专题15.3 分式方程及应用（9个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版）

专题15.3 分式方程及应用（9个考点） 【考点1:分式方程定义】 【考点2:分式方程的解】 【考点3:解分式方程】 【考点4:分式方程的增根】 【考点5: 分式方程应用-工程问题】 【考点6:分式方程应用-行程问题】 【考点7:分式方程应用-销售问题】 【考点8: 分式方程应用-方案问题】 【考点9: 分式方程应用-其他问题】 【考点1:分式方程定义】 1．下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 4．关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【考点2:分式方程的解】 5．关于的分式方程的解为正数，则字母的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 6．已知分式方程的解为，则a的值为 ． 7．若关于的分式方程的解是正数，求的取值范围． 8．如果关于x的方程 的解为非负数，求k的取值范围 9．解分式方程：． 【考点3:解分式方程】 10．解下列分式方程： (1)； (2)． 11．解分式方程： (1)； (2)． 12．解分式方程： (1)； (2)． 13．解分式方程： 14．解分式方程： (1) (2) 【考点4:分式方程的增根】 15．若关于x的分式方程有增根，则（    ） A．1 B． C．3 D． 16．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B．1 C．或0 D．0或1 17．若分式方程有增根，则它的增根是 ． 18．如果关于的分式方程 有增根，那么的值为 ． 19．若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 20．若关于x的方程有增根，则 ． 21．已知关于x的方程． (1)当时，解方程； (2)若该方程有增根，求的值． 22．已知关于x的分式方程 (1)若该方程有增根，求m的值； (2)若该方程无解，求m的值． 【考点5: 分式方程应用-工程问题】 23．维修某段公路，现计划由甲、乙两工程队来完成，已知甲、乙两工程队合作6个月，可完成工程的甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成． (1)甲、乙两工程队单独完成此工程各需几个月？ (2)已知甲工程队每月费用为20万元，乙工程队每月费用为10万元．现要求15个月内完工，且施工总费用最低，如果甲、乙两工程队单独施工，那么甲、乙两工程队各应施工多长时间？ 24．某服装厂计划生产套男士西装，现安排甲、乙两个小组开始生产，两个小组生产的西装的总和等于计划生产的总和．已知甲组负责生产的西装数量的倍比乙组负责生产的西装数量多套． (1)请问甲、乙两个小组分别负责生产的西装是多少套？ (2)若乙组每天生产的套数是甲组每天生产套数的倍，如果两个组同时开始生产，那么乙组比甲组多用天完工，问甲、乙两个小组每天各生产多少套西装？ 25．科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时． (1)一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ (2)五一劳动节将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达件，该中心原有该型号的自动分拣流水线5条，进行小时作业，还有名工人，每天分拣8小时．现准备购买该型号的自动分拣流水线进行小时作业以解决分拣需求，则至少应再购买多少条？ 26．某小区为尽快排除内涝的积水，快速恢复正常生活，需铺设一段全长为300米的临时排水管道，为了减少施工对小区内群众生活造成的影响，实际施工时每小时的工作效率比原计划增加，结果提前1.5小时完成铺设任务．求原计划每小时铺设管道多少米？ 27．某市为了治理污水，需铺设一段全长为米的污水排放管道，铺了米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了，共用天完成了全部任务． (1)求原来每天铺设多少米管道？ (2)若承包商安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了，完成整个工程后承包商共支付工人工资元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？ 【考点6:分式方程应用-行程问题】 28．甲、乙两地之间的高速公路全长千米，比原来国道的长度减少了千米，高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在高速公路上行驶的速度． 29．甲、乙两船从相距的A,B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流速度为,若甲、乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中的速度． 30．为了提高道路的通行效率，阳泉市对大连街五渡口至保晋路口实行了灯控路口智能化改造，优化了交通信号灯配时，驾驶员只要控制好车速，便能达到“一路绿灯”的效果．据了解，该路段总长约4.2公里，改造后通过该路段的车辆的平均行驶速度提高了，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前通过该路段车辆的平均速度． 31．贵州有“桥梁博物馆”的美誉．世界第一高桥—北盘江大桥位于中国云南省和贵州省的交界处，桥面到江面的垂直距离为米，全长约为1341米．在大桥建成未营运之前，甲、乙两名工程师从桥的一端走到另一端，甲工程师步行先走12分钟后，乙工程师骑自行车出发，结果他们同时到达．已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，求甲工程师步行的速度和乙工程师骑自行车的速度． 32．列方程解应用题： 八年级学生去距学校米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了3分钟后，其余学生乘汽车出发，结果汽车比自行车提前1分钟到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 【考点7:分式方程应用-销售问题】 33．“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍． (1)求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？ (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？ 34．某工厂有40名工人，生产甲、乙两种摩托车配套零件，每个工人每天能加工甲种零件30个，或乙种零件20个． (1)若1个甲零件和2个乙零件配套成一个完整的部件，应怎样安排工人才能使一天生产的零件正好配套？ (2)该工厂将这种完整的部件销售给摩配公司，一月份的销售总额为30万元，受市场影响，二月份该工厂将一个完整部件的销售单价在一月份的基础上提高了，销量比一月份少了500个，结果二月份的销售总额比一月份多了3万元，求一月份每个完整部件的销售单价为多少元？ 35．春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种型号的“龙辰辰”布偶．已知用元购进甲的数量是用元购进乙的数量的倍，每件甲的进价比乙多元． (1)求甲、乙两种型号每件进价分别是多少元？ (2)该超市共购进甲、乙两种布偶个，然后将甲、乙的售价分别定价为元和元，全部销售完后共获利元，求购进甲种型号布偶多少个？ 36．为响应政府号召“推进生态文明，建设绿色城市”，某校组织师生开展了植树活动，在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．求甲、乙两种树苗每棵分别多少元？ 37．全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． (1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ (2)电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数，问电器商社有几种进货方案？如果两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润． 38．某商场预测某种衬衫能够畅销，用32000元购进了一批这种款式的衬衫，面市后很快脱销，该商场又用68000元购进第二批这种款式的衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价多了10元． (1)该商场两次一共购进这种款式的衬衫多少件？ (2)若这两批衬衫按相同的标价销售，最后的50件衬衫按标价的八折优惠售出，全部销售完两批衬衫后获利不低于18000元（不考虑其它因素），求每件衬衫的标价至少是多少元？ 39．倡导健康生活，推进全民健身，某社区计划整套购进A，B两种型号的健身器材，经了解，购买一套A型号健身器材的单价是B型号健身器材的1.5倍．用13500元购买A型号健身器材比用6000元购买B型号健身器材多3套，问每套A，B型号健身器材的单价各是多少？ 40．某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过48万元，则甲种农机具最多能购买多少件? 【考点8: 分式方程应用-方案问题】 41．某校每年的3月14日举行数学节“πDay”，为下学期的“πDay”做准备，小颖和小星到文具店去购买A，B两种魔方，下面是小颖与小星的对话： (1)求A、B两种魔方的单价． (2)若购买A、B两种魔方共30件，其中B种魔方的数量不少于A种魔方的数量，且购买总费用不超过582元，有几种购买方案，并写出购买方案． 42．北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生级地震．“一方有难，八方支援”，我市某中学响应号召，积极捐款，共募集资金16500元．其中9000元用来购买矿泉水，余下的钱购买了大米．已知购得的矿泉水数量是大米数量的2倍，且一袋大米比一箱矿泉水贵20元． (1)求矿泉水和大米的数量各是多少？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共5辆，一次性将这批矿泉水和大米全部运往灾区．已知每辆甲型货车最多可装矿泉水80箱和大米30袋，每辆乙型货车最多可装矿泉水50箱和大米40袋．问：安排甲、乙两种货车时共有哪几种方案？（备注：两种车型都要有）请你帮助设计出来． 43．第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕．学校准备用1600元购买A，B两种亚运会纪念徽章作为“魅力校园”的活动奖品，已知A种徽章比B种徽章每件多20元． (1)若700元用于购买A种徽章，剩下资金全部购买B种徽章，且购买B种徽章的数量是A种徽章数量的3倍．求A，B两种徽章每件的价格； (2)购买当日恰逢国庆促销，两种徽章均打八折销售，学校临时调整购买方案，在不超过原资金的前提下，准备购买A，B两种徽章共120件．问最多可以购买A种徽章多少件？ 44．易通汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．去年3月份销售总额为100万，今年A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，售出的A款汽车的数量与去年相同，但是销售总额比去年同期减少10万． 问题： (1)今年3月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车．已知A款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，售价7万．公司总部预计用至多105万元购入两款汽车共15辆，且要求利润不少于19万元，共有几种进货方案？ 45．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商场准备购进“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具共200个．已知：每个“冰墩墩”的进价比“雪容融”的进价多20元，用3000元购进“冰墩墩”的数量与用2400元购进“雪容融”的数量相同． (1)请求出“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具的进价； (2)若该商场分别以240元、160元的单价出售“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，并将这两款毛绒玩具的总利润拟定在不少于21700元，且不超过22300元之间．问该商场共有几种进货方案？ 46．为缅怀革命烈士的丰功伟绩，寄托对革命烈士的哀思，铜仁市某校组织八年级全体学生到万山区烈士陵园开展以“祭扫英烈”为主题的清明节扫墓活动．已知每辆60座客车的租金是45座客车租金的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆． (1)问每辆45座客车租金和每辆60座客车租金分别是多少元？ (2)该校八年级师生共有400人，计划租赁45座客车和60座客车共8辆，总租金不超过3600元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，租金多少？ 47．夏季来临，饮料进入销售旺季．某超市购进了甲、乙两种饮料进行销售．已知每瓶甲种饮料的进价比每瓶乙种饮料的进价少元，且用元购进甲种饮料的瓶数与用元购进乙种饮料的瓶数相同． (1)求甲、乙两种饮料每瓶的进价分别是多少元； (2)若该超市购进甲种饮料的瓶数比乙种饮料的瓶数的倍少瓶，且购进两种饮料的总瓶数不超过瓶．如果甲、乙两种饮料的售价分别是元/瓶和元/瓶，且将购进的甲、乙两种饮料全部售出后，可使销售两种饮料的总利润超过元，那么该超市购进甲、乙两种饮料有哪几种方案？ 【考点9: 分式方程应用-其他问题】 48．某生态示范村种植基地计划种植一批红山荞麦，原计划总产量要达到，为了满足市场需求，企业与农业专家进行种源研究和品种改良，目前已经培育出具有抗旱、抗寒、生育期延长的第四代红山荞麦品种，改良后平均每亩的产量是原计划的1.2倍，总产量比原计划增加2400kg，种植亩数减少了20亩（），求原计划平均每亩的产量． 49．为了迎接龙年的到来，某纪念品公司决定生产一批龙年纪念品挂件，有，两种型号的机器可以生产该纪念品挂件．已知型号机器20分钟生产的挂件与型号机器5分钟生产的挂件总量为325个，若型号机器平均每分钟生产挂件10个． (1)求型号机器平均每分钟生产挂件多少个？ (2)随着挂件的畅销，公司决定将，两种型号的机器进行智能升级，升级后的型号机器平均每分钟生产的挂件数量是升级后的型号机器的3倍，生产1800个挂件，型号机器比型号机器少用1小时20分钟，求升级后的，型号机器平均每分钟生产挂件各多少个？ 50．2024年3月12日植树节，和平路中学组织七、八年级的学生开展植树活动．已知七年级植树180棵与八年级植树240棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树70棵，求七年级平均每小时植树多少棵? 51．为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代，其中甲类生产线有10条，乙类生产线有20条．经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.3 分式方程及应用（9个考点） 【考点1:分式方程定义】 【考点2:分式方程的解】 【考点3:解分式方程】 【考点4:分式方程的增根】 【考点5: 分式方程应用-工程问题】 【考点6:分式方程应用-行程问题】 【考点7:分式方程应用-销售问题】 【考点8: 分式方程应用-方案问题】 【考点9: 分式方程应用-其他问题】 【考点1:分式方程定义】 1．下列各式中是关于x的分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，分式方程的定义：①形如的式子；②其中，均为整式，且中含有字母.根据分式方程的定义，即可得出答案. 【详解】解：A. ，B. ，C. 都是整式方程，故不符合题意； D. 是分式方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键，根据定义逐个分析判断即可． 【详解】①分母中含有未知数，是分式方程； ②，分母中不含有未知数，不是分式方程； ③关于的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； ④关于的方程，分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； ⑤不是等式，且分母中是常数，不是分式方程， 综上所述：是分式方程的有1个， 故选：A． 3．下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题的关键是熟练的掌握分式方程的定义．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程进行判断． 【详解】解：A． 方程分母中不含未知数，故不是分式方程； B． 方程分母中不含未知数x，故不是分式方程； C． 方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数，不是分式方程； D． 方程分母中含未知数x，故是分式方程． 故答案选D． 4．关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，结合，且为整数，为整数，得出可取，，，即可得解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， ∵，且为整数，为整数， ∴ ∴可取，，， ∴的可能取值的和为， 故选：B． 【考点2:分式方程的解】 5．关于的分式方程的解为正数，则字母的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了解分式方程以及分式方程有意义的条件，将a看做已知数求出分式方程的解得到x的值，根据解为正数列出不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 解得：， 根据题意得：即． 又∵， ∴， ∴， 解得∶， ∴的取值范围为且． 故选：C． 6．已知分式方程的解为，则a的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了分式方程解的意义，将代入分式方程即可得出答案． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：7． 7．若关于的分式方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】的取值范围为且． 【分析】本题主要考查了解分式方程，先根据解分式方程的一般步骤求出的表达式，然后根据分式方程的解为正数列不等式求解即可，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ； ∵关于的分式方程的解是正数， ∴， 解得：且， ∴的取值范围为且． 8．如果关于x的方程 的解为非负数，求k的取值范围 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 而是分式方程的增根，当时，， 因此k的取值范围为且． 9．解分式方程：． 【答案】 【详解】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，结合完全平方公式和平方差公式解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：， 整理得：， 即， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解是． 【考点3:解分式方程】 10．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查解分式方程， （1）在方程两边同乘以，将原方程化为整式方程，解方程后再验根，即可得解； （2）在方程两边同乘以，将原方程化为整式方程，解方程后再验根，即可得解； 熟练掌握分式方程的解法的一般步骤，注意对所得的解进行检验是解题的关键． 【详解】（1）解：在方程两边同乘以， 得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）在方程两边同乘以， 得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增解， ∴原方程无解． 11．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程， （1）根据解分式方程的方法求解即可； （2）根据解分式方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 化系数为1得，， 把代入 ，是原方程增根， ∴原方程无解． （2）解：， 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 把代入 ， ∴是原方程的解． 12．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程， 对于（1），先去分母，再去括号，移项合并同类项，求出解，然后检验即可； 对于（2），仿照（1）解答即可． 【详解】（1）解：两边同时乘得：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程无解； （2）方程两边同时乘得：， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 解得：， 检验：是原分式方程的解． 13．解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先去分母，合并同类项，即可求解，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 14．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解； (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根 （1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可； （2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可． 【详解】（1）解：去分母得， 解得， 当时， ， 所以原方程无解； （2）解：去分母得， 解得， 当时， ， 所以是原方程的解； 【考点4:分式方程的增根】 15．若关于x的分式方程有增根，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的增根，将分式方程化为整式方程得，由分式方程有增根的条件得，将其代入整式方程即可求解；理解增根满足的条件：“①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零；”是解题的关键． 【详解】解：去分母得， ， 原方程有增根， ， 解得：， ， 解得：， 故选：C． 16．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B．1 C．或0 D．0或1 【答案】A 【分析】本题考查分式方程增根问题．根据题意变形为整式方程，再将增根代入即可得到本题答案． 【详解】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∵是方程的增根， ∴，解得：， 故选：A． 17．若分式方程有增根，则它的增根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的意义和产生过程，是解决问题的关键．去分母化分式方程为整式方程，让最简公分母，得到或，然后代入整式方程算出a的值，即可确定增根． 【详解】解：由， 去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时， ， 解得； 当时， ， 矛盾，a不存在． 故答案为：． 18．如果关于的分式方程 有增根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是熟练掌握增根的概念，可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此解答即可． 【详解】解：， 去分母得：， 即， 关于的分式方程有增根， ，即， ， 解得：． 故答案为：． 19．若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了分式方程无解的情况，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程时，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得出，求出x的值，代入整式方程即可求出a的值． 【详解】解：， 分式方程去分母得：， 即， 由分式方程有增根得：， 解得：， 将代入整式方程得：， 解得：． 故答案为：2． 20．若关于x的方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根和解分式方程，根据增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，确定增根的可能值，让最简公分母即可，正确理解增根的定义及熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得， ∵分式方程的最简公分母是，原方程有增根， ∴， ∴增根是， ∴， 故答案为：． 21．已知关于x的方程． (1)当时，解方程； (2)若该方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的增根等知识点，掌握解分式方程的方法和步骤是解答本题的关键． （1）将代入方程，然后解分式方程即可； （2）先将分式方程化成整式方程，然后将代入求得a即可解答． 【详解】（1）当时，原方程为：， 方程两边同乘，得，, 解得：， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2） 方程两边同乘，得， 解得：， ∵方程有增根， ∴ 当时，代入中， 解得：． 的值为：． 22．已知关于x的分式方程 (1)若该方程有增根，求m的值； (2)若该方程无解，求m的值． 【答案】(1)或 (2)或或 【分析】本题考查了分式方程的解和增根，（1）先把分式方程化成整式方程，再根据分式方程有增根的条件可得增根为或，即可求解； （2）由（1）可知，当或时，该方程有增根，即无解，再根据分式方程无解的条件可得当时，x无意义即无解，即可求解． 【详解】（1）解：化成整式方程得，， 即， 若该方程有增根，则增根为或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，当或时，该方程有增根； （2）解：由（1）可知，当或时，该方程有增根，即无解， 去分母后的整式方程为：， 当时，即时，x无意义即无解， 综上知：若原分式方程无解，则或或． 【考点5: 分式方程应用-工程问题】 23．维修某段公路，现计划由甲、乙两工程队来完成，已知甲、乙两工程队合作6个月，可完成工程的甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成． (1)甲、乙两工程队单独完成此工程各需几个月？ (2)已知甲工程队每月费用为20万元，乙工程队每月费用为10万元．现要求15个月内完工，且施工总费用最低，如果甲、乙两工程队单独施工，那么甲、乙两工程队各应施工多长时间？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此工程需12个月，乙工程队单独完成此工程需16个月 (2)甲工程队应施工3个月，乙工程队应施工12个月 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用： （1）先求出两个工程队合作的效率，设甲工程队单独完成此工程需x个月，根据甲工程队先独做6个月，剩下的由乙工程队独做8个月才能完成，列出分式方程进行求解即可； （2）设甲工程队施工个月，则乙工程队施工个月，根据题意，列出不等式求出的范围，再根据施工总费用最低进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：甲乙两队合作的效率为：， 设甲单独完成此工程需要个月，则乙的工效为 ，由题意，得： ， 解得：，经检验，是原方程的的解， ∴， 答：甲工程队单独完成此工程需12个月，乙工程队单独完成此工程需16个月； （2）解：设甲工程队施工个月，则乙工程队施工个月， 由题意，得：， 解得：； ∵甲队每月费用20万元，乙队每月费用10万元，10万元万元， ∴在要求完成时间内，甲工程队施工时间越短，施工总费用越低， ∴当甲工程队施工3个月时，剩下的由乙做需要的费用最低， 乙工程队施工的月为：（个）月， 答：施工总费用最低时，甲工程队施工3个月，乙工程队施工12个月． 24．某服装厂计划生产套男士西装，现安排甲、乙两个小组开始生产，两个小组生产的西装的总和等于计划生产的总和．已知甲组负责生产的西装数量的倍比乙组负责生产的西装数量多套． (1)请问甲、乙两个小组分别负责生产的西装是多少套？ (2)若乙组每天生产的套数是甲组每天生产套数的倍，如果两个组同时开始生产，那么乙组比甲组多用天完工，问甲、乙两个小组每天各生产多少套西装？ 【答案】(1)甲组负责生产的西装数量为套，乙组负责生产的西装数量为套 (2)甲组每天生产的西装数量为套，乙组每天生产的西装数量为套 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设甲组负责生产的西装数量为套，乙组负责生产的西装数量为套，根据题意列出方程组即可求解； （2）设甲组每天生产的西装数量为套，则乙组每天生产的西装数量为套，根据“乙组比甲组多用天完工”，列出分式方程即可求解． 【详解】（1）解：设甲组负责生产的西装数量为套，乙组负责生产的西装数量为套， 根据题意可得：， 解得：， 甲组负责生产的西装数量为套，乙组负责生产的西装数量为套； （2）解：设甲组每天生产的西装数量为套，则乙组每天生产的西装数量为套， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 甲组每天生产的西装数量为套，乙组每天生产的西装数量为套． 25．科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，一条某型号的自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时． (1)一条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ (2)五一劳动节将至，某转运中心预计每日需分拣的包裹量高达件，该中心原有该型号的自动分拣流水线5条，进行小时作业，还有名工人，每天分拣8小时．现准备购买该型号的自动分拣流水线进行小时作业以解决分拣需求，则至少应再购买多少条？ 【答案】(1)一条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹 (2)至少应再购买2条自动分拣流水线 【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用， （1）设1名工人每小时分拣x件包裹，这条自动分拣流水线每小时分拣4x件包裹，用一条自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时，据此列方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设再购买该型号的自动分拣流水线y条，预计每日需分拣的包裹量高达件，据此列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设1名工人每小时分拣x件包裹，这条自动分拣流水线每小时分拣4x件包裹， 根据题意，得 解得， 检验是原分式方程的解， ∴ 答：一条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹； （2）设再购买该型号的自动分拣流水线y条，根据题意，得 解得， 答：至少应再购买2条自动分拣流水线 26．某小区为尽快排除内涝的积水，快速恢复正常生活，需铺设一段全长为300米的临时排水管道，为了减少施工对小区内群众生活造成的影响，实际施工时每小时的工作效率比原计划增加，结果提前1.5小时完成铺设任务．求原计划每小时铺设管道多少米？ 【答案】40米 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设原计划每小时铺设管道米，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原计划每小时铺设管道米． 解得． 经检验是原方程的解且符合题意． 答：原计划每小时铺设管道40米． 48．为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠2000米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠100米．乙施工队修建160米后，通过技术更新，每天比原来多修建．灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？ 【答案】乙施工队原来每天修建灌溉水渠米． 【分析】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的运用． 设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米，根据题意，列出方程，解出方程，即可． 【详解】解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米， 两施工队修建的长度为（米）， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠米． 27．某市为了治理污水，需铺设一段全长为米的污水排放管道，铺了米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原来提高了，共用天完成了全部任务． (1)求原来每天铺设多少米管道？ (2)若承包商安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了，完成整个工程后承包商共支付工人工资元，请问安排工人加班前每天需支付工人工资多少元？ 【答案】(1)原来每天铺设米管道． (2)安排工人加班前每天需支付工人工资元． 【分析】本题考查的知识点是分式方程、一元一次方程，解题关键是正确理解题意并列出对应方程． （1）设原来每天铺设米管道，则安排工人加班后每天铺设米管道，根据题意列出分式方程后求解即可，注意分式方程需检验； （2）设安排工人加班前每天需支付工人工资元，则安排工人加班后每天需支付工人工资元，根据题意列出一元一次方程后求解即可． 【详解】（1）解：设原来每天铺设米管道，则安排工人加班后每天铺设米管道， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：原来每天铺设米管道． （2）解：设安排工人加班前每天需支付工人工资元，则安排工人加班后每天需支付工人工资元， 根据题意得：， 即， 解得：． 答：安排工人加班前每天需支付工人工资元． 【考点6:分式方程应用-行程问题】 28．甲、乙两地之间的高速公路全长千米，比原来国道的长度减少了千米，高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在高速公路上行驶的速度． 【答案】该长途汽车在高速公路上行驶的速度千米/时． 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解此题的关键在于根据题意设出未知数，找到题中相等关系的量列出方程，注意一定要验根．设长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，则再高速公路行驶的速度为千米/时，根据“甲地到乙地的行驶时间缩短了一半”列出关于x的分式方程，然后求解方程即可． 【详解】解：设长途汽车在原来行驶的速度为x千米/时，则在高速公路行驶的速度为千米/时， 根据题意可列方程为：， 解得 经检验，是分式方程的解且符合题意， ， 答：该长途汽车在高速公路上行驶的速度千米/时． 29．甲、乙两船从相距的A,B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流速度为,若甲、乙两船在静水中的速度相同，求两船在静水中的速度． 【答案】两船在静水中的速度为 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．设两船在静水中的速度为 ，根据两船行驶时间相同可得得：，解方程并检验可得答案． 【详解】解：设两船在静水中的速度为, 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：两船在静水中的速度为． 30．为了提高道路的通行效率，阳泉市对大连街五渡口至保晋路口实行了灯控路口智能化改造，优化了交通信号灯配时，驾驶员只要控制好车速，便能达到“一路绿灯”的效果．据了解，该路段总长约4.2公里，改造后通过该路段的车辆的平均行驶速度提高了，平均行驶时间减少了3分钟，求改造前通过该路段车辆的平均速度． 【答案】改造前通过该路段车辆的平均速度是千米∕小时． 【分析】本题考查分式方程的应用．设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时，根据“行驶4.2千米，平均行驶时间减少了3分钟”列出方程并解答． 【详解】解：设改造前通过该路段车辆的平均速度x千米/小时，则改造后通过该路段车辆的平均速度是千米/小时， 由题意，得． 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． 答：改造前通过该路段车辆的平均速度是千米∕小时． 31．贵州有“桥梁博物馆”的美誉．世界第一高桥—北盘江大桥位于中国云南省和贵州省的交界处，桥面到江面的垂直距离为米，全长约为1341米．在大桥建成未营运之前，甲、乙两名工程师从桥的一端走到另一端，甲工程师步行先走12分钟后，乙工程师骑自行车出发，结果他们同时到达．已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，求甲工程师步行的速度和乙工程师骑自行车的速度． 【答案】甲工程师步行的速度为米/分；乙工程师骑自行车的速度为米/分 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲工程师步行的速度为每分钟米，则乙工程师骑自行车的速度为每分钟米，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设甲工程师步行的速度为每分钟米，则乙工程师骑自行车的速度为每分钟米．根据题意， 得， 解得， 经检验是原分式方程的解， ． 答：甲工程师步行的速度为米/分；乙工程师骑自行车的速度为米/分． 32．列方程解应用题： 八年级学生去距学校米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了3分钟后，其余学生乘汽车出发，结果汽车比自行车提前1分钟到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设骑车学生的速度为，则汽车的速度是，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：设骑车学生的速度为，则汽车的速度是， 依题意得，， 解得：． 经检验：是原方程的解． 答：骑车学生的速度为． 【考点7:分式方程应用-销售问题】 33．“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍． (1)求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？ (2)相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？ 【答案】(1)每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元． (2)应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用以及一元一次不等式的应用． （1）设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，根据用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍列出分式方程求解即可． （2）设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，根据题意列出关于m的一元一次不等式，求解，再根据甲乙种数苗的单价即可得出结论． 【详解】（1）解：设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元， 根据题意有：， 解得： 经检验，是分式方程的解， ∴， ∴每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元． （2）解：设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵， 根据题意有：， 解得：， ∵甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元， ∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低， 故应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵． 34．某工厂有40名工人，生产甲、乙两种摩托车配套零件，每个工人每天能加工甲种零件30个，或乙种零件20个． (1)若1个甲零件和2个乙零件配套成一个完整的部件，应怎样安排工人才能使一天生产的零件正好配套？ (2)该工厂将这种完整的部件销售给摩配公司，一月份的销售总额为30万元，受市场影响，二月份该工厂将一个完整部件的销售单价在一月份的基础上提高了，销量比一月份少了500个，结果二月份的销售总额比一月份多了3万元，求一月份每个完整部件的销售单价为多少元？ 【答案】(1)应安排10名工人生产甲零部件，30名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套 (2)一月份每个完整部件的销售单价为50元 【分析】该题主要考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式． （1）设应安排名工人生产甲零部件，名工人生产乙零部件，根据题意列出方程求解即可； （2）设一月份每个完整部件的销售单价为y万元，则二月份每个完整部件的销售单价为万元，根据题意列出方程求解即可 【详解】（1）解：设应安排名工人生产甲零部件，名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套． 依题意，得． 解得，所以． 答：应安排10名工人生产甲零部件，30名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套． （2）解：设一月份每个完整部件的销售单价为y万元，则二月份每个完整部件的销售单价为万元， 依题意，得， 解得：万元元， 经检验：是方程的解，且符合题意， 故一月份每个完整部件的销售单价为50元． 35．春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种型号的“龙辰辰”布偶．已知用元购进甲的数量是用元购进乙的数量的倍，每件甲的进价比乙多元． (1)求甲、乙两种型号每件进价分别是多少元？ (2)该超市共购进甲、乙两种布偶个，然后将甲、乙的售价分别定价为元和元，全部销售完后共获利元，求购进甲种型号布偶多少个？ 【答案】(1)甲种型号每件进价是元，乙种型号每件进价是元 (2)购进甲种型号布偶个 【分析】本题考查一元一次方程，分式方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握进价、销售量、利润之间的关系． （1）甲种型号每件进价是x元，则乙种型号每件进价是元，列出方程求解即可； （2）根据利润（售价进价）数量进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲种型号每件进价是x元，则乙种型号每件进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种型号每件进价是元，乙种型号每件进价是元； （2）设购进甲种型号布偶个，则购进乙种型号布偶个， 由题意得：， 解得：， 答：购进甲种型号布偶个． 36．为响应政府号召“推进生态文明，建设绿色城市”，某校组织师生开展了植树活动，在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少6元．求甲、乙两种树苗每棵分别多少元？ 【答案】甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵34元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元．根据“用800元购买甲种树苗的棵数与用680元购买乙种树苗的棵数相同”列出分式方程求解即可； 【详解】解：设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元． 依题意列方程得，， ， 解得， 经检验是原方程的根． 当时，． 答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵34元． 37．全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，电器商社从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同． (1)求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？ (2)电器商社决定用不超过14000元从厂家购进A，B两种型号的空气净化器共10台，且B型空气净化器的台数少于A型空气净化器的台数，问电器商社有几种进货方案？如果两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售，请你在上述方案中选一个方案使得电器商社在销售完10台空气净化器能获得最多利润． 【答案】(1)每台型空气净化器、每台型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； (2)一种方案，且最多利润为6900元 【分析】（1）设每台种空气净化器为元，种净化器为元，根据用6000元购进种空气净化器的数量与用7500元购进种空气净化器的数量相同，列方程求解； （2）根据题意列出不等式，进行解答即可； 本题考查了一元二次方程及分式方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，注意分式方程应该检验，难度不大． 【详解】（1）解：设每台型空气净化器为元，型净化器为元， 由题意得，， 解得：， 经检验是原方程的根， 则， 答：每台型空气净化器、每台型空气净化器的进价分别为1200元，1500元； （2）解：设型空气净化器购进台，则型空气净化器台 则 得的范围， ∵为整数 ∴， 故一种方案． ∵两种型号的空气净化器在进价的基础上都加价50％销售， ∴（元） 38．某商场预测某种衬衫能够畅销，用32000元购进了一批这种款式的衬衫，面市后很快脱销，该商场又用68000元购进第二批这种款式的衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价多了10元． (1)该商场两次一共购进这种款式的衬衫多少件？ (2)若这两批衬衫按相同的标价销售，最后的50件衬衫按标价的八折优惠售出，全部销售完两批衬衫后获利不低于18000元（不考虑其它因素），求每件衬衫的标价至少是多少元？ 【答案】(1)商场两次一共购进这种款式的衬衫600件； (2)每件衬衫的标价至少是200元． 【分析】本题考查分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键． （1）设该商场第一次购进这种衬衫x双，则第二次购进数量为双，根据关键语句“每双进价多了10元”可得等量关系：第一次购进运动鞋的单价第二次购进运动鞋的单价，根据等量关系列方程解题即可； （2）设每件衬衫的标价至少是y元，由题意可得不等量关系：总售价总进价，根据等量关系列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）设第一批购进衬衫件，则第二批购进衬衫件． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解． （件）． 答：该商场两次一共购进这种款式的衬衫600件． （2）设每件衬衫的标价至少是y元， 依题意得∶ ， 解得∶， 答∶每件衬衫的标价至少是200元． 39．倡导健康生活，推进全民健身，某社区计划整套购进A，B两种型号的健身器材，经了解，购买一套A型号健身器材的单价是B型号健身器材的1.5倍．用13500元购买A型号健身器材比用6000元购买B型号健身器材多3套，问每套A，B型号健身器材的单价各是多少？ 【答案】每套A，B两种型号健身器材的单价分别是1500元，1000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每套型号健身器材的单价为元，则每套型号健身器材的单价为元，根据用13500元购买型号健身器材比用6000元购买型号健身器材多3套，列出分式方程，解方程即可．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设每套型号健身器材的单价为元，则每套型号健身器材的单价为元． 根据题意，可得， 解得． 经检验是原方程的解且符合实际． （元）． 答：每套A，B两种型号健身器材的单价分别是1500元，1000元 40．某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过48万元，则甲种农机具最多能购买多少件? 【答案】(1)购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需3万元，2万元 (2)甲种农机具最多能购买8件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （）设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元，利用数量＝总价÷单价，结合用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出购买件乙种农机具所需费用，再将其代入中即可求出购买件甲种农机具所需费用； （）设甲种农机具购买件，利用总价＝单价×数量，结合购买的总费用不超过48万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙种农机具一件需万元，则甲种农机具一件需万元 根据题意得： ； 解得： ； 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴一台甲种农机具需万元． 答：购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需3万元，2万元； （2）解：设甲种农机具购买件，则乙种农机具购买件， 由题意得； 解得； 答：甲种农机具最多能购买8件． 【考点8: 分式方程应用-方案问题】 41．某校每年的3月14日举行数学节“πDay”，为下学期的“πDay”做准备，小颖和小星到文具店去购买A，B两种魔方，下面是小颖与小星的对话： (1)求A、B两种魔方的单价． (2)若购买A、B两种魔方共30件，其中B种魔方的数量不少于A种魔方的数量，且购买总费用不超过582元，有几种购买方案，并写出购买方案． 【答案】(1)A、B两种魔方的单价分别为16元和22元 (2)有3种购买方案，见详解 【分析】本题主要考查分式方程的应用和一元一次不等式组的应用， 设A、B两种魔方的单价分别为x元和y元，根据题意列出方程组求解即可； 结合两种魔方得单价列出不等式组求得可能的情况，再结合单价求出购买方案． 【详解】（1）解：设A、B两种魔方的单价分别为x元和y元，则 ，解得， 答：A、B两种魔方的单价分别为16元和22元； （2）解：设购进x个A款魔方，则购进个B款魔方， 根据题意得：， 解得：， 有3种购买方案： 第一种：购进13个A款魔方，则购进（个）B款魔方，购买总费用（元）； 第二种：购进14个A款魔方，则购进（个）B款魔方，购买总费用（元）； 第三种：购进15个A款魔方，则购进（个）B款魔方，购买总费用（元）． 42．北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃临夏州积石山县发生级地震．“一方有难，八方支援”，我市某中学响应号召，积极捐款，共募集资金16500元．其中9000元用来购买矿泉水，余下的钱购买了大米．已知购得的矿泉水数量是大米数量的2倍，且一袋大米比一箱矿泉水贵20元． (1)求矿泉水和大米的数量各是多少？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共5辆，一次性将这批矿泉水和大米全部运往灾区．已知每辆甲型货车最多可装矿泉水80箱和大米30袋，每辆乙型货车最多可装矿泉水50箱和大米40袋．问：安排甲、乙两种货车时共有哪几种方案？（备注：两种车型都要有）请你帮助设计出来． 【答案】(1)购得大米150袋，矿泉水300箱 (2)方案有以下3种：①甲种2辆，乙种3辆；②甲种3辆，乙种2辆；③甲种4辆，乙种1辆 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设购得大米袋，则购得矿泉水箱，根据一袋大米比一箱矿泉水贵20元列出方程求解即可； （2）设甲型号货车辆，则乙型号货车辆，根据两辆车装的大米数要大于等于150，矿泉水数要大于等于300列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设购得大米袋，则购得矿泉水箱， 根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（箱） 答：购得大米150袋，矿泉水300箱． （2）解：设甲型号货车辆，则乙型号货车辆． 根据题意得： ，      解得：， ∵为整数，且两种车型都要有， ∴或3或4， ∴方案有以下3种：①甲种2辆，乙种3辆；②甲种3辆，乙种2辆；③甲种4辆，乙种1辆 43．第十九届亚运会于2023年9月23日在杭州开幕．学校准备用1600元购买A，B两种亚运会纪念徽章作为“魅力校园”的活动奖品，已知A种徽章比B种徽章每件多20元． (1)若700元用于购买A种徽章，剩下资金全部购买B种徽章，且购买B种徽章的数量是A种徽章数量的3倍．求A，B两种徽章每件的价格； (2)购买当日恰逢国庆促销，两种徽章均打八折销售，学校临时调整购买方案，在不超过原资金的前提下，准备购买A，B两种徽章共120件．问最多可以购买A种徽章多少件？ 【答案】(1)A，B两种徽章每件的价格分别为35元，15元 (2)最多可以购买A种徽章10件 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设A种徽章每件的价格为x元， 则B种徽章每件的价格，根据700元用于购买A种徽章，剩下资金全部购买B种徽章，且购买B种徽章的数量是A种徽章数量的3倍列出方程求解即可； （2）设购买A种徽章m件，则购买B种徽章件，根据总资金不超过1600元累出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设A种徽章每件的价格为x元， 则B种徽章每件的价格 由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A，B两种徽章每件的价格分别为35元，15元； （2）解：设购买A种徽章m件，则购买B种徽章件， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为10， 答：最多可以购买A种徽章10件． 44．易通汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．去年3月份销售总额为100万，今年A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，售出的A款汽车的数量与去年相同，但是销售总额比去年同期减少10万． 问题： (1)今年3月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车．已知A款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，售价7万．公司总部预计用至多105万元购入两款汽车共15辆，且要求利润不少于19万元，共有几种进货方案？ 【答案】(1)今年3月份A款汽车每辆售价9万元； (2)共有3种进货方案． 【分析】本题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的数量关系，列方程和不等式组求解． （1）设今年3月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额100万元与今年销售额万元所卖的车辆数量相等，据此列方程求解； （2）设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进辆，根据购车资金不多于105万元，利润不少于19万元，列不等式组求解． 【详解】（1）解：设今年3月份A款汽车每辆售价x万元，则去年同期每辆售价万元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：今年3月份A款汽车每辆售价9万元； （2）解：设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进辆， 由题意得：， 解得：． ∵y是整数， 故y可以取值：8、9、10． 答：共有3种进货方案． 45．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商场准备购进“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具共200个．已知：每个“冰墩墩”的进价比“雪容融”的进价多20元，用3000元购进“冰墩墩”的数量与用2400元购进“雪容融”的数量相同． (1)请求出“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具的进价； (2)若该商场分别以240元、160元的单价出售“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，并将这两款毛绒玩具的总利润拟定在不少于21700元，且不超过22300元之间．问该商场共有几种进货方案？ 【答案】(1)每个“雪容融”的进价为80元，则每个“冰墩墩”的进价为100元； (2)11 【分析】此题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列得方程及不等式是解题的关键． （1）设每个“雪容融”的进价为x元，则每个“冰墩墩”的进价为元，根据用3000元购进“冰墩墩”的数量与用2400元购进“雪容融”的数量相同列分式方程求解； （2）设购买“冰墩墩”a个，则购买“雪容融”个，列不等式组求解． 【详解】（1）设每个“雪容融”的进价为x元，则每个“冰墩墩”的进价为元，可得 解得， 经检验是方程的根，且符合题意， ∴， 答：每个“雪容融”的进价为80元，则每个“冰墩墩”的进价为100元； （2）设购买“冰墩墩”a个，则购买“雪容融”个，则 解得，且a为正整数， ∴该商场进货方案有11种． 46．为缅怀革命烈士的丰功伟绩，寄托对革命烈士的哀思，铜仁市某校组织八年级全体学生到万山区烈士陵园开展以“祭扫英烈”为主题的清明节扫墓活动．已知每辆60座客车的租金是45座客车租金的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆． (1)问每辆45座客车租金和每辆60座客车租金分别是多少元？ (2)该校八年级师生共有400人，计划租赁45座客车和60座客车共8辆，总租金不超过3600元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，租金多少？ 【答案】(1)每辆45座客车租金为400元，每辆60座客车租金为500元． (2)有2种租车方案，分别是租用45座客车4辆，60座客车4辆或租用45座客车5辆，60座客车3辆；租用45座客车5辆，60座客车3辆时最省钱，所需费用为3500元． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式组的应用等知识，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是元，根据花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．列出分式方程，解方程即可； （2）设租用45座客车m辆，60座客车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组求解，再根据m，均为正整数，解出整数解，得出可行的方案，最后再计算哪种方案更省钱即可． 【详解】（1）解：设每辆45座客车租金为x元，则每辆60座客车租金为元， 根据题意有：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴ ∴每辆45座客车租金为400元，每辆60座客车租金为500元． （2）设租用45座客车m辆，60座客车辆， 根据题意有：， 解得：， ∵m，均为正整数， ∴m可是4，5， ∴当租用45座客车4辆，60座客车4辆时，所需费用为：元， 当租用45座客车5辆，60座客车3辆时，所需费用为：元， 综上，有2种租车方案，分别是租用45座客车4辆，60座客车4辆或租用45座客车5辆，60座客车3辆；当租用45座客车5辆，60座客车3辆时，所需费用最少为3500元． 47．夏季来临，饮料进入销售旺季．某超市购进了甲、乙两种饮料进行销售．已知每瓶甲种饮料的进价比每瓶乙种饮料的进价少元，且用元购进甲种饮料的瓶数与用元购进乙种饮料的瓶数相同． (1)求甲、乙两种饮料每瓶的进价分别是多少元； (2)若该超市购进甲种饮料的瓶数比乙种饮料的瓶数的倍少瓶，且购进两种饮料的总瓶数不超过瓶．如果甲、乙两种饮料的售价分别是元/瓶和元/瓶，且将购进的甲、乙两种饮料全部售出后，可使销售两种饮料的总利润超过元，那么该超市购进甲、乙两种饮料有哪几种方案？ 【答案】(1)甲、乙两种饮料每瓶的进价分别是元、元 (2)有三种方案，方案一：购进甲种饮料瓶，购进乙种饮料瓶；方案二：购进甲种饮料瓶，购进乙种饮料瓶；方案三：购进甲种饮料瓶，购进乙种饮料瓶． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设甲种饮料每瓶进价元，则乙种饮料每瓶进价元，根据“用元购进甲种饮料的瓶数与用元购进乙种饮料的瓶数相同”，列出方程即可求解； （2）设乙种饮料有瓶，则甲种饮料有瓶，根据题意列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设甲种饮料每瓶进价元，则乙种饮料每瓶进价元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 乙种饮料每瓶进价：（元）， 甲、乙两种饮料每瓶的进价分别是元、元； （2）设乙种饮料有瓶，则甲种饮料有瓶， 根据题意得：， 解得：， 是整数， 可取，，， 有三种方案： 方案一：购进甲种饮料瓶，购进乙种饮料瓶； 方案二：购进甲种饮料瓶，购进乙种饮料瓶； 方案三：购进甲种饮料瓶，购进乙种饮料瓶． 【考点9: 分式方程应用-其他问题】 48．某生态示范村种植基地计划种植一批红山荞麦，原计划总产量要达到，为了满足市场需求，企业与农业专家进行种源研究和品种改良，目前已经培育出具有抗旱、抗寒、生育期延长的第四代红山荞麦品种，改良后平均每亩的产量是原计划的1.2倍，总产量比原计划增加2400kg，种植亩数减少了20亩（），求原计划平均每亩的产量． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．熟练掌握总产量与亩产量和亩数的关系列方程，注意检验，是解决问题的关键． 设原计划每亩产量，改良后每亩产量，根据原计划总产量要达到，总产量比原计划增加2400kg，种植亩数减少了20亩列分式方程，注意分式方程要检验． 【详解】解：设原计划平均每亩的产量为． 根据题意，得，， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：原计划平均每亩的产量为． 49．为了迎接龙年的到来，某纪念品公司决定生产一批龙年纪念品挂件，有，两种型号的机器可以生产该纪念品挂件．已知型号机器20分钟生产的挂件与型号机器5分钟生产的挂件总量为325个，若型号机器平均每分钟生产挂件10个． (1)求型号机器平均每分钟生产挂件多少个？ (2)随着挂件的畅销，公司决定将，两种型号的机器进行智能升级，升级后的型号机器平均每分钟生产的挂件数量是升级后的型号机器的3倍，生产1800个挂件，型号机器比型号机器少用1小时20分钟，求升级后的，型号机器平均每分钟生产挂件各多少个？ 【答案】(1)型号机器平均每分钟生产挂件25个 (2)升级后的型号机器平均每分钟生产挂件15个，升级后的型号机器平均每分钟生产挂件45个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设型号机器平均每分钟生产挂件个，根据型号机器20分钟生产的挂件与型号机器5分钟生产的挂件总量为325个，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设升级后的型号机器平均每分钟生产挂件个，则升级后的型号机器平均每分钟生产挂件个，根据生产1800个挂件，型号机器比型号机器少用1小时20分钟，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设型号机器平均每分钟生产挂件个， 由题意得， 解得， 答：型号机器平均每分钟生产挂件25个； （2）解：设升级后的型号机器平均每分钟生产挂件个，则升级后的型号机器平均每分钟生产挂件个， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：升级后的型号机器平均每分钟生产挂件15个，升级后的型号机器平均每分钟生产挂件45个． 50．2024年3月12日植树节，和平路中学组织七、八年级的学生开展植树活动．已知七年级植树180棵与八年级植树240棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树70棵，求七年级平均每小时植树多少棵? 【答案】七年级平均每小时植树30棵 【分析】本题考查分式方程的应用，设七年级平均每小时植树x棵，理解题意，根据两个年级植树所用时间相同列方程求解即可． 【详解】解：设七年级平均每小时植树x棵，则八年级平均每小时植树棵． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：七年级平均每小时植树30棵． 51．为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代，其中甲类生产线有10条，乙类生产线有20条．经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】还需投入1330万元资金更新生产线的设备 【详解】解：设购买更新1条乙类生产线的设备需投入万元， 则购买更新1条甲类生产线的设备需投入万元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ． 答：还需投入1330万元资金更新生产线的设备． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$