专题14 一元一次不等式（组）的解法的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题14 一元一次不等式（组）的解法的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、不等式的性质 2 类型二、求一元一次不等式的整数解 4 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示 5 类型四、求一元一次不等式组的整数解 8 类型五、求一元一次不等式组的解集并在数轴上表示 9 类型六、一元一次不等式（组）中错解复原问题 12 压轴能力测评（14题） 15 解题知识必备 1．不等式的性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； 2．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 3．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 压轴题型讲练 类型一、不等式的性质 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 类型二、求一元一次不等式的整数解 例题：（24-25八年级上·四川广安·开学考试）不等式的正整数解为 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式的正整数解为 ． 【变式训练2】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ． 【变式训练3】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ； 【变式训练4】（23-24八年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ． 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练1】（23-24八年级下·全国·单元测试）解不等式把解集在数轴上表示出来． 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 类型四、求一元一次不等式组的整数解 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的整数解是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式组的正整数解为 ． 【变式训练2】（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）不等式组的所有整数解的和为 ； 【变式训练3】（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）不等式组的正整数解是 ． 类型五、求一元一次不等式组的解集并在数轴上表示 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽六安·期末）解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集． 【变式训练3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）解不等式组： 并把不等式组解集表示在数轴上． 类型六、一元一次不等式（组）中错解复原问题 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务， 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 (1)填空： ①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． (2)请直接写出该不等式的正确解集，并在数轴上表示解集（要求正确使用作图工具，做到规范美观）． 【变式训练2】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）以下是某同学解不等式组的解答过程： 解：第一步：由①，得，∴． 第二步：由②，得，∴，∴． 第三步：∴原不等式组的解集是． (1)他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是_______，原因是_______；出现错误二的步骤是_______，原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【变式训练3】（23-24八年级下·江西九江·期末）（1）下面是某同学解不等式组，的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①， 去分母，得………第一步 移项，得………第二步 合并同类项，得………第三步 系数化为1，得………………第四步 任务一：上述解不等式①的过程第________步出现了错误，其原因是：________．不等式①的解集是________． 任务二：求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（23-24七年级下·全国·期中）若2与的和不大于3与的差，则x的取值范围是（　） A． B． C． D． 3．（2024·山西·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）用“>”或“<”填空：若，则 ， ． 5．（2024七年级下·江苏·专题练习）不等式的正整数解是 ． 6．（23-24八年级上·云南昭通·期中）（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是 ． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是 ． 三、解答题 7．（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． 8．（23-24八年级下·全国·开学考试）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 10．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 11．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 12．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 13．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得， 第1步 ∴第2步 ∴第3步 ∴第4步 ∴第5步 任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 14．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 一元一次不等式（组）的解法的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、不等式的性质 2 类型二、求一元一次不等式的整数解 4 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示 5 类型四、求一元一次不等式组的整数解 8 类型五、求一元一次不等式组的解集并在数轴上表示 9 类型六、一元一次不等式（组）中错解复原问题 12 压轴能力测评（14题） 15 解题知识必备 1．不等式的性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； 2．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 3．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 压轴题型讲练 类型一、不等式的性质 例题：（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键； 根据不等式的性质：（1）不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、和均大于，但不一定大于，故选项错误 B、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，加减法不改变不等号的符号，故选项错误； C、不等式两边乘以负数，不等号方向改变，加减法不改变不等号的符号，故选项正确； D、不等式两边同时乘以负数，不等号方向应改变，故选项错误； 故选：C 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、，不等式一定成立，不符合题意； B、，不等式一定成立，不符合题意； C、，则，不等式一定成立，不符合题意； D、若，则；若，则，不等式不一定成立，符合题意； 故选：D． 【变式训练2】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； B、∵，∴，故原选项错误，不符合题意； C、若，则，故原选项错误，不符合题意； D、∵，∴，∵，∴，故原选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练3】（23-24七年级下·全国·单元测试）下列不等式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故此选项符合题意； B．∵， ∴，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D．∵， 当时， ∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 类型二、求一元一次不等式的整数解 例题：（24-25八年级上·四川广安·开学考试）不等式的正整数解为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式，然后可得其正整数解． 【详解】解：移项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的正整数解为， 故答案为：． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式的正整数解为 ． 【答案】1、2、3、4 【知识点】求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，求不等式的整数解；先求出不等式的解集，再根据x的取值范围求出其正整数解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：， ∴不等式的正整数解为：1，2，3，4． 【变式训练2】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ． 【答案】0，1，2，3 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式的非负整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．解不等式得，即可求得答案． 【详解】， ， ， 不等式的非负整数解是0，1，2，3． 故答案为：0，1，2，3． 【变式训练3】（23-24六年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ； 【答案】0，1，2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式，解出不等式的解集即可求解． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解是：0，1，2． 故答案为：0，1，2． 【变式训练4】（23-24八年级下·全国·单元测试）不等式的非负整数解是 ． 【答案】0，1，2，3，4，5 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查不等式的解法及整数解的确定．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 非负整数解是0，1，2，3，4，5． 故答案为：0，1，2，3，4，5． 类型三、求一元一次不等式的解集并在数轴上表示 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： 【变式训练1】（23-24八年级下·全国·单元测试）解不等式把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式，先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后将解集表示在数轴上即可．解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤，准确计算． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 在数轴上表示如下： 【变式训练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式(组)，并把解集在数轴上表示出来 ． 【答案】，解集表示在数轴上见详解 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，根据不等式的性质，解一元一次不等式的方法，把解集表示在数轴上的方法即可求解． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，， 解集表示在数轴上，如图所示， 【变式训练3】（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集： （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： 类型四、求一元一次不等式组的整数解 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）不等式组的整数解是 ． 【答案】，，， 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，求解不等式组的整数解，掌握“解一元一次不等式组的方法与步骤”是解本题的关键．先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，再确定整数解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，，，． 故答案为：，，，． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）不等式组的正整数解为 ． 【答案】1，2，3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的正整数即可． 【详解】解：， 解①得 解②得 ∴ ∴正整数解为1，2，3． 故答案为：1，2，3． 【变式训练2】（23-24九年级下·福建泉州·阶段练习）不等式组的所有整数解的和为 ； 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先解不等式组求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解，再把所有整数解求和即可得到答案． 【详解】解：解不等式组得， ∴不等式组的所有整数解是与之间的所有整数（包括，不包括）， ∴不等式组的所有整数解的和为， 故答案为：． 【变式训练3】（24-25九年级上·贵州铜仁·开学考试）不等式组的正整数解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查不等式组的正整数解，熟练掌握解不等式的运算法则是解题的关键．根据题意求出不等式组的解集，即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②：， 故不等式的解集为， 故不等式组的正整数解是． 故答案为：． 类型五、求一元一次不等式组的解集并在数轴上表示 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解不等式组，分别求出两个不等式的解集，即可得出答案，并在数轴上表示出来． 【详解】 解：解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． 把不等式组的解集在数轴上表示如图所示． 【变式训练1】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【变式训练2】（23-24七年级下·安徽六安·期末）解不等式组：，并在数轴上表示出不等式组的解集． 【答案】，见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【变式训练3】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）解不等式组： 并把不等式组解集表示在数轴上． 【答案】，在数轴上表示解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握不等式的求解方法是解题的关键，在数轴上表示时注意大于向右画，小于向左画，有等实心点，无等空心圆． 分别解两个不等式，再取公共解集，在数轴上表示即可． 【详解】解：解不等式①： 移项、合并同类项得： 解不等式②： 去分母得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得：． 所以原不等式组的解集是． 把解集在数轴上表示为： 类型六、一元一次不等式（组）中错解复原问题 例题：（24-25八年级上·浙江·期中）学习了“解一元一次不等式”后，杭杭同学解不等式的过程如下： 解：去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 两边都除以得： 杭杭的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上． 【答案】小明的解答过程错误，见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握解一元一次不等式的步骤是解题关键．根据解一元一次不等式的步骤“去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1”求解，再将解集在数轴上表示即可． 【详解】解：有错误， ， 去分母：， 去括号：， 移项、合并：， 系数化为1：， 把解集表示在数轴上如下． 【变式训练1】（23-24七年级下·河北沧州·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务， 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 (1)填空： ①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． (2)请直接写出该不等式的正确解集，并在数轴上表示解集（要求正确使用作图工具，做到规范美观）． 【答案】(1)①乘法分配律；②五；不等式的两边同时除以不等号的方向没有改变 (2)，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】此题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤进行解答即可； （2）按照正确步骤解不等式，写出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律（运算律）进行变形的； ②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式的两边同时除以不等号的方向没有改变． 故答案为：①乘法分配律；②五；不等式的两边同时除以不等号的方向没有改变 （2）解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 ∴该不等式的正确解集是，在数轴上表示出来： 【变式训练2】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）以下是某同学解不等式组的解答过程： 解：第一步：由①，得，∴． 第二步：由②，得，∴，∴． 第三步：∴原不等式组的解集是． (1)他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是_______，原因是_______；出现错误二的步骤是_______，原因是______； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步，不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变（或不等式的性质3）；第二步，去分母时，没有对所有项进行操作 (2)见解析 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键． （1）根据移项，合并同类项，化系数为1的步骤解一元一次不等式，第一步移项，以及化系数为1 的步骤出错了； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：他的解答过程是错误的，他出现错误一的步骤是第一步，原因是不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变（或不等式的性质3）；出现错误二的步骤是第二步，原因是去分母时，没有对所有项进行操作． （2）解：， 由①得， 解得：． 由②，得， ∴， 解得：． ∴原不等式组的解集是． 【变式训练3】（23-24八年级下·江西九江·期末）（1）下面是某同学解不等式组，的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：令 解不等式①， 去分母，得………第一步 移项，得………第二步 合并同类项，得………第三步 系数化为1，得………………第四步 任务一：上述解不等式①的过程第________步出现了错误，其原因是：________．不等式①的解集是________． 任务二：求不等式组的解集并将解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：四；在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向没有进行改变，；任务二：，见详解 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式（组）． 任务一：根据解一元一次不等式的一般步骤逐步分析即可； 任务二：按照解一元一次不等式组的步骤求解集，将不等式组的解集在数轴上表示出来即可． 【详解】任务一：上述解不等式①的过程第四步出现了错误，其原因是在不等式两边同时乘(除以)同一个负数，不等号的方向没有改变； 不等式①的解集是 任务二：令 由任务一可知：解不等式①，得， 解不等式②，， 移项，得， 解得：， ∴不等式组的解集为：， 如图：将不等式组的解集表示在数轴上： 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列不等式变形正确的是（    ） A．由，得 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、由，得或，故错误，不符合题意； B、由，得，故错误，不符合题意； C、由，得，故正确，符合题意； D、由，得，故错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·期中）若2与的和不大于3与的差，则x的取值范围是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，掌握一元一次不等式解法的步骤是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤进行求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 故选：C． 3．（2024·山西·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 故选：B． 二、填空题 4．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）用“>”或“<”填空：若，则 ， ． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；根据不等式的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴； 故答案为：<，>． 5．（2024七年级下·江苏·专题练习）不等式的正整数解是 ． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质． 【详解】解： 整理得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 故不等式的正整数解为1． 故答案为：1． 6．（23-24八年级上·云南昭通·期中）（1）等腰三角形的一边长是，另一边长是，则该等腰三角形的周长是 ． （2）若等腰三角形的周长是，则它的腰长的取值范围是 ． 【答案】 25 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识，解题的关键是： （1）分三边为5，5，10；10，10，5两种情况讨论，即可求解； （2）先求出底边长为，然后根据三角形三边关系构造不等式组求解即可． 【详解】解：（1）当等腰三角形三边为5，5，10时， ∵， ∴此三角形不存在； 当等腰三角形三边为10，10，5时， ∵， ∴此三角形存在， ∴改等腰三角形的周长为， 故答案为：25； （2）∵等腰三角形的周长是，腰长为， ∴底边长为， ∴， 解得， 故答案为：． 三、解答题 7．（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 利用不等式的性质解不等式，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化成1，得． 在数轴上表示不等式的解集如图所示．      8．（23-24八年级下·全国·开学考试）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握不等式的解法．根据不等式的性质：去分母、移项，再合并同类项最后系数化1即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解集在数轴上表示如下： 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查求不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为：． 在数轴上表示如图： 10．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）解下列不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1），在数轴上表示见解析；（2），所有整数解为1，2，3． 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】难题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集，求不等式组的整数解．掌握解一元一次不等式和一元一次不等式组的步骤是解题关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤即可求解，再在数轴上表示即可； （2）分别解出每个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定其解集，最后找出其中的整数即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 在数轴上表示解集如下． （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为， ∴它的所有整数解为1，2，3． 11．（24-25七年级上·山东东营·阶段练习）（）解不等式，并在数轴上表示不等式的解集． （）解不等式：，并将它的解集在数轴上表示出来． （）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （）解不等式组，并求出它的所有整数解． 【答案】（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），数轴表示见解析；（），所有整数解为，， 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】（）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）根据解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分得到不等式组的解集，进而得到它的所有整数解； 本题考查了解一元一次不等式和不等式组，在数轴上表示不等式（组）的解集，求不等式组的整数解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：（）去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）去分母得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 不等式的解集在数轴上表示为： （）由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， 不等式组的解集在数轴上表示为： （）， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，． 12．（23-24七年级下·山西临汾·期末）下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务． 解不等式： 解：第一步 第二步 ．第三步 ．第四步 第五步 任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据 （填运算律）进行变形的；②第 步开始出错，这一步错误的原因是 ； 任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】任务一：乘法分配律；五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；任务二：，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照含有分母的一元一次不等式解法步骤进行，求出不等式的解集，即可完成任务一与任务二． 【详解】解：任务一：①小明解不等式过程中，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第五步开始出错，这一步错误的原因是：不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二：该不等式的解集为：，用数轴表示如下： 13．（23-24八年级下·河南郑州·期末）下面是小明作业本上解不等式组 的部分过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：由不等式①得， 第1步 ∴第2步 ∴第3步 ∴第4步 ∴第5步 任务一：小明的解答过程中，第______步是依据乘法分配律进行变形的；第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ； 任务二：不等式②的解集是 ；直接写出这个不等式组的整数解是 ． 任务三：请你根据平时的学习经验，就解不等式组需要注意的事项给其他同学分享一下．（至少说两条） 【答案】任务一：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变；任务二：，1；任务三：不唯一，如不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；去分母时不要漏乘；移项要变号 【知识点】不等式的性质、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解．熟练掌握不等式的性质，解一元一次不等式组是解题的关键． 根据不等式的性质以及解一元一次不等式（组）的步骤，判断、求解、作答即可． 【详解】任务一：解：小明的解答过程中，第2步是依据乘法分配律进行变形的；第5步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； 故答案为：2，5，不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向没有改变； 任务二：解：， ， ， 解得， 解不等式①得，， ∴不等式组的解集为， ∴这个不等式组的整数解是1， 故答案为：，1； 任务三：解：由题意知，①不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变；②去分母时不要漏乘；移项要变号． 14．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集的范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，可以发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相伴方程”．问题解决： (1)在方程①，②中，不等式组的“相伴方程”是___________（填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“相伴方程”，试求的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查一元一次不等式组和一元一次方程相结合的问题，能根据题目中的已知条件构建一元一次不等式组是解题的关键． （1）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义即可求得答案； （2）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据“相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）解一元一次方程和一元一次不等式组，根据 “相伴方程”的定义，可得到关于的一元一次不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：方程①， 解得：， 方程②：， 解得：， 不等式组， 解得：， 在范围内， 方程②是不等式组的“相伴方程”， 故答案为：②； （2）方程， 解得：， 不等式组， 解得：， 由题意可得：， 解得：； （3）方程， 解得：， 方程， 解得：， ， 解得：， 和都在范围内， ， 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$