专题04 计数原理（4大经典基础题+2大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（湘教版2019选择性必修）

专题04 计数原理 两个计数原理 1．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】组成有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是和不是进行分类; 个位不是时要注意选中的数有和不是情况求解. 【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即0，2，4，有3种选择， 而由于这是一个三位数，所以百位数不能是0，有5种选择，因为存在重复数字，由此分类讨论: ①当个位数为0时，则百位数有5种选择，十位数有两种情况， 与百位数一样，只有一种选择， 与个位数一样，也只有一种选择; ②当个位数为2时， 如果百位数为2，则十位数有6种选择， 如果百位数不为2，则百位数有4种选择，此时十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择: 当个位数为4时， 如果百位数为4，则十位数有6种选择， 如果百位数不为4，则百位数有4种选择，十位数可以与百位数或个位数相同，有2种选择 综上所述，. 故选：B. 2．（23-24高二下·陕西西安·期末）书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据分类加法计数原理进行求解, 【详解】书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书， 第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为. 故选：B. 3．（23-24高二下·河北张家口·期末）求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如，12的正整数因数只需分别从，中各选一个元素相乘即可，则2025的正整数因数的个数为（    ） A．8 B．10 C．15 D．16 【答案】C 【分析】首先分解质因数，再根据分步乘法计数原理计算可得. 【详解】因为， 所以的正整数因数只需分别从，中各选一个元素相乘即可， 有种取法，即有个正整数因数． 故选：C． 4．（23-24高二下·四川德阳·期末）2160的不同正因数个数为（    ） A．42 B．40 C．36 D．30 【答案】B 【分析】根据转化为因式乘积分类计算正因数个数即可. 【详解】， 所以2160的不同正因数个数为： . 共40个. 故选：B. 5．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 【答案】D 【分析】利用插空法，结合分步乘法计数原理求解． 【详解】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择， 当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择， 所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）. 故选：D 6．（23-24高二下·福建福州·期中）小五和小明两人从4门课程中各选修1门，则小五和小明所选的课程的选法共有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．18种 【答案】C 【分析】根据分步乘法原理求解. 【详解】∵小五和小明两人从4门课程中各选修1门， ∴由乘法原理可得小五、小明所选的课程的选法有4×4=16（种）． 故选:C 7．（23-24高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】先让同学甲从种菜中选种，有种选法； 再让同学乙从种菜中选种，有种选法； 最后让同学丙从种菜中选种，有种选法； 根据分步乘法计数原理，共有种选法. 故选：D. 8．（23-24高二下·天津西青·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分类计数原理求解． 【详解】由分类计数原理得，不同的选法种数为：， 故选：A 9．（23-24高二下·天津滨海新·期末）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（    ） A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 【答案】D 【分析】由分步乘法计数原理计算即可． 【详解】五人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有种， 故选：D． 10．（23-24高二下·江西萍乡·期末）用0与1两个数字随机填入如图所示的4个格子里，每个格子填一个数字.若从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为 . 【答案】/0.375 【分析】利用列举法可得答案. 【详解】用0与1两个数字随机填入4个格子里，共有种填法， 从左到右数1的个数不少于0的个数为 1111，1110，1101，1011，1100，1010，共有6种填法， 则1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为. 故答案为：. 排列 11．（23-24高二下·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用捆绑法求出甲、乙、丙3人站在一起的方法数，除以10的全排列数可得． 【详解】由捆绑法可得，甲、乙、丙站在一起的概率为. 故选：B． 12．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】利用捆绑法可求得结果. 【详解】将本语文书捆绑、本数学书捆绑， 则相同科目的书相邻的排法种数为种. 故选：C. 13．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用捆绑法结合分步乘法计数原理求解即可. 【详解】首先，甲、乙、丙3人站在一起，对其全排列，共有种不同的站法， 然后我们把他们捆绑为一个整体， 再对这个整体和其他个人全排列，共有种不同的站法， 所以甲、乙、丙站在一起的不同站法种数为，故D正确. 故选：D 14．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先把3个县捆绑在一起，看成一个整体，再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，先把罗甸县、长顺县、惠水县这3个县捆绑在一起，看成一个整体，有种排法； 再与其他9个县（市）合在一起共10个县（市）进行全排列共种， 根据分步相乘计数原理，共有种排法． 故选：C． 15．（23-24高二下·福建福州·期末）福厦高铁全线共设8个客运站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州东、泉州南、厦门北、漳州，则铁路部门应为福厦高铁线上的这8个站间准备不同的火车票的种数为（    ） A．28 B．56 C．64 D．112 【答案】B 【分析】由排列的定义求解． 【详解】火车票是要分出发站与到达站，是有顺序的，故不同的火车票的种数为：， 故选：B 16．（23-24高二下·陕西西安·期末）从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法种数是（    ）． A．360 B． C．24 D． 【答案】A 【分析】根据题意从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学相当于从6个不同元素中选4个进行排列，计算即可得到答案. 【详解】根据题意，从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学相当于从6个不同元素中选4个进行排列， 共有种. 故选：A. 17．（23-24高二下·全国·课后作业）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与同学不相邻，共有种站法 C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 【答案】ABD 【分析】由定序排列即可判断A；由插空法即可判断B；由捆绑法即可判断C；分类讨论A的位置即可判断D． 【详解】对于A，将三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法， 故A正确； 对于B，先排，共有种站法，A与同学插空站，有种站法， 故共有种站法，故B正确； 对于C，将三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种情况， 捆绑后有种站法，故共有种站法，故C错误； 对于D，当在排尾时，随意站，则有种站法； 当不在排头也不在排尾时，有种，有种，剩下同学随意站有种， 共有种， 故A不在排头，B不在排尾，共有种站法，故D正确； 故选：ABD． 18．（23-24高二下·浙江温州·期末）现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为 . 【答案】 【分析】利用捆绑法和间接法的原则，先求满足条件的方法种数，再根据古典概型概率公式，即可求解. 【详解】先将甲、乙两人捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排， 再减去丙排在周三的的排法即可求得所求事件的不同排法. 所以不同排法的种数为， 又5位教师从周一到周五的常规值班一共有种方法， 所以教师不站两端，且甲、乙相邻的概率. 故答案为： 19．（23-24高二下·新疆喀什·期末）现有4名男生和3名女生， (1)若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？ (2)若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ 【答案】(1)1440 (2)1440 【分析】（1）利用捆绑法，结合排列组合知识求解； （2）利用插空法，结合排列组合知识求解. 【详解】（1）将甲乙看作一个整体，相当于有6个元素（甲乙整体、其他5人）进行排列有， 甲乙内部有2种排列方式，有分步乘法计数原理可得； （2）先安排4名男生站成一排，有种排法，由于要求3名女生互不相邻， 因此女生只能站在男生之间的空隙中有 因此由分步乘法计数原理可得. 20．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）4名男生和3名女生站成一排. (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 【答案】(1)2880 (2)960 (3)840 【分析】（1）根据题意先排甲，然后剩余的进行全排列即可； （2）利用捆绑法，将女生甲和女生乙捆绑在一起，与除去男生甲和男生乙的其他人进行全排列，然后男生甲和乙插空即可； （3）7个全排列后，除以甲、乙、丙的全排列数即可. 【详解】（1）分两步，先排甲有种，其余有种， 所以根据分步乘法原理知共有种排法. （2）分三步： ① 捆绑法，现将女生甲与女生乙捆绑在一起，有（种）； ②将女生甲和女生乙看成整体，与其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有（种）； ③插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空（共有5个空位置），有（种）， 所以根据分步乘法原理可知共有（种）. （3）7人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法， 因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法， 故共有种排法 组合 21．（23-24高一下·江苏无锡·期末）一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型概率公式求解. 【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为. 故选：A. 22．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 【答案】CD 【分析】根据分步乘法计数原理、排列数和组合数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】不同的安排方法共有种，故选项A错误； 若恰有一项工作无人去参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数， 则不同的安排方法共有种，故选项B错误； 若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去， 此时先从丙、丁两人中，选人或人安排到项工作，然后再安排剩余的人到项工作， 则不同的安排方法共有种，故选项C正确； 学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班， 每个班至少一个名额，采用挡板法，有种方法；故选项D正确． 故选：CD 23．（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．90 B．150 C．390 D．420 【答案】C 【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人都被录用，满足条件的录用情况有种， 由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是. 故选：C. 24．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 【答案】C 【分析】先将5人按照，或进行分组，然后再将3组进行全排列即可. 【详解】5名学生分成三组的情况有或， 当为时，则不同的安排方法有种， 当为时，则不同的安排方法有种， 所以，一共有种方法. 故选：C. 25．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ） A．30种 B．60种 C．120种 D．24种 【答案】D 【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的一人在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即可得到答案. 【详解】要使四人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成： 第一步，先从四人中任选三人，有种方法； 第二步再选这三人所在的区域，有种方法； 第三步，将另外一人从余下的两个区域里任选，有种方法. 由分步乘法计数原理，共有种方法. 故选：D. 26．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数、组合数的计算公式及性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质可得，故B正确； 对于C，因为，， 又，所以，故C错误； 对于D，，，故D正确. 故选：ABD. 27．（23-24高二下·广西玉林·期末）有甲、乙、丙等6名同学，以下说法正确的是：（    ） A．若6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480种 B．若6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为504种 C．6名同学平均分成三组到A、B、C三个实验室参观（每个实验室都有人），则有210种不同的安排方法 D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种 【答案】AD 【分析】利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法判断A；利用倍缩法求解判断B；先进行平均分组，再进行全排列，得到答案判断C；分析甲、乙、丙三人组成一组和甲、乙、丙与另一人分一组两类分组法计算得答案可判断D． 【详解】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法， 再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A正确； B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误； C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，C错误； D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起， 若还有一位同学与他们一组，共有种分法； 若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法； 共有6种分组方法，D正确． 故选：AD． 28．（23-24高二下·上海宝山·期末）7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 【答案】3600 【分析】不相邻问题用“插空法”即可. 【详解】先将除了甲和乙外的5人全排列，有种排法， 这5人排成一排，形成6个空，让甲乙去“插空”有种方法， 故7人站成一排，甲和乙不能相邻有种不同的排法. 故答案为：3600. 29．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 . 【答案】130 【分析】从条件入手，由于只能取0或1，因此5个数值的有2个0，3个0，或4个0，讨论这三种情况，即可求解. 【详解】因为，，集合中元素满足条件， 由于只能取0或1，因此5个数值中有2个0，3个0或4个0的三种情况， ①中有2个取值为0，另外3个从中取，共有方法数：， ②中有3个取值为0，另外2个从中取，共有方法数：， ③中有4个取值为0，另外1个从中取，共有方法数：， 所以总共方法数为， 即集合中满足条件的元素个数有个. 故答案为：130 30．（23-24高二下·陕西西安·期末）在如图的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法. 8 1 6 3 5 7 4 9 2 【答案】36 【分析】根据排列组合，即可结合分步乘法计数原理求解. 【详解】方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 则共有种. 故答案为：36. 二项式定理 31．（22-23高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 【答案】D 【分析】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因 ， 则，故C错误； 对于D，因而，故D正确. 故选：D. 32．（23-24高二下·陕西西安·期末）的展开式中项的系数为（    ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】先写出通项公式，令，得到的系数. 【详解】由通项公式， 时，，所以展开式中项的系数为. 故选：D. 33．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出二项式的通项公式，将分为两项，由的系数求解参数即可. 【详解】二项式的通项公式为． 的展开式中， 的系数为，解得． 故选：B． 34．（23-24高二下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 【答案】128 【分析】赋值令，代入求出结果即可； 【详解】令，得． 故答案为：128. 35．（2024高三·上海·专题练习） 展开式中的系数为 . 【答案】15 【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果. 【详解】 展开式中令的项为， 所以 展开式中的系数为15. 故答案为：15 36．（23-24高二下·青海·期末）在的展开式中，的系数为 . 【答案】60 【分析】求出给定二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数. 【详解】的展开式通项为， 由，得，所以的系数为. 故答案为：60 37．（23-24高二下·新疆·期末）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】35 【分析】合理对原式进行变形，再利用二项式定理求解即可. 【详解】由题意得， 而由二项式定理得的通项为， 令，解得，令，解得， 则含有的项为， 即的系数为35． 故答案为：35. 38．（23-24高二下·广东中山·期末）已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为． (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求得展开式的通项为，根据题意，列出方程求得，进而求得展开式的常数项； （2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，结合，求得的值，代入即可求解. 【详解】（1）解：由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第项与第项的二项式系数之比为，可得，即，解得（负值舍）， 所以，令，得，所以展开式的常数项为. （2）解：设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为 39．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当时,,由展开式中含项的系数与含的系数,可求得,进而可求得展开式中的常数项; （2）当时,,其通项,设第项的系数最大,列不等式求解即可. 【详解】（1）当时,, 其二项展开式的通项为, 展开式中含项的系数与含的系数相等, 又 , 展开式中的常数项为. （2）当时，, 其通项. 设第项的系数最大， 则， 整理得, 解得, 或. 经检验,. 展开式中系数最大项的系数为：或. 40．（23-24高二下·河北石家庄·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】80 【分析】利用二项式定理可得的展开式通项，令即可求解． 【详解】， 的展开式通项为，， 因为的展开式每一项次数为，且展开式每一项次数为， 所以展开式中不含， 令，则， 所以的展开式中的系数为， 故答案为：80． 排列组合分组分配 41．（23-24高二下·天津南开·期末）为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（    ） A．2730 B．10080 C．20160 D．40320 【答案】B 【分析】分两种情况根据分组与分配问题的求解方法求解即可. 【详解】若没有人参加“打埂作畦”，则有种不同的方法， 若有一人参加“打埂作畦”，则有种不同的方法， 所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为. 故选：. 42．（23-24高二下·陕西渭南·期末）2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．16种 【答案】B 【分析】分配1名医生和2名护士到一所学校即可. 【详解】解：先分配1名医生和2名护士到一所学校，另一所学校就就确定了， 所以共有种分配方案， 故选：B 43．（23-24高二下·河南漯河·期末）现有包含两本书的六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，要求每人至少一本，其中两本书被分给甲的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将六本书先分组再分配，按照三组本数为，和三种情况讨论可得总分法.每种情况下优先分甲可得满足条件的分法，然后由古典概型概率公式可得. 【详解】第一类，将六本书分成三组，然后分给三人共有种， 其中满足条件的分法：先将两本分给甲，然后将4本书分成两组分给乙、丙， 共有种； 第二类，将六本书分成三组，然后分给三人共有种， 其中满足条件的分法：先从4本书中取2本连同分给甲，剩下的分给乙、丙， 共有种； 第三类，将六本书分成三组，然后分给三人共有种， 其中满足条件的分法： 1）甲得2本：将分给甲，然后将剩余4本分成两组分给乙、丙， 共有种； 2）甲得3本：先从4本书中取1本连同分给甲，再将剩余3本分成两组分给乙、丙， 共有. 综上，将六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，共有种， 满足条件的分法有种. 所以，两本书被分给甲的概率为. 故选：C 44．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．可以分步完成，先确定前三种种颜色的出现顺序有种，再分别确定这三种颜色出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种颜色出现有一种方法，相乘可得． 【详解】恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码．三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1． 三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法数为：种， 三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法数为：种， 恰好取6次卡片时停止的概率为：． 故选：． 45．（23-24高二下·四川成都·期末）某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为（    ） A．52 B．60 C．72 D．360 【答案】B 【分析】先分人数分组，再结合要求应用排列分部门即可. 【详解】 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门， 人数分配为,可得, 若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则可得 故选：B. 46．（23-24高二下·四川眉山·期末）下列说法中正确的有（   ） A．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58； B．5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数有种； C．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成15种币值； D．将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有20种分配方案. 【答案】ABC 【分析】A选项利用组合的知识进行求解；B、C选项利用计数原理进行求解，D选项利用分组分配进行求解. 【详解】对于A，首先从8个顶点中选4个，共有 (种)结果， 其中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面情况， 6个对角面有6个四点共面情况， 所以以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是， 所以A正确. 对于B，由于5个人中每个人都有3种选择，而且选择的时间对别人没有影响， 不同方法的种数是，所以B正确. 对于C，我们可以选择1张、2张、3张、4张进行组合； 选择1张时，有4种币值； 选择2张时，有种币值； 选择3张时，有种币值； 选择4张时，有1种币值； 所以一共可以组成15种币值，所以C正确. 对于D，先将4名医生分成两组，有(种)方法， 再分配到两家医院，有 (种)方法， 故共有14种分配方案，所以D错误. 故选：ABC. 47．（23-24高二下·四川眉山·期末）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校欲从4名男生、5名女生中选派5名大学生到奥运会的3个项目当志愿者（每个项目必须有志愿者），则志愿者中至少有4名女生的分配方法共有 种（用数作答）． 【答案】 【分析】根据题意，分为为两类： 4女1男和5女时，共有种选法，在把选出的5人分为两类：或的两组，有种，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，选派的5人中，志愿者中至少有4名女生，可分为为两类： 当4女1男时，有种，当5女时，有种，共有种选法， 再把选出的5人分成3组，可分为或的两组，有种， 共有种不同的分配方法. 故答案为：. 48．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有 种． 【答案】30 【分析】按抽取2名男生，1名女生时，抽取3名男生时进行求解． 【详解】解：抽取3名同学可以分为两类： 当抽取2名男生，1名女生时，分配方法数为：， 当抽取3名男生时，分配方法数为：， 则总的方法数为：， 故答案为：30 49．（23-24高二下·福建三明·期末）一项活动有7个名额需要分配给3个单位，每个单位至少一个名额且各单位名额个数互不相同的分配方法种数是 .（用数字表示） 【答案】6 【分析】先确定分配方式为1，2，4，再排列即可. 【详解】解：因为每个单位至少一个名额且各单位名额个数互不相同， 所以7个名额需要分配给3个单位的分配方式为：1，2，4， 所以7个名额需要分配给3个单位的分配方法种数是种， 故答案为：6 50．（23-24高二下·河南商丘·期末）某职业技术学校组织6名学生到3家工厂实习，每家工厂至少去1人，至多去3人，且每名学生只能去1家工厂，则不同的分配方法共有 种．（用数字作答） 【答案】 【分析】先将人按要求分成三组，再分配到三个厂去即可. 【详解】由题意，人分成组有和两种分法， 当按分组时，则不同的分配方法有种， 当按分组时，则不同的分配方法有种， 综上，不同的分配方法共有种. 故答案为：. 二项式定理与数列综合 51．（22-23高二下·安徽滁州·期末）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【分析】根据题意，归纳可得：第行的第个数为，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】根据题意，由数表可得：第行的第个数为， 由此分析选项： 对于A，，A错误； 对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，B错误； 对于C，记第行的第个数为，则，则，C错误； 对于D，第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为，D正确． 故选：D． 52．（2024·湖北襄阳·二模）知识卡片：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理计算： . 【答案】 【分析】根据微积分基本定理得到，再结合二项式定理及微积分基本定理计算可得. 【详解】因为， 且， 所以 ； ， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给微积分基本定理的理解及应用，对于新定义型问题，理解定义是关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 计数原理 两个计数原理 1．（23-24高二下·广东中山·期末）用数字，，，，，组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·陕西西安·期末）书架的第1层放有3本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法种数为（    ） A．3 B．8 C．12 D．18 3．（23-24高二下·河北张家口·期末）求整数的正整数因数时可将其改写成若干个质数的乘积，例如，12的正整数因数只需分别从，中各选一个元素相乘即可，则2025的正整数因数的个数为（    ） A．8 B．10 C．15 D．16 4．（23-24高二下·四川德阳·期末）2160的不同正因数个数为（    ） A．42 B．40 C．36 D．30 5．（23-24高二下·贵州安顺·期末）高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（    ） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 6．（23-24高二下·福建福州·期中）小五和小明两人从4门课程中各选修1门，则小五和小明所选的课程的选法共有（    ） A．8种 B．12种 C．16种 D．18种 7．（23-24高二下·广东广州·期末）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，不同的选法种数为（    ） A．10 B．15 C．60 D．125 8．（23-24高二下·天津西青·期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·天津滨海新·期末）今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（    ） A．10种 B．60种 C．125种 D．243种 10．（23-24高二下·江西萍乡·期末）用0与1两个数字随机填入如图所示的4个格子里，每个格子填一个数字.若从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为 . 排列 11．（23-24高二下·青海·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的概率为（   ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 13．（23-24高二下·新疆·期末）10人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3人站在一起的不同站法种数为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二下·贵州黔南·期末）黔南布依族苗族自治州辖12个县（市）：都匀市、福泉市、瓮安县、独山县、三都水族自治县、平塘县、荔波县、贵定县、龙里县、罗甸县、长顺县、惠水县，为了弘扬地方少数民族文化，州文化广电和旅游局决定在暑假期间到这12个县（市）举办文化宣传活动，每个县（市）安排一次活动，且不同时举行.若要求罗甸县、长顺县、惠水县相邻举行，则不同的时间安排种数为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二下·福建福州·期末）福厦高铁全线共设8个客运站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州东、泉州南、厦门北、漳州，则铁路部门应为福厦高铁线上的这8个站间准备不同的火车票的种数为（    ） A．28 B．56 C．64 D．112 16．（23-24高二下·陕西西安·期末）从6个不同的甜筒中选出4个送给4位同学，每人1个，不同的送法种数是（    ）． A．360 B． C．24 D． 17．（23-24高二下·全国·课后作业）身高各不相同的六位同学站成一排照相，则说法正确的是（ ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法 B．A与同学不相邻，共有种站法 C．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法 D．A不在排头，B不在排尾，共有504种站法 18．（23-24高二下·浙江温州·期末）现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人相邻，丙不排在周三的概率为 . 19．（23-24高二下·新疆喀什·期末）现有4名男生和3名女生， (1)若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？ (2)若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ 20．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）4名男生和3名女生站成一排. (1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ (2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？ (3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 组合 21．（23-24高一下·江苏无锡·期末）一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是（    ） A．不同的安排方法共有种 B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种 C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 D．学校为了表扬先进，现将25名三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种 23．（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．90 B．150 C．390 D．420 24．（23-24高二下·河北石家庄·期末）某大学学生会安排5名学生作为“校庆70周年——欢迎校友回家”活动的志愿者，已知该活动的志愿者值班区域分为主楼区、偏楼区和大厅区三个区域，每名志愿者只需去一个区域进行志愿值班服务，且每个区域至少有1名志愿者，则不同的安排方法有（    ） A．45种 B．90种 C．150种 D．240种 25．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ） A．30种 B．60种 C．120种 D．24种 26．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 27．（23-24高二下·广西玉林·期末）有甲、乙、丙等6名同学，以下说法正确的是：（    ） A．若6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480种 B．若6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为504种 C．6名同学平均分成三组到A、B、C三个实验室参观（每个实验室都有人），则有210种不同的安排方法 D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种 28．（23-24高二下·上海宝山·期末）7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 29．（23-24高二下·上海宝山·期末）设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组构成的：每一个元素等于0、1、中之一，其中，2，3，4，5.那么集合A中满足条件“”的元素个数为 . 30．（23-24高二下·陕西西安·期末）在如图的方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法. 8 1 6 3 5 7 4 9 2 二项式定理 31．（22-23高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 32．（23-24高二下·陕西西安·期末）的展开式中项的系数为（    ） A． B．5 C． D．10 33．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知的展开式中的系数为48，则实数＝（    ） A．2 B．1 C． D． 34．（23-24高二下·四川成都·期末）若，则的值为 ． 35．（2024高三·上海·专题练习） 展开式中的系数为 . 36．（23-24高二下·青海·期末）在的展开式中，的系数为 . 37．（23-24高二下·新疆·期末）在的展开式中，的系数为 ． 38．（23-24高二下·广东中山·期末）已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为． (1)求的值及展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 39．（23-24高二下·上海宝山·期末）设，其中n是正整数，a为正实数． (1)设，若展开式中含项的系数与含的系数相等，求展开式中的常数项； (2)设，，求展开式中系数最大项的系数（保留组合数以及2的幂）． 40．（23-24高二下·河北石家庄·期末）的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 排列组合分组分配 41．（23-24高二下·天津南开·期末）为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目．某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为（    ） A．2730 B．10080 C．20160 D．40320 42．（23-24高二下·陕西渭南·期末）2名医生和4名护士将分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，分配方法共有（    ） A．10种 B．12种 C．14种 D．16种 43．（23-24高二下·河南漯河·期末）现有包含两本书的六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，要求每人至少一本，其中两本书被分给甲的概率为（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高二下·山东菏泽·期末）已知袋中有标记为1，2，3，4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当4种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高二下·四川成都·期末）某市人民政府新招聘进 5 名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门， 每人只去一个部门，若教育部门必须安排 2 人，其余部门各安排 1 人，则不同的方案数为（    ） A．52 B．60 C．72 D．360 46．（23-24高二下·四川眉山·期末）下列说法中正确的有（   ） A．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58； B．5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数有种； C．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成15种币值； D．将4名医生志愿者分配到两家医院（每人去一家医院，每家医院至少去1人），则共有20种分配方案. 47．（23-24高二下·四川眉山·期末）第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，某高校欲从4名男生、5名女生中选派5名大学生到奥运会的3个项目当志愿者（每个项目必须有志愿者），则志愿者中至少有4名女生的分配方法共有 种（用数作答）． 48．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）现有3名男同学和2名女同学，从中抽取3名同学去两个不同的地方参加志愿者服务活动，且每个地方至少要有1名男同学，则不同的分配方式共有 种． 49．（23-24高二下·福建三明·期末）一项活动有7个名额需要分配给3个单位，每个单位至少一个名额且各单位名额个数互不相同的分配方法种数是 .（用数字表示） 50．（23-24高二下·河南商丘·期末）某职业技术学校组织6名学生到3家工厂实习，每家工厂至少去1人，至多去3人，且每名学生只能去1家工厂，则不同的分配方法共有 种．（用数字作答） 二项式定理与数列综合 51．（22-23高二下·安徽滁州·期末）习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第n行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 52．（2024·湖北襄阳·二模）知识卡片：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理计算： . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$