专题04 全等三角形（5个考点清单+8种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪科版）

专题04 全等三角形（5个考点清单+8种题型解读） 目录 【考点题型一】全等三角形的性质 4 【考点题型二】添加一个条件使两三角形全等 7 【考点题型三】利用尺规作图——三角形 10 【考点题型四】三角形全等的判定与性质 15 【考点题型五】用HL证明两直角三角形全等 20 【考点题型六】利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 25 【考点题型七】与全等三角形有关的多结论问题 32 【考点题型八】全等三角形中的动点综合问题 37 【知识点01】全等图形 （一）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. （二）特征：（1）形状相同；（2）大小相等；（3）对应边相等、对应角相等。 【知识点02】全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. （二）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 点拨： （1）书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （2）找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 ③有公共边的，公共边是对应边。 ④有公共角的，公共角是对应角。 ⑤有对顶角的，对顶角是对应角。 ⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。 ⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角。 【知识点03】全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 【知识点04】全等三角形的判定 （一）判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 点拨： 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 注意： （1）“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 （2）“HL”与“SSA” 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 （二）证题的思路 【知识点05】尺规作图 （一）尺规作图的概念 在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。 （二）基本作图 1.　作一条线段与已知线段相等 已知：线段（如图所示）。 求作：一条线段长度等于。 作法：①任何一条射线；②在射线上截取（以为圆心，以的长为半径画弧，交于点），则即为所求作的线段。 2.　作一个角等于已知角 已知：（如图所示）。 求作：，使 作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点 （2）作射线，以点为圆心，以长为半径面弧，交于点； （三）运用基本作图作三角形 在作三角形时，一般先画出草图，分析作图步骤以及相应的字母表示，选择正确的作图程序，再按分析后编写的字母写出已知，求作，按步骤一边画图一边写好作法。 作法中不需要重述基本作图的过程。 例如：已知线段和，如图所示，求作使 作法：如图所示。 ①作线段 ②在的同侧作与交于点则就是所求作的三角形。 【考点题型一】全等三角形的性质 【例1】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知，，，则 ． 【变式1-1】（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，，则 ． 【变式1-2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，，点A，C，E在同一条直线上，，，则的长为 ． 【变式1-3】（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，，，若，则 °． 【变式1-4】（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【考点题型二】添加一个条件使两三角形全等 【例2】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，线段是四边形的对角线，，请添加一个条件使得，添加的条件为 ． 【变式2-1】（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 【变式2-2】（23-24七年级下·甘肃白银·期末）如图，已知，要使，只需添加一个条件： （写一个即可）． 【变式2-3】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可）    【变式2-4】（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【考点题型三】利用尺规作图——三角形 【例3】（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）． (1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）． (2)这样的三角形能作几个？ 【变式3-1】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【变式3-2】（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【变式3-3】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如题图，已知． (1)请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： (2)若，比的2倍小，求的度数． 【变式3-4】（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，已知线段m，n及．利用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹； (1)求作所有满足条件的（全等除外），使得； (2)在（1）中所作图中，过点C向直线画垂线，与直线交于点H；并结合图形，直接写出三条线段、和的数量关系为 ； 【考点题型四】三角形全等的判定与性质 【例4】（22-23七年级下·重庆·期末）如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式4-1】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，点A，F，C，D在一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求AD的长． 【变式4-2】（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式4-3】（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若恰好平分，，求的长 【变式4-4】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在的边上，，，． (1)判断与是否全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 【考点题型五】用HL证明两直角三角形全等 【例5】（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【变式5-1】（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式5-2】（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 【变式5-3】（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【变式5-4】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 【考点题型六】利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 【例6】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【变式6-1】（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线运动，二者速度之比为2：3，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 【变式6-2】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 【变式6-3】（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ． 【变式6-4】（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）如图，中，，，．点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于、作于，当点运动 秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等． 【考点题型七】与全等三角形有关的多结论问题 【例7】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式7-1】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在与中，，，，分别交，于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式7-2】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，，，，点F是的中点．①；②；③；④；⑤．以上结论，正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【变式7-3】（23-24八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ． 【考点题型八】全等三角形中的动点综合问题 【例8】（23-24七年级下·全国·期末）如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 【变式8-1】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【变式8-2】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【变式8-3】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． (1)如果，． ①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________； ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点D在线段上运动． 探究：当多少度时，？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 全等三角形（5个考点清单+8种题型解读） 目录 【考点题型一】全等三角形的性质 4 【考点题型二】添加一个条件使两三角形全等 7 【考点题型三】利用尺规作图——三角形 10 【考点题型四】三角形全等的判定与性质 15 【考点题型五】用HL证明两直角三角形全等 20 【考点题型六】利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 25 【考点题型七】与全等三角形有关的多结论问题 32 【考点题型八】全等三角形中的动点综合问题 37 【知识点01】全等图形 （一）全等图形概念：能完全重合的图形叫做全等图形. （二）特征：（1）形状相同；（2）大小相等；（3）对应边相等、对应角相等。 【知识点02】全等三角形及其性质 （一）全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 点拨：把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角. （二）表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”。 点拨： （1）书写三角形全等时，要注意把对应顶点的字母写在对应的位置上。 （2）找全等三角形对应边、对应角的几种常用方法： ①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边。 ②全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 ③有公共边的，公共边是对应边。 ④有公共角的，公共角是对应角。 ⑤有对顶角的，对顶角是对应角。 ⑥两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小角）是对应边（或对应角）。 ⑦由全等三角形的表示方法确定对应边和对应角，如：若，则AB和DE，AC和DF，BC和EF分别是对应边；和，和，和分别是对应角。 【知识点03】全等三角形性质 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。（2）全等三角形对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等。（3）全等三角形的周长相等，面积相等。 【知识点04】全等三角形的判定 （一）判定定理 （1）三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS"（基本事实）； （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS’（基本事实）； （3）两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'’（基本事实）； （4）两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS"； （5）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 点拨： 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 注意： （1）“SSA”“AAA'’不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有一组边对应相等； 非直角三角形中，如果有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角。 （2）“HL”与“SSA” 一般的两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等即“SSA”条件时，它们并不全等，但当其中的“A”是直角时，这两个直角三角形就是全等的，这就是判定两个直角三角形全等特有的“HL'’定理。 （二）证题的思路 【知识点05】尺规作图 （一）尺规作图的概念 在几何里，用无刻度的直尺和圆规作图，就是尺规作图。最基本、最常用的尺规作图通常称作基本作图。 （二）基本作图 1.　作一条线段与已知线段相等 已知：线段（如图所示）。 求作：一条线段长度等于。 作法：①任何一条射线；②在射线上截取（以为圆心，以的长为半径画弧，交于点），则即为所求作的线段。 2.　作一个角等于已知角 已知：（如图所示）。 求作：，使 作法：（1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交，于点 （2）作射线，以点为圆心，以长为半径面弧，交于点； （三）运用基本作图作三角形 在作三角形时，一般先画出草图，分析作图步骤以及相应的字母表示，选择正确的作图程序，再按分析后编写的字母写出已知，求作，按步骤一边画图一边写好作法。 作法中不需要重述基本作图的过程。 例如：已知线段和，如图所示，求作使 作法：如图所示。 ①作线段 ②在的同侧作与交于点则就是所求作的三角形。 【考点题型一】全等三角形的性质 【例1】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，已知，，，则 ． 【答案】/60度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的对应角相等，并注意运用了三角形的内角和定理，做题时要找准对应关系． 先利用，得到对应角相等，然后在中依据三角形内角和定理，求出的大小． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式1-1】（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，，则 ． 【答案】/105度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，可得，最后根据三角形内角和即可求解； 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 【变式1-2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，，点A，C，E在同一条直线上，，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据可得出，，再根据线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵点A，C，E在同一条直线上， ∴， 故答案为：3． 【变式1-3】（23-24七年级上·山东威海·期末）如图，，，若，则 °． 【答案】25 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．由可得，推出，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-4】（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图，，且点B，D，C在一条直线上，点F在上，延长交于点E． (1)试说明：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据全等三角形的对应角相等可得，，再由等量代换即可证明； （2）根据全等三角形的对应边相等可得，，再由等量代换即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵点B，D，C在一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【考点题型二】添加一个条件使两三角形全等 【例2】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）如图，线段是四边形的对角线，，请添加一个条件使得，添加的条件为 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：①当时，根据可判定； ②当时，根据可判定； ③当时，根据可判定； 故答案为：（或或）． 【变式2-1】（23-24七年级下·江西景德镇·期末）如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： ． 【答案】 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】在与中，已知，，即已知一角及角的一边对应相等，根据“”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】解：可添加一个条件：，使． 理由： 在与中， ， ． 故答案为 【变式2-2】（23-24七年级下·甘肃白银·期末）如图，已知，要使，只需添加一个条件： （写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可知，推出，，则可添加条件，利用即可证明． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-3】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意可知已有一组对应角和一组对应边相等，再确定一组对应角相等即可判定． 【详解】解：∵B是中点， ∴， ∵， ∴当时，依据可得，， 故答案为：（答案不唯一） 【变式2-4】（23-24八年级上·湖北咸宁·期末）如图已知，， (1)添加下列条件：①；②； ③；④． 其中能证明与全等的有______（直接填序号）； (2)在（1）中选择一个进行证明． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等及证明； （1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据（1）所选取的条件，证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：已知，，要使与全等可以添加的条件为或，能得到这些条件的有②③， 故答案为：②③； （2）证明：选③， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【考点题型三】利用尺规作图——三角形 【例3】（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）． (1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）． (2)这样的三角形能作几个？ 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】尺规作一个角等于已知角、尺规作图——作三角形、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）先作，再在上截取，然后以为圆心，为半径画弧交于和，则和即为所作； （2）由作图即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，和即为所作， ； （2）解：由图可得：这样的三角形能作个． 【变式3-1】（23-24七年级下·重庆·期末）如图，已知线段a，b和． 求作：，使得，，．（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） 【答案】作图见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】此题考查作图能力：作一角等于已知角，截取线段长度等于已知线段长，掌握简单的作图方法是解题的关键．先作，再在角的两边分别截取，，，则，从而可得答案． 【详解】解：如图，即为所求作的三角形； 【变式3-2】（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）尺规作图： 如图，线段和一副三角尺，其中． 求作：以线段为一条边作，使得．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】本题考查尺规作三角形，根据尺规作角的方法作出，即可．掌握尺规作角的方法，是解题的关键． 【详解】因为 所以 如图所示，即为所求． 【变式3-3】（23-24七年级下·广东佛山·期末）如题图，已知． (1)请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： (2)若，比的2倍小，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、三角形内角和定理的应用、尺规作图——作三角形、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】（1）以点B为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点E、F，再以点C为圆心，相同的半径作弧，交于点G，以点G为圆心，为半径作弧，交另一条弧于点O，连接并延长，再以点C为圆心，为半径作弧，交射线于点D，即可得，，连接，再利用“” ，即可求解； （2）由题意得，根据三角形内角和定理可得，求得，从而可得，由（1）可得，，即可求解． 【详解】（1）解：以点C为顶点，为的一条边，作，， 在和中， ， ∴． （2）解：∵比的2倍小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴． 【点睛】本题考查作图−三角形、全等三角形的判定、三角形内角和定理及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定和作三角形方法是解题的关键． 【变式3-4】（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，已知线段m，n及．利用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹； (1)求作所有满足条件的（全等除外），使得； (2)在（1）中所作图中，过点C向直线画垂线，与直线交于点H；并结合图形，直接写出三条线段、和的数量关系为 ； 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】画出直线、射线、线段、尺规作图——作三角形、尺规作一个角等于已知角、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，都是基本作图，需要熟练掌握． （1）第一种先做出，然后在边上截取得到点C，再以点为圆心，的长为半径作弧交射线于两点，连接即可得到和，则这两个三角行为符合题意的三角形； （2）根据（1）中两种作图情况分别得出当即时，三条线段、和的数量关系：；当即时，三条线段、和的数量关系：． 【详解】（1）解：将原角按如下取点命名： ， 以点O为圆心，长为半径画弧，交两边于两点，再画射线，以长为半径画弧，交于点C ，再以C为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点H ，连接，则，再以点为圆心，的长为半径作弧交射线于两点，连接即可得到和，则这两个三角行为符合题意的三角形，故两种作图如下： ； （2）解：如题意画图如下，其中位置即为两种情况的位置， 当即时，三条线段、和的数量关系：， 当即时，三条线段、和的数量关系：， 故答案为：或． 【考点题型四】三角形全等的判定与性质 【例4】（22-23七年级下·重庆·期末）如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】（1）利用平行线的性质得到，然后根据三角形全等的判定证明即可； （2）根据全等的性质得到，然后运用三角形内角和定理计算即可； 【详解】（1）解： 在和中 （2） 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练运用这些知识解决问题是关键． 【变式4-1】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，点A，F，C，D在一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求AD的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，再根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质推出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：， ，， 在与中， ， ； （2）解：由（1）知，， ， ， ． 【变式4-2】（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，由全等三角形得到线段相等是解题的关键． （1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴ 【变式4-3】（23-24八年级上·广东东莞·期末）如图，在中，是边上的高，点E在上，，，连接并延长交于点F． (1)求证：； (2)若恰好平分，，求的长 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的内角和定理． （1）证明即可得证结论； （2）由得到，又，从而，因此，再由，即可证明，进而得到，． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴． 在和中 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-4】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在的边上，，，． (1)判断与是否全等，请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据三角形外角的性质以及角的和差求出，根据平行线的性质可得，然后即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，，然后利用三角形内角和定理求出，进而可得的度数． 【详解】（1）； 理由：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）由（1）得， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【考点题型五】用HL证明两直角三角形全等 【例5】（23-24八年级上·广东肇庆·期末）如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由“”可证； （2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴在与中， ， ； （2）证明：由（1）知， ， ∵，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【变式5-1】（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，于点E，于点F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）先证明，再根据，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵于点于点， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ． 【变式5-2】（23-24七年级下·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质， （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论； 解题的关键是掌握三角形全等的判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式5-3】（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，等腰中，是腰上的高，在底边上截取，过点E作交于F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、全等三角形的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质， （1）直接利用证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）先根据直角三角形的性质求出，再根据全等三角形的性质求出，然后根据等边对等角得，进而求出，可得答案. 【详解】（1）证明：∵是腰上的高，， ∴. 又∵，， ∴， ∴； （2）∵，， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵是等腰三角形， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴． 【变式5-4】（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)说明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义等知识，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再利用即可证明； （2）利用证明，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ，即， 在与中， ， ， ，， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知，， 与相交于点， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点． 【考点题型六】利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 【例6】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 【变式6-1】（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发沿射线运动，二者速度之比为2：3，当点E运动到点A时，两点同时停止运动．在射线上取一点G，使与全等，则的长为 ． 【答案】8或15 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，则，使与全等；然后分和两种情况解答即可． 【详解】解：设，则，使与全等 ①当时， ∵， ∴，解得：， ∴． ②当时， ∵， ∴，解得：， ∴， 综上所述，或． 故答案为：8或15． 【变式6-2】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在长方形中 ，，，，，延长至点E，使，连接．动 点P 从 点A  出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，回到点A 停止运动，运动时间为：t秒，当t 的值为 时，和全等． 【答案】或 10 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴， ∴ ∵点P的运动时间为每秒2个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴， ∴， ∴（秒） 综上所述，当t的值为或10秒时，与全等． 故答案为：3.5或10． 【变式6-3】（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C、D、A为顶点的三角形与全等，则点D的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数与几何综合、全等三角形的性质 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出两点的坐标，进而求出的长，分或两种情况进行讨论求解即可．利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴点B的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示， ∵，， ∴， 当以C、D、A为顶点的三角形与全等时，共有或两种情况， 当时，， ∴点D的坐标为，即； 当时，， ∴点D的坐标为． 综上所述，点D的坐标为或． 故答案为：或． 【变式6-4】（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）如图，中，，，．点从点出发沿路径向终点运动，终点为点；点从点出发沿路径向终点运动，终点为点．点和分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过和作于、作于，当点运动 秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等． 【答案】2或7或24 【知识点】全等三角形的性质、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可． 【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，P在上，Q在上，则，， ，， ， ， ，， ， ， ， 即， ； ②如图2，P在上，Q在上，则，， 由①知：， ， ； 因为此时，所以此种情况不符合题意； ③当P、Q都在上时，如图3， ， 解得：； ④当Q到A点停止，P在上时，如图4，，时，解得． ，符合题意； ⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在； 综上，点P运动2或7或24秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等． 故答案为：2或7或24． 【考点题型七】与全等三角形有关的多结论问题 【例7】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，为边上一点，，点在的延长线上，平分，且．连接交于，为边上一点，满足，连接交于．以下结论：①；②；③．正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 先根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后利用定理证明出，进而判断①；利用证明出进而可判断②；得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】， ， 平分， ， ， 在和中， ， ，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∴ 又∵ ∴，故③正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：D． 【变式7-1】（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在与中，，，，分别交，于点，，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用可证明，即可得，，，进而可判断①②正确，再利用可证明，即可判断④正确，再证明，，可知，根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，进而可知③不正确，理解并掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ，，，故②正确， ， 即，故①正确， ，，， ，故④正确， ，，， ， ， 又， ，即， ，，， ， ， 根据题目条件，不能判断出与的大小关系，因此不能判断与是否相等，故③错误， 综上，正确的有①②④； 答案：B． 【变式7-2】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，，，，点F是的中点．①；②；③；④；⑤．以上结论，正确的是（    ） A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意证明出，进而判断①；然后根据全等三角形的性质可判断②③；然后根据三角形中线的性质可判定④；然后根据直角三角形斜边中线的性质可判断⑤． 【详解】解：∵ ∴ 又∵，， ∴，故①正确； ∴ ∴，故②正确； ∵ ∴， ∴，即 又∵ ∴ ∴ ∴，故③正确； ∵点F是的中点 ∴，故④正确； ∵ ∴，故⑤错误． 综上所述，正确的是①②③④． 故选：C． 【变式7-3】（23-24八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是交于点，连接，下列结论：≌；；若，，则；其中正确的是 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确， ∵若． ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确， ∵，， ∴，故④错误， 故答案为：①②③． 【考点题型八】全等三角形中的动点综合问题 【例8】（23-24七年级下·全国·期末）如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)或 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）由得，利用即可得出结论； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质得，，则，可得为等边三角形，则，可得，得出，根据平行线的判定可得； （3）分两种情形：当时，当时，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题． 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； （3）解：如图，当时， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当时， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，当垂直于的某边时，则或． 故答案为：或． 【变式8-1】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等三角形综合问题、旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）如图，等腰中，，，点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，求证：； (2)如图2，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图3，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及性质. （1）易证，即可证明，即可解题； （2）过点作交于点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，根据可证，根据，，即可解题； （3）过作的延长线交于点，易证，由（1）（2）可知，，可得，，即可求得的值，即可解题． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 点为中点； （3）解：过作的延长线交于点，如图， ，，， ， 由（1）（2）知：，， ，， ， ， ， ． 故答案为． 【变式8-3】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，为锐角，点D为直线上一动点，以为直角边且在的右侧作等腰直角三角形，，． (1)如果，． ①当点D在线段上时，如图1，线段、的位置关系为________，数量关系为________； ②当点D在线段的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由． (2)如图3，如果，，点D在线段上运动． 探究：当多少度时，？请说明理由． 【答案】(1)①，；②仍然成立，理由见解析 (2)当时，，理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、垂线的定义理解 【分析】本题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是证明全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解． （1）①根据，，，运用“”证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段、之间的关系； ②先根据“”证明，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到（1）中的结论仍然成立． （2）过点A作交的延长线于点G，证明，根据对应角相等即可得出结论． 【详解】（1）解：①与位置关系是，数量关系是． 理由： ，， ． 又，， ， 且． ， ，即． 故答案为：，； ②都成立 ， ， 在与中， ， ，， ，即． （2）解：当时，． 理由：过点A作交的延长线于点G，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$