第三章圆的基本性质综合章节强化练习2024-2025学年浙教版九年级上册

圆的基本性质专题综合 【相似与圆】 例1.如图，已知△ABC中内接于⊙O，AB＝3，点C在优弧AB上（不与A，B重合），点D为弦AB的中点，DE⊥AB交CB的延长线于点E，射线EA，射线CO与⊙O的另一个交点分别为 F，G，射线EA与射线CO相交于点H. （1）求证:AC＝BF; （2）连结AO，若BE＝3BC，当△ACE与△ADO相似时，求⊙O的半径; （3）将点O绕点A按逆时针方向旋转得点O'.当点O落在射线AF上时，过点O′作O′M⊥AO于点M，交AC于点N，连结CF，若∠AED＝30°，O′M＝2AN，则△AMN与△ACF的面积之比为_________. 【四点共圆】 例2.已知，在△ABC中，AB＝AC，点B与点D关于直线AP轴对称. （1）如图（1），连接CD，CD与AP交于点E.求证:∠1＝∠2. （2）如图（2），当∠PAB＝90°时，作AF⊥BE于点F，若EF＝1，CE＝3，则DE的长为__________. （3）如图（3），当直线AP交BC边上异于中点的E时，DC的延长线交直线AP于点F. ① 求证:∠FCB＝∠FAB; ② 若AB＝5,则AE·AF的长为___________. 【圆与角度有关的计算问题】 例1.如图,点A,B,C,D,E在⊙O上顺次排列,已知:AB＝BC,∠ABD＝∠BCE. （1）求证:BD＝CE: （2）若直线AE过圆心O，设∠BCE的度数为α，CD的度数为β. ①当β＝30°时，求α的值; ②探索a和β满足的等量关系. 例2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线变CD千点E，交⊙O于另一点F. （1）求证:∠DBE＝∠BCD. （2）若，BO＝3，求AB的长. （3）变式:若，BE＝4，求AB的长. 例3.如图,点A、B、C、D是⊙O上的点，弦AC、BD交于点E，连接AD，∠CED＝∠CDA. （1）如图1，求证:BC＝CD; （2）如图2，连接AB，若，求证:BD为⊙O直径, （3） 如图3，在（2）的条件下，过O作OE⊥AD交AC于点F，OG⊥AC交AB于H， 求证:BH＝OF; 【针对训练】 1.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点（位于AB下方），CD交AB于点E，若∠BDC＝45°，，CE＝2DE，则CE的长为 . 2.如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP＝3，过点A作AP的垂线交⊙O于点B、C.设PB＝x,PC＝y,则y与x的函数表达式_____. 3.如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，AD平分∠CAB，交半圆Q于点D，交BC于点E.AB与CD的延长线交于点F，若，则的值为 . 4.如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AC∥BD，AD交BC于点E，AE＝4，ED＝10，则⊙O的半径为_______. 5.如图，AB，CD是⊙O的两条直径，点E是劣弧BC的中点，连接BC，DE.若∠ABC＝32°，则∠CDE的度数为（　　） A.34° B.29° C.32° D.24° 6.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点E在线段BC上，CE＝5，以点C为圆心，CE长为半径作弧交AC于点D，交BC的延长线于点F，以点F为圆心，DE长为半径作弧，交DF于点G，连接CG，过点G作GH⊥BF，垂足为点H，则线段GH的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则BD所对的圆心角的度数是（　　） A.30° B.40° C.50° D.70° 8.如图，四边形ABCD内接于半径为5的⊙O，AB＝BC＝BE，AB⊥BE，则AD的长为（　　） A.5 D.10 （第5题） （第6题） （第7题） （第8题） 【弧长与面积】 1.如图，边长为2的正方形ABCD绕AD中点O顺时针旋转后得到正方形A'B'C'D'，当点A的对应点A′落在对角线BD上时，点B所经过的路径与A′B，A′B′围成的阴影部分的面积为 2.如图，点C是直径AB的长为的半圆的中点，连接BC.点D是BC的中点，连接AD，则阴影部分的面积为________. 3.如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C，D分别在OA，AB上，连接BC，CD，点D，O关于直线BC对称，AD的长为π，则图中阴影部分的面积为_____. 4.如图，一个大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为2的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB，CD相交于点G，H.图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB，BC，CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，则S＝_____，l＝_____. 【解答题】 1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧AD上一点，AG，CD的延长线交于点F,连结AC,CG,DG. （1）求证:∠FGD＝∠AGC. （2）当DG平分∠CGF，∠ACG＝45°，，求CD的长. 2.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（3，0），B（-3，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC＝90°（A、D、C按顺时针方向排列），BC与经过A、B、D三点的OM交于点E,DE平分∠ADC,连结AE,BD. （1）求证:∠ABC＝45°: （2）求证:∠DEC＝∠DEA; （3）若点D的坐标为（0.9），求AE的长. 3.如图，已知点C是以AB为直径的半⊙O上的动点（点C不与A，B重合），点D是AC中点,连结BD,OD,交AC分别于点E,F. （1）如图1，若AB＝4，AC的度数为120°，求OF的长. （2）如图2，若AC＝BC，求的值. （3）如图3，连结OE，当△OBE成为直角三角形时，求△DEF与△OEF的面积比. 4.定义:三角形一个内角的平分线和另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角. （1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，则∠E＝.（用含α的代数式表示） （2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E.求证:∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角. （3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径，求∠AED的度数. 5.如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8.点E是线段BD上一点，过点A，E，D的⊙O交CD延长线于点F,连结AE，AF，EF. （1）求证:△AEF∽△BAD. （2）连接OE，OD，当∠AEB与△OED的一个内角相等时，求所有满足条件的BE的长. （备用图） 学科网（北京）股份有限公司 $$