专项三：长方体和正方体解决问题（拓展版60题）-2024-2025学年六年级数学上册期末核心考点专练（苏教版）

练习三： 长方体和正方体解决问题 1．在内侧棱长为20厘米的正方体容器内装满水，将这个容器如图倾斜放置在桌面上（正方体的一条棱与桌面接触），流出的水正好装满一个内侧棱长为10厘米的正方体容器，图中线段AB的长是多少厘米？ 2．如图（1）所示，长方体容器的底面是边长为50厘米的正方形，容器内竖直放着一根长方体铁块，这个长方体铁块的底面是边长20厘米的正方形，高80厘米，水面高30厘米。如图（2）所示，把这个铁块提起使得铁块底距离容器底21厘米，此时露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是多少厘米？ 3．素养提升：一个长10厘米、宽8厘米的长方体容器中的水深6厘米。现将一根底面积为20平方厘米的长方体铁棒竖直放入水中，其底面与容器底完全接触（水没有溢出），仍有部分铁棒露出水面，现在水深多少厘米？ 4．将长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块的六个面都涂上红色，然后分割成棱长1厘米的小正方体木块。在这些小正方体中，一面涂色的有几块？没有涂色的有几块？ 5．在一个正方体木块的6个面涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，如果两面涂红色的小正方体共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体有多少个？ 6．如图所示，用0.2分米厚的木板做成一个无盖的长方体木箱，从外面量木箱长8分米，宽6分米，高5分米。这个木箱的容积是多少？ 7．下图是一个无盖的玻璃鱼缸的其中两个面。 （1）做这个鱼缸最多要用多少平方分米的玻璃？ （2）沿鱼缸口覆盖一圈塑胶条，塑胶条长多少分米？ （3）这个鱼缸最多能盛水多少升？ 8．一个长20厘米，高10厘米的密封的长方体容器里装有6厘米深的水，如果以容器的右侧面为底竖直摆放，此时容器内水高多少厘米？ 9．王大伯按照下图裁剪一块长方形铁皮，焊接成一个底面是正方形的无盖长方体。这个长方体容器的容积是多少毫升？ 10．一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 11．一张长40厘米，宽20厘米的长方形铁皮，张师傅想把它加工成一个高5厘米的长方体无盖容器，并且使它的容积大于1500立方厘米，你想怎么设计？画出剪裁图，并算出容积（损耗略不计）。 12．数学实践活动课上，王老师拿出一张边长20厘米的正方形纸片。 王老师：“同学们，你们能通过裁剪等方法做成一个无盖的长方体纸盒吗？” 小军：“这太简单了！我们已经学习过长方体的展开图了！” 王老师：“想一想，要使做成的无盖长方体纸盒容积最大，该怎样剪贴呢？动手试试吧！ 如果有困难，可以在图中画一画，标注主要数据，并算出它的最大容积。 （不考虑损耗与接缝，剪切数据取整厘米数） 13．如图，由30个棱长为1米的正方体在地面上摆成一个塔形（注意：每层之间的竖棱不一定对齐，即层与层之间摆的不正），然后喷红色油漆。（当然地面和被盖住的地方喷不上）之后把它们拆散，这样有的小正方体只有一部分不规则的红色，有的一个面是红色，有的完全没有喷上红色，试求这些红色面积的总和。 14．一个长方体木块，从它的上部和下部分别截去高4厘米和5厘米的长方体后，成为一个正方体，这样表面积比原来减少了216平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？（提示：可以先画出示意图帮助理解） 15．一个长方体，如果长增加5厘米，体积增加100立方厘米；如果宽增加6厘米，体积就增加144立方厘米；如果高增加7厘米，体积增加210立方厘米。求原来长方体的表面积。 16．一个长方体容器，从里面量，底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米的长方体铁棒，底面是边长为15厘米正方形，这时容器里的水深50厘米（如图①）。现在把铁棒轻轻地向上提起24厘米（如图②），伸出水面的铁棒上被水浸湿的部分长多少厘米？ 17．一个长方体，如果高增加2厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 18．为了引水灌溉，张圩村修建了一个长80米的水槽，水槽的横截面是一个边长8分米的正方形。 （1）如果要在水槽内壁的底面和侧面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）引水灌溉时，如果水槽内的水深6分米，水流速度是25米/分，这个水槽1小时可以引水多少立方米？ 19．一个正方体容器的棱长是40厘米，容器内的水面高35厘米，现将一根长60厘米、横截面的面积是400平方厘米的长方体铁棒垂直插入水中，会溢出多少升水？ 20．一个长方体，若高减少4cm，则表面积会减少96cm²，这时长方体正好变成一正方体。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 21．一个长方体玻璃缸长7dm，宽5dm，高4dm，缸中水深2.8dm。如果放入一块棱长为4dm的正方体铁块，那么缸里的水溢出多少升？ 22．在一个长40厘米、宽20厘米、高25厘米、水深18厘米的长方体水槽内浸没着一个马铃薯，将马铃薯取出后，水深17.2厘米。这个马铃薯的体积是多少立方厘米？水槽内水与水槽接触的面积减少了多少平方厘米？ 23．一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 24．一个密封的长方体容器如图，长4分米、宽1分米、高2分米，里面水深16厘米。如果以这个容器的左侧面为底放在桌上。 （1）这时水深多少分米？ （2）此时，水与容器接触的面积是多少平方分米？ 25．一个花坛（如图），高0.7米，底面是边长1.2米的正方形，四周用砖砌成，厚度是0.2米，中间填满泥土。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要泥土多少立方米？ （3）做这样一个花坛，四周大约需要砖多少平方米？ 26．一根方料长400厘米，把它锯成相等的两段后，表面积比原来增加了50平方厘米，求这根方料原来的体积和表面积。 27．一根长的长方体木料，把它平均锯成3段，表面积正好增加，这根木料的体积是多少立方分米？ 28．一根长方体木料，长3米。现在把这根木料锯成4段后，表面积比原来增加了48平方分米，原来这根长方体木料的体积是多少立方分米？ 29．一个长方体，如果高减少3厘米，就变成了一个正方体，这时表面积比原来减少48平立方厘米，原来长方体体积是多少立方厘米？ 30．一个长方体，左右两侧面是正方形，它的表面积是112平方厘米，能切成3个体积相等的正方体，求切开后每个正方体的表面积是多少平方厘米？ 31．如图，一个长方体礼盒的长、宽、高分别是30厘米，10厘米，15厘米。如果用彩带把这个礼捆扎起来，打结处长20厘米，那一共需要彩带多少厘米？ 32．一个长方体的长是6厘米，宽是3厘米，高是2厘米。如果要使这个长方体的表面积增加18平方厘米，长和宽不变，高要增加多少厘米？ 33．把一个正方体木块锯成两个长方体，其中小长方体的表面积比大长方体的表面积少20平方厘米，原来正方体木块的棱长是5厘米，小长方体的表面积是多少平方厘米？ 34．一个长方体，如果长减少2厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来减少64平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 35．爸爸在院子里用混凝土浇筑了一个无盖的长方体水槽，从外面量，水槽长15分米，宽8分米，高5分米，混凝土厚10厘米。 （1）这个水槽最多能装水多少升？ （2）浇筑这个水槽至少需多少立方米混凝土？ 36．有一个长方体，若从中截下一个棱长是2厘米的正方体后，剩下的部分还是一个长方体，且剩下的长方体的表面积是32平方厘米。求这个长方体原来的体积是多少？ 37．一个密封的长方体玻璃器中装有水，从里面量，长30厘米，宽20厘米，高15厘米，水深8厘米，如果把容器的右侧面作为底面放在桌上，这时水深多少厘米？水与容器接触的面积是多少平方厘米？ 38．从一长方体上截下一个体积是108立方厘米的小长方体后，剩下的部分是一个棱长6厘米正方体。原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 39．一个长方体木块，如图切成三块，中间的正方体木块比原长方体的表面积少96平方厘米，那么原来长方体的体积是多少立方厘米？ 40．把40升水倒入一个长2.5分米，宽2分米，高6分米的长方体水缸中。这时水的高度是多少分米？ 41．如图，从长30厘米、宽20厘米、高10厘米的大长方体中挖去一个长、宽都是8厘米，高10厘米的小长方体，你能计算出剩余部分的表面积和体积吗？ 42．一个长方体的玻璃缸，从里面量长，宽，高，水深。如果投入一块棱长为的正方体铁块（如图），缸里的水溢出多少升？     43．一个长方体，如果高增加3厘米，就变成了一个正方体，表面积就比原来增加60平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 44．一个长方体木箱长、宽都为4分米，如图，靠在墙角，它露在外面的面积是112平方分米，这个木箱的体积是多少立方分米？ 45．一个长方体玻璃鱼缸（无盖），长50厘米，宽40厘米，高30厘米。 （1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）在鱼缸里注入40升水，水深大约多少厘米？（玻璃厚度忽略不计） （3）再往水里放入鹅卵石、水草和鱼，水面上升了2.5厘米。这些鹅卵石水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？ 46．有一个花坛，高0.5米，底面是边长2.4米的正方形，四周用砖砌成砖墙，砖墙厚度0.4米，中间填满泥土。 （1）这个花坛所占的空间有多大？ （2）花坛里大约有泥土多少立方米？ （3）在砖墙的外面和上面贴上瓷片，贴瓷片的面积是多少平方米？ 47．一个棱长为2分米的正方体木块，沿水平方向将它锯成4片，每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，每条再竖直锯成6块，共得到大大小小的72个长方体木块。这些长方体木块的表面积之和是多少平方分米？ 48．学校有一个容积为240立方分米的装物箱（有盖），现在用它装一种体积为8立方分米的正方体教具。一共可以装多少个？小红是这样计算的：（个）小红这样算你赞同吗？举例说明你的观点。 49．一个长方形储水箱，如果把一个底面边长是5厘米的长方体铁块全部放入水中，水面就上升9厘米（水没有溢出）；如果把长方体铁块竖直拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米。这个长方体铁块的体积是多少？ 50．从一个长9厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体。剩下几何体的表面积是多少平方厘米？ 51．一个长方体水缸，底面是长和宽都是30厘米的正方形，其中有18厘米深的水。现将一根长为25厘米，宽4厘米，高为21厘米的长方体钢坯垂直放入水中，现在水面高度是多少？ 52．有两个长方体水缸，甲缸的底面积是15平方厘米、高8厘米，没有装水；乙缸的底面积是12平方厘米，装有9厘米深的水，现将乙缸的水装一部分到甲缸使得两缸水的高度相等，这时水的高度是多少厘米？ 53．将一个长10厘米，宽5厘米的长方体铁块投入底面积为200平方厘米的长方体水槽内，铁块浸没水中后水面深由10厘米上升到12厘米，铁块体积是多少立方厘米？铁块高多少厘米？ 54．一只长方体的玻璃缸，长10分米、宽7分米、高6分米，缸里水深4.5分米。如果在缸里放入一块棱长为5分米的正方体铁块，会溢出多少升水？ 55．一根长方体木料长1.5米，如果沿着长把它截成3个小长方体后，表面积比原来增加了0.64平方米，原来这根木料的体积是多少立方米？ 56．如图，运动场上有一个用实心木料拼成的领奖台，左面3号台是棱长0.4米的正方体，中间1号台是长0.6米、宽0.4米、高0.7米的长方体，右面2号台是长0.4米、宽0.4米、高0.5米的长方体。这个领奖台上面的面积一共是多少平方米？如果从2号台上锯掉一个小长方体放到3号台的上面，这时3号台和2号台的体积相等，高度相同，锯掉的小长方体的体积是多少立方米？ 57．一个长方体玻璃容器，长8厘米，宽5厘米，高20厘米，现在往容器里注水，第一次出现正方形面时，容器里有多少毫升水？再注入多少毫升水会再次出现正方形面？ 58．一块长方体钢材，长20分米，宽15分米，高12分米。截去尽可能大的两个正方体（不焊接不割补）后，还剩多少立方分米钢材？ 59．一个长方体，如果长增加2厘米，则表面积增加36平方厘米；如果宽增加3厘米，则表面积增加90平方厘米；如果高增加4厘米，则表面积增加112平方厘米；那么，原来这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 60．一个长方体，如果长增加2厘米，则表面积增加32平方厘米；如果宽增加3厘米，则表面积增加90平方厘米；如果高增加4厘米，则表面积增加104平方厘米。原来这个长方体的棱长总和是多少厘米？ 参考答案 1．15厘米 分析： 如图，将正方体分成高AB和高BC两个长方体部分，流出的水的体积是高BC部分的一半，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出流出的水的体积，乘2是高BC部分的容积；正方体容器的容积－高BC部分的容积＝高AB部分的容积，根据长方体的高＝体积÷底面积，即可求出AB的长。 详解：10×10×10＝1000（立方厘米） 20×20×20－1000×2 ＝8000－2000 ＝6000（立方厘米） 6000÷（20×20） ＝6000÷400 ＝15（厘米） 答：图中线段AB的长是15厘米。 点睛：关键是掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 2．25厘米 分析：铁块往上提时水面会下降，填充由于铁块提起而空出部分的体积，即下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，用这部分体积除以下降部分水的底面积（容器底面积－铁块底面积）可以得到水面下降的高度。露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长，等于提出的21厘米加上水面下降的高度。 详解：下降水的体积：20×20×21 ＝400×21 ＝8400（立方厘米） 下降水的底面积：50×50－20×20 ＝2500－400 ＝2100（平方厘米） 下降高度：8400÷2100＝4（厘米） 露出的浸湿高度：21＋4＝25（厘米） 答：露出水面的铁块上被水浸湿的部分的长是25厘米。 点睛：本题关键是明确下降部分水的体积等于铁块21厘米高度的体积，同时还需要注意，下降部分水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差。 3．8厘米 分析：长方体容器中放入长方体铁棒后，水的体积没有变化，由于放入的铁棒占据了部分底面积，所以底面积等于原来长方体容器的底面积－铁棒的底面积；这时，水的形状变成一个中间被抽去一个长方体的中空的长方体，求这样一个中空的长方体的体积，根据：体积＝底面积×高，高＝体积÷底面积，即可求出现在水的高度。 详解：10×8×6÷（10×8－20） ＝80×6÷（80－20） ＝480÷60 ＝8（厘米） 答：现在水深8厘米。 点睛：明确水的体积不变以及熟练掌握和运用长方体体积公式是解答本题的关键。 4．一面涂色的有52块；没有涂色的有24块 分析：根据分析可知，根据长方体的体积＝长×宽×高，用（6×5×4）÷（1×1×1）即可求出被切成的小正方体的块数；三个面均为油漆的是各顶点处的小正方体，长方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个； 在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，长被切成6个小正方体，所以一条长有（6－2）个两面油漆的小正方体，宽被切成5个小正方体，所以一条宽有（5－2）个两面油漆的小正方体，高被切成4个小正方体，所以一条高有（4－2）个两面油漆的小正方体，所以用（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4即可求出有几个两面涂色的小正方体； 在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆，用[（6－2）×（5－2）＋（6－2）×（4－2）＋（5－2）×（4－2）]×2即可求出几个一面涂色的小正方体； 最后用所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上面的结论，即可求得答案。 详解：小正方体的总个数：（6×5×4）÷（1×1×1） ＝120÷1 ＝120（个） 有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个， 两面涂色的有：（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4 ＝4×4＋3×4＋2×4 ＝16＋12＋8 ＝36（个） 一面涂色的有：[（6－2）×（5－2）＋（6－2）×（4－2）＋（5－2）×（4－2）]×2 ＝[4×3＋4×2＋3×2]×2 ＝[12＋8＋6]×2 ＝26×2 ＝52（个） 没有涂色的有：120－8－36－52＝24（个） 答：一面涂色的有52块；没有涂色的有24块。 点睛：此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上。 5． 486个 分析：根据两面涂色的小正方体的个数＝正方体的棱长数×（棱长－2），可得大正方体的棱长；接下来再根据一面涂色的小正方体的个数＝正方体的面数×（棱长－2）即可得到答案。 详解：正方体的棱长： 108÷12＋2 ＝9＋2 ＝11（厘米） 只有一面涂红色： ＝ ＝（个） 答：只有一面涂色的小正方体有486个。 点睛：本题主要考查了染色问题，解题的关键是根据两面涂色的小正方体的个数＝正方体的棱长数×(棱长－2)，求出大正方体的棱长。 6．204.288立方分米 分析：由题意可知，从里面量长方体的长是（8－0.2×2）分米，宽是（6－0.2×2）分米，高是（5－0.2）分米，然后根据长方体的容积公式：V＝abh，据此解答即可。 详解：里面的长：8－0.2×2 ＝8－0.4 ＝7.6（分米） 宽：6－0.2×2 ＝6－0.4 ＝5.6（分米） 高：5－0.2＝4.8（分米） 7.6×5.6×4.8 ＝33.6×4.8 ＝204.288（立方分米） 答：这个木箱的容积是204.288立方分米。 7．（1）128平方分米 （2）18分米 （3）120升 分析：从图中可知，这个无盖的玻璃鱼缸是一个长方体，三条棱长分别是6分米、5分米和4分米。 （1）求做一个无盖玻璃鱼缸需要玻璃的面积，即是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和； 这个长方体中面积最大的面是（6×5），最小的面是（5×4），要使做这个鱼缸用的玻璃面积最多，那么让面积最小的面做鱼缸的底面，少上面也就是缺少最小的面，这样鱼缸用的玻璃面积最多； 由此可知，这个长方体鱼缸的长是5分米、宽是4分米、高是6分米；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和即可。 （2）沿鱼缸口覆盖一圈塑胶条，求塑胶条的长度，就是求长5分米、宽4分米的长方形的周长，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据计算求解。 （3）求这个鱼缸最多能盛水多少升，就是求这个鱼缸的容积，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，以及进率“1立方分米＝1升”，即可求解。 详解：（1）5×4＋5×6×2＋4×6×2 ＝20＋60＋48 ＝128（平方分米） 答：做这个鱼缸最多要用128平方分米的玻璃。 （2）（5＋4）×2 ＝9×2 ＝18（分米） 答：塑胶条长18分米。 （3）5×4×6＝120（立方分米） 120立方分米＝120升 答：这个鱼缸最多能盛水120升。 点睛：（1）明确无盖玻璃鱼缸缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，要使长方体的表面积最大，那么用面积最小的面做底面，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 （2）本题考查长方形周长公式的运用。 （3）本题考查长方体体积（容积）公式的运用以及体积、容积单位的换算。 8．12厘米 分析：根据题意，长方体内水的体积不变，以容器的右侧面为底竖直摆放，也就是改变水的底面为宽和高围成的长方形，根据：水的体积＝长×宽×高，水的高＝水的体积÷（高×宽）计算出结果即可，宽未知可以用字母代替计算。 详解：设长方体容器的宽为b厘米。 20×b×6÷（10×b） ＝120b÷10b ＝12（厘米） 答：此时容器内水高12厘米。 点睛：此题考查了长方体的体积运用，关键能灵活运用等体积变形知识以及字母表示数进行解答。 9．6750毫升 分析：根据题意，裁剪一块长方形铁皮焊接成一个底面是正方形的无盖长方体，则少上面，共有5个面，且底面是正方形，4个侧面完全相同。 从图中可知，把长方形的长边平均分成两半，这样左右两边都是边长为30厘米的正方形，左边的正方形作为长方体的底面，根据正方形的面积＝边长×边长，求出长方体的底面积； 把右边的正方形再平均分成4个小长方形，这4个小长方形作为长方体的侧面，用30÷4即可求出长方体的高； 最后根据公式V＝Sh，以及进率：1立方厘米＝1毫升，求出这个无盖长方体容器的容积。 详解：正方形的边长：60÷2＝30（厘米） 长方体的高：30÷4＝7.5（厘米） 长方体的体积： 30×30×7.5 ＝900×7.5 ＝6750（立方厘米） 6750立方厘米＝6750毫升 答：这个长方体容器的容积是6750毫升。 点睛：本题考查长方体体积（容积）公式的灵活运用，找出长方体容器的底面积和高是解题的关键。 10．312平方厘米；168立方厘米 分析：观察图形可知，在正方体木料的6个面中央各挖走一个棱长2厘米的正方体洞孔，则每个面都减少了1个（2×2）的面，同时又露出了5个（2×2）的面，所以每个面比原来增加了4个（2×2）的面，那么表面积比原来增加了6个（2×2×4）的面积；先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长为6厘米的正方体木料的表面积，再加上6个（2×2×4）的面积，即是此时立体图形的表面积。 此时立体图形的体积＝正方体木料的体积－6个小正方体洞孔的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 详解：表面积： 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是312平方厘米，体积是168立方厘米。 点睛：本题考查正方体的表面积、体积公式的运用，在求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多了或少了，进而根据公式列式计算。 11．图见详解；容积是1750立方厘米；2000立方厘米 分析：根据题意，要做这个铁皮容器，有三种方法： 方法（1）4个角分别剪去一个边长5厘米的正方形，如图所示，，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出这个铁皮的容积，再和1500立方厘米比较； 方法（2）将长方形的两个角分别剪去1个边长5厘米的正方形，再将剪下的正方形焊接在右边，如图，，计算出体积，再和1500立方厘米比较； 方法（3）从长方形的宽的两端分别剪去宽为5厘米，长为20厘米的长方形，再分别含在另外两边，如图，，计算出体积，再和1500立方厘米比较，即可解答。 详解：方法（1） （40－5－5）×（20－5－5）×5 ＝（35－5）×（15－5）×5 ＝30×10×5 ＝300×5 ＝1500（立方厘米） 1500立方厘米＝1500立方厘米。 方法（2） （40－5）×（20－5×2）×5 ＝35×（20－10）×5 ＝35×10×5 ＝350×5 ＝1750（立方厘米） 1750立方厘米＞1500立方厘米；可以这样设计。 答：容积是1750立方厘米。 方法（3） （40－5×2－5×2）×20×5 ＝（40－10－10）×20×5 ＝（30－20）×20×5 ＝20×20×5 ＝400×5 ＝2000（立方厘米） 2000立方厘米＞1500立方厘米；可以这样设计。 容积是2000立方厘米。 点睛：解答本题的关键是：利用画图，分别计算出容积，选择出最大的做法即可。 12．588立方厘米；见详解 分析：根据题意，在一张边长20厘米的正方形纸片的四个角上剪去大小相等的四个小正方形，然后折成一个无盖的长方体纸盒；那么这个长方体的长、宽都等于正方形纸片的边长减去2个小正方形的边长，长方体的高等于小正方形的边长； 根据长方体的体积（容积）公式V＝abh，分别求出当剪下的小正方形的边长是1厘米、2厘米、3厘米……这个无盖长方体的容积，比较大小，得出它的最大容积。 详解：情况一：剪下的小正方形的边长是1厘米，即长方体的高是1厘米； 长方体的长、宽分别是： 20－1×2 ＝20－2 ＝18（厘米） 长方体的容积： 18×18×1＝324（立方厘米） 情况二：剪下的小正方形的边长是2厘米，即长方体的高是2厘米； 长方体的长、宽分别是： 20－2×2 ＝20－4 ＝16（厘米） 长方体的容积： 16×16×2 ＝256×2 ＝512（立方厘米） 情况三：剪下的小正方形的边长是3厘米，即长方体的高是3厘米； 长方体的长、宽分别是： 20－3×2 ＝20－6 ＝14（厘米） 长方体的容积： 14×14×3 ＝196×3 ＝588（立方厘米） 情况四：剪下的小正方形的边长是4厘米，即长方体的高是4厘米； 长方体的长、宽分别是： 20－4×2 ＝20－8 ＝12（厘米） 长方体的容积： 12×12×3 ＝144×4 ＝576（立方厘米） 588＞576＞512＞324 所以，当剪下的小正方形的边长是3厘米时，长方体的长、宽都是14厘米，高是3厘米，做成的无盖长方体纸盒容积最大。 如图： 答：在正方形纸片的四个角剪下四个边长3厘米的小正方形时，做成的无盖长方体纸盒容积最大为588立方厘米。 点睛：明确在正方形纸的四个角剪下四个大小相等的小正方形，可以折成一个无盖的长方体，要求长方体的最大的容积，分情况讨论，找出长方体的长、宽、高，然后运用长方体的体积（容积）公式列式计算。 13．56平方米 分析：求这些红色面积的总和，就是求这个立体图形露在外面的面积之和；从上面看，红色部分是（4×4）的正方形的面积；从侧面看，每个面是（1×4）的长方形、（1×3）的长方形、（1×2）的长方形、（1×1）的长方形，求出它们的和再乘4个面，就是侧面涂红色的面积，再与上面涂红色的面积相加，就是立体图形涂红色面积的总和。 详解：上面红色部分的面积：4×4＝16（平方米） 四周的面积： （1×4＋1×3＋1×2＋1×1）×4 ＝（4＋3＋2＋1）×4 ＝10×4 ＝40（平方米） 一共：16＋40＝56（平方米） 答：这些红色面积的总和是56平方米。 点睛：结合立体图形的结构特点，分别从上面、侧面看求出其表面积。 14．540立方厘米 分析：如图，由题意可知，这是一个上、下面为正方形的长方体，从上部和下部分别截去高为4厘米和5厘米的长方体后，把截去的部分拼在一起，新增加的部分是一个展开后长为上、下底边长4倍，宽为（4＋5）厘米的长方形；根据长方形的面积计算公式“S＝ab”，即可求出这个长方形的长，长方形的长除以4就是中间剩下的正方体的棱长，即原长方体的长、宽，高是长加上（4＋5）厘米；根据长方体的体积计算公式“V＝abh”即可求出原长方体的体积 详解：如图： 根据分析得： 216÷（4＋5）÷4 ＝216÷9÷4 ＝6（厘米） 6×6×（6＋4＋5） ＝36×15 ＝540（立方厘米） 答：原来长方体的体积是540立方厘米。 点睛：解答此题的关键，也是难点是求出中间所剩正方体的棱长，也就是原长方体的长、宽。 15．148平方厘米 分析：当长增加5厘米，则宽和高不变，此时增加部分的体积：5×宽×高＝100，由此即可求出宽×高＝20平方厘米；宽增加6厘米，则长和高不变，增加部分的体积：长×高×6＝144，则长×高＝24平方厘米；高增加7厘米，则长和宽不变，增加部分的体积：长×宽×7＝210，则长×宽＝30平方厘米，之后根据长方体的表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可求解。 详解：宽×高：100÷5＝20（平方厘米） 长×高：144÷6＝24（平方厘米） 长×宽：210÷7＝30（平方厘米） 表面积：（20＋24＋30）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是148平方厘米。 点睛：此题关键是理解长增加宽和高不变，宽增加长和高不变，高增加长和宽不变。根据长方体的表面积公式解答即可。 16．25.6厘米 分析：物体部分浸入水中，当轻轻提起物体时，水的体积不变，提起的那部分铁棒的体积＝容器中下降那部分水的体积，下降那部分水的底面积＝容器的底面积一铁棒的底面积。用“提起的那部分铁棒的体积÷（容器的底面积一铁块的底面积）”求出水面下降的高度，再加上提起的24厘米就是露出水面的铁棒上被水浸湿的部分的长度。 详解：15×15×24÷（60×60－15×15）＋24 ＝5400÷3375＋24 ＝1.6＋24 ＝25.6（厘米） 答：伸出水面的铁棒上被水浸湿的部分长25.6厘米。 点睛：解决此类物体部分浸入水中的问题，要注意当轻轻提起物体时，提起的那部分物体的体积＝容器中下降那部分水的体积。 17．245立方厘米 分析：由题意可知：高增加2厘米，就变成一个正方体。说明长方体的底面是正方形且高比底面边长少2厘米，这时表面积比原来增加56平方厘米。表面积增加的部分是高为2厘米的4个侧面的面积，由此可以求出一个侧面的面积，进而求出原来长方体的底面边长，再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 详解：底面边长：56÷4÷2＝7（厘米） 高：7－2＝5（厘米） 7×7×5＝245（立方厘米） 答：原来长方体的体积是245立方厘米。 点睛：此题关键是根据增加的面积求出长方体的底面边长。 18．（1）192平方米 （2）720立方米 分析：（1）通过题目可知，这个水槽的长是80米，宽是8分米，高是8分米，这个水槽的前面和后面不需要水泥的，由于要往水槽里引水，在底面和侧面抹上水泥，则求这个水槽的3个面的面积，即长×高×2＋长×宽，把数代入公式即可求解。 （2）由于6分米＝0.6米，1分钟能引水：0.6×0.8×25，则1小时的引水量，把1分钟引水量乘60即可。 详解：（1）8分米＝0.8米 80×0.8×2＋80×0.8 ＝128＋64 ＝192（平方米） 答：抹水泥的面积是192平方米。 （2）1小时＝60分 0.6×0.8×25×60 ＝0.48×25×60 ＝12×60 ＝720（立方米） 答：这个水槽1小时可以引水720立方米 点睛：本题主要考查长方体的表面积和体积的公式，要注意这个水槽只有3个面是解题的关键。 19．8升 分析：先求出正方体容器剩余的容积，再和铁棒垂直插入水中部分的体积作对比，看水是否会溢出，如果溢出，则用铁棒垂直插入水中排出水的体积，即水中部分的铁棒体积减去容器剩余部分的体积即可求出溢出水的体积。 详解：正方体容器剩余的体积： 40×40×（40－35） ＝1600×5 ＝8000（立方厘米） 铁棒垂直插入水中部分的体积： 400×40＝16000（立方厘米） 16000立方厘米＞8000立方厘米 所以，水会溢出，则溢出水的体积： 16000－8000＝8000（立方厘米）＝8升 答：会溢出8升水。 点睛：本题考查体积公式的应用，关键是要判断铁棒插入水中后会不会溢出，再进行后面的计算。 20．360立方厘米 分析：根据题意可知，长方体的底面是一个正方形，表面积减少的面积除以高减少的长度求出底面周长，再除以4，求出底面边长，长方体原来的高＝底面边长＋4厘米，根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据计算即可。 详解：96÷4÷4 ＝24÷4 ＝6（cm） 6×6×（6＋4） ＝36×10 ＝360（立方厘米） 答：原来长方体的体积是360立方厘米。 点睛：此题考查长方体的体积计算，根据表面积的减少量，求出长方体的底面边长是解题关键。 21．22升 分析：先求出玻璃缸内水面以上部分的体积，用长×宽×（高－水深）来计算，再用正方体铁块的体积－玻璃缸内水面以上部分的体积即可。 详解：4×4×4－7×5×（4－2.8） ＝64－42 ＝22（立方分米） 22立方分米＝22升 答：缸里的水溢出22升。 点睛：此题考查了长方体、正方体的体积公式的灵活运用，找准数量关系，认真解答即可。注意体积单位和容积单位的换算。 22．640立方厘米；96平方厘米 分析：马铃薯的体积＝水槽的底面积×水面下降的高度；减少的接触面积＝（长×水面下降高度＋宽×水面下降高度）×2，据此代入数据解答即可。 详解：18－17.2＝0.8（厘米） 40×20×0.8 ＝800×0.8 ＝640（立方厘米） （40×0.8＋20×0.8）×2 ＝（32＋16）×2 ＝48×2 ＝96（平方厘米） 答：这个马铃薯的体积是640立方厘米，水槽内水与水槽接触的面积减少了96平方厘米。 点睛：此题考查了不规则物体的体积计算以及长方体表面积的综合应用，明确减少的面积包括哪些面是解题关键。 23．94平方厘米；60立方厘米 分析：表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24，由此求出长方体的体积。 详解：40＋30＋24 ＝70＋24 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是94平方厘米。 长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4， 长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3， 宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3， 即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：体积是60立方厘米。 点睛：考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。 24．（1）3.2分米 （2）21.2平方分米 分析：（1）根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体容器内水的体积，由于容器内水的体积不变，把容器的左面作为底面，所以用水的体积除以左面那个面的底面积就是水面的高度； （2）水与容器的接触面的面积就是长2分米，宽1分米，高为此时水深的长方体5个面的面积，缺少上面，根据长方体的表面积解答即可。 详解：16厘米＝1.6分米 （1）4×1×1.6＝6.4（立方分米） 6.4÷（2×1） ＝6.4÷2 ＝3.2（分米） 答：这时水深3.2分米。 （2）2×1＋2×3.2×2＋1×3.2×2 ＝2＋12.8＋6.4 ＝21.2（平方分米） 答：水与容器的接触面的面积是21.2平方分米。 点睛：解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以长方体容器的底面积（左面那个面的面积），就是水面的高度。 25．（1）1.44平方米 （2）0.448立方米 （3）3.36平方米 分析：（1）由于底面是边长为1.2米的正方形，则占地面积就是底面面积，即1.2×1.2，算出结果即可。 （2）由于填满泥土，则求这个花坛的容积即可，由于砖的厚度是0.2米，则内部的长：1.2－0.2×2＝0.8米，内部的宽：1.2－0.2×2＝0.8米，内部的高：0.7米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求解； （3）在花坛的四周砌砖，则求花坛四周的表面积即可，由于底面是正方形，则四周的面积大小相同，即用1.2×0.7×4，算出结果即可。 详解：（1）1.2×1.2＝1.44（平方米） 答：这个花坛占地1.44平方米。 （2）（1.2－0.2×2）×（1.2－0.2×2）×0.7 ＝0.8×0.8×0.7 ＝0.64×0.7 ＝0.448（立方米） 答：大约需要泥土0.448立方米。 （3）1.2×0.7×4 ＝0.84×4 ＝3.36（平方米） 答：四周大约需要砖3.36平方米 点睛：求花坛的容积时，要用花坛的长和宽分别减去两个砖厚度求出内部长方体的长和宽；熟练掌握长方体的表面积和体积公式。 26．10000立方厘米；8050平方厘米 分析：增加的表面积就是两个长方体的底面积，即长方体的底面积是：50÷2＝25（平方厘米），方料的底面是正方形，所以正方形的边长是5厘米，方料的表面积是4个相等的侧面积加上两个底面积，再根据长方体的体积＝底面积×高，把数据代入公式求出长方体的体积即可。 详解：50÷2＝25（平方厘米），方料的底面是正方形，所以底面正方形的边长是5厘米，底面积是25平方厘米； 25×400＝10000（立方厘米） 答：这根方料原来的体积是10000立方厘米。 5×400×4＋50 ＝2000×4＋50 ＝8000＋50 ＝8050（平方厘米） 答：这根方料原来的表面积是8050平方厘米。 点睛：明确“这个根方料锯成相等的两段后，表面积比原来增加的50平方厘米”，是这个方料2个正方形底面的面积，是解答此题的关键。 27．864立方分米 分析：根据题意可知，锯的段数比锯的次数多1，锯成3段需要锯2次，每锯1次就增加两个截面，那么锯2次增加4个截面，已知锯后表面积比原来增加48平方分米，由此可以求出长方体木料的底面积，再根据长方体的体积公式：V＝sh，代入数据计算即可。 详解：（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 48÷4×72 ＝12×72 ＝864（立方分米） 答：这根长方体木料的体积是864立方分米。 点睛：解答本题的关键是理解锯木问题锯的次数比锯的段数少1，先求出底面积，再根据长方体的体积公式v＝sh，列式解答即可。 28．240立方分米 分析：根据题意可知，锯的段数比锯的次数多1，锯成4段需要锯3次，每锯1次就增加两个截面，那么锯3次就增加6个截面，已知锯后表面积比原来增加48平方分米，由此可以求出长方体木料的底面积是：48÷6＝8（平方分米）；再根据长方体的体积公式V＝sh，代入数据计算即可。 详解：3米＝30分米 （4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 48÷6×30 ＝8×30 ＝240（立方分米） 答：原来这根长方体木料的体积是240立方分米。 点睛：解答本题的关键是理解锯木问题锯的次数比锯的段数少1，先求出底面积，再根据长方体的体积公式V＝sh，列式解答即可，注意单位换算。 29．112立方厘米 分析：根据高减少3厘米，就变成了一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少48平方厘米，48÷4÷3＝4厘米，求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，然后4＋3＝7厘米求出原长方体的高，再根据长方体的体积公式：v＝abh，把数据代入公式解答。 详解：减少的面的宽（剩下正方体的棱长）：48÷4÷3＝4（厘米）； 原长方体的高：4＋3＝7（厘米）； 原长方体体积为： 4×4×7 ＝16×7 ＝112（立方厘米） 答：原来长方体体积是112立方厘米。 点睛：根据高减少3厘米后剩下是正方体，可知减少的部分是宽为3厘米的4个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体的体积的计算方法即可求解。 30．48平方厘米 分析：因为切开后是3个相等的正方体，所以原长方体的6个面中，有两个是正方形，四个是长方形，且每个长方形的面积都是正方形的面积的3倍，那么整个长方体的表面积可以看作是（4×3＋2）个，即14个正方形的面积和，用表面积除以14，即可求出每个正方形的面积，再用正方形的面积乘6即可求出每个正方体的表面积。 详解：4×3＋2 ＝12＋2 ＝14（个） 112÷14×6 ＝8×6 ＝48（平方厘米） 答：切开后每个正方体的表面积是48平方厘米。 点睛：此题主要考查长方体、正方体的表面积公式的灵活运用，关键是求出切开后每个正方体的每个面的面积或原来长方体的长。 31．210厘米 分析：据长方体的特征：12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知：所需彩带的长度等于6条高、4条宽、2条长的长度和再加上接头处用的20厘米即可。 详解：6×15＋10×4＋30×2＋20 ＝90＋40＋60＋20 ＝130＋60＋30 ＝210（厘米） 答：一共需要彩带210厘米。 点睛：此题考查的目的是掌握长方体的棱的特征，根据棱长总和的计算方法解答。 32．1厘米 分析：由题意可知：增加的表面积实际上就是侧面的四个长方形的面积，利用侧面积÷底面周长＝高，代入数据即可求解。 详解：18÷（6×2＋3×2） ＝18÷18 ＝1（厘米） 答：高要增加1厘米。 点睛：解答此题的关键是：明白增加部分是一个什么样的图形，从而利用公式求解。 33．90平方厘米 分析：由于把一个正方体锯成两个长方体，则会增加两个面，根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，此时两个长方体的表面积之和是：5×5×6＋5×5×2，由于两个长方体的差跟和都知道，根据和差问题的公式：（和－差）÷2，把数代入公式即可求解。 详解：5×5×6＋5×5×2 ＝150＋50 ＝200（平方厘米） （200－20）÷2 ＝180÷2 ＝90（平方厘米） 答：小长方体的表面积是90平方厘米。 点睛：本题主要考查立体图形的切拼、正方体的表面积公式和和差问题的公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。 34．640立方厘米 分析：根据长减少2厘米，就剩下一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少64平方厘米，64÷4÷2＝8厘米，求出减少面的长，也就是剩下的正方体的棱长，然后8＋2＝10厘米求出原长方体的高，再计算原长方体的体积即可。 详解：64÷4÷2 ＝16÷2 ＝8（厘米）； 8×8×（8＋2） ＝64×10 ＝640（立方厘米） 答：原来长方体的体积是640立方厘米。 点睛：根据截去后剩下是正方体，可知减少的部分是宽为2厘米的4个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体的表面积和体积的计算方法即可求解。 35．（1）312升 （2）0.288立方米 分析：（1）先求出从里面量水槽的长宽高，再根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据解答； （2）用从外面量的长方体的体积减去水槽的容积，就是所需混凝土的体积，解答即可。注意单位的换算。 详解：（1）10厘米＝1分米 长方体水槽里面的长：15－1×2＝13（分米），宽：8－1×2＝6（分米），高5－1＝4分米； 13×6×4 ＝78×4 ＝312（立方分米） 312立方分米＝312升 答：这个水槽最多能装水312升。 （2）15×8×5－312 ＝600－312 ＝288（立方分米）＝0.288立方米 答：浇筑这个水槽至少需0.288立方米混凝土。 点睛：此题主要考查长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是要弄清楚计算需要的数据，然后代入公式进行计算。 36．20立方厘米 分析：由“从一个长方体上截下一个棱长2厘米的正方体后，剩下的部分还是一个长方体，这个长方体的表面积是32平方厘米”可知长方体的截面是边长2厘米的正方形，再根据剩下的表面积是32平方厘米，用表面积－底面积×2＝侧面积，进而依据侧面积＝底面周长×高，即可求出剩下部分长方体的高，剩下部分的高加上2厘米就是原来长方体的高，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 详解：32－2×2×2 ＝32－8 ＝24（平方厘米） 24÷（2×4）＋2 ＝24÷8＋2 ＝3＋2 ＝5（厘米） 5×2×2＝20（立方厘米） 答：这个长方体原来的体积是20立方厘米。 点睛：此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 37．16厘米；1420平方厘米 分析：根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体玻璃器内水的体积，由于玻璃器内水的体积不变，把玻璃器的右侧面作为底面，所以用水的体积除以右面那个面的底面积就是水面的高度； 水与容器的接触面的面积就是长20厘米，宽15厘米，高为此时水深的长方体5个面的面积，缺少上面，根据长方体的表面积解答即可。 详解：30×20×8÷（20×15） ＝4800÷300 ＝16（厘米） 答：这时水深16厘米。 20×15＋20×16×2＋15×16×2 ＝300＋640＋480 ＝1420（平方厘米） 答：水与容器接触的面积是1420平方厘米。 点睛：解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以玻璃器的底面积（右面那个面的面积），就是水面的高度。 38．288平方厘米 分析：由题意可知，原长方体的横截面是一个边长为6厘米的正方形，则截下的体积为108立方厘米的长方体的长是：108÷（6×6）＝3（厘米），由此可得原长方体的长是6＋3＝9（厘米），再利用长方体的表面积公式即可解答。 详解：108÷（6×6） ＝108÷36 ＝3（厘米） 原来长方体的长是：6＋3＝9（厘米） 表面积： （9×6＋9×6＋6×6）×2 ＝（54＋54＋36）×2 ＝144×2 ＝288（平方厘米） 答：原来这个长方体的表面积是288平方厘米。 点睛：根据长方体切割后剩下的正方体的棱长，分别求出原长方体的长、宽、高是解决本题的关键。 39．360立方厘米 分析：根据题意可知，减少的面积，就是上面长方体4个侧面面积和下面长方体4个侧面积面积，根据中间是正方体，上面的长方体的长和宽和下面的长方体的长和宽都等于正方体的棱长，用96除以4，就是高为3厘米和高为1厘米的长方体侧面的和，长和宽相等，进而求出这个长方体的长和宽，高等于3厘米＋长方体的长＋1厘米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，即可解答。 详解：96÷4＝24（平方厘米） 长：24÷（3＋1） ＝24÷4 ＝6（厘米） 长方体的长是6厘米，宽是6厘米，高是3＋6＋1＝10厘米 体积：6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方厘米） 答：原来这个长方体的体积是360立方厘米。 点睛：本题考查长方体体积公式的应用，关键是减少的面积是上面长方体4个侧面积和下面长方体4个侧面之和。 40．6分米 分析：根据长方体的体积公式：v＝sh，那么h＝v÷s，用40升水的体积除以长方体水缸的底面积，即可算出这时水的高度，但必须考虑水倒入缸中后是否有溢出，如有溢出，则最大高度为水缸的高。 详解：40升＝40立方分米 40÷2.5÷2＝8（分米） 8分米＞6分米 答：这时水的高度是6分米。 点睛：本题考查长方体体积公式的应用，缸中倒水需要考虑实际高度。 41．2392平方厘米；5360立方厘米 分析：剩余部分的表面积＝大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积－小长方体上下两个面的面积；剩余部分的体积＝大长方体体积－小长方体体积。 详解：（30×20＋30×10＋20×10）×2 ＝（600＋300＋200）×2 ＝1100×2 ＝2200（平方厘米） 8×10×4＝320（平方厘米） 2200＋320－8×8×2 ＝2520－128 ＝2392（平方厘米） 30×20×10－8×8×10 ＝6000－640 ＝5360（立方厘米） 答：剩余部分的表面积2392平方厘米，体积5360立方厘米。 点睛：关键是认真观察剩余部分的形状，掌握长方体表面积和体积公式。 42．40升 分析：根据正方体的体积公式：V＝a3，长方体的容积（体积）公式：V＝abh，用长方体玻璃缸内水的体积加上正方体的铁块的体积减去长方体玻璃缸的容积，即可求出溢出水的体积。 详解：4×4×4＋6×5×3.2－6×5×4 ＝64＋96－120 ＝160－120 ＝40（立方分米） 40立方分米＝40升 答：缸里的水溢出40升。 点睛：此题主要考查正方体的体积公式、长方体的容积（体积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 43．50立方厘米 解析：根据题意可知，一个长方体如果高增加3厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大3厘米，因此增加的60平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长＝（60÷4）÷3＝5厘米，由于长比高多2厘米，那么高＝5－3＝2厘米，由此解答。 详解：增加的1个面的面积：60÷4＝15（平方厘米） 长方体的长（宽）：15÷3＝5（厘米） 长方体的高：5－3＝2（厘米） 体积：5×5×2＝50（立方厘米） 答：原来长方体的体积是50立方厘米。 点睛：理解增加的60平方厘米是4个同样的长方形的面积和，并知道长方体的体积公式是解决此题的关键。 44．192立方分米 分析：露在外面的面积包含上面、前面和右面，上面的面积是16平方分米，前面和右面面积相等，总共是96平方分米，一个面是48平方分米，然后求出高是12分米，最后计算体积。 详解：（平方分米） （平方分米） （平方分米） （分米） （立方分米） 答：这个木箱的体积是192立方分米。 点睛：长方体中最多有两个面是正方形，当相对的两个面是正方形时，其余的四个面是完全相同的长方形。 45．（1）74平方分米 （2）20厘米 （3）5000立方厘米 分析：求至少需要玻璃多少平方分米，求的是长方体的表面积，但是鱼缸没有上表面；注入40升水，水的体积是40升，除以底面积得到水深；上升的这部分水的体积等于鹅卵石、水草和鱼的总体积。 详解：（1） （平方厘米） 7400平方厘米＝74平方分米 答：做这个鱼缸至少需要玻璃74平方分米。 （2）40升＝40立方分米＝40000立方厘米 （厘米） 答：水深大约20厘米。 （3）（立方厘米） 答：鹅卵石水草和鱼的体积一共是5000立方厘米。 点睛：本题考查的是长方体的表面积、体积，尤其是排水问题，完全淹没的情况下，变化的水的体积等于物体的体积。 46．（1）2.88立方米 （2）1.28立方米 （3）8平方米 分析：（1）花坛是一个长方体，长方体的体积＝长×宽×高，据此解答。 （2）求泥土的体积就是求花坛的容积。要求出从里面测量的长、宽和高，再根据体积公式计算。 （3）贴瓷片的面积包括花坛的4个侧面和砖墙的上面。花坛的4个侧面是面积相等的长方形，根据长方形的面积＝长×宽即可求出1个侧面面积，再乘4求出4个侧面面积；用花坛的占地面积减去里面泥土的占地面积即是砖墙的上面面积，根据正方形的面积＝边长×边长分别求出花坛的占地面积和里面泥土的占地面积，再把它们相减。最后把花坛的4个侧面面积和砖墙的上面面积加起来即可。 详解：（1）2.4×2.4×0.5＝2.88（立方米） 答：这个花坛所占的空间有2.88立方米。 （2）2.4－0.4－0.4＝1.6（米） 1.6×1.6×0.5＝1.28（立方米） 答：花坛里大约有泥土1.28立方米。 （3）2.4×0.5×4＝4.8（平方米） 2.4×2.4－1.6×1.6 ＝5.76－2.56 ＝3.2（平方米） 4.8＋3.2＝8（平方米） 答：贴瓷片的面积是8平方米。 点睛：求花坛的容积时，要用花坛的长和宽分别减去两个砖墙厚度求出内部长方体的长和宽。求贴瓷片的面积时，求出砖墙上面的面积是解题的关键。 47．104平方分米 分析：沿水平方向将它锯成4片，则表面积之和比正方体的表面积增加（4－1）×2＝6个正方形面积；每片又沿竖直方向按任意尺寸锯成3条，则表面积之和又增加（3－1）×2＝4个正方形面积；每条再竖直锯成6块，则表面积之和又增加（6－1）×2＝10个正方形面积。据此先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6求出原来正方体的表面积，再加上增加的（6＋4＋10）个正方形的面积即是这些长方体木块的表面积之和。 详解：2×2×6＝24（平方分米） （4－1）×2＋（3－1）×2＋（6－1）×2 ＝6＋4＋10 ＝20（个） 2×2×20＋24 ＝80＋24 ＝104（平方分米） 答：这些长方体木块的表面积之和是104平方分米。 点睛：本题主要考查正方体和长方体表面积的应用。理解每次切分图形时表面积比原来增加了几个正方形面是解题的关键。 48．见详解 分析：装物箱的容积为240立方分米，是一个长方体。装物箱的长、宽、高不确定，就不能确定装教具时有没有空隙，所以小红这样算不严密，需要分两种情况进行计算。 详解：小红这样算我不赞同，因为装物箱的长、宽、高不确定，即不能确定装教具时有没有空隙，所以不能这样计算。正方体体积＝棱长×棱长×棱长，8＝2×2×2，即正方体教具棱长为2分米。如果长方体的长、宽、高都是正方体棱长的倍数，则装教具时没有空隙，如长方体长10分米，宽6分米，高4分米，则可以装教具：（10÷2）×（6÷2）×（4÷2）＝30（个）；如果长方体的长、宽、高不都是正方体棱长的倍数，则装教具时有空隙，如长方体长15分米，宽4分米，高4分米，则可以装教具：（15÷2）×（4÷2）×（4÷2）≈28（个）。 点睛：本题考查长方体和正方体体积的应用，不能简单地直接计算长方体体积里面有几个正方体体积，而要根据实际情况，看长方体的长、宽、高各是正方体棱长的几倍，把三个倍数关系相乘即算出能装几个。 49．450立方厘米 分析：如果把铁块竖着拉出水面8厘米长后，水面下降4厘米，那么底面边长为5厘米，高为8厘米的铁块体积，相当于这个容器高4厘米的体积。所以容器底面积为： 5×5×8÷4＝50平方厘米，长方体铁块体积＝容器底面积×水面上升的高度，据此解答。 详解：（5×5×8÷4）×9 ＝50×9 ＝450（立方厘米） 答：这个长方体铁块的体积是450立方厘米。 点睛：掌握长方体铁块的体积＝容器底面积×水面上升的高度，求出容器的底面积是解题关键。 50．276平方厘米 分析： 如上图所示，从长方体上截下一个最大的正方体，正方体的棱长等于长方体中最短的棱的长度，即长方体的高6厘米。截下正方体后，剩下的几何体比长方体表面积只减少了正方体上下2个面的面积。长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形面积＝边长×边长，用长方体表面积减去2个正方形的面积即是剩下的几何体的表面积。 详解：（9×8＋9×6＋8×6）×2－6×6×2 ＝（72＋54＋48）×2－72 ＝174×2－72 ＝348－72 ＝276（平方厘米） 答：剩下几何体的表面积是276平方厘米。 点睛：本题主要考查长方体的表面积的运算，理解剩下的几何体比长方体表面积只减少了正方体上下2个面的面积是解题的关键。 51．20.25厘米 分析：根据题意，钢坯垂直放入时不能完全没入水中。钢坯没入水中的体积等于上升的水的体积，上升的水的体积就是以30厘米为长和宽的长方体。长方体的体积＝长×宽×高，设钢坯放入后水面上升x厘米，根据上升的水的体积＝钢坯没入水中的体积，列方程解答求出水面上升的高度，最后加上原来的水的高度即是现在水面高度。 详解：解：设钢坯放入后水面上升x厘米。 30×30×x＝25×4×（18＋x） 900x＝1800＋100x 800x＝1800 x＝2.25 18＋2.25＝20.25（厘米） 答：现在水面高度是20.25厘米。 点睛：本题考查长方体体积的应用，要理解钢坯垂直放入时不能完全没入水中，钢坯没入水中的体积等于上升的水的体积，而钢坯没入的高度应是现在的水深。 52．3.6厘米 分析：将乙缸的水装一部分到甲缸，则两缸的水的体积之和就等于原来的水的体积，而水的体积是以缸的底面为底面的长方体。长方体的体积＝长×宽×高，设这时两缸水的高度是x厘米，根据现甲缸的水的体积＋现乙缸的水的体积＝原乙缸的水的体积，列方程解答。 详解：解：设这时水的高度是x厘米。 18x＋12x＝12×9 30x＝108 x＝3.6 答：这时水的高度是3.6厘米。 点睛：本题考查长方体体积的应用。理解两缸的水的体积之和等于原来的水的体积，根据等量关系式列方程是解题的关键。 53．400立方厘米；8厘米 分析：根据题意可知，水面上升部分的体积则为长方体铁块的体积，即为200×（12－10）＝400立方厘米；再根据长方体体积的计算公式，即可算得长方体铁块的高。 详解：200×（12－10） ＝200×2 ＝400（立方厘米）； 400÷（10×5） ＝400÷50 ＝8（厘米） 答：铁块的体积是400立方厘米，铁块的高是8厘米。 点睛：明确水面上升部分的体积等于长方体铁块的体积是解决本题的关键。 54．20升 分析：根据题意可知：用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积。据此解答。 详解：10×7×4.5＋5×5×5－10×7×6 ＝315＋125－420 ＝20（立方分米） ＝20（升） 答：缸里的水溢出20升。 点睛：本题的关键是让学生理解数量关系：溢出水的体积＝水的体积＋铁块的体积－玻璃缸的容积。 55．0.24 分析：根据题意，每锯一下就会新露出2个横截面，把它截成3段需要锯2下，就会新露出4个横截面，表面积也就是增加了4个横截面的面积，表面积比原来增加了0.64平方米，用0.64÷4就是这根木料横截面的面积，依据体积公式V＝sh，解答即可。 详解：新露出横截面的个数：（3－1）×2＝4（个） 0.64÷4×1.5＝0.24（立方米） 答：原来这根木料的体积是0.24立方米。 点睛：解答此题的关键是确定截成3段后新露出了几个横截面，新露出横截面的个数（段数－1）×2。 56．0.56平方米；0.008立方米 分析：领奖台上面的面积＝三个立体图形上面的面的面积之和，上面的面＝长×宽，据此解答； 2号和3号的长宽是相等的，3号台和2号台的体积相等，高度相同，把2号比3号多出的高度，除以2就是需要锯掉2号的高度，再乘底面积（长×宽）即可。 详解：0.4×0.4＋0.6×0.4＋0.4×0.4 ＝0.16＋0.24＋0.16 ＝0.56（平方米） （0.5－0.4）÷2×（0.4×0.4） ＝0.05×0.16 ＝0.008（立方米） 答：这个领奖台上面的面积一共是0.56平方米，锯掉的小长方体的体积是0.008立方米。 点睛：此题考查了组合体的表面积以及体积的相关应用，灵活运用所学公式解答即可。 57．200毫升；120毫升 分析：第一次出现正方形面时是在侧面，此时水的高度等于容器的宽，是5厘米；再次出现正方形面时，是在正面，此时水的高度等于容器的长，是8厘米。根据长方体的体积＝底面积×高，据此解答即可。 详解：8×5×5 ＝40×5 ＝200（立方厘米）；200立方厘米＝200毫升 8×5×（8－5） ＝40×3 ＝120（立方厘米），120立方厘米＝120毫升 答：容器里有200毫升水，再注120毫升水会再次出现正方形面。 点睛：此题主要考查长方体体积的计算，明确两次出现正方形面水的高度是解题关键。 58．1845立方分米 分析：根据题意可知，第一次截去的正方体的棱长是12分米，第二次截去的正方体的棱长是（15－12）分米，长方体的体积－两个正方体的体积＝还剩的体积，据此解答。 详解：20×15×12－123－（15－12）3 ＝3600－1728－27 ＝1845（立方分米） 答：还剩1845立方分米的钢材。 点睛：此题考查了长方体和正方体体积的综合应用，找出截去的两个正方体的棱长是解题关键。 59．76厘米 分析：如果长增加2厘米，表面积会增加4个面的面积，这四个面分别以长方体的宽和高为长，这四个面相对的面面积相等，2厘米为宽，所以用表面积增加的部分除以2就是两个面的面积，再除以2厘米即可求出长方体宽与高的和；运用同样的方法计算出长与高的和，长与宽的和，然后根据长方体棱长和公式计算棱长和，长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4。 详解：宽＋高＝36÷2÷2＝9（厘米） 长＋高＝90÷2÷3＝15（厘米） 长＋宽＝112÷2÷4＝14（厘米） 总和：4×（长＋宽＋高）＝2×（长＋宽＋长＋高＋宽＋高）＝2×（14＋15＋9）＝2×38＝76（厘米） 答：原来这个长方体的棱长总和是76厘米。 点睛：关键是熟悉长方体的特征，通过增加的表面积求出长、宽、高，两两之和。 60．72厘米 分析：如果长增加2厘米，表面积会增加4个面的面积，这四个面分别以长方体的宽和高为长，这四个面相对的面面积相等，2厘米为宽，所以用表面积增加的部分除以2就是两个面的面积，再除以2厘米即可求出长方体宽与高的和；运用同样的方法计算出长与高的和，长与宽的和，然后根据长方体棱长和公式计算棱长和，长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4。 详解：宽＋高＝32÷2÷2＝8（厘米） 长＋高＝90÷2÷3＝15（厘米） 长＋宽＝104÷2÷4＝13（厘米） 总和：4×（长＋宽＋高）＝2×（长＋宽＋长＋高＋宽＋高）＝2×（13＋15＋8）＝72（厘米） 答：原来这个长方体的棱长总和是72厘米。 点睛：此题主要考查长方体的棱长及表面积计算的有关知识。解答此题关键是弄清楚当长、宽、高分别增加的时候，表面积会增加几个面？每个面是哪两个棱长相乘的积。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$