第三章 圆（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第三章 圆（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．平面内，若的半径为，则点与的位置关系是（    ） A．无法确定 B．点在外 C．点在上 D．点在内 2．如图，是的直径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． （题2图） （题4图） （题5图） （题6图） 3．下列语句中正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．三角形有且只有一个外接圆 4．如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（    ） A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米 6．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 7．如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则等于（　　） A． B． C． D． （题7图）（题8图） 8．如图，四边形内接于半径为3的中，点E为弧的中点，若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．圆内接正八边形的中心角为 ． 10．《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮旋转了，则重物“甲”上升了 （绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留） 11．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．   （题11图）（题12图）（题13图） 12．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 ． 13．如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图是一个半径为的圆，扇形（阴影部分）的圆心角为，求扇形的面积．（结果保留） 15．（5分）如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数． 16．（5分）如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC． 17．（5分）已知，作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 18．（5分）如图，A、B、C、D是上的四点，连接、、、，．求证：． 19．（5分）如图，点为上的三个点，连接，延长交于点，，若，求的度数． 20．（6分）如图， 内接于，D是的直径的延长线上一点， ，过圆心 O作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若 ，求的长． 21．（6分）如图，在中，为边上一点，过点，且与相切于点，连接，，． (1)求证：为直角三角形． (2)延长与交于点，连接，若，求的长． 22．（7分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 23．（7分）如图，四边形内接于，平分，延长交的切线于点E． (1)求证：； (2)连接，若，，求点C到的距离． 24．（7分）如图，在锐角中，以边为直径的交于点，作，依次交于点E，交于点G，交于点H，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 25．（8分）一个工件槽的两个底角，点A，B的初始高度相同，尺寸如图1所示（单位：），将一个形状规则的铁球放入槽内，测得球落在槽内的最大深度为（E为球的最低点）．    (1)求该铁球的半径； (2)如图2，将这个工件槽的右边升高（）后，求该平面图中铁球落在槽内的弧的长度．（参考数据：，，） 26．（10分）问题提出：（1）如图，已知：三点在上，为的直径，那么______；理由是：____________． 问题探究：（2）如图，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰直角三角形，点是的中点，连结．若，求的面积． 问题解决： （3）如图③是一个四边形景观区域设计示意图，已知，．景观区域原有一条笔直的小路长为米，现为了交通方便准备再修一条长为米的小路，满足点在边上，点在边上，按设计要求需要给图中阴影区域与四边形种植花卉，为了节约种植成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小，请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，求阴影部分面积的最小值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆（单元重点综合测试A卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．平面内，若的半径为，则点与的位置关系是（    ） A．无法确定 B．点在外 C．点在上 D．点在内 【答案】D 【知识点】实数的大小比较、判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，理解并掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解题的关键．根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，（即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【详解】解：∵， ∴点与的位置关系是点在内． 故选：D． 2．如图，是的直径，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．下列语句中正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半 C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．三角形有且只有一个外接圆 【答案】D 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、切线的性质定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据等弧、切线的性质、圆周角定理即可一一判断． 【详解】解：A、长度相等的弧叫做等弧，错误，应该是完全重合的两条弧叫做等弧；故不符合题意； B、圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半，错误，应该是同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；故不符合题意； C、垂直于圆的半径的直线是圆的切线；错误，应该是垂直于圆的半径的外端点的直线是圆的切线；故不符合题意； D、三角形有且只有一个外接圆正确；故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查等弧、切线的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、等边对等角 【详解】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 5．如图是一根装有水的圆柱形排水管道截面图，已知水面的宽为米，水面与管道上端的最大距离为0.2米，则水面距管道底部的最大深度为（    ） A．0.5米 B．1米 C．0.2米 D．0.8米 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了圆的性质、垂径定理、勾股定理等知识点．根据垂径定理、勾股定理求出圆的半径，进一步计算即可得． 【详解】解：如图，设圆心为点O，过点O作于点C，延长交圆O于点D和，连接， 由圆的性质可知，米，米，水面距管道底部的最大深度为的长， 设圆的半径为， 由垂径定理得：，， 在中，，即， 解得， 即水面距管道底部的最大深度为米， 故选：D． 6．如图，在半径为2，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆交于点D，连接，则阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求其他不规则图形的面积、求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算．先根据题意可知，，从而证明，最后根据阴影部分的面积=扇形的面积的面积，进行解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴弓形的面积=弓形的面积， ∴阴影部分的面积 =扇形的面积的面积 ， 故选：C． 7．如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据平行线的性质求角的度数、应用切线长定理求解 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 8．如图，四边形内接于半径为3的中，点E为弧的中点，若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【知识点】圆周角定理、利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查院内杰斯变形的性质，弦、弧、圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，先根据题意确定是等边三角形，然后利用解直角三角形得到长，进而根据垂径定理解题即可． 【详解】解：连接，，，，过O点作于点F， ∵点E为弧的中点， ∴， 又∵内接于，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．圆内接正八边形的中心角为 ． 【答案】45 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行计算即可． 【详解】解：圆内接正八边形的中心角为； 故答案为：． 10．《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作，如图所示是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”，若图中的定滑轮半径为，滑轮旋转了，则重物“甲”上升了 （绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留） 【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、求弧长 【分析】本题考查弧长的计算，根据弧长的计算方法，计算弧长即可． 【详解】由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长． 即： 故答案为：． 11．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    【答案】/90度 【知识点】等边对等角、圆周角定理、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案． 【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．如图，中，，，，在直角坐标系中运动，其中，点，分别在轴负半轴和轴正半轴上运动，求点到点距离的最大值 ． 【答案】2 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、判断确定圆的条件 【分析】本题考查隐圆问题，直角三角形斜边中线的性质．取的中点D，连接、，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，进而可得点A、O、B、C在以为直径的上，可知当为的直径时取最大值． 【详解】解：取的中点D，连接、， ，， ， 点A、O、B、C在以为直径的上， 为的一条弦， 当为的直径时取最大值，最大值为2， 即点到点距离的最大值为2， 故答案为：2． 13．如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】根据矩形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆外一点到圆上各点的最小距离，勾股定理，矩形的性质，关键是构造圆．由可得，，点在以为直径的圆弧上，点在圆外，可求的最小值． 【详解】解：作的中点，连接． 矩形中，， ， ， ， ， 当点移动时，点在以为直径的圆弧上移动，当点在上时，有最小值． ，，， ， ， 有最小值为4． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图是一个半径为的圆，扇形（阴影部分）的圆心角为，求扇形的面积．（结果保留） 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积、求扇形面积 【分析】本题考查扇形面积计算，掌握扇形面积公式是解决本题的关键；根据（为圆心角的度数）即可求解； 【详解】解：扇形的面积为：． ∴扇形的面积为． 15．（5分）如图，OA，OB为⊙O的半径，AC为⊙O的切线，连接AB．若∠B=25°，求∠BAC的度数． 【答案】65°． 【知识点】切线的性质定理 【分析】根据切线的性质得到∠OAC=90°，再根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠B=25°，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵AC为⊙O的切线， ∴∠OAC=90°． ∵OA=OB，∠B=25°， ∴∠OAB=∠B=25°． ∴∠BAC=∠OAC-∠OAB =90°-25° =65°． 【点睛】本题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用． 16．（5分）如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC． 【答案】见解析． 【知识点】全等三角形综合问题、切线的性质定理 【分析】根据切线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵BC与⊙A相切于点D， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD， ∴△ABD≌△ACD（ASA）， ∴AB＝AC． 【点睛】本题考查的知识点是切线的性质和全等三角形的判定和性质定理，易于理解掌握． 17．（5分）已知，作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、画圆(尺规作图)、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】作的垂直平分线与交于点M，以M为圆心，为直径画圆即可． 【详解】解：如图所示，即为所求； ． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—画圆，熟练掌握角所对的弦是直径是解题的关键． 18．（5分）如图，A、B、C、D是上的四点，连接、、、，．求证：． 【答案】见详解 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，求出，再根据圆心角、弧、弦之间的关系推出答案即可． 【详解】证明：， ， ∴， ， ． 19．（5分）如图，点为上的三个点，连接，延长交于点，，若，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键．由，，得，，根据等边对等角得，从而，再利用等边对等角及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 20．（6分）如图， 内接于，D是的直径的延长线上一点， ，过圆心 O作的平行线交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）由等角对等边得出，等量代换得，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，设设，则， ，在中，根据勾股定理求出，据此即可求解． 【详解】（1）证明∶∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴． ∵是半径， ∴是的切线； （2） ， ． 设，则． 在 中， 即 解得 (不合题意，舍去)， 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，切线的判定，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握切线的判定与平行线分线段成比例定理是解题的关键． 21．（6分）如图，在中，为边上一点，过点，且与相切于点，连接，，． (1)求证：为直角三角形． (2)延长与交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)CE＝ 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理 【分析】（1）利用圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，同圆的半径相等的性质解答即可； （2）利用圆周角定理，四边形的内角和定理和相似三角形的判定与性质得到，设，则，再利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）证明：与相切于点， ， ， ． ， ， ， ， ． 即， 为直角三角形； （2）解：，， ． 由（1）知：， ． ， ． 为的直径， ， ， ． ， ， 设，则， ， ， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 22．（7分）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 【答案】(1)桥拱的半径是10米； (2)水面涨高了2米． 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，半径，， 设桥拱的半径是米， ， （米， 拱高为4米， 米， ， ， ， 桥拱的半径是10米； （2）解：， （米， （米， （米， （米， 水面涨高了2米． 23．（7分）如图，四边形内接于，平分，延长交的切线于点E． (1)求证：； (2)连接，若，，求点C到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】根据三线合一证明、角平分线的性质定理、解直角三角形的相关计算、圆周角定理 【分析】（1）过点D作于点H，证出，则可得出结论； （2）过点C作于点G，由（1）知，求出的长，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：过点D作于点H， ∵平分， ∴， ， ∴． ∵， ∴是的中垂线， ∴必经过圆心点O． ∵是的切线， ∴， ∴； （2）解：如图，过点C作于点G， 由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴． ，， 在中，， ∴， ∴． 即点C到的距离为8． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形三线合一，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键． 24．（7分）如图，在锐角中，以边为直径的交于点，作，依次交于点E，交于点G，交于点H，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理及等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得出，根据等角的余角相等得，由圆周角定理得出，进而问题可求解； （2）证出，得出，由勾股定理得出，即，解得或，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ，即， 解得：或， ， ， ． 25．（8分）一个工件槽的两个底角，点A，B的初始高度相同，尺寸如图1所示（单位：），将一个形状规则的铁球放入槽内，测得球落在槽内的最大深度为（E为球的最低点）．    (1)求该铁球的半径； (2)如图2，将这个工件槽的右边升高（）后，求该平面图中铁球落在槽内的弧的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)铁球的半径为 (2) 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、求弧长 【分析】（1）连接，垂径定理结合勾股定理，进行求解即可； （2）连接过点作，勾股定理求出的长，进而求出，得到，进而求出，再利用弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，    由题意，得：， ∴， 设铁球的半径为，则：，， 由勾股定理，得：，即：， 解得：； ∴铁球的半径为； （2）连接过点作，则：，，    在中，由勾股定理，得：， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长度为． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解直角三角形，求弧长等知识点，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 26．（10分）问题提出：（1）如图，已知：三点在上，为的直径，那么______；理由是：____________． 问题探究：（2）如图，已知是等边三角形，以为底边在外作等腰直角三角形，点是的中点，连结．若，求的面积． 问题解决： （3）如图③是一个四边形景观区域设计示意图，已知，．景观区域原有一条笔直的小路长为米，现为了交通方便准备再修一条长为米的小路，满足点在边上，点在边上，按设计要求需要给图中阴影区域与四边形种植花卉，为了节约种植成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小，请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，求阴影部分面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；直径所对的圆周角为直角 （2） （3）存在符合设计要求的方案，阴影部分面积的最小值为平方米 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、全等三角形综合问题 【分析】（1）利用圆周角定理解答即可； （2）连接，利用等边三角形与等腰直角三角形的性质和等高的三角形的面积的性质解答即可； （3）过点作，交的延长线于点，根据全等三角形的判定与性质得到阴影部分面积，若使阴影部分面积最小，则的面积最大；作出的外接圆，连接，过点作于点，利用圆的有关性质得到当点为优弧的中点时，中边上的高取得最大值为半径弦心距米，利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（1）为的直径， ， 理由：直径所对的圆周角为直角， 故答案为：；直径所对的圆周角为直角； （2）连接， 是等边三角形，点是的中点， ， ， ， 是外作等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点是的中点， ， ； （3）存在符合设计要求的方案，阴影部分面积的最小值为平方米，理由：过点作，交的延长线于点，如图： ， ， ，四边形的内角和为， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形，阴影部分面积， ， 若使阴影部分面积最小，则的面积最大， 作出的外接圆，连接，过点作于点，如图， ， ， ，， （米）， ， （米）， 点为上的点， 当点为优弧的中点时，中边上的高取得最大值为米， 的面积的最大值为：平方米， 米， （平方米）， 阴影部分面积的最小值为：平方米， 存在符合设计要求的方案，阴影部分面积的最小值为平方米． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的有关性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的面积，添加取得的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$