专题05 导数及其应用（4大经典基础题+2大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湘教版2019选择性必修）

专题05 导数及其应用 导数的概念及其意义 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（    ） ①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 4．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海·期末）函数在区间上的平均变化率为 . 6．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（20-21高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数在处的切线方程为，则 ． 9．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）若函数在区间的平均变化率为0，则d= ．（写出一个符合条件的值即可） 10．（23-24高一下·上海·期末）若，则 . 导数的运算 11．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·云南昆明·期末）过点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A． B． C．1 D．4 13．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知奇函数和它的导函数的定义域均为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．为偶函数 C． D． 14．（23-24高二下·北京海淀·期末）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，给出下列四个结论： ①函数在无数个点处的曲率为1； ②函数的曲率恒为； ③函数的曲率半径随着变大而变大； ④若函数在与（）处的曲率半径相同，则. 其中，所有正确结论的序号是 . 15．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知函数，则 ． 16．（10-11高二上·陕西宝鸡·期末）曲线在点处的切线的倾斜角的度数是 . 17．（23-24高二下·上海宝山·期末） ． 18．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 19．（10-11高二上·陕西宝鸡·期末）若，则此函数的图像在点处的切线的斜率为 . 20．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，其中是的导函数． (1)求； (2)求曲线在原点处的切线方程． 导数的应用 21．（23-24高二下·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A．0.39 B． C．0.42 D． 22．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．曲线在点处切线的斜率为 C．在单调递增 D． 23．（22-23高二上·河北邯郸·期末）下列区间中能使函数单调递减的是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24高二下·上海金山·期末）若存在锐角，满足不等式，则的值为 ． 25．（23-24高二下·上海金山·期末）设函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得任意，都有，且，则称函数具有性质 (1)已知函数和的定义域均为，请分别判断这两个函数是否具有性质，不必证明； (2)已知函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数，常数具有性质，且不存在，使得，求实数的最小值． 26．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意的，函数单调递减，求实数a的取值范围. 27．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，其中为常数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 28．（18-19高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，，，令. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值. 29．（23-24高三上·海南·期末）已知函数的导函数为． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：． 30．（23-24高二下·湖南·期末）已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数.注：若，当时，，当时，. 极值点偏移问题 31．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知函数 且曲线在处切线也是曲线的切线． (1)求的值； (2)求证：； (3)若直线与曲线有两个公共点，，与曲线有两个公共点，，求证： 32．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 33．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值； (3)若关于的方程有两个实根，，求证：． 34．（2024高三·全国·专题练习）已知函数恰有两个零点． (1)求的取值范围； (2)证明：． 35．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 利用导数研究函数零点 36．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数，． (1)若在上有两个极值点，求a的取值范围； (2)证明：若在 上恒成立，则． 37．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若的导数分别为，且，求a的取值范围； (3)用表示m，n中的最小值，设，若，判断函数的零点个数． 38．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在的切线方程； (2)设在区间上的最大值为，求，并判断函数的零点个数. 39．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知函数，． (1)若，判断函数的单调性； (2)若有两极值点且，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 导数及其应用 导数的概念及其意义 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数列方程来求得的值. 【详解】，，，解得． 故选：C 2．（23-24高二下·江西萍乡·期中）已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（    ） ①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据图象的性质，结合图象的变化快慢，即可判断选项. 【详解】①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快,故②正确； ③在时刻，乙的图象比甲的图象陡，所以乙的瞬时增长快，故③正确； ④乙小区在时刻比在时刻陡，所以在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快，故④正确. 故选：D 3．（23-24高二上·江苏南京·期末）若，则（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】由导数的定义求解即可． 【详解】由题意可知，， 故选：B 4．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，对函数进行求导，得到，求出切线方程； 【详解】已知，函数定义域为， 可得， 此时， 所以曲线在点处的切线方程为， 即； 故选：B. 5．（25-26高三上·上海·期末）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】1 【分析】利用平均变化率的定义，列式计算即得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故答案为：1 6．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求平行于直线与曲线相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去）， 单调递增 单调递减 设，，所以图象向上凹， 如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线， 则， 即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为， ，所以切点在直线的左侧， 曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离， 由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为． 故选：A 7．（20-21高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象观察斜率的大小结合导数的几何意义可得答案. 【详解】从函数 的图象可以看出，点处切线的斜率大于直线的斜率，直线的斜率大于点处切线的斜率，点处切线的斜率大于0， 根据导数的几何意义可得：，即， 故选：C 8．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数在处的切线方程为，则 ． 【答案】14 【分析】由导数的几何意义知，在处，切线方程的斜率等于切点处的导函数值，和切点不仅在函数，还在切线方程上，即可求出，从而得到的值. 【详解】由导数的几何意义知，在处，切线方程的斜率等于切点处的导函数值， 可得， 又切点，在切线方程上，则， 因此，. 故答案为：14. 9．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）若函数在区间的平均变化率为0，则d= ．（写出一个符合条件的值即可） 【答案】π（答案不唯一，） 【分析】利用平均变化率计算即可. 【详解】由平均变化率可知， 故，所以. 故答案为：π（答案不唯一，） 10．（23-24高一下·上海·期末）若，则 . 【答案】 【分析】利用导数的定义求解即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 导数的运算 11．（23-24高二下·广东中山·期末）若点在曲线上移动，经过点的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角范围即可. 【详解】设，，则 所以过点切线斜率 所以 所以得 故选：D 12．（23-24高二上·云南昆明·期末）过点且与曲线相切的直线斜率为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出切线斜率. 【详解】设过点与曲线相切的切点坐标为， 由求导得：，则切线方程为， 于是，整理得，解得， 所以所求切线的斜率为1. 故选：C 13．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知奇函数和它的导函数的定义域均为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用函数的奇偶性、周期性、对称性，以及原函数与导函数的奇偶性，即可判断各选项正误. 【详解】已知为奇函数，可知，又因为，则，所以，所以，故A错误； 对两边求导得得，即，所以，又函数的定义域为，所以为偶函数，故B正确； 对两边求导得得，即，所以，故C正确； 因为函数是定义域为的奇函数，所以，又因为，所以，故D正确. 故选：BCD. 14．（23-24高二下·北京海淀·期末）平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小.定义函数的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在处的曲率半径为此处曲率的倒数，给出下列四个结论： ①函数在无数个点处的曲率为1； ②函数的曲率恒为； ③函数的曲率半径随着变大而变大； ④若函数在与（）处的曲率半径相同，则. 其中，所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】根据给定的定义，求出各个命题中的，由有无数个解判断①；计算判断②；利用导数探讨函数单调性判断③；由有两个不等正根，构造函数结合极值点偏移推理判断④. 【详解】对于①，，则，当时，， 因此函数在无数个点处的曲率为1，①正确； 对于②，，，则，，②正确； 对于③，，则函数的曲率半径， 令，求导得， 由，得，当时，， 则函数在上单调递减，函数在上单调递减，③错误； 对于④，，则函数的曲率半径， 依题意，，令，则方程有两个不等正根， 即直线与函数的图象有两个交点，， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为， 因此当时，方程有两个不等正根，不妨令， 令函数，求导得 ， 而， 则，函数在上单调递增，，即， 令，则，，又函数在上单调递增， 因此，即，④正确， 所以所有正确结论的序号是①②④. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 15．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】求导，令解得，代入即可得. 【详解】因为，则， 令，则，解得， 可得， 所以． 故答案为：. 16．（10-11高二上·陕西宝鸡·期末）曲线在点处的切线的倾斜角的度数是 . 【答案】/ 【分析】借助导数的几何意义即可得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】因为，所以，， 设曲线在点处的切线的倾斜角为， 则有，由，则. 故答案为：. 17．（23-24高二下·上海宝山·期末） ． 【答案】 【分析】根据导数的定义，以及求导公式，即可求解. 【详解】设，， . 故答案为： 18．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知，直线与曲线相切，则的最小值是 ． 【答案】25 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，，， 所以， 因为， 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是25. 故答案为：25. 19．（10-11高二上·陕西宝鸡·期末）若，则此函数的图像在点处的切线的斜率为 . 【答案】/ 【分析】由题意，求出的导函数，即可得该切线的斜率． 【详解】因为，所以， 所以时，，则在点处的切线的斜率为． 故答案为： 20．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，其中是的导函数． (1)求； (2)求曲线在原点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导可得，然后令，代入计算，即可求解； （2）由导数的几何意义，代入计算，即可求解. 【详解】（1），， . （2），， 在处切线斜率为，切线为. 导数的应用 21．（23-24高二下·青海·期末）若函数在上单调递减，则a的取值可以是（   ） A．0.39 B． C．0.42 D． 【答案】BCD 【分析】求出导函数，根据恒成立确定出的范围，即可得． 【详解】. 当，时，，所以对恒成立， 设，则且， 则解得. 故选：BCD． 22．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，则（   ） A．是偶函数 B．曲线在点处切线的斜率为 C．在单调递增 D． 【答案】BCD 【分析】根据偶函数的定义可判断A，利用导数的几何意义可判断B，利用函数的导数的正负可判断C，利用函数单调性比较函数值的大小可判断D. 【详解】函数的定义域为，不关于原点对称，不是偶函数，A选项错误； ，， 所以曲线在点处切线的斜率为，B选项正确； 时，，，所以， 故在单调递增，C选项正确； ，在单调递增，则有，得，D选项正确. 故选：BCD. 23．（22-23高二上·河北邯郸·期末）下列区间中能使函数单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，求导可得，令可求得其单调减区间，即可得到结果. 【详解】因为，令可得， 解得或，所以的单调减区间为和， 且，，. 故选：ABD 24．（23-24高二下·上海金山·期末）若存在锐角，满足不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】分别构造函数，结合同角三角函数关系求导，分析单调性，根据存在成立问题令，求出即可； 【详解】设 则， 令，因为锐角，所以，即， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ， ， 令，即， 当时，单调递减， 当时，单调递增， ， 因为，所以． 故答案为：. 25．（23-24高二下·上海金山·期末）设函数的定义域为，集合，若存在非零实数，使得任意，都有，且，则称函数具有性质 (1)已知函数和的定义域均为，请分别判断这两个函数是否具有性质，不必证明； (2)已知函数具有性质，求实数的取值范围； (3)已知函数，常数具有性质，且不存在，使得，求实数的最小值． 【答案】(1)函数具有性质，函数不具有性质 (2)； (3) 【分析】（1）直接利用函数的单调性即可判断； （2）将原问题转化为对任意恒成立，再通过讨论a的取值范围去掉绝对值符号即可求解答案； （3）由题意知对恒成立，根据函数具有性质求出的值，再将转化为，结合导数知识求解即可得的最小值. 【详解】（1）因为函数是R上的增函数，所以，即函数具有性质， 函数是R上的减函数，所以，即函数不具有性质． （2）由题意知，对任意恒成立， ①当时，原不等式等价于， 即恒成立，故，则满足； ②当时 （i）当时，原不等式等价于， 即； （ii）当时，原不等式等价于， 即，即， 则当时满足； ③当时，原不等式等价于， 即满足； ④当时，当时，原不等式等价于， 即，不满足； ⑤当时，原不等式等价于， 即满足； 综上的取值范围是． （3）由题意知对恒成立， 令得，又， 又， ， 令， 则，因为不存在，使得， ， 当时，， 当时，在上递减则当时，满足条件， 则的最小值为． 【点睛】关键点点睛：函数的新定义问题的解决的关键在于准确理解定义.像第2小问这种涉及绝对值的不等式，需要通过分类讨论的思想方法先去绝对值符号，再求解.第3问涉及求参数的取值范围问题，一般可以构造函数，结合导数知识求解，也可以进行参变分离，利用函数性质或导函数求最值即可. 26．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意的，函数单调递减，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导后分情况：，，讨论即可； （2）将问题转化为对恒成立，利用分离参数法与基本不等式即可得解可. 【详解】（1），， ①若，则， ②若，令，得， 当时，，当时，， ③若，则， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递减. （2），则， 因为对任意的，函数单调递减， 所以对恒成立，即对恒成立， 则对恒成立， 令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以， 又，故，即实数a的取值范围为. 27．（22-23高二上·河北邯郸·期末）已知函数，其中为常数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）求导后，利用导数分析函数的单调性即可； （2）求导后转化为对恒成立问题，再求结果即可； 【详解】（1）∵时，， ， 令， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数 的单调递减区间为，单调递增区间为， （2）， 令对恒成立， 即，， 又∵， ∴，即. 28．（18-19高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，，，令. (1)讨论函数的单调性； (2)若关于x的不等式恒成立，求整数m的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)2 【分析】（1）求导，分与分类讨论，然后利用导函数的正负来确定单调性即可； （2）构造函数，利用导数求函数的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题即可； 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以在区间上单调递增； 当时，令，即，又，解得， 令，即，又，解得， 综上，当时，的增区间为，无减区间； 当时，的增区间为，减区间为 （2）令， 所以． 当时，因为，所以． 所以在上是单调递增函数， 又因为， 所以关于的不等式不能恒成立， 即关于的不等式不能恒成立． 当时，． 令，得， 所以当时，；当时，． 因此函数在是增函数，在是减函数． 故函数的最大值为． 令，，当时， 所以在上是减函数， 又因为，， 所以当时，，所以恒成立，即恒成立 所以整数的最小值为2． 【点睛】关键点点睛：第（1）小问的关键是分与进行分类讨论，第（2）的关键是通过移项构造函数，把恒成立问题转化为求函数的最值问题. 29．（23-24高三上·海南·期末）已知函数的导函数为． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）利用导数求出函数的最小值，由题意只需最小值小于0即可得出的取值范围； （3）构造函数，利用导数得出单调性可得，即可由及的单调性得证. 【详解】（1）若， ，又， 曲线在点处的切线方程为. （2）， 设，则. 令， 得， 在上，， 在上，， 在上单调递减， 在上单调递增， . 又当或时，， 要使有两个零点， 只需， 解得， 的取值范围为. （3）由题意及（2）知， 存在不同的， 使得， 不妨设， 则，. 设，则， 当时，，在上恒成立， 当时，单调递减，， 即. ， 在上单调递增，， 即. 【点睛】关键点点睛：在证明第三问中，根据题意构造函数，利用单调性得出，再由的单调性即可得证. 30．（23-24高二下·湖南·期末）已知函数. (1)若是的极大值点，求的值； (2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数. 注：若，当时，，当时，. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求得，根据，求得，此时，结合导数求得函数的单调性，结合函数极值点的定义，进行验证，即可求解； （2）当时，得到，得出，此时无零点；当时，求得的值，结合和两种情况讨论，得出结论；当时，转化为函数零点个数等于零点个数，转化为，令函数，利用导数求得函数的单调性与最小值，进而得到结论. 【详解】（1）解：由函数，可得， 因为是的极大值点，则，解得， 当时，可得， 当时，，令，则， 所以在上单调递减，则，即， 此时在上单调递增； 当时，令，可得，则， 故即单调递减， 又因为，所以当时，单调递减， 所以，当时，是的极大值点，符合题意. （2）（I）由函数， 当时，，，此时无零点； （II）当时，可得， ①若，即时，， 此时不是的零点； ②若，即时，， 此时是的零点； （III）当时，，零点个数等于零点个数， 显然是的一个零点； 当时，可转化为， 令，则， 由（1）知，， 所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 且当时，，当时，， 可得，函数的图象所示： ①当或或时，有1个零点； ②当或时，有2个零点； ③当时，无零点. 综合（I）（II）（III）得： 当或时，有2个零点； 当或或时，有3个零点； 当或时，有4个零点. 【点睛】方法技巧：利用导数研究函数的零点个数，以及函数零点个数求参数的取值范围问题的求解： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围； 2、分离参数法，先分离参数，构造新函数，直接把问题转化为函数的单调性与最值问题，从而求出参数的取值范围； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 极值点偏移问题 31．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知函数 且曲线在处切线也是曲线的切线． (1)求的值； (2)求证：； (3)若直线与曲线有两个公共点，，与曲线有两个公共点，，求证： 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）首先利用导数的几何意义求切线方程，再联立切线方程与函数，利用，即可求解； （2）由切线方程转化为证明和，即可证明不等式； （3）由二次函数的对称性，转化为证明，再根据的范围，构造函数，利用导数判断函数的单调性与最值，再结合函数，即可证明不等式. 【详解】（1），， 所以在处切线方程为， 联立，得， ，得； （2）设，， 设，，单调递减，且， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，取得最大值0，所以，当时等号成立，即， ，当时等号成立， 即， 综上可知，，即. （3），对称轴方程为，由对称性可知，， 所以要证明，只需证明， ，，得， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 当时，取得最大值， 当时，，当时，，，， 所以与的图象有两个公共点，，设， 则，， 设， ， ， 当时，，则，， 即时，，单调递增，, 所以当时，，即， ，所以，由， 即，在上单调递减， 所以，即， 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：本题第2问的关键是函数，与比较大小，即可证明；第3问的关键判断函数在区间的单调性，即可证明不等式. 32．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，构造函数，借助导数求出其在上的最小值即可得； （2）由题意结合导数可得，，即可得， ，通过作差消去变量，得到，从而可得，再通过换元法令，得到函数，利用导数计算其单调性即可得解. 【详解】（1）由题意可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故，即； （2），令， 由函数有两个极值点， 则有两个变号零点， ， 当时，，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， 又当时，，则， 故此时此时至多存在一个零点，不符，故舍去； 当时，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 有，则，故， 则有，， 则，即，同理， 则，故， 即， 由的最大值为，令，则有， 即，令，， 则 ， 令，， 则恒成立， 故在上单调递增，则， 则，故在上单调递增， 则. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于利用，，通过作差消去变量，得到，从而可得，再通过换元法令，从而将多变量问题转化为单变量问题. 33．（23-24高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值； (3)若关于的方程有两个实根，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意可得在上恒成立，则可构造函数，求导后分及讨论其单调性，在时结合零点的存在性定理研究，即可得的具体范围，即可得其最大值； （3）借助因式分解可将原问题转化为有两个实根，借助导数研究其单调性可得两根范围，借助换元法，令，，可得，两式作差可得，从而将证明转化为证明，借助换元法令，即证，构造相应函数，借助导数即可证明；再借助（2）中所得，结合两实根的范围，可得，即可得，两式作差即可得证. 【详解】（1），， 又，则有， 即曲线在处的切线方程为； （2）由题意可得在上恒成立， 令，则， 令，则， 则当时，，故在上单调递增， 则当时，， 当时，，故在上单调递增， 有，符合要求， 当时，由，， 则存在，使，即当时，， 当，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，不符合要求，故舍去， 综上所述，，故实数的最大值为； （3）， 由，即有有两个实根，， 令，， 当时，恒成立，不可能有两个实根，故舍去； 当，则时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则有，即， 又， 不妨令，则有， 有，令，，即有， 则有，即， 即，则要证，只需证， 即证， 令，即证， 令，， 则恒成立， 故在上单调递减，故， 即有在时恒成立，故得证； 由（2）可知，当时，在上恒成立， 即在上恒成立， 则当时，，即， 由，则、， 故，， 则，， 又，即，即， 即，则有， 整理得，即，即， 即； 综上，得证. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助换元法，令，，从而将证明转换为证明. 34．（2024高三·全国·专题练习）已知函数恰有两个零点． (1)求的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则最小值小于，得到的范围； （2）由（1）的结论，构建函数，，由得到函数单调递增，得到，从而得到，又函数在上单调递增，则得到. 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取最小值． 因为当时，，当时，， 且函数恰有两个零点， 所以,所以的取值范围为． （2）由（1）知，为的极小值点， 所以可设，则， 构建函数，， 所以当时， ， 函数单调递增，所以当时，， 所以， 因为，所以， 所以， 又函数在上单调递增，所以， 所以． 【点睛】关键点点睛：由的极小值点，得到零点的位置，通过构建函数，由函数单调性可得结果. 35．（23-24高二下·上海嘉定·期末）设. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在 上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数存在两个极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）借助导数研究及的单调性后，由函数的最小值可分及进行讨论，结合零点的存在性定理可得时不符合要求； （3）结合极值点定义计算可得，结合函数单调性可得只需证，构造相应函数，结合导数证明其恒成立即可得. 【详解】（1）当时，，则，则， 又，则切线方程为，即； （2），令， 则，当时，有， 故在上单调递增，即在上单调递增， 则， 当时，，则在上单调递增， 有，满足要求； 当时，则，又， 则必存在，使，即， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 则 ，令， 则， 则在上单调递减，则， 即，故此时不符合题意，故舍去， 综上所述，； （3）由（2）得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 又函数存在两个极值点，则，即， 则有，要证，即证， 又，，在上单调递增， 即只需证，又， 即只需证， 令 ，， 则 ， 即在上恒成立，即在上单调递减， 则， 即，即得证. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到、的范围，从而结合函数单调性，将证明转化为证明，从而可构造相应函数，利用导数研究其单调性. 利用导数研究函数零点 36．（23-24高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数，． (1)若在上有两个极值点，求a的取值范围； (2)证明：若在 上恒成立，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】（1）首先由方程，参变分离为方程有两个不同的正根，转化为利用导数分析函数，的图形，利用数形结合求实数 取值范围； （2）首先将不等式参变分离为恒成立，转化为利用导数分析函数的最值. 【详解】（1）由题可得， 若在上有两个极值点，则关于x的方程有两个不同的正实根， 即方程有两个不同的正实根． 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又当时，，当时，，所以，即， 所以a的取值范围为． （2）由题得在[0,)上恒成立， 即恒成立． 令， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，． 令（）， 则（）， 所以函数在[0,1)上单调递增， ，， 所以在区间上存在唯一零点，使得函数在上小于零，在上大于零， 即在区间上大于零，在区间上小于零， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又， 所以， 所以，原式得证． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用导数求函数的最值，其中涉及导数求函数的二次导数，且涉及隐零点问题，求函数的最值. 37．（23-24高二下·天津滨海新·期末）已知函数． (1)求函数的极值； (2)若的导数分别为，且，求a的取值范围； (3)用表示m，n中的最小值，设，若，判断函数的零点个数． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3)时，无零点，当时有2个零点 【分析】（1）根据导数的运算求得，分析出单调性即可求得极值； （2）将问题转化为时，恒成立，构造函数，求解最小值即可； （3）由题意可知，当时，通过求的范围即可判断；当时，通过比较和的正负即可判断的零点个数． 【详解】（1），令得，或（不合题意舍去）， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值． （2）由（1）得，时，， 对求导得，， 时，恒成立， 所以时，恒成立，设， ，令，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以，即a的取值范围是． （3）因为，设，则， ①若，令，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以， 所以时，没有零点； ②若，由（1）知， 当时，，在上单调递增， 又，所以时，， 当时，，所以在上单调递增，且， 存在唯一，使得，则， 当时，，即在单调递增， 所以， 当时，在上单调递减，且， 所以存在唯一，使得， 综上所述，时，无零点，当时有2个零点． 38．（23-24高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在的切线方程； (2)设在区间上的最大值为，求，并判断函数的零点个数. 【答案】(1) (2)，只有一个零点 【分析】（1）根据导数求切线斜率，再利用点斜式即可求解． （2）先求导函数，再对分类讨论，即可求得的解析式，再根据解析式求出零点个数． 【详解】（1）当时，，所以，所以， 所以切线方程为，即； （2）， 则， 当时，由，则，所以单调递减； 所以在区间上的最大值为， 当时，知时，单调递增，时，单调递减， 所以最大值为， 所以， 当时，，显然无零点； 当时，，则， 所以在时单调递增，又， ， 所以根据零点存在性定理知：在时只有唯一零点， 综上所述，只有一个零点。 【点睛】方法点睛：求函数的零点个数：定义法（方程的根），数形结合根据函数交点个数判断个数，利用函数导数判断函数零点个数． 39．（22-23高二下·浙江温州·期末）已知函数，． (1)若，判断函数的单调性； (2)若有两极值点且，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【分析】（1）利用二次求导研究导函数单调性，通过导函数的最值判断符号，进而得到原函数的单调性即可； （2）由题意转化为至少两个实数根，构造函数，问题转化为研究函数的零点，按分类讨论零点个数，当均不成立；当时，存在两个零点，先确定所在区间，再将零点满足的关系式代入不等式求解，得到，将问题转化为的值域范围问题，进而探求的范围即可. 【详解】（1）若，， 则，设， 则，令，解得， 故当时，，即在单调递增； 当时，，即在单调递减； 所以在处取最大值，最大值为， 又，故，即， 所以在上单调递减. （2），. 要使有两极值点，则至少两个实数根. 设，则. 当时，没有两个极值点； 当时，，则在上单调递增， 则至多一个实数根，即也不可能有两个极值点； 当时，令，解得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 故在处有极大值，且极大值为， 要使至少两个实数根，即至少两个实数根，设两根为， 所以有，解得， 则有，且，且当，， 故有两正根，且一根在内，另一根在内，    若，则，这与已知矛盾； 故，且， 所以有， 由，则恒成立， 即， 由，得，即，解得， 由，， 构造函数， 则， 当时,，故在单调递减， 由，故，即. 当时，，故在单调递减， 故在单调递减， 则，且， 故，且满足条件. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将函数的极值点问题通过求导转化为含参函数的隐零点问题，先要用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程如第（2）问中的，再结合函数单调性得到零点的范围（有时零点范围需要调整适当加以缩小），最后根据零点满足的关系整体代入不等关系消参得到，进而得到，由构造函数求值域即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$