专题15 一元一次不等式（组）中含参数问题的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题15 一元一次不等式(组)中含参数问题的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 2 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 3 类型三、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 5 类型四、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 6 类型五、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 7 类型六、分式方程与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 11 类型七、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 14 压轴能力测评（15题） 19 解题知识必备 1. 一元一次不等式的定义 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2. 解一元一次不等式（组） 解一元一次不等式：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3. 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 4. 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 压轴题型讲练 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【变式训练1】（24-25八年级上·四川成都·期中）若是关于的一元一次不等式，则= ． 【变式训练2】（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【变式训练1】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 【变式训练2】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式训练3】（23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）若不等式与不等式有相同的解集，则m的值为 ． 类型三、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（2023·四川宜宾·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ． 【变式训练1】（2024·江苏宿迁·一模）若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 类型四、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（23-24七年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式训练1】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式训练2】（23-24八年级上·浙江·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 类型五、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式训练1】若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【变式训练2】若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 【变式训练3】已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为； (3)若，求p的最大值与最小值． 类型六、分式方程与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的方程的解为非负数，则m的范围为 ． 【变式训练2】（重庆育才中学教育集团2024—2025学年上学期第四次自主作业数学试卷）若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式训练3】（24-25九年级上·重庆·期中）若实数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 类型七、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）定义一种关于*的运算：，如． (1)若，且为正整数，求的值； (2)若不等式的解集和关于的不等式的解集相同，求的值． 【变式训练1】（23-24七年级下·吉林·期末）在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 【变式训练2】（22-23七年级下·重庆江津·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如的解为，不等式组，的解集为 ，因为，所以方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (2)若方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 【变式训练3】（23-24八年级下·广东深圳·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·河南许昌·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 2．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若分式方程的解为正数，则的取值范围（   ） A． B．且 C． D．且 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 二、填空题 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 7．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 9．（2024·宁夏银川·一模）对于实数，定义一种运算“”为：，则不等式组的解集为 ． 10．（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·北京·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 12．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）定义关于@的一种运算：，如． (1)若，且x为正整数，求x的值． (2)若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 14．（23-24八年级下·全国·期末）对x，y定义一种新运算T，规定（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对于任意实数x、y都成立[这里和均有意义]，则a、b应满足怎样的关系式？ 15．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． (1)已知①；②；③，试判断方程：的解是否为它与①②③中某个不等式的“理想解”； (2)若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)当关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，且关于x的不等式组恰有7个整数解，若，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 一元一次不等式(组)中含参数问题的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 2 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 3 类型三、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 5 类型四、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 6 类型五、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 7 类型六、分式方程与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 11 类型七、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 14 压轴能力测评（15题） 19 解题知识必备 1. 一元一次不等式的定义 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2. 解一元一次不等式（组） 解一元一次不等式：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3. 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 4. 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 压轴题型讲练 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】3 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式训练1】（24-25八年级上·四川成都·期中）若是关于的一元一次不等式，则= ． 【答案】0 【知识点】零指数幂、一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义和零指数幂，根据一元一次不等式的定义可知，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴． 解得：． 故答案为：0． 【变式训练2】（23-24八年级上·河南郑州·开学考试）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式定义求参数及解一元一次不等式，根据一元一次不等式定义先求出，代入原不等式求解即可得到答案，熟记一元一次不等式定义及一元一次不等式的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的一元一次不等式， ，且，解得， 题中的不等式为，解得， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到且，即可求m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且 ∴ 故答案是：． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 例题：（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，在解不等式时要根据不等式的基本性质．首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式共有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组解得m的范围． 【详解】解：解不等式得：， 根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式训练1】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴ ∴a的取值范围为： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键． 【变式训练2】（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解集及解一元一次不等式；根据题意求得，且，把代入不等式中，即可求解． 【详解】解：由，得， ∵关于x的不等式的解集为， ∴，且， ∴， 整理得：， ∵， ∴， 把代入中，整理得：， ∴， 故答案为：． 【变式训练3】（23-24八年级下·贵州黔东南·阶段练习）若不等式与不等式有相同的解集，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同解不等式，求出两个不等式的解，根据解相同，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】解：解得：， 解，得：， ∵两个不等式的解集相同， ∴，解得：； 故答案为：． 类型三、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 例题：（2023·四川宜宾·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先分别求解两个不等式，再根据不等式组无解得出，即可解答． 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∵原不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练1】（2024·江苏宿迁·一模）若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），可得答案． 【详解】解：解不等式组得： ， ∵不等式组有解， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定m的范围． 【详解】解：不等式，得：， 不等式组，的解集是， ， 故答案为：． 类型四、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 例题：（23-24七年级上·重庆北碚·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程的解．先解方程组得到，，相加可得到，所以，然后解不等式得到的取值范围． 【详解】解：， 得， 将代入②，得， 解得， ∴ ， ， 解得， 即的取值范围为． 故答案为：． 【变式训练1】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解一元一次不等式，将两方程相加得出，然后根据即可求解，正确理解题意、掌握题中特点是解题的关键． 【详解】解：， 得， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级上·浙江·阶段练习）若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次方程，求一元一次不等式的解集，根据题意得出，解不等式，即可求解． 【详解】解： 解得： ∵关于的一元一次方程的解是负数， ∴， 解得：， 故答案为：． 类型五、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 例题：（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】3 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的一元一次不等式组的解集是， ∴， 由方程可得， ∵关于y的方程有正整数解， ∴或或， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【变式训练1】若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x、y的方程组的解为整数，那么满足条件的整数a的值为 ． 【答案】或或 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数得到或或，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得，， 不等式组至少有4个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入②得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或， 或或， 当时，，此时是整数，符合题意； 当时，，此时是整数，符合题意； 当时，，此时是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法． 【变式训练2】若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为正整数得到或，从而即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， ， ， 不等式组至少有4个整数解， ， 解得：， 解方程组， 得：， ， 将代入②得：， 方程组的解为：， 关于的方程组的解为正整数， 或， 或， 所有满足条件的整数的和是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法． 【变式训练3】已知方程组的解满足x为非正数，y不大于0． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，求当m为何整数时，不等式的解为； (3)若，求p的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)p的最大值是5，最小值是 【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足 为非正数， 不大于 0 ，就可以得出 的范围； （2） 解不等式 ，再根据即可求解； （3）分，，三种情况进行分类讨论； 【详解】（1）解原方程组得：， 因为 为非正数， 不大于 0 ， 所以可得：， 解得： ； （2）解不等式 得： ， 因为 ， 所以 ， 解得: ， 所以 ， 所以整数 的值为 或 ； （3）因为 ， 当 时，， 因为 ， 所以当 时， 有最大值是 5 ； 当 时， 有最小值是 ， 当 时，， 综上所述， 的最大值是 5 ， 最小值是； 【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解；求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 (无解) 类型六、分式方程与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解分式方程，一元一次不等式的应用．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，然后解方程求出，根据题意得到，且，然后求解作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， ∵关于的分式方程的解是正数， ∴，且 ∴且， 故答案为：且． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知关于x的方程的解为非负数，则m的范围为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的综合应用、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，解题的关键是正确解出一元一次方程、根据题意得到一元一次不等式并正确解出不等式．解出关于x的方程，根据题意列出关于m的一元一次不等式，解不等式得到答案． 【详解】解： ， 关于x的方程的解为非负数， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练2】（重庆育才中学教育集团2024—2025学年上学期第四次自主作业数学试卷）若关于的不等式组有且只有4个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】根据不等式组的整数解的个数确定a的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论． 本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数及分式方程的解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有4个整数解， ∴， 解得； ∵， 解得， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴且 ∴符合题意的整数m的值为， ∴符合条件的所有整数m的和是， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25九年级上·重庆·期中）若实数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程组，先解不等式组的解集，再根据已知不等式组解确定a的取值范围；解分式方程得到，根据分式方程的解为正数，可得出，且，然后求出a的取值范围，再可求出满足条件的整数a，最后再求出其和即可． 【详解】解：解不等式组，得， ∵该方程组有且仅有三个整数解， ∴，解得； 解分式方程得， ∵该分式方程的解为正数，且， ∴，且，解得且 ∴且， ∵a为整数， ∴a的值为，，，， ∴所有满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：． 类型七、与一元一次不等式（组）有关的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）定义一种关于*的运算：，如． (1)若，且为正整数，求的值； (2)若不等式的解集和关于的不等式的解集相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，解一元一次方程，正确理解新定义运算的含义是解题的关键． （1）利用题中的新定义得出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为正整数得出答案； （2）求出不等式的解集，利用题中的新定义得出关于a的不等式，解不等式求出，再根据两个不等式的解集相同求出a的值即可． 【详解】（1）由，得， 解得， 为正整数， ； （2）解不等式，得， 由，得， 解得， 不等式的解集和关于的不等式的解集相同， ， 解得． 【变式训练1】（23-24七年级下·吉林·期末）在实数范围内定义一种新运算“”．其运算规则为：，如． (1)______． (2)解不等式； (3)求不等式的最大整数解． 【答案】(1) (2) (3)最大整数解是 【知识点】新定义下的实数运算、求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键． （1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可； （2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可； （3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：． （2）解：，， 则， 解得：． （3）解：，， 则， 解得：， 所以最大的整数解为． 【变式训练2】（22-23七年级下·重庆江津·期末）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如的解为，不等式组，的解集为 ，因为，所以方程为不等式组，的“相伴方程”． (1)若关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，求k的取值范围； (2)若方程都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围． 【答案】(1)的取值范围是 (2)的取值范围是 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （2）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组得：． 解方程得：， ∵关于的方程是不等式组的“相伴方程”， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：解方程得， 解方程得， ∵方程都是关于的不等式组的“相伴方程”，， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以的取值范围是． 【变式训练3】（23-24八年级下·广东深圳·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”例如：的解为，集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： (1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； (2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围； (3)若关于x的方程接不等式组的“子方程”，求E的取值范围． 【答案】(1)①② (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“子方程”是解题的关键. （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于m的不等式组，进行计算即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据“子方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； 【详解】（1）①， 解得：， ②， 解得：， ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∴不等式组的“子方程”是：①②， 故答案为：①②： （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， 解方程得，， 方程是关于x的不等式组的“子方程”， ∴， ∴； （3）方程， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵关于x的方程关于x的不等式组的“子方程”， ∴， 解得：. 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·河南许昌·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】D 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义、绝对值等知识点，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 利用一元一次不等式和绝对值的定义列式求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， ∴． 故选D． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若分式方程的解为正数，则的取值范围（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先把原方程化为整式方程，再解方程，接着根据方程的解为正数求出m的范围，再根据分母不为0，即可确定m的最终取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 综上所述，且， 故选：B． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式求解，根据题意，把a看作已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出a的范围即可． 【详解】解：， 得：， 整理得：， ∵， ∴， 解得 故选：D． 4．（24-25八年级上·浙江丽水·期中）已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 不等式组整理后，表示出解集，根据整数解共有3个，确定出的取值范围即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 不等式组的整数解共有3个， ，整数解为，0，1， 则的取值范围是． 故选：A． 5．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 二、填空题 6．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）关于的不等式的解集如图所示，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据题意得出不等式的解集是解题的关键．先用表示出不等式的解集，再由数轴上不等式的解集得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：解不等式得，， 由数轴上不等式的解集可知，， ， 解得， 故答案为：3． 7．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是不等式的解集的解法，不等式两边的式子在同除以一个数时，若这个数为负数，则不等号改变方向，若这个数为正数，不等号不改变方向． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解； 首先求出不等式的解集，得出这三个正整数解分别是1，2，3，进而可得m的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于x的不等式只有3个正整数解， ∴这三个正整数解分别是1，2，3， ∴， 故答案为：． 9．（2024·宁夏银川·一模）对于实数，定义一种运算“”为：，则不等式组的解集为 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、求不等式组的解集 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次不等式组，关键是掌握求不等式组的运算． 先运算，，化简关于的一元一次不等式组，再求不等式组可得的解集． 【详解】解：∵， ∵， ∴解时， 即为解：， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·重庆荣昌·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】17 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，正确掌握解分式方程和一元一次不等式组是解题关键，分式方程有解必须满足公分母不为零，这是本题的易错点． 先解一元一次不等式组得出a的取值范围，再解分式方程得a的范围，最后综合求出满足条件的a的值，即可求得． 【详解】解：解不等式， 去分母得：， 移项合并同类项得：， ∵的解集为， 由“同小取小”得：； 解分式方程：， 分式方程去分母，得：， 移项合并同类项得：， ∵分式方程有正整数解， ， ， ， ∴满足条件的整数可以取7，6，4，其和为． 故答案为：17． 三、解答题 11．（24-25八年级上·北京·阶段练习）若关于x的一元一次不等式组有解且至多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，求所有满足条件的整数a的值之和． 【答案】6 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于的方程的解的情况求出的取值情况，然后求出满足条件的的值，即可得出答案． 【详解】解：解不等式组，得， 不等式组有解且最多有3个整数解， ， 解得：， 整数为：1，2，3，4，5，6， 解分式方程，得， 分式方程有整数解， 是整数，且， 整数为：1，5， 所有满足条件的整数的值之和是． 故答案为：6． 12．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）定义关于@的一种运算：，如． (1)若，且x为正整数，求x的值． (2)若关于x的不等式的解和的解相同，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集、求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式； （1）利用题中的新定义得出不等式，解不等式求出x的取值范围，再根据x为正整数得出答案； （2）求出不等式的解集，利用题中的新定义得出关于a的不等式，解不等式求出，再根据两个不等式的解集相同求出a的值即可． 【详解】（1）解：由得：， 解得， ∵x为正整数， ∴； （2）解不等式得：， 由得：， 解得：， ∵关于x的不等式的解和的解相同， ∴， 解得． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的取值范围． (2)若x，y是等腰三角形的两条边长，且等腰三角形的周长为9，求的值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、不等式组和方程组结合的问题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数、一元一次不等式组的求解以及等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握相关结论即可. （1）方程组，得：，进而得，即可求解； （2）解方程组得：，可知x，y不可能是等腰三角形的两腰；分类讨论若x是等腰三角形的腰，若是等腰三角形的腰，两种情况，利用三角形的三边关系加以验证即可． 【详解】（1）解：方程组，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：解方程组得：， 可知x，y不可能是等腰三角形的两腰； 若x是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，不能构成三角形； 若是等腰三角形的腰， 则，解得：； 此时等腰三角形的三边长为：，能构成三角形； 综上所述： 14．（23-24八年级下·全国·期末）对x，y定义一种新运算T，规定（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a、b的值； ②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对于任意实数x、y都成立[这里和均有意义]，则a、b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、解分式方程、构造二元一次方程组求解、新定义下的实数运算 【分析】此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）①已知两对值代入中计算求出与的值； ②根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有3个整数解，求出的范围即可； （2）由列出关系式，整理后即可确定出与的关系式． 【详解】（1）①由，得 ，， 则，解得， ②由，得，则不等式组 ，可化为 整理得， 解得． ∵不等式组，恰好有3个整数解， ∴其整数解为0，1，2， ∴． 解得． （2）∵对于任意实数x，y都成立， ∴， 整理得， 即，对于任意实数x，y都成立， 故， ∴． 15．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”． 例：已知方程与不等式，当时同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． (1)已知①；②；③，试判断方程：的解是否为它与①②③中某个不等式的“理想解”； (2)若是方程与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)当关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，且关于x的不等式组恰有7个整数解，若，，求的值． 【答案】(1)方程的解是的“理想解” (2) (3)M的值为19或或26 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】（1）先求出方程的解为，再判断是哪些不等式的解便可得出结论； （2）把代入得与的关系式，再代入不等式组求得的取值范围，进而求得结果； （3）先根据关于x的不等式组恰有7个整数解，得出，再根据关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数，得出或或4，根据，，得出，再代入m的值，求出结果即可． 【详解】（1）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：，即方程的解为， 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，满足； ∴方程的解是的“理想解”； （2）解：把代入得， ∴， 把代入不等式组得， 解得，， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）解：由方程得：， 解不等式组得：， ∵关于x的不等式组恰有7个整数解， ∴， 解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式的理想解为整数， ∴为整数，且为到7之间的整数， ∴或或4， ∵，， ∴， ∴ ， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：M的值为19或或26． 【点睛】本题主要考查了不等式（组）的解法，一次方程的解法，新定义，解题的关键是根据新定义，正确建立新的不等式组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$