第二十七章 相似（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版，云南专用）

第二十七章 相似（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：100分 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1．已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．一个机器零件的长度是8毫米，画在比例尺是的图纸上的长度是（    ） A．8分米 B．8毫米 C．8厘米 D．8米 3．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 4．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A． B． C． D． 5．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．若两个相似五边形的相似比为，则它们的面积比为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，且相似比为，则与的周长之比为（    ） A． B． C． D． 9．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（    ）    A． B． C． D． 10．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 11．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（     ）    A．AB∥CD B． C． D． 12．如图所示，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是8×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（　　） A．F B．G C．H D．K 13．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 14．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是(    ) A．BC2＝BD•AB B．CD2＝BD•AD C．AC2＝AD•AB D．BC•AD＝AC•BD 15．如图，点O是内一点，连接，点D，E，F分别是的中点，已知的面积是1，有以下结论：①；②；③；④其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．已知 则的值为 ． 17．已知：如下图，，，，，则 ． 18．如图，、分别是的边、上的点，请你添加一个条件，使与相似，你添加的条件是 ．    19．如图，与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）已知，求的值． 21．（6分）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 22．（7分）如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长． 23．（6分）如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 24．（8分）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1． (2)写出的坐标． 26．（8分）已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的值． 27．（12分）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图          (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 试卷第2页，共36页 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【分析】根据图形相似的概念进行解答即可． 【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似， 故选：A． 【点睛】本题考查了两个图形的相似，掌握相似多边形的概念（即边数相同的两个多边形，如果对应角相等，对应边成比例）是解题的关键． 6．若两个相似五边形的相似比为，则它们的面积比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似比、相似多边形的性质及计算，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质求解即可得出答案． 【详解】两个相似五边形的相似比为， 它们的面积比为， 故选：C． 7．如图，在中，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据即可得到，问题得解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A 8．已知，且相似比为，则与的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，相似比为 ∴， 故选：A． 9．大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为的黄金分割点（），则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵点为的黄金分割点（）， ∴， 故选：A． 10．如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理即可求解； 【详解】解：由图可知：， 若，或，则根据“如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似‌”可判定， 故A、C正确，不符合题意； 若，即，则根据“如果两个三角形的两边对应成比例，并且这两边的夹角相等，则这两个三角形相似‌” 可判定， 故D正确，不符合题意； 不可判定，故B错误，不符合题意； 故选：B 11．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（     ）    A．AB∥CD B． C． D． 【答案】D 【分析】本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【详解】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． D、已知两组对应边的比相等：，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 12．如图所示，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是8×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（　　） A．F B．G C．H D．K 【答案】C 【分析】由图形可知△ABC的边AB=4，AC=6，DE=2，当△DEM∽△ABC时，AB和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是H． 【详解】解：根据题意， △DEM∽△ABC，AB=4，AC=6，DE=2， ∴DE：AB=DM：AC， ∴DM=3， ∴M应是H， 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定． 13．约在两千五百年前，如图（1），墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”；如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A． 14．已知CD是Rt△ABC斜边上的高，则下列各式中不正确的是(    ) A．BC2＝BD•AB B．CD2＝BD•AD C．AC2＝AD•AB D．BC•AD＝AC•BD 【答案】D 【分析】根据①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项,进行判断即可. 【详解】解: 根据射影定理每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项可得:A、C都正确. 根据直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项可得B选项正确; 综上可得:A, B、C选项都正确. 故选D. 【点睛】本题考查射影定理的知识,属于基础题,注意掌握射影定理的内容并灵活运用. 15．如图，点O是内一点，连接，点D，E，F分别是的中点，已知的面积是1，有以下结论：①；②；③；④其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据点分别是的中点，判断出两个三角形相似，再利用三角形的相似比可依次判断各个结论的正误． 【详解】解：∵点O是内一点，连接，点D，E，F分别是的中点， ∴，且，，且，，且， ∴，故①正确； ∴，故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ∵，且， ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的判定与性质、三角形的中位线性质以及相似三角形的性质． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16．已知 则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了合比性质，掌握性质是解题的关键．由合比性质：若，则，据此即可求解． 【详解】解：， ； 故答案：． 17．已知：如下图，，，，，则 ． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例求出，减去可得结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是能根据平行线得出正确的比例式． 18．如图，、分别是的边、上的点，请你添加一个条件，使与相似，你添加的条件是 ．    【答案】或或 【分析】本题的主要考查点是三角形相似的判定． 和中，是公共角，再找一组对应角相等，或者夹的两边对应成比例都可得到两三角形相似． 【详解】解： 当或或时，∽， 故答案为：． 19．如图，与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】把点的横纵坐标分别乘以即可得到点的坐标． 【详解】解：由题意得：与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， 又∵，且原图形与位似图形是异侧， ∴点的坐标是，即点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：先确定点的坐标，及相似比，再分别把横纵坐标与相似比相乘即可，注意原图形与位似图形是同侧还是异侧，来确定所乘以的相似比的正负．理解和掌握位似变换是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20．（7分）已知，求的值． 【答案】2 【分析】根据比例的性质化简得，即可得出答案． 【详解】解：由，得， 化简，得， ∴． 【点睛】本题考查比例的性质，正确变形是解题的关键． 21．（6分）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，由题意得出即可求解． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据成比例线段的定义得， 代入，，得：， 解得：， ∴线段的长为 22．（7分）如图，已知AD∥EB∥FC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长． 【答案】EC的长为． 【分析】根据AD∥EB∥FC，由平行线分线段成比例可得EC：AC= BF：DF，代入数据计算即可． 【详解】∵AD∥EB∥FC， ∴EC：AC= BF：DF， ∴EC：12=7：10， ∴EC=． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线写出对应比例式是解题的关键． 23．（6分）如图，在中，，点D在边上（点D不与A，C重合）．若再增加一个条件能使，则这个条件是______；结合你所添加的条件，证明． 【答案】（答案不唯一），见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解． 【详解】解：（答案不唯一） 证明：在和中， ∴．（有两角对应相等的两个三角形相似） 24．（8分）如图，相交于点O，． (1)求证：； (2)已知，的面积为6，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为2：1． (2)写出的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意可知，分别为的中点，据此可确定的坐标，即可完成作图； （2）由（1）中结论即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知： 【点睛】本题考查位似图形作图．抓住位似比是解题关键． 26．（8分）已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质： （1）根据，，即可求得答案． （2）根据，即可求得答案． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 27．（12分）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从B点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从B点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图          (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗?如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)30米 (3)可行，理由见解析 【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； （3）解：可行，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 【点睛】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$