专题4-1 等可能下的概率（考点清单，知识导图+4个考点清单&10种题型解读+3种方法解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考点清单4-1 等可能下的概率 （4个考点梳理+10种题型解读+3种方法解读） 【清单01】概率的计算方法 概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，即. 用求概率时，试验需满足的条件：1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个； 2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等. 【清单02】列举法 定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 用列举法求概率的前提：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等. 【清单03】列表法 定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表法求概率的步骤： 1）把所有可能发生的试验结果列表表示出来； 2）把所求事件发生包含的可能结果都找出来； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 【清单04】画树状图法 定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 画树状图法求概率的步骤： 1）把所有可能发生的试验结果用树状图表示出来； 2）把所求事件发生包含的可能结果都找出来； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 【考点题型一】列举随机实验的所有可能结果 1．（20-21九年级下·浙江杭州·期中）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（    ） A．12 B．6 C．5 D．2 2．（20-21九年级上·全国·课后作业）小花从3种不同款式的帽子和2种不同款式的围巾中分别选一顶帽子和一条围巾搭配，可能出现的组合有（　　　） A．7种 B．6种 C．5种 D．4种 3．（2022·贵州六盘水·中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况． 【考点题型二】判断几个事件发生可能性的大小 4．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅均后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 5．（21-22九年级上·浙江温州·期末）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 6．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【考点题型三】根据概率公式计算概率 7．（24-25九年级上·江苏南通·期中）不透明袋子中有红球1个，黄球2个，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球，则取出的是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）一个袋中装有2个红球，1个白球，3个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，则下列有关可能性说法中，正确的是（   ） A．红球可能性最大 B．白球可能性最大 C．黄球可能性最大 D．三种小球的可能性相同 9．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一个小球从点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均相等的结果，那么，小球最终到达点的概率是（   ） A． B． C． D． 10．（22-23九年级上·浙江温州·期中）数学实践课上，王老师在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为 ，请求出m的值． 【考点题型四】已知概率求数量 11．（2024·江苏苏州·二模）文具店购进了20盒“”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“”铅笔，具体数据见下表： 混入“”铅笔数 0 1 2 盒数 6 m n (1)用等式写出m，n所满足的数量关系； (2)从20盒铅笔中任意选取了1盒，若“盒中混入1支“”铅笔的概率为，求这20盒中混入“”铅笔的数量的平均值． 12．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白两种颜色的球，其中红球个，白球若干，若从中任意摸出个球是红球的概率为． (1)不透明的盒子中有______个白球； (2)若从中一次性摸出个球，请用画树状图或列表的方法求摸出的两个球颜色不同的概率． 13．（21-22九年级上·广东汕头·期末）一个不透明的口袋里有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球． (1)若从中随意摸出一个球，则摸出黄球的概率为______________； (2)若从中随意摸出一个球是红球的概率为，求袋子中需再加入几个红球？ 14．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球4个，黑球8个． (1)先从袋子中取出（）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A、请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 _________ _________ (2)从袋子中取出个红球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的可能性大小是，求的值． 【考点题型五】列举法求概率 15．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，有7张扑克牌，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌上，若从中随机抽取一张，抽到方块的概率是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23七年级下·四川达州·期末）有五条线段，长度分别是，，，，，从中任取三条能构成三角形的概率是（  ） A． B． C． D． 17．（2023九年级上·江苏·专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有 种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是 同学．    18．（2023·江苏南京·三模）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的入选． (1)若已确定甲参加第一场比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率； (2)求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．   【考点题型六】列表法或树状图法求概率 19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：项目必考，再从，，，四项中随机抽考两项，则抽考两项恰好是，两项的概率是 ． 20．（2024·内蒙古·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ． 21．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当到的电路为通路状态时，系统正常工作，当到的电路为断路状态，系统不能正常工作． （1）方案1中电路为通路的概率为 ； （2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 （选填“方案1”或“方案2”）． 22．（24-25九年级上·江苏南通·期中）我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只能任意选择一条线路． (1)小强选择线路A的概率为__________； (2)请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率． 23．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． (1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为_________； (2)若设计一种游戏方案：从袋中同时任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏甲获胜的概率是多少?说明理由． 【考点题型七】几何概率 24．（21-22七年级下·山东烟台·期末）如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A．B．C． D． 25．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为 ． 26．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）如图，等腰内接于，，，则小针针尖落在内的概率为 ． 27．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案．（计算时π取3）    (1)求阴影部分的面积； (2)若在正方形中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率．（豆子落在弧上不计） 28．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑的个小正方形形成的图案． (1)一粒米随机落在图中所示的某个方格中每个方格除颜色外完全一样，求米粒落在阴影部分的概率； (2)将方格内空白的小正方形中取且只取个涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形，那么在备用图形中把该小正方形涂黑，如把涂黑请把满足条件的所有可能都在备用图中涂出来，并求出新图案是轴对称图形的概率． 【考点题型八】判断概率的公平性 29．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，转盘A中的4个扇形面积相等，转盘B中的6个扇形的面积相等，有人设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜． (1)用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率； (2)当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相加，如果所得的和是偶数，则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由． 30．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 31．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局． (1)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少． (2)如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?用列表法或画树状图法加以说明． (3)你认为这个游戏对小刚和小明公平吗?为什么? 32．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图所示的甲、乙两张图片形状完全相同，把这两张图片全部从中间剪断，再把4张形状相同的小图片混合在一起搅匀．小康和小英做游戏，小康先从这4张图片中随机地摸取一张（不放回），小英接着再随机地摸取一张． (1)小康抽到甲图片上半部分图片的概率是_____； (2)请用列表法或画树状图法列出所有可能出现的情况； (3)游戏规定：所抽取的两张图片中，能拼成一张完整的图片，那么小康获胜；否则小英获胜，你认为这个游戏公平吗？并说明理由． 【考点题型九】概率在转盘抽奖中的应用 33．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足200元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为230元．若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； 34．（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 35．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）为促进消费，助力经济发展，某商场决定举办抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球和编号为①②的2个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的3个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会． (1)求该顾客首次摸球中奖的概率； (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由． 36．（23-24九年级上·福建泉州·期末）在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：一次性购物满198元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，抽奖规则如下：抽奖者从该纸盒中依次摸出两个球（不放回）．已知该纸盒里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其它都相同． (1)当抽奖者从该纸盒中摸出第一个球时，抽到红球的概率是多少？ (2)该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如下表） 在线支付： 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 5 10 5 现金支付： 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 10 5 10 如果一个顾客当天在该商场一次性购物200元，他很想获得10元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由． 37．（23-24九年级上·青海西宁·期末）双十一期间，某商场为了吸引顾客，一次购物满500元可获得一次转转盘抽奖金的机会，如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成4个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止），参照下表获得对应的奖金． 颜色 白色 蓝色 黄色 红色 奖金（元） 10 20 50 80    (1)甲顾客一次购物300元，他获得奖金的概率是______； (2)乙顾客一次购物1100元，可参加两次转转盘抽奖金的机会，请用列表法或画树状图的方法求乙顾客两次共获得100元奖金的概率，并列出所有等可能的情况． 【考点题型十】概率的其它应用 38．（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由．     39．（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 40．（21-22七年级下·全国·单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．    (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少? (3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大? 41．（20-21九年级上·河南新乡·期中）小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点清单4-1 等可能下的概率 （4个考点梳理+10种题型解读+3种方法解读） 【清单01】概率的计算方法 概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率，即. 用求概率时，试验需满足的条件：1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个； 2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等. 【清单02】列举法 定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 用列举法求概率的前提：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等. 【清单03】列表法 定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 列表法求概率的步骤： 1）把所有可能发生的试验结果列表表示出来； 2）把所求事件发生包含的可能结果都找出来； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 【清单04】画树状图法 定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树状图法. 画树状图法求概率的步骤： 1）把所有可能发生的试验结果用树状图表示出来； 2）把所求事件发生包含的可能结果都找出来； 3）利用概率公式，计算出事件的概率． 【考点题型一】列举随机实验的所有可能结果 1．（20-21九年级下·浙江杭州·期中）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（    ） A．12 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可得解． 【详解】解：∵第一道门有A、B、C三个出口， ∴出第一道门有三种选择， 又∵第二道门有两个出口， 故出第二道门有D、E两种选择， ∴小松鼠走出笼子的路线有6种选择， 分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE， 故选B． 【点睛】本题考查了概率的知识，解题的关键是通过列举法列出所有可能性的路径． 2．（20-21九年级上·全国·课后作业）小花从3种不同款式的帽子和2种不同款式的围巾中分别选一顶帽子和一条围巾搭配，可能出现的组合有（　　　） A．7种 B．6种 C．5种 D．4种 【答案】B 【分析】利用画树状图分析所有可能情况，有3种不同款式的帽子为A、B、C，第一层，三个分支，有2种不同款式的围巾为D、E，是第二层，在每个分支上再画两个小分支即可知道所有的情形． 【详解】设3种不同款式的帽子为A、B、C，2种不同款式的围巾为D、E， 画树状图为： ， ∴可能出现的组合有6种， 故选择：B． 【点睛】本题考查树状图表示组合问题，掌握树状图的画法与分支以及层次是解题关键． 3．（2022·贵州六盘水·中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况． 【答案】5 【分析】先求出红桃牌的总张数为13张，再减去甲、乙红桃牌的张数可得剩下的红桃牌的张数，由此即可得． 【详解】解：一副牌去掉大小王后剩下张牌， 则红桃牌的总张数为（张）， 甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌， 剩下的红桃牌的张数为（张）， 所以丁的红桃牌的张数的所有可能情况为：0张、1张、2张、3张、4张，共有5种不同的情况， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了列举所有可能的结果，理解一副牌中红桃牌的总张数是解题关键． 【考点题型二】判断几个事件发生可能性的大小 4．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）一只不透明的袋子有1个白球，3个红球，4个黄球，这些球除颜色外都相同，搅均后从中任意摸出一个球，在下列事件发生概率最高的是（    ） A．摸到黄球 B．摸到红球 C．摸到白球 D．摸到黑球 【答案】A 【分析】分别求出摸到各种颜色的求的概率，再比较大小即可. 【详解】袋子中一共有个球，有1个白球，3个红球，4个黄球，没有黑球. ∴摸到白球的概率= 摸到黄球的概率= 摸到红球的概率= 摸到黑球的概率=0 ∴摸到黄球的概率最高. 故选：A 【点睛】本题主要考查了概率的计算，事件A发生的概率=.掌握概率的计算方法是解题的关键. 5．（21-22九年级上·浙江温州·期末）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】D 【分析】比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角度数最大，所以指针落在数字所示区域内可能性最大的是4号， 故选：D． 【点睛】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法． 6．（22-23八年级下·江苏宿迁·期中）有一个转盘（如图所示），被分成6个相等的扇形，颜色分为红、绿、黄三种，指针的位置固定．转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色；⑤指针不指向绿色． 思考各事件的可能性大小，然后回答下列问题：    (1)可能性最大和最小的事件分别是哪个？（用序号表示） (2)将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． 【答案】(1)⑤；② (2) 【分析】（1）分别求出各个事件的概率，即可比较出对应事件可能性大小关系； （2）根据所求的概率，即可得出答案． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色的概率为， ⑤指针不指向绿色的概率为， ∴可能性最大的是⑤，可能性最小的事件是②； （2）解：由（1）得：． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 【考点题型三】根据概率公式计算概率 7．（24-25九年级上·江苏南通·期中）不透明袋子中有红球1个，黄球2个，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球，则取出的是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵袋子中装有红球1个，黄球2个，每个球被摸到的概率相同， ∴从袋中随机取出一个球，则取出的是红球的概率是， 故选：B． 8．（24-25九年级上·浙江温州·期中）一个袋中装有2个红球，1个白球，3个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，则下列有关可能性说法中，正确的是（   ） A．红球可能性最大 B．白球可能性最大 C．黄球可能性最大 D．三种小球的可能性相同 【答案】C 【分析】本题考查可能性的大小即概率，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．分别用红球、白球或黄球的个数除以总球的个数，再比较即可得出答案． 【详解】解：∵不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和3个黄球，共有6个球， ∴摸到红球的可能性是， 摸到白球的可能性是， 摸到黄球的可能性是， ， ∴摸到黄球的可能性最大， 故选：C． 9．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，一个小球从点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均相等的结果，那么，小球最终到达点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据概率公式求概率．根据图形得出小球能够最终到达的点的所有可能情况数为4，小球最终到达H点的结果数为1，再根据概率公式可计算出小球最终到达H点的概率即可． 【详解】解：根据图形可知：小球最终到达的点有E、F、G、H，即共有4种等可能的结果数，其中小球最终到达H点的结果数为1， ∴小球最终到达H点的概率为． 故选：B． 10．（22-23九年级上·浙江温州·期中）数学实践课上，王老师在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是． (1)求任意摸出一个球是黑球的概率； (2)小明从盒子里取出m个白球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为 ，请求出m的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了求简单事件的概率， （1）由白球的概率可求得盒子里的总球数，进而求得黑球数，则可求得黑球的概率； （2）由红球的概率可得拿出白球后盒子中球的总数，进而求解即可． 【详解】（1）解：球的总数（个）， 黑球个数（个）  ，       ∴任意摸出一个球是黑球的概率为； （2）球的总数为（个），    ，    ∴m的值为3． 【考点题型四】已知概率求数量 11．（2024·江苏苏州·二模）文具店购进了20盒“”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“”铅笔，具体数据见下表： 混入“”铅笔数 0 1 2 盒数 6 m n (1)用等式写出m，n所满足的数量关系； (2)从20盒铅笔中任意选取了1盒，若“盒中混入1支“”铅笔的概率为，求这20盒中混入“”铅笔的数量的平均值． 【答案】(1) (2)1.15 【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）根据表格确定m，n满足的数量关系即可； （2）利用概率公式列式计算即可． 【详解】（1）解：观察表格发现：， ∴用等式写出m，n所满足的数量关系为， （2）解∵盒中混入1支“”铅笔的概率为， ∴， ∴， ∴这20盒中混入“”铅笔的数量的平均值为． 12．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白两种颜色的球，其中红球个，白球若干，若从中任意摸出个球是红球的概率为． (1)不透明的盒子中有______个白球； (2)若从中一次性摸出个球，请用画树状图或列表的方法求摸出的两个球颜色不同的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）设该袋子中白球的个数为，根据概率公式列得，求解即可； （）列表格表示所有可能出现的情况，确定摸出的两个球颜色不同的情况，根据概率公式计算即可； 本题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）设该袋子中白球的个数为， 依题意，得， 解得， 经检验，是方程的解且符合题意， ∴袋子中白球的个数是个， 故答案为：； （2）依题意，可以画出如下的树状图： 红 红 白 红 红红 白红 红 红红 白红 白 红白 红白 共有种等可能的情况，其中摸出的两个球颜色不同的有种， ∴摸出的两个球颜色不同的概率为． 13．（21-22九年级上·广东汕头·期末）一个不透明的口袋里有10个除颜色外形状大小都相同的球，其中有4个红球，6个黄球． (1)若从中随意摸出一个球，则摸出黄球的概率为______________； (2)若从中随意摸出一个球是红球的概率为，求袋子中需再加入几个红球？ 【答案】(1) (2)若从中随意摸出一个球是红球的概率为，袋子中需再加入8个红球 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）设袋子中需再加入x个红球，根据概率公式列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵共有10个球，其中6个黄球， ∴从中随意摸出一个球，则摸出黄球的概率为：； 故答案为：； （2）设袋子中需再加入x个红球． 依题意可列：， 解得， 经检验是原方程的解， 故若从中随意摸出一个球是红球的概率为，袋子中需再加入8个球． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 14．（22-23八年级下·江苏苏州·期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的12个小球，其中红球4个，黑球8个． (1)先从袋子中取出（）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A、请完成下列表格： 事件A 必然事件 随机事件 m的值 _________ _________ (2)从袋子中取出个红球并摇匀，随机摸出1个球是黑球的可能性大小是，求的值． 【答案】(1)4；2或3 (2)3 【分析】（1）当袋子中全部为黑球时，摸出黑球才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得的值即可． 【详解】（1）解：当袋子中全为黑球，即先从袋子中取出4个红球时，再从袋子中随机摸出1个球，摸到黑球是必然事件； ，当摸出2个或3个红球时，摸到黑球为随机事件， 事件 必然事件 随机事件 的值 4 2或3 （2）解：依题意，得， 解得， 所以的值为3． 【点睛】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．也考查了必然事件与随机事件． 【考点题型五】列举法求概率 15．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，有7张扑克牌，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌上，若从中随机抽取一张，抽到方块的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，运用列举法求出花色是方片的概率是解题的关键． 【详解】解：∵一共有张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，抽到方片牌有张， ∴抽到的花色是方片的概率为， 故选B． 16．（22-23七年级下·四川达州·期末）有五条线段，长度分别是，，，，，从中任取三条能构成三角形的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出五条线段任取三条的所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况，即可求出所求的概率． 【详解】解：所有的情况有：，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，；，，，共种，其中能构成三角形的有：，，；，，；，，，共种， 则． 故选：B． 【点睛】此题考查了列举法求概率，以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 17．（2023九年级上·江苏·专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加一次节日活动，很幸运的是他们都得到了一件精美的礼品（如图），他们每人只能从其中一串的最下端取一件礼品，直到礼物取完为止，甲第一个取得礼物，然后乙，丙，丁，戊依次取得第2到第5件礼物，当然取法各种各样，那么他们共有 种不同的取法．事后他们打开礼物仔细比较，发现礼物D最精美，那么取得礼物D可能性最大的是 同学．    【答案】 10 丙 【分析】本题考查了列举法求概率，概率公式的应用； 根据每人只能从其中一串的最下端取一件礼品得出所有取礼物的顺序，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：甲、乙、丙、丁、戊取礼物的顺序为： ①A、B、C、D、E； ②A、C、D、E、B； ③A、C、D、B、E； ④A、C、B、D、E； ⑤C、D、E、A、B； ⑥C、D、A、B、E； ⑦C、D、A、E、B； ⑧C、A、B、D、E； ⑨C、A、D、B、E； ⑩C、A、D、E、B． 则共有10种， 所以取得礼物D的概率分别为：，，， 所以取得礼物D可能性最大的是丙同学． 故答案为：10，丙． 18．（2023·江苏南京·三模）某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的入选． (1)若已确定甲参加第一场比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率； (2)求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率． 【答案】(1)另一位选手恰好是乙同学的概率 (2)选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率为 【分析】（1）利用列举法进行求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，甲参加第一场比赛时，有（甲，乙）、（甲，丙）两种可能， ∴另一位选手恰好是乙同学的概率； （2）解：画树状图如下：    由树状图知共有6种等可能结果，其中乙、丙两位同学参加第一场比赛的情况有2种， ∴选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率为． 【点睛】本题主要考查了列举法，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 【考点题型六】列表法或树状图法求概率 19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：项目必考，再从，，，四项中随机抽考两项，则抽考两项恰好是，两项的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中、两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解：列表得： 项目必考，再从、、、四项中随机抽考两项， 共有12种等可能的结果，恰好选中、两位同学的有2种情况， （恰好选中、． 故答案为：． 20．（2024·内蒙古·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机两次取出卡片的所有等可能的结果，再找出两次取到相同图案的卡片的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：将这4张卡片记为，画出树状图如下： 由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4种， 则两次取到相同图案的卡片的概率为， 故答案为：． 21．（2024·河北石家庄·二模）如图所示，方案1和方案2都是由2个电子元件和组成的电路系统，其中每个元件正常工作的概率均为，且每个元件能否正常工作互相不影响．当到的电路为通路状态时，系统正常工作，当到的电路为断路状态，系统不能正常工作． （1）方案1中电路为通路的概率为 ； （2）根据电路系统正常工作的概率，连接方案更稳定可靠的电路是 （选填“方案1”或“方案2”）． 【答案】 方案2 【分析】本题考查的是画树状图或列表法求解随机事件的概率，熟练的列表是解本题的关键． （1）先列表得到方案1的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可； （2）先列表得到方案2的所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算概率，再比较两个概率的大小即可． 【详解】解：（1）方案1所有情况如下表： ① ② 从到的电路共4种等可能结果，其中该电路为通路的有1种， 所以该电路为通路的概率为； 故答案为：， （2）方案2更稳定可靠，理由如下： 由（1）得，方案1中电路系统正常工作的概率为， 方案2中从到的电路的所有可能结果为，，共4种等可能结果，其中电路系统正常工作有3种，所以方案2中电路系统正常工作的概率为 方案2更稳定可靠． 故答案为：方案2． 22．（24-25九年级上·江苏南通·期中）我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只能任意选择一条线路． (1)小强选择线路A的概率为__________； (2)请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小强和小丽选择同一线路的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，小强选择线路A的概率为； 故答案为：； （2）列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中小强和小丽选择同一线路的结果有3种， ∴小强和小丽选择同一线路的概率为． 23．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀． (1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为_________； (2)若设计一种游戏方案：从袋中同时任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏甲获胜的概率是多少?说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案； （2）首先画出树状图，分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4， ∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：； 故答案为：； （2）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果， ∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有共6种情况， ∴ 【考点题型七】几何概率 24．（21-22七年级下·山东烟台·期末）如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．利用指针落在阴影区域内的概率阴影部分面积总面积，分别求出概率比较即可． 【详解】解：A、指针落在阴影区域内的概率为； B、指针落在阴影区域内的概率是； C、指针落在阴影区域内的概率为； D、指针落在阴影区域内的概率为， ， 指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D选项． 故选：D． 25．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，确定阴影部分的面积在整个图形中占的比例成为解题的关键． 用阴影部分的面积除以总面积即可解答． 【详解】解：∵的方格纸的面积为，阴影部分面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率是． 故答案为：． 26．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）如图，等腰内接于，，，则小针针尖落在内的概率为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，解题的关键是求出圆的半径．连接并延长交于点D，连接，根据针尖落在阴影区域的概率就是等腰三角形的面积与圆的面积之比，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点D，连接， ∵等腰内接于，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中 ，， ∴， 解得：， 即的半径为， ∴的面积为， ∴小针针尖落在内的概率为． 故答案为： 27．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长2为半径画弧，形成阴影部分的树叶图案．（计算时π取3）    (1)求阴影部分的面积； (2)若在正方形中随机撒一粒豆子，求豆子落在阴影区域内的概率．（豆子落在弧上不计） 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据阴影部分的面积等于半径为2的扇形的面积的2倍减去正方形的面积及扇形面积公式计算即可； （2）用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：由题意可得， 豆子落在阴影区域内的概率为． 【点睛】本题考查几何概率、扇形的面积公式，解题的关键是正确求出阴影部分的面积． 28．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑的个小正方形形成的图案． (1)一粒米随机落在图中所示的某个方格中每个方格除颜色外完全一样，求米粒落在阴影部分的概率； (2)将方格内空白的小正方形中取且只取个涂黑，如果得到的新图案是轴对称图形，那么在备用图形中把该小正方形涂黑，如把涂黑请把满足条件的所有可能都在备用图中涂出来，并求出新图案是轴对称图形的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式计算得出答案； （2）直接利用轴对称图形的性质结合概率公式得出答案． 【详解】（1）图中共有个方格，其中个方格是阴影， 所以，米粒随机落在阴影部分的概率为； （2）把空白中的或涂黑，新图案是轴对称图形． 所以，涂黑，，，，中任个小正方形，能得到新图案是轴对称图形的概率是． 【点睛】此题考查了利用轴对称设计图案以及几何概率，正确应用概率公式是解题关键． 【考点题型八】判断概率的公平性 29．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，转盘A中的4个扇形面积相等，转盘B中的6个扇形的面积相等，有人设计了如下游戏规则：甲、乙两人分别任意转动转盘A、B一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数相乘，如果所得的积是偶数，则甲获胜；若所得的积是奇数，则乙获胜． (1)用列表法或树状图求出甲、乙两人分别获胜的概率； (2)当此游戏规则修改为：当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的2个数字相加，如果所得的和是偶数，则甲获胜；若所得的和是奇数，则乙获胜，这样的规则公平吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)甲胜的概率，乙胜的概率； (2)这样的规则公平，见解析 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案； （2）根据题意画出树状图，展示所有等可能的结果，利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案． 【详解】（1）解：画树状图如图所示： ， 由树状图知，共有24种等可能结果，其中甲获胜的有18种结果，乙获胜的有6种结果， 所以甲胜的概率，乙胜的概率； （2）解：这样的规则公平， 理由：画树状图如图所示： ， 由树状图知，共有24种等可能结果，其中甲获胜的有12种结果，乙获胜的有12种结果， 所以甲胜的概率，乙胜的概率， 所以这样的规则公平． 30．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对双方公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 31．（23-24九年级上·贵州黔东南·阶段练习）小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局． (1)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少． (2)如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?用列表法或画树状图法加以说明． (3)你认为这个游戏对小刚和小明公平吗?为什么? 【答案】(1) (2) (3)公平，见解析 【分析】本题考查的是游戏的公平性、树状图法求概率， （1）易得总情况数为3，小刚出“象”牌的次数为1，结合概率公式求解即可； （2）结合题意画出树状图，则可能出现的结果有9种，其中小刚胜小明的结果有3种，由此结合概率公式计算即可； （3）结合树状图确定小明胜小刚的概率，比较二人获胜的概率的大小关系即可得出结论； 掌握概率公式是解决此题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得共3张牌，随机出牌， ∴P（一次出牌小刚出“象”牌）=； （2）在一次出牌小刚胜小明的概率为， 画树状图如图所示， 由树状图可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种， ∴P（一次出牌小刚胜小明）=； （3）公平．理由如下： 由树状图可求得P（一次出牌小明胜小刚）=， ∴P（一次出牌小刚胜小明）=P（一次出牌小明胜小刚），即两人获胜的概率相等， ∴这个游戏对小刚和小明公平． 32．（23-24九年级上·山西大同·期末）如图所示的甲、乙两张图片形状完全相同，把这两张图片全部从中间剪断，再把4张形状相同的小图片混合在一起搅匀．小康和小英做游戏，小康先从这4张图片中随机地摸取一张（不放回），小英接着再随机地摸取一张． (1)小康抽到甲图片上半部分图片的概率是_____； (2)请用列表法或画树状图法列出所有可能出现的情况； (3)游戏规定：所抽取的两张图片中，能拼成一张完整的图片，那么小康获胜；否则小英获胜，你认为这个游戏公平吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)游戏不公平 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用概率的计算公式计算即可； （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得出所有等可能的情况数即可； （3）分别求出小康和小英获胜的概率，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：小康抽取一张共有种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有种结果， ∴小康抽到甲图片上半部分图片的概率是； （2）设四张小图片分别用A，a，B，b表示，画树状图得：    （3）∵共有种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有种， ∴小康获胜的概率为； 摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有种， ∴小英获胜的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 【考点题型九】概率在转盘抽奖中的应用 33．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下： 1．抽奖方案有以下两种： 方案A，从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中； 方案B，从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是： 顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足200元，可根据方案B抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案A，B各抽奖一次）． 已知某顾客在该商场购买商品的金额为230元．若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率； 【答案】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为230元，只选择方案一进行抽奖，因此可以抽2次，由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元， 从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下： ∵共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种， ∴该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为． 34．（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 【答案】(1)顾客获得10元和50元赠券的概率分别是，； (2)方案一，见解析 【分析】本题考查游戏的公平性；根据乘法法则得到相应的概率是解决本题的关键． （1）第一次转得是黑色的概率为，第二次转得是白色的概率为，相乘即为获得10元的概率，同法可得获得50元的概率； （2）算出方案一中可能的概率，可获得资金为相应的钱数与概率的积的和，和10比较即可． 【详解】（1）解：设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 出现（黑，白）的概率， 获得10元奖券的概率为， 出现（白，白）的概率为， 获得50元奖券的概率为； （2）解：应选方案一 设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 中奖券金额与其概率的对应关系为： 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 概率 中奖额的预期为 元， ． 应该选择方案一． 35．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）为促进消费，助力经济发展，某商场决定举办抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球和编号为①②的2个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的3个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会． (1)求该顾客首次摸球中奖的概率； (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由． 【答案】(1) (2)他应往袋中加入黄球，理由见解析 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）用概率公式直接可得答案； （2）记往袋中加入的球为“新”，列表求出所有等可能的情况，分别求出新球为红色，黄色时获得精美礼品的概率，比较概率大小即可得到答案． 【详解】（1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，共3种等可能的结果． “首次摸得红球”的结果只有1种， 所以P（首次摸得红球），所以顾客首次摸球中奖的概率为． （2）他应往袋中加入黄球 理由：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下： 共有12种等可能结果． ①若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有4种，此时该顾客获得精美礼品的概率 ； ②若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有6种，此时该顾客获得精美礼品的概率 ； 因为， 所以， 所以他应往袋中加入黄球． 36．（23-24九年级上·福建泉州·期末）在春节来临之际，某商场开展“庆新年”有奖酬宾活动：一次性购物满198元，均可得到一次在不透明的纸盒里抽奖的机会，抽奖规则如下：抽奖者从该纸盒中依次摸出两个球（不放回）．已知该纸盒里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其它都相同． (1)当抽奖者从该纸盒中摸出第一个球时，抽到红球的概率是多少？ (2)该商场支持“在线支付”和“现金支付”两种付款方式，根据抽奖者的付款方式和球的颜色决定赠送相应券值的礼金券．（如下表） 在线支付： 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 5 10 5 现金支付： 球 两红 一红一白 两白 礼金券/元 10 5 10 如果一个顾客当天在该商场一次性购物200元，他很想获得10元的礼金券，你推荐他采用哪种支付方式？并说明理由． 【答案】(1) (2)选择在线支付购物．理由见解析 【分析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）求出去两种支付方式摸一次奖获10元礼金券的概率，比较即可得到结果． 【详解】（1）解：该纸盒里装有3个红球和2个白球， 现随机摸出一个球，这个球是红球的概率是． （2）解：选择在线支付购物．记袋子中的3个红球为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2， 在线支付购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（甲）， 现金支付购物摸一次奖获10元礼金券的概率是（乙）， 因为在线支付获奖的概率比现金支付获奖的概率大，所以选择在线支付购物． 37．（23-24九年级上·青海西宁·期末）双十一期间，某商场为了吸引顾客，一次购物满500元可获得一次转转盘抽奖金的机会，如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成4个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止），参照下表获得对应的奖金． 颜色 白色 蓝色 黄色 红色 奖金（元） 10 20 50 80    (1)甲顾客一次购物300元，他获得奖金的概率是______； (2)乙顾客一次购物1100元，可参加两次转转盘抽奖金的机会，请用列表法或画树状图的方法求乙顾客两次共获得100元奖金的概率，并列出所有等可能的情况． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）由题意可知，甲顾客不符合抽奖的条件，即可得到答案； （2）列表得出所有情况即可得到答案． 【详解】（1）解：， 甲顾客不能获得一次转转盘抽奖金的机会， 故他获得奖金的概率是； （2）解： 白 蓝 黄 红 白 （白，白） （白，蓝） （白，黄） （白，红） 蓝 （蓝，白） （蓝，蓝） （蓝，黄） （蓝，红） 黄 （黄，白） （黄，蓝） （黄，黄） （黄，红） 红 （红，白） （红，蓝） （红，黄） （红，红） 由表格可知，共有等可能的结果， 获得的奖金分别为元，元，元，元，元，元，元，元，元，元，元，元，元，元，元，元． 故乙顾客两次共获得100元奖金的概率为． 【考点题型十】概率的其它应用 38．（23-24九年级上·辽宁营口·阶段练习）某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可． 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 39．（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与． (1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是__________事件（填“随机”、“必然”、“不可能”）； (2)若袋中共有24个球，其中红球3个，黄球6个，黑球9个，则1次抽奖机会中，抽中一等奖的概率为__________；抽中二等奖的概率为___________；中奖的概率为____________； (3)现有足够多的球，请你从中选15个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率． 【答案】(1)随机 (2)，， (3)见解析 【分析】（1）根据“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”的定义判断即可； （2）利用概率公式直接进行计算． （3）设计摸球游戏中的球总数为，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数即可． 【详解】（1）解：小明可能中奖也可能不中奖 小明中奖是随机事件； 故答案为：随机； （2）解：袋中共有个球，其中红球个，黄球6个，黑球9个，且从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与， ， ， ． 故答案为：； （3）解：有足够多的球，从中选个球设计摸球游戏，使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都大于摸到黑球的概率， 只要球的总数为个，红球和白球个数相同，且多于黑球的个数， 可设计如下：选红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球个，其中红球和白球都是个，黑球个，其他的球都是黄色球． 【点睛】本题考查随机事件，概率公式，游戏设计，掌握概率的意义是解题的关键． 40．（21-22七年级下·全国·单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．    (1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少? (2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少? (3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大? 【答案】(1) (2)小玲胜小军的概率是 (3)当小玲摸到棋子B时，胜小军的概率最大 【分析】（1）画出树状图，根据概率公式进行作答即可； （2）已知小玲先摸到了棋子C，还剩9枚棋子，因为棋子C胜棋子D，只有４枚棋子，即可知道这一轮小玲胜小军的概率； （3）分情况讨论，根据概率的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，画出树状图：    共有个等可能的结果，小玲摸到棋子C的结果有3个， 所以若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是； （2）解：因为小玲先摸到了棋子C，若小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，那小军摸到棋子的结果有9个，只有当小军摸到棋子D，此时小玲胜小军，所以这一轮小玲胜小军的概率为； （3）解：①若小玲摸到A棋，小军摸到B，C棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ②若小莹摸到B棋，小军摸到D，C棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ③若小玲摸到C棋，小军摸到D棋，小玲胜， 小玲胜小军的概率是； ④若小玲摸到D棋，小军摸到A棋，小玲胜， ∴小玲胜小军的概率是； ∵，由此可见，小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率最大． 【点睛】本题考查了树状图法以及概率公式，正确掌握概率公式是解题的关键． 41．（20-21九年级上·河南新乡·期中）小明看到路边有人设排玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上，奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题； (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有________人中奖，奖金共________元，设摊者获利________元； (3)你会给小明什么合理化的建议？ 【答案】(1) (2)25，125，75 (3)谨慎参加类似游戏 【分析】（1）画树状图进行求解即可； （2）利用概率求人数，再用人数×奖金得到奖金数，再用交的总费用减去中奖费用即可得到获利多少； （3）谨慎参加类似游戏． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正反正、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况， ∴； （2），故约有25人中奖． 奖金共：（元）； 设摊者获利：（元）； 故答案为：25，125，75； （3）中奖概率太低，谨慎参加类似游戏． 【点睛】本题考查树状图法求概率．熟练掌握利用树状图法求概率是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$