精品解析：广东省深圳市宝安中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年高一上学期月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 集合表示平面直角坐标系中（ ） A. 第一象限内的点集 B. 第三象限内的点集 C. 第一、三象限内的点集 D. 第二、四象限内的点集 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的条件，确定，的正负，从而确定正确答案. 【详解】由，可得，或者，， 所以是第二、四象限内的点集． 故选：D 2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 3. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有解可得，进而根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】关于的一元二次方程有实数解， 则，解得， 结合选项可知的一个必要不充分条件的是. 故选：A. 4. 给出下列四个结论： ①“”是“”的充分不必要条件； ②若命题，则； ③若，则是的充分不必要条件； ④若命题q：对于任意为真命题，则 其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①③；利用存在量词命题的否定判断②；利用全称量词为真求出的范围判断④即可得解. 【详解】对于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要条件，①错误； 对于②，，②错误； 对于③，若，则且，反之，，， 成立， 因此是的充分不必要条件，③正确； 对于④，，而，则，④正确， 所以正确结论的个数为2. 故选：B 5. 不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式可转化为， 其解集为或， 所以，且方程的两个根为，， 则 或，解得或（舍去）， 即有，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：A. 6. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质结合作差法、特殊值逐个判断即可. 【详解】由题意， 对于A：取，，，故A错误； 对于B：成立，故B正确； 对于C：由， 由于，故， 则：，故C错； 对于D：，当时，可取等号，故D错误 故选：B 7. 设，若是的最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：当时，， 此时函数的最小值为， 若，则，此时不是的最小值，此时不满足条件， 若，则要使是的最小值，则满足， 即， 解得， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，根据不等式的基本性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键． 8. 已知，，则最小值为（    ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先将用的关系表示，又由，得，再利用“乘1法”及基本不等式即可得出． 【详解】设， 则，解得，则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为2， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由不等式的解集为得，且方程的两根为，计算可得，再根据即可判断. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，解得. 所以. 即. 故选：BCD. 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，关于函数有以下四个命题，其中真命题是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据狄利克雷函数的定义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A中，若自变量是有理数，则， 若自变量是无理数，则，所以A是真命题； 当是无理数，是无理数，则是无理数， 则，满足，所以B正确； 对于C，当为有理数时，则为有理数，则． 当为无理数时，则为无理数，则． 故当时，，所以C是真命题； 对于D中，若自变量是有理数，则也是有理数，可得， D不正确，所以D是假命题. 故选：ABC 11. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，则可得到为奇数或4的倍数，从而可以判断A，B；根据，即可判断C；讨论M中元素的情况，进而可判断D． 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 因为，且，所以， 故成立，故C正确； 又，所以， 由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点睛：涉及数的特性的探讨，利用奇数偶数的性质进行分类讨论是解题的关键． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，.若，则的取值范围_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用子集关系，求出参数满足的取值范围. 【详解】由，可知：， 因为集合，，， 所以满足，解得：， 故的取值范围是. 13. 函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，，都有成立， 可得在上是单调递减的， 则，解得. 故答案为：. 14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，再解一元二次不等式来求得正确答案. 【详解】解因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故答案为： 【点睛】思路点睛： 利用方程转化为不等式问题：先通过已知条件将方程化简为关于的关系，然后利用基本不等式和恒成立条件来推导出的范围,这种方法简洁有效，是处理多变量不等式问题的常见手段. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数 （1）若，求实数m及； （2）若，求的定义域； （3）若的定义域为，求实数m的取值范围. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据求出m的值，然后即可求出的值； （2）根据可得出的解析式，让解析式有意义即可求出的定义域； （3）根据的定义域可得出的最小值，从而得出m的范围. 【小问1详解】 ，解得，所以，则， 所以； 【小问2详解】 当时，，要使有意义，则， 解得，所以的定义域为； 【小问3详解】 因为的定义域为， 所以在上恒成立， 所以的最小值，解得， 所以m的取值范围为. 16. 已知函数，且 （1）求的解析式； （2）已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数，若和只有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据对称性可得，根据，进而可求得解析式. （2）根据二次函数恒成立问题求的为真时的范围，根据二次函数单调性可求得为真时的范围，结合与真假性相反，列式求解即可. 【小问1详解】 因为，则的对称轴是，解得， 又因为，所以. 【小问2详解】 若为真，，则对任意的恒成立， 所以，， 令的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递减，且，则； 若为真，，可知的图象开口向上，对称轴为， 因为在内是单调函数，则或，解得或； 若与真假性相反， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为或. 17. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】（1）， （2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【解析】 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【小问1详解】 由题意，， 因为时，，所以， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或. （3）. 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； （2），对，与分类讨论，可分别求得其解集 （3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，当，即时，，不合题意；  当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 即，故时，或. 故 ． 【小问2详解】 ，即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或. 【小问3详解】 ，即， 恒成立， ， 设则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题. 19. 设，记不大于的整数为，如 （1）若集合只有8个子集，求a的取值范围； （2）若集合，求集合N的元素之和； （3）已知a，b，c都大于0，且，记，求证: 【答案】（1）； （2）； （3） 证明：记， 则，且， 由，得 ，当且仅当时取等号，， 由，，得， 则， 同理，于是， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）求出二次函数在上的值域，确定集合中的最大元素，再由定义列出不等式求解. （2）借助基本不等式求出函数的值域，进而求出集合得解. （3）令，由已知结合基本不等式求出即可推理得证. 【小问1详解】 依题意，，当时，， 由集合M只有8个子集，得M只有三个元素，则， 因此，解得或，而， 所以a的取值范围是. 【小问2详解】 当时，当时，， 当时，，当且仅当时取等号，， 当时，，当且仅当时取等号， ，因此，， 所以的元素之和为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一上学期月考数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 集合表示平面直角坐标系中（ ） A. 第一象限内的点集 B. 第三象限内的点集 C. 第一、三象限内的点集 D. 第二、四象限内的点集 2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（ ） A. B. C. D. 4. 给出下列四个结论： ①“”是“”的充分不必要条件； ②若命题，则； ③若，则是的充分不必要条件； ④若命题q：对于任意为真命题，则 其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 不等式的解集为或，则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 设，若是的最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则最小值为（    ） A. B. 4 C. D. 2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，关于函数有以下四个命题，其中真命题是（ ） A. B. C. D. 11. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，.若，则的取值范围_____. 13. 函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为______________. 14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数 （1）若，求实数m及； （2）若，求的定义域； （3）若的定义域为，求实数m的取值范围. 16. 已知函数，且 （1）求的解析式； （2）已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数，若和只有一个是真命题，求实数的取值范围. 17. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 18. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 19. 设，记不大于的整数为，如 （1）若集合只有8个子集，求a的取值范围； （2）若集合，求集合N的元素之和； （3）已知a，b，c都大于0，且，记，求证: 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $