小高同学计划去文具店购买3支笔和x本笔记本， 根据题意得：， 故答案为：． 二、解答题 3．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．若要做两种纸盒共100个．设做竖式纸盒个，完成下列问题： (1)则需要做横式纸盒________个；（用含的式子表示） (2)现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，若按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ 【答案】(1) (2)三种生产方案：①生产36个竖式纸盒，64个横式纸盒；②生产37个竖式纸盒，63个横式纸盒；③生产38个竖式纸盒，62个横式纸盒． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、列代数式 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设做竖式纸盒个，则需要做横式纸盒个，即可得出答案； （2）根据做一个竖式纸盒需要4个长方形纸板和1个正方形纸板，做一个横式纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，列出一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：设做竖式纸盒个，则需要做横式纸盒个， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 为正整数， 可取36、37、38， 三种生产方案：①生产36个竖式纸盒，64个横式纸盒；②生产37个竖式纸盒，63个横式纸盒；③生产38个竖式纸盒，62个横式纸盒． 4．（2024·广东·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍． (1)求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？ (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？ 【答案】(1)每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元． (2)应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用以及一元一次不等式的应用． （1）设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，根据用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍列出分式方程求解即可． （2）设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求解，再根据甲乙种数苗的单价即可得出结论． 【详解】（1）解：设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元， 根据题意有：， 解得： 经检验，是分式方程的解， ∴， ∴每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元． （2）解：设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵， 根据题意有：， 解得：， ∵甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元， ∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低， 故应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵． 5．（24-25八年级上·浙江金华·期中）某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台元，每月可以生产吨产品；型每台元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台 (3)选购型设备台，型设备台 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可列二元一次方程组，求解即可得到结果． （2）设型设备台，型设备台，根据题意可列一元一次不等式，求解可得的值，对应四种采购方案． （3）根据题意可列一元一次不等式，求解可得的两个值，分别计算当，时，对应的总资金，即可得出最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：根据题意可列， 解得， ∴，． （2）解：设型设备台，型设备台， 根据题意可列：， 解得：， 取正整数， ， 有四种方案： ①型设备台，型设备台； ②型设备台，型设备台； ③型设备台，型设备台； ④型设备台，型设备台； （3）解：由题意得：， 解得：， ， 取正整数， 或， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 应选购型设备台，型设备台． 6．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）为缅怀革命烈士的丰功伟绩，寄托对革命烈士的哀思，铜仁市某校组织八年级全体学生到万山区烈士陵园开展以“祭扫英烈”为主题的清明节扫墓活动．已知每辆60座客车的租金是45座客车租金的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆． (1)问每辆45座客车租金和每辆60座客车租金分别是多少元？ (2)该校八年级师生共有400人，计划租赁45座客车和60座客车共8辆，总租金不超过3600元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，租金多少？ 【答案】(1)每辆45座客车租金为400元，每辆60座客车租金为500元． (2)有2种租车方案，分别是租用45座客车4辆，60座客车4辆或租用45座客车5辆，60座客车3辆；租用45座客车5辆，60座客车3辆时最省钱，所需费用为3500元． 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的实际应用 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式组的应用等知识，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是元，根据花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．列出分式方程，解方程即可； （2）设租用45座客车m辆，60座客车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组求解，再根据m，均为正整数，解出整数解，得出可行的方案，最后再计算哪种方案更省钱即可． 【详解】（1）解：设每辆45座客车租金为x元，则每辆60座客车租金为元， 根据题意有：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴ ∴每辆45座客车租金为400元，每辆60座客车租金为500元． （2）设租用45座客车m辆，60座客车辆， 根据题意有：， 解得：， ∵m，均为正整数， ∴m可是4，5， ∴当租用45座客车4辆，60座客车4辆时，所需费用为：元， 当租用45座客车5辆，60座客车3辆时，所需费用为：元， 综上，有2种租车方案，分别是租用45座客车4辆，60座客车4辆或租用45座客车5辆，60座客车3辆；当租用45座客车5辆，60座客车3辆时，所需费用最少为3500元． 7．（23-24七年级下·云南昆明·期末）为响应国家开展“阳光体育运动”的号召，增强学生体质，促进学生身心健康发展．某校积极行动，给各班购买跳绳和排球作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个排球共需245元；购买1根跳绳和4个排球共需175元． (1)求购买一根跳绳和一个排球分别需要多少元； (2)某班需要购买跳绳和排球的总数量是54，且购买的总费用不超过1460元，若要求购买跳绳的数量不超过30根，求共有哪几种购买方案，并比较哪一种购买方案更省钱． 【答案】(1)购买一根跳绳需要15元，一个排球需要40元 (2)该班共有3种购买方案，方案1：购买28根跳绳，26个排球；方案2：购买29根跳绳，25个排球；方案3：购买30根跳绳，24个排球；方案3，购买30根跳绳，24个排球更省钱 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设购买一根跳绳需要元，一个排球需要元，根据“购买3根跳绳和5个排球共需245元；购买1根跳绳和4个排球共需175元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出结论； （2）设购买根跳绳，则购买个排球，根据“购买的总费用不超过1460元，且购买跳绳的数量不超过30根”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出选择各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要元，一个排球需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：购买一根跳绳需要15元，一个排球需要40元； （2）设购买根跳绳，则购买个排球， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为28，29，30， 该班共有3种购买方案， 方案1：购买28根跳绳，26个排球； 方案2：购买29根跳绳，25个排球； 方案3：购买30根跳绳，24个排球． 选择方案1所需费用为（元； 选择方案2所需费用为（元； 选择方案3所需费用为（元． ， 购买30根跳绳，24个排球更省钱． 8．（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）某学校为筹备初三同学们的毕业活动，准备为该校300名毕业生购进A，B两款衬衫，每件A款衬衫比每件B款衬衫多5元，用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同． (1)求A款衬衫和B款衬衫每件各多少元？ (2)学校计划用不多于13000元购买衬衫，那么最多可以购买A款衬衫多少件？ (3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款八折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，求m值． 【答案】(1)A款衬衫每件45元，则B款衬衫每件40元； (2)最多可以购买A款衬衫200件； (3) 【知识点】分式方程的实际应用、一元一次不等式组的其他应用、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式加减的应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设A款衬衫每件x元，则B款衬衫每件元，然后根据用360元购进A款衬衫和用320元购进B款衬衫的数量相同列出方程求解即可； （2）设购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件，然后根据“学校计划不多于13000元购买衬衫”，列出不等式求解即可； （3）设购买资金为W元，购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件，求出，根据题中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的取值与a的值无关，由此即可求出结果． 【详解】（1）解：设A款衬衫每件x元，则B款衬衫每件元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴， ∴A款衬衫每件45元，则B款衬衫每件40元； （2）设购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件， 由题意得，， 解得， ∴最多可以购买A款衬衫200件； （3）设购买资金为W元，购买A款衬衫a件，则购买B款衬衫件， 由题意得， ， ∵购人员发现无论怎样购买，所需资金都相同，， ∴W的取值与a的值无关， ∴， ∴． 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）双十一期间，某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个的售价比乙种书包每个的售价多6元，小成在该网店购买2个甲种书包和3个乙种书包共花费132元（免运费）．请解答下列问题： (1)甲、乙两种书包每个的售价各是多少元？ (2)已知甲种书包每个进价为25元，乙种书包每个进价为20元，该网店决定用不超过2275元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量超过52个，该网店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，采用哪一种方案获利最多？利润最多是多少元？ 【答案】(1)甲种书包每个的售价是30元，乙种书包每个的售价是24元 (2)共有3种进货方案，方案1：购进53个甲种书包，47个乙种书包；方案2：购进54个甲种书包，46个乙种书包； 方案3：购进55个甲种书包，45个乙种书包 (3)购进55个甲种书包，45个乙种书包，利润最多是455元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式组成为解答本题的关键． （1）设甲种书包每个的售价是x元，乙种书包每个的售价是y元，根据“甲种书包每个的售价比乙种书包每个的售价多6元，小成在该网店购买2个甲种书包和3个乙种书包共花费132元（免运费）”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m个甲种书包，则购进个乙种书包，根据“该网店决定用不超过2275元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量超过52个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案； （3）利用总利润每个甲种书包的销售利润购进甲种书包的数量每个乙种书包的销售利润购进乙种书包的数量，可求出采用各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种书包每个的售价是x元，乙种书包每个的售价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种书包每个的售价是30元，乙种书包每个的售价是24元； （2）解：设购进m个甲种书包，则购进个乙种书包， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为53，54，55， ∴该网店共有3种进货方案， 方案1：购进53个甲种书包，47个乙种书包； 方案2：购进54个甲种书包，46个乙种书包； 方案3：购进55个甲种书包，45个乙种书包； （3）解：采用方案1获得的总利润为（元）； 采用方案2获得的总利润为（元）； 采用方案3获得的总利润为（元）． ∵， ∴在（2）的条件下，采用方案3获利最多，利润最多是455元． 10．（23-24七年级下·山东德州·期末）某体有用品店准备购进甲、乙两种品牌跳绳，若购买甲种跳绳10根，乙种跳绳5根，需要100元，若购买甲种跳绳5根，乙种跳绳3根，需要55元． (1)求购进甲，乙两种跳绳每根各需多少元？ (2)若该体育用品店刚好用了500元购进这两种跳绳，且销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元，考虑顾客需求，要求购进甲种跳绳的数量不少于乙种跳绳数量的3倍，且乙种跳绳数量不少于18根，那么该文具店共有哪几种购买方案？各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ (3)若体育用品店按（2）中利润最大方案去进货时，正值为促全民体育运动，两种跳绳每根各降价1元，体育用品店将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，则再次购进有哪几种方案． 【答案】(1)购进甲种跳绳每根需要5元，购进乙种跳绳每根需要10元 (2)该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根；方案②购进甲种跳绳62根，乙种跳绳19根；方案③购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根；其中方案③获利最大，最大利润是264元 (3)共有2种再次购进方案：方案①：再次购进甲种跳绳16根，乙种跳绳2根；方案②再次购进甲种跳绳7根，乙种跳绳6根． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组与不等式组是解题的关键． （1）购进甲种跳绳每根需要5元，购进乙种跳绳每根需要10元； （2）有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳60根，乙种跳绳20根；方案②购进甲种跳绳62根，乙种跳绳19根；方案③购进甲种跳绳64根，乙种跳绳18根；再分别求出每种方案的获利，比较即可求解； （3）设再次购进甲种跳绳m根，乙种跳绳n根．根据将省下的钱全部再次购买这两种跳绳，列二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：设购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元，由题意得： ，解得：， 答：购进甲种跳绳每根需要元，购进乙种跳绳每根需要元． （2）解：设购进乙种跳绳a根，则购进甲种跳绳根，根据题意得， ， 解得：， ∵为正整数， ∴， 则=64，62，60， ∵销售每根甲种跳绳可获利润3元，销售每根乙种跳绳可获利润4元， 方案①：利润为（元）； 方案②：利润为（元）； 方案③：利润为（元）； ∵， 答：该商店有3种进货方案：方案①购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案②购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；方案③购进甲种跳绳根，乙种跳绳根；其中方案③获利最大，最大利润是元． （3）解：设再次购进甲种跳绳m根，乙种跳绳n根． 根据题意可列方程： ∵m，n都是正整数 ∴或  ， 答：共有2种再次购进方案：方案①：再次购进甲种跳绳16根，乙种跳绳2根；方案②再次购进甲种跳绳7根，乙种跳绳6根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$