15.2 分式运算（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

15.2 分式运算 【考点1:分式的乘除】 【考点2:同分母分式的加减】 【考点3:异分母分式的加减】 【考点4:分式混合运算】 【考点5: 分式化简求值】 【考点6:科学计数法】 【考点7:负指数整数幂】 知识点1：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点2：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点3：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点4：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点5：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【考点1:分式的乘除】 【典例1】分式计算： (1) (2)． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【考点2:同分母分式的加减】 【典礼2】计算： (1) (2)． 【变式2-1】计算：． 【变式2-2】化简：． 【变式2-3】计算下列各式． (1) (2) 【考点3:异分母分式的加减】 【典礼3】计算： (1)； (2)． 【变式3-1】计算： (1) (2) 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【变式3-3】计算： (1) (2)． 【考点4:分式混合运算】 【典例4】（1）化简：； （2）计算：． 【变式4-1】化简： 【变式4-2】计算： (1) (2)． 【变式4-3】化简． 【考点5: 分式化简求值】 【典例5】先化简，再求值：请从中选择一个数字a代入求值． 【变式5-1】先化简，再求值：，其中． 【变式5-2】先化简，再求值：，其中． 【变式5-3】先化简，再求值：，其中． 【考点6:科学计数法】 【典例6】是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为米，这一直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式6-1】芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据测，一粒芝麻的质量约为，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】某种生物孢子的直径为0.000063m，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】随着科技的进步，微电子技术飞跃发展，电子科学院的学生在实验室把半导体材料的尺寸大幅度缩小，某电子元件的面积大约为平方毫米，用科学记数法可表示为（ ） A． B． C． D． 【考点7:负指数整数幂】 【典例7】计算：． 【变式7-1】计算： 【变式7-2】计算：． 【变式7-3】计算    1．纳米是非常小的长度单位，1纳米米，某种病菌的长度约为50纳米，用科学记数法表示该病菌的长度，结果是（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果为（   ） A．3 B． C． D． 3．计算的结果为（      ） A． B．1 C． D． 4．计算的正确结果是（   ） A．2024 B． C． D． 5．若，则代数式的值为（    ） A． B． C．1 D．3 6．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 7．化简 的结果是（    ） A．2 B． C． D． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 9．将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（   ） A．20% B． C． D． 10．计算： ． 11．化简： ． 12．计算： ． 13．计算： ． 14．化简： (1)； (2)． 15．计算： 16．计算： (1) (2) 17．先化简，再求值：，其中． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.2 分式运算 【考点1:分式的乘除】 【考点2:同分母分式的加减】 【考点3:异分母分式的加减】 【考点4:分式混合运算】 【考点5: 分式化简求值】 【考点6:科学计数法】 【考点7:负指数整数幂】 知识点1：分式的乘除 分式的乘除法运算 乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 知识点2：分式的乘方 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为： （为正整数）. ⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数） ⑶、（是正整数） ⑷、（，是正整数，） ⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数） 知识点3：同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号， 当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误. （2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 知识点4：异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为： . 注意： （1） 异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分 式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式. 知识点5：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 【考点1:分式的乘除】 【典例1】分式计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，解题的关键是： （1）先把除法转换为乘法，同时因式分解，然后约分即可； （2）先计算分式的乘方，同时把除法转换为乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解∶ 原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； （）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再计算分式乘法即可； 此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除，能正确根据分式的乘除法法则进行计算是解此题的关键． （1）根据分式的乘除法法则进行计算即可； （2）根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法和除法运算，根据法则计算即可． （1）约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，再按乘法法则化简． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【考点2:同分母分式的加减】 【典礼2】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的加减． （1）同分母分式相加减，分母不变，分子相加，再结合因式分解化简即可； （2）先通分，再进行同分母分式的加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同分母分式减法计算，直接根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式2-2】化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据同分母分式的加减法计算即可求解． 【详解】解：． 【变式2-3】计算下列各式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）利用同分母分式减法法则计算即可； （2）通分化为同分母分式减法计算即可． 【详解】（1） （2） 【考点3:异分母分式的加减】 【典礼3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了异分母分式加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）先通分，再计算同分母分式减法； （2）先通分，再计算同分母分式加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3-1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的运算． （1）根据题意先通分再计算即可； （2）先通分再因式分解计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查分式的加减法计算， （1）根据分式加减法计算法则计算即可； （2）先通分，相加减，再化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式3-3】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的运算，整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先通分，再合并同类项计算，即可解答； （2）先根据平方差展开，再通分计算，最后约分，即可解答． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 【考点4:分式混合运算】 【典例4】（1）化简：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算括号内，利用异分母分式减法运算法则，通分化为同分母的分式再计算，再将除法化为乘法，然后对分式分子分母因式分解化简即可得到答案； （2）先计算括号内，利用异分母分式减法运算法则，通分化为同分母的分式再计算，再将除法化为乘法，然后对分式分子分母因式分解化简后，再由整式乘法运算求解即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查分式的化简，涉及异分母分式减法运算、通分、分式乘除运算、因式分解及整式乘法运算等知识，熟练掌握分式的混合运算法则是解决问题的关键． 【变式4-1】化简： 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算，先算括号再算除法，注意运用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 【变式4-2】计算： (1) (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-3】化简． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内的分式的加减运算，再把除法化为乘法，再约分即可． 【详解】解： ． 【考点5: 分式化简求值】 【典例5】先化简，再求值：请从中选择一个数字a代入求值． 【答案】，3 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代入一个使分式有意义的值，计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴当时，原式． 【变式5-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算小括号内的减法，再计算除法，结果化为最简分式，再将代入计算即可．掌握相应的运算法则，运算顺序及公式是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式5-2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 【变式5-3】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： = ， 当时， 原式． 【考点6:科学计数法】 【典例6】是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为米，这一直径用科学记数法表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：（米）， 故选：． 【变式6-1】芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据测，一粒芝麻的质量约为，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【详解】解：将数用科学记数法表示为， 故答案为：． 【变式6-2】某种生物孢子的直径为0.000063m，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选C． 【变式6-3】随着科技的进步，微电子技术飞跃发展，电子科学院的学生在实验室把半导体材料的尺寸大幅度缩小，某电子元件的面积大约为平方毫米，用科学记数法可表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 【考点7:负指数整数幂】 【典例7】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算负整数指数幂、乘方、绝对值、零指数幂，后算加减即可． 【详解】解： ． 【变式7-1】计算： 【答案】6 【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂的意义，以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据负整数指数幂和零指数幂的意义，以及积的乘方法则计算，再算加减． 【详解】解： ． 【变式7-2】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的运算，解题的关键是掌握相关运算．先进行开方、零指数幂，负整数指数幂的运算，绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【变式7-3】计算    【答案】7 【分析】本题主要考查了实数的运算．熟练掌握运算顺序和各运算法则，是解决本题的关键． 先化简绝对值，负指数幂，0指数幂，算术平方根，平方，再乘，最后加减． 【详解】 ． 1．纳米是非常小的长度单位，1纳米米，某种病菌的长度约为50纳米，用科学记数法表示该病菌的长度，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 50纳米米； 故选：C． 2．化简的结果为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．先将各分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．计算的结果为（      ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同分母分式减法，根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： 故选：B． 4．计算的正确结果是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 5．若，则代数式的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算分式的加法，再把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A 6．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘方及分式的乘法，先算乘方，再算乘法即可． 【详解】解：． 故选C． 7．化简 的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合法则是解决此题的关键． 先根据乘法分配律去括号，再根据分式的减法法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知可得，再代入分式计算即可，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴原式， 故选：． 9．将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（   ） A．20% B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式（分式），明确混合前后糖的质量等于混合前的质量之和且糖水前后总质量相等是解答本题的关键． 由题意可知：含糖的质量为，要求混合后的糖水含糖的百分比，只要用混合后糖的质量除以混合后糖水的质量再乘以即可． 【详解】解：由题意可得： 混合后的糖水含糖：． 故选：D． 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式的除法，解题的关键是掌握单项式除以单项式的运算法则：单项式除以单项式运算法则：单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，根据分式的运算法则计算再化简即可，掌握同分母分式的减法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂进行计算即可，掌握负整数指数幂和零指数幂是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握分式的加法法则．根据分式的加法法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 14．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了分式的混合计算： （1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ∙ （2）解：原式 ． 15．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把除法变成乘法后约分化简，再根据分式的减法计算法则求解即可． 【详解】解； ． 16．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，分式的加法计算： （1）根据异分母分式加法计算法则求解即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$