专题11 概率初步（6基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题11 概率初步 随机事件 1．（2024春•长沙县期末）下列事件是必然事件的是　　 A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．转动抽奖转盘一次，中奖 C．在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6 D．一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球 2．（2023秋•长沙县期末）下列事件是必然事件的是　　 A．车辆随机到达一个路口遇到红灯 B．早上的太阳从西方升起 C．400人中有两人的生日在同一天 D．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 3．（2022秋•雨花区期末）下列事件中是必然发生的事件是　　 A．打开电视机，正播放新闻 B．通过长期努力学习，你会成为数学家 C．从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃 D．某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天 4．（2022秋•长沙期末）下列事件中，随机事件是　　 A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 B．每年的一月份都有31天 C．通常温度降到以下，纯净的水结冰 D．三角形的内角和是 5．（2022秋•开福区校级期末）下列事件中，是必然事件的是　　 A．在全部都是黑球的袋子里摸出一个白球 B．跳水运动员第一跳获得10分 C．任意四边形的内角和一定等于外角和 D．购买一张彩票，中奖 6．（2022秋•开福区校级期末）下列事件，属于不可能事件的是　　 A．旭日东升 B．某个数的相反数等于它本身 C．任意一个五边形的外角和等于 D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯 概率的意义 7．（2023秋•浏阳市期末）某个事件发生的概率是，这意味着　　 A．在两次重复试验中该事件必有一次发生 B．在一次试验中没有发生，下次肯定发生 C．在一次事件中已经发生，下次肯定不发生 D．每次试验中事件发生的可能性是 8．（2020秋•天心区期末）下列说法正确的是　　 A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明乙的跳远成绩比甲稳定 C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5 D．可能性是的事件在一次试验中一定不会发生 9．（2019秋•天心区期末）下列说法正确的是　　 A．为了了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式 B．某种彩票的中奖机会是，则买100张这种彩票一定会中奖 C．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 D．一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3 概率公式 10．（2023秋•开福区校级期末）在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率为　　 A． B． C． D． 11．（2022秋•望城区期末）若关于的二次函数的图象与轴有两个交点，且，则从满足条件的所有整数中随机选取一个，恰好是负数的概率是　　 A． B． C． D． 12．（2021秋•开福区校级期末）在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为　　 A． B． C． D． 13．（2024春•长沙县期末）一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为 　　． 14．（2023秋•雨花区期末）掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子，则向上一面的数不大于4的概率是 　　． 15．（2022秋•长沙期末）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为 　　． 16．（2023秋•浏阳市期末）某商场在“双十一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的黄色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是 　　． 17．（2022秋•岳麓区校级期末）一个不透明的口袋中装有6个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋中随机摸取一个小球，它是黄球的概率 　　． 18．（2021秋•芙蓉区校级期末）从1到9这九个自然数中任取一个，是奇数的概率是 　　． 19．（2021秋•雨花区期末）我们把一个自然数中右边数字比左边数字大的叫做“上升数”，如：34，568，2469等．任取一个两位数，是“上升数”的概率是 　　． 20．（2022春•开福区校级期末）从，0，，，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率为　　． 列表法与树状图法 21．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，麻将是中国的国粹之一，玩法最为复杂有趣，是中国古人发明的一种博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则在自家拿牌的概率为 　 　． 22．（2022秋•天心区期末）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：：很好；：较好；：一般；：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为 　　； （2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是 　　； （3）请将条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，何老师准备从被调查的类和类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 23．（2022春•开福区校级期末）为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为，，，四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题： （1）参加征文比赛的学生共有 　　人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，表示等级的扇形的圆心角为 　　，图中　　； （4）学校决定从本次比赛获得等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生一名女生的概率． 24．（2024春•长沙县期末）为进一步落实国家关于学生体育锻炼的政策，强化学校体育、促进学生身心健康全面发展，长沙某校对学生的体质健康情况进行了随机抽样调查，该校从八年级各班中随机抽取了部分学生，收集了体质健康登记表中的各项数据，进行了整理，约定：不及格为组，及格为组，良好为组，优秀为组，画出了下列不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）本次抽取的学生人数是 　　人；　　；　　． （2）将条形统计图补充完整． （3）组的4个学生中，小振、小星来自八年级1班，小张来自八年级3班，小沙来自八年级5班．学校准备从这4人中随机抽取2人，进行家访，开展个性化指导，增进健康．请用树状图法或列表法，求随机抽取的2人来自不同班级的概率． 25．（2023秋•长沙期末）为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）．足球，．引体向上，．篮球，．排球，．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据图中信息，完成下列问题： （1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ②扇形统计图中的圆心角的度数为 　　； （2）若该校有4800名学生，估计该校参加组（篮球）的学生人数； （3）该学校从组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率． 26．（2023秋•长沙县期末）长沙地铁的开通运营缓解了城市的交通压力，如图所示的是某站地铁闸口的示意图． （1）一名乘客通过此地铁闸口进站时，选择闸口的概率是 　　． （2）当两名乘客通过此地铁闸口进站时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同的闸口通过的概率． 27．（2023秋•长沙期末）安全无小事，长沙市教育局要求各中小学校在期末考试后进行寒假安全教育．某校在典礼上开展了休学典礼——学生安全知识竞赛，赛后发现所有参赛学生会的成绩都高于50分．为了了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩取整数，总分为100分）作为样本进行统计分析，得到如下不完整的统计图表，请根据图标中的信息解答下列各题： 成绩（分 频数 频率 10 20 0.10 30 0.15 0.30 80 0.40 （1）频数分布表中　　，请补全频数分布直方图； （2）若该校共有学生3200人，分数为分的记为良好，请你估计该校安全知识竞赛良好的学生人数； （3）该校安全知识竞赛成绩满分共有4人，其中男生2名，女生2名，为了激励学生增强安全意识，现需要从这4人中随机抽取2人介绍学习经验，请用“列表法”或“画树状图”，求恰好选到一男一女的概率． 28．（2022秋•雨花区期末）在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同）， （1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率． （2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数． 29．（2023秋•长沙期末）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍：科技类，：文学类，：政史类，：艺术类，其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的　　，　　，文学类书籍对应扇形圆心角等于 　　度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从，，三类书籍中随机选择一种，乙同学从，，三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 30．（2022秋•长沙期末）2022年10月12日我校推出四种校本课程：．激光切割，．数学游戏，．击剑，．趣味编程，学生可在长沙市中小学课后服务系统选择自己心仪的选修课程．为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 　　人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）在平时的“趣味编程”的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加趣味编程大赛，用树状图或列表法求出恰好同时选中甲、乙两位同学的概率． 31．（2022秋•岳麓区校级期末）某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为、音乐类（记为、球类（记为、其它类（记为．根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图．请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）七年级（1）班学生总人数为 　　人； （2）请补全条形统计图； （3）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法，求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率． 32．（2022秋•长沙期末）随着“新冠肺炎”疫情防控新十条的颁布，各地开始复工复学，某校复学后从全校师生中征集志愿者成立“防疫服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．服务队各岗位人数条形统计图和扇形统计图如下： （1）该“防疫服务队”共有志愿者 　　人；补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“④操场活动监督岗”所占扇形的圆心角的数值为 　　； （3）李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗，用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 游戏公平性 33．（2023春•岳麓区校级期末）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△的　　 A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 34．（2023秋•雨花区期末）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局． （1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果； （2）试用概率说明游戏是否公平． 35．（2022秋•浏阳市期末）在一次数学兴趣小组活动中，江华和江玉两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则江华获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则江玉获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）． （1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果； （2）分别求出江华和江玉获胜的概率； （3）请问游戏规则公平吗？如不公平，请更改游戏规则，使游戏公平． 36． （2023秋•浏阳市期末）小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有，，．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由． 利用频率估计概率 37．（2023秋•雨花区期末）关于频率与概率有下列几种说法，其中正确的说法有　　 ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币正面朝上的概率为0.5”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在0.5附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 38．（2023秋•长沙县期末）水稻育秧前都要提前做好发芽试验，特别是高水分种子，确保发芽率达到以上，保证成苗率，现有，两种新水稻种子，为了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同的种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 100 500 1000 2000 3000 发芽率 0.97 0.96 0.98 0.97 0.97 发芽率 0.98 0.96 0.94 0.96 0.95 下面有两个推断： ①当实验种子数量为500时，两种种子的发芽率均为0.96，所以，两种新水稻种子发芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率是0.97． 其中合理的是 　　． 39．（2023秋•长沙期末）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 　个． 40．（2022秋•望城区期末）一副扑克牌去掉大小王后，只剩下52张牌，从中任取一张，记下花色，随着试验次数的增加，出现红桃花色的频率将稳定在 　　左右． 41．（2022春•雨花区校级期末）综合实践小组的同学做了某种黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如表，那么这种黄豆发芽的概率约为 　　．（结果精确到 每批粒数 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 发芽的频数 762 948 1142 1331 1518 1710 1902 发芽的频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.949 0.950 0.951 42．（2022秋•开福区校级期末）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则的值约为 　　． 43．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，这是一幅长为，宽为的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为　　． 几何概率 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·四川眉山·期末）如图，已知正方形的边长为，分别以点，为圆心，为半径作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 用频率估计概率的综合应用 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 5．（22-23九年级上·湖南衡阳·期末）在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在左右，那么摸出黑球的概率约为 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外和各区域边缘）： 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 依此估计空白部分的面积可能是 ． 7．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 ． 8．（21-22九年级下·湖南长沙·期末）从一副张（没有大王、小王）的扑克牌中，每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在试验中得到下表中部分数据： 试验次数 出现方块的次数 出现方块的频率 (1)上表中 ， ； (2)从上表中可以估计出现方块的概率是 ．（精确到）． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 概率初步 随机事件 1．（2024春•长沙县期末）下列事件是必然事件的是　　 A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B．转动抽奖转盘一次，中奖 C．在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6 D．一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球 【答案】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意； 、转动抽奖转盘一次，中奖，是随机事件，不符合题意； 、在一副扑克牌中随机抽取1张，抽到红桃6，是随机事件，不符合题意； 、一个不透明的袋子里有2个红球和1个白球，随机摸出2个球，至少有1个红球，是必然事件，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．（2023秋•长沙县期末）下列事件是必然事件的是　　 A．车辆随机到达一个路口遇到红灯 B．早上的太阳从西方升起 C．400人中有两人的生日在同一天 D．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 【答案】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：、车辆随机到达一个路口遇到红灯，是随机事件，不符合题意； 、早上的太阳从西方升起，是不可能事件，不符合题意； 、一年最多366天，故最少会有人的生日会与其他人重复，是必然事件，符合题意； 、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．（2022秋•雨花区期末）下列事件中是必然发生的事件是　　 A．打开电视机，正播放新闻 B．通过长期努力学习，你会成为数学家 C．从一副扑克牌中任意抽取一张牌，花色是红桃 D．某校在同一年出生的有367名学生，则至少有两人的生日是同一天 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件． 【解答】解：、、选项可能发生，也可能不发生，是随机事件．故不符合题意； 、是必然事件． 故选：． 【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解； 解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养． 4．（2022秋•长沙期末）下列事件中，随机事件是　　 A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 B．每年的一月份都有31天 C．通常温度降到以下，纯净的水结冰 D．三角形的内角和是 【答案】 【分析】根据随机事件的定义得出结论即可． 【解答】解：选项，随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故选项符合题意； 选项，每年的一月份都有31天，是必然事件，故选项不符合题意； 选项，通常温度降到以下，纯净的水结冰，是必然事件，故选项不符合题意； 选项，三角形的内角和是，是必然事件，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查随机事件的知识，熟练掌握随机事件的定义是解题的关键． 5．（2022秋•开福区校级期末）下列事件中，是必然事件的是　　 A．在全部都是黑球的袋子里摸出一个白球 B．跳水运动员第一跳获得10分 C．任意四边形的内角和一定等于外角和 D．购买一张彩票，中奖 【答案】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：、在全部都是黑球的袋子里摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意； 、跳水运动员第一跳获得10分，是随机事件，不符合题意； 、任意四边形的内角和一定等于外角和，是必然事件，符合题意； 、购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6．（2022秋•开福区校级期末）下列事件，属于不可能事件的是　　 A．旭日东升 B．某个数的相反数等于它本身 C．任意一个五边形的外角和等于 D．汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯 【答案】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【解答】解：、旭日东升，是必然事件，不符合题意； 、某个数的相反数等于它本身，是随机事件，不符合题意； 、任意一个五边形的外角和等于，是不可能事件，符合题意； 、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是红灯，是随机事件，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 概率的意义 7．（2023秋•浏阳市期末）某个事件发生的概率是，这意味着　　 A．在两次重复试验中该事件必有一次发生 B．在一次试验中没有发生，下次肯定发生 C．在一次事件中已经发生，下次肯定不发生 D．每次试验中事件发生的可能性是 【答案】 【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生． 【解答】解：某个事件发生的概率是， 根据概率的意义：该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，每次试验中事件发生的可能性是， 故选：． 【点评】本题考查了概率的意义．正确理解概率的含义是解决本题的关键． 8．（2020秋•天心区期末）下列说法正确的是　　 A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查 B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明乙的跳远成绩比甲稳定 C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5 D．可能性是的事件在一次试验中一定不会发生 【答案】 【分析】全面调查与抽样调查的优缺点：①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．②抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 【解答】解：．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，错误； ．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为，，说明甲的跳远成绩比乙稳定，错误； ．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确； ．可能性是的事件在一次试验中可能会发生，错误． 故选：． 【点评】本题考查了统计的应用，正确理解概率的意义是解题的关键． 9．（2019秋•天心区期末）下列说法正确的是　　 A．为了了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式 B．某种彩票的中奖机会是，则买100张这种彩票一定会中奖 C．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙组数据比甲组数据稳定 D．一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3 【答案】 【分析】利用概率的意义，全面调查与抽样调查，中位数，众数，以及方差的定义判断即可． 【解答】解：、为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意； 、某种彩票的中奖机会是，则买100张这种彩票可能会中奖，不符合题意； 、若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则甲组数据比乙组数据稳定，不符合题意； 、一组数据1，5，3，2，3，4，8的众数和中位数都是3，符合题意； 故选：． 【点评】此题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，中位数，众数，以及方差，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 概率公式 10．（2023秋•开福区校级期末）在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接根据概率公式解答即可． 【解答】解：在一个不透明的口袋中装有3个白球，4个红球和5个黑球， 从中随机摸出一个球，恰好是白球的概率． 故选：． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率公式是解题的关键． 11．（2022秋•望城区期末）若关于的二次函数的图象与轴有两个交点，且，则从满足条件的所有整数中随机选取一个，恰好是负数的概率是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，由关于的二次函数的图象与轴有两个交点，得到关于的一元二次方程的根的判别式△，可计算，再结合可知，进而推导满足条件的所有整数为、、、0、1、2共计6个，其中负数有3个，由简单概率的计算公式即可得出结果． 【解答】解：根据题意，关于的二次函数的图象与轴有两个交点，则关于的方程有两个不相等的实数根， 故该一元二次方程的根的判别式△，即△， 解得， 又， ， 满足条件的所有整数为、、、0、1、2共计6个，其中负数有、、共计3个， 满足条件的所有整数中随机选取一个，恰好是负数的概率是． 故选：． 【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，解题关键是读懂题意，综合运用所学知识解决问题． 12．（2021秋•开福区校级期末）在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用概率公式计算可得． 【解答】解：在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”． 将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为． 故选：． 【点评】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 13．（2024春•长沙县期末）一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数为 　　． 【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答． 【解答】解：摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为， 摸到黑球的概率为， 袋子中有4个黑球和个白球， 由简单概率公式可得，解得， 白球有6个， 故答案为：6． 【点评】本题考查利用概率求个数，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键． 14．（2023秋•雨花区期末）掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子，则向上一面的数不大于4的概率是 　　． 【分析】根据概率公式计算即可． 【解答】解：根据题意不大于4的面有1，2，3，4， 则向上一面的数不大于4的概率是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率的知识，熟练掌握概率公式是解题的关键． 15．（2022秋•长沙期末）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为 　　． 【答案】． 【分析】抽取的扑克牌总共有6张，其中“红桃”有1张，直接利用概率公式计算可得． 【解答】解：在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”． 将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率公式，随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数． 16．（2023秋•浏阳市期末）某商场在“双十一”期间推出购物摸奖活动，摸奖箱内有除颜色以外完全相同的黄色、白色乒乓球各两个．顾客摸奖时，一次摸出两个球，如果两个球的颜色相同就得奖，颜色不同则不得奖．那么顾客摸奖一次，得奖的概率是 　　． 【答案】． 【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【解答】解：一次摸出两个球的所有情况有（黄1，黄，（黄1，白，（黄1，白，（黄2，白， （黄2，白，（白1，白种，其中两球颜色相同的有2种． 所以得奖的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查的是概率公式，熟知概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 17．（2022秋•岳麓区校级期末）一个不透明的口袋中装有6个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋中随机摸取一个小球，它是黄球的概率 　　． 【答案】． 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【解答】解：袋子中共有10个小球，其中黄球有4个， 摸出一个球是黄球的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 18．（2021秋•芙蓉区校级期末）从1到9这九个自然数中任取一个，是奇数的概率是 　　． 【答案】． 【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小． 【解答】解：从1到9这九个自然数中一共有5个奇数， 任取一个，是奇数的概率是：， 故答案为：． 【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）． 19．（2021秋•雨花区期末）我们把一个自然数中右边数字比左边数字大的叫做“上升数”，如：34，568，2469等．任取一个两位数，是“上升数”的概率是 　　． 【答案】0.4． 【分析】先列举出所有上升数，再根据概率公式解答即可． 【解答】解：两位数一共有（个， 上升数为： 12，13，14，15，16，17，18，19， 23，24，25，26，27，28，29， 34，35，36，37，38，39， 45，46，47，48，49， 56，57，58，59， 67，68，69， 78，79， 89， 共个． 概率为． 故答案为：0.4． 【点评】如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）；易错点是得到上升两位数的个数． 20．（2022春•开福区校级期末）从，0，，，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率为　　． 【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论． 【解答】解：，0，，，3.5这五个数中，无理数有2个， 随机抽取一个，则抽到无理数的概率是， 故答案为． 【点评】此题主要考查了无理数的定义以及概率公式的应用，正确把握概率公式是解题关键． 列表法与树状图法 21．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，麻将是中国的国粹之一，玩法最为复杂有趣，是中国古人发明的一种博弈游戏．它开局拿牌要投两枚骰子，将两枚骰子的点数相加之和除以4看余数来决定是在哪家开始拿牌．余数为1则在自家拿牌，余数为2就在下家拿牌，余数为3则在对家拿牌，能被4整除就在上家拿牌，则在自家拿牌的概率为 　　． 【答案】． 【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图知，共有36种等可能结果，其中点数相加之和除以4余数为1的有8种结果， 所以在自家拿牌的概率为， 故答案为：． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 22．（2022秋•天心区期末）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：：很好；：较好；：一般；：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为 　　； （2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是 　　； （3）请将条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，何老师准备从被调查的类和类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习．请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率． 【答案】（1）20人； （2）； （3）2人，1人，过程见解答； （4）． 【分析】（1）根据等级的人数和所占的百分比即可得出答案； （2）用乘以“不达标”所占的百分比即可得出答案； （3）先求出等级的女生和等级的男生，然后补全统计图即可； （4）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）调查的总人数为：（人， 故答案为：20； （2）， 答：扇形统计图中“课前预习不达标”对应的圆心角度数是； 故答案为：36； （3）等级的人数有：（人， 等级的女生人数有：（人， 等级的男生人数有：（人， 补全统计图如下： （4）由题意画树形图如下： 从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种． 所以（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 23．（2022春•开福区校级期末）为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为，，，四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题： （1）参加征文比赛的学生共有 　　人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，表示等级的扇形的圆心角为 　　，图中　　； （4）学校决定从本次比赛获得等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生一名女生的概率． 【分析】（1）从两个统计图可得，“组”的有3人，占调查人数的，可求出调查人数； （2）求出“组”人数即可补全条形统计图； （3）“等级”人数占整体的，即占，因此圆心角占的； （4）用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“一男一女”的结果数，进而求出概率． 【解答】解：（1）（人， 故答案为：30， （2）等级的人数为（人 补全条形统计图如图： （3），， 故答案为：，30； （4）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有6种可能出现的结果，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种， 所以； 【点评】考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． 24．（2024春•长沙县期末）为进一步落实国家关于学生体育锻炼的政策，强化学校体育、促进学生身心健康全面发展，长沙某校对学生的体质健康情况进行了随机抽样调查，该校从八年级各班中随机抽取了部分学生，收集了体质健康登记表中的各项数据，进行了整理，约定：不及格为组，及格为组，良好为组，优秀为组，画出了下列不完整的统计图． 根据图中提供的信息，解答下列问题． （1）本次抽取的学生人数是 　　人；　　；　　． （2）将条形统计图补充完整． （3）组的4个学生中，小振、小星来自八年级1班，小张来自八年级3班，小沙来自八年级5班．学校准备从这4人中随机抽取2人，进行家访，开展个性化指导，增进健康．请用树状图法或列表法，求随机抽取的2人来自不同班级的概率． 【答案】（1）50；42；30． （2）见解答． （3）． 【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得本次抽取的学生人数；用条形统计图中的人数除以本次抽取的学生人数再乘以可得，进而可得，即可得，的值． （2）根据（1）所求数据补全条形统计图即可． （3）列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的2人来自不同班级的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）本次抽取的学生人数是（人， ， 组的人数为（人， ， ，． 故答案为：50；42；30． （2）补全条形统计图如图所示． （3）列表如下： 小振 小星 小张 小沙 小振 （小振，小星） （小振，小张） （小振，小沙） 小星 （小星，小振） （小星，小张） （小星，小沙） 小张 （小张，小振） （小张，小星） （小张，小沙） 小沙 （小沙，小振） （小沙，小星） （小沙，小张） 共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2人来自不同班级的结果有：（小振，小张），（小振，小沙），（小星，小张），（小星，小沙），（小张，小振），（小张，小星），（小张，小沙），（小沙，小振），（小沙，小星），（小沙，小张），共10种， 随机抽取的2人来自不同班级的概率为． 【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． 25．（2023秋•长沙期末）为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）．足球，．引体向上，．篮球，．排球，．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据图中信息，完成下列问题： （1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ②扇形统计图中的圆心角的度数为 　　； （2）若该校有4800名学生，估计该校参加组（篮球）的学生人数； （3）该学校从组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）①补全图形见解答；②； （2）1120名； （3）． 【分析】（1）①先根据小组人数及其所对应的百分比可得被调查的总人数，再根据5个兴趣小组人数之和等于总人数求出小组人数，从而补全图形； ②用乘以小组人数占被调查人数的比例即可； （2）用总人数乘以样本中小组人数占被调查人数的比例即可； （3）画树状图列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，被调查的总人数为（人， 所以小组人数为（人， 补全图形如下： ②扇形统计图中的圆心角的度数为， 故答案为：； （2）（名， 答：估计该校参加组（人工智能）的学生有1120名； （3）画树状图为： 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 26．（2023秋•长沙县期末）长沙地铁的开通运营缓解了城市的交通压力，如图所示的是某站地铁闸口的示意图． （1）一名乘客通过此地铁闸口进站时，选择闸口的概率是 　　． （2）当两名乘客通过此地铁闸口进站时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同的闸口通过的概率． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）有3种等可能的结果数，其中选择的只有一种，可求出选择的概率； （2）用列表法表示两名乘客通过闸口所有可能的情况，进而求出两名乘客选择不同闸口通过的概率． 【解答】解：（1）共有、、三个闸口，一名乘客通过每个闸口的可能性是均等的，因此选择闸口的概率为， 故答案为：； （2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下： 共有9中等可能出现的结果情况，其中选择不同闸口的有6种， 所以两名乘客选择不同闸口通过的概率为． 【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有等可能出现的结果情况是正确解答的关键． 27．（2023秋•长沙期末）安全无小事，长沙市教育局要求各中小学校在期末考试后进行寒假安全教育．某校在典礼上开展了休学典礼——学生安全知识竞赛，赛后发现所有参赛学生会的成绩都高于50分．为了了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩取整数，总分为100分）作为样本进行统计分析，得到如下不完整的统计图表，请根据图标中的信息解答下列各题： 成绩（分 频数 频率 10 20 0.10 30 0.15 0.30 80 0.40 （1）频数分布表中　　，请补全频数分布直方图； （2）若该校共有学生3200人，分数为分的记为良好，请你估计该校安全知识竞赛良好的学生人数； （3）该校安全知识竞赛成绩满分共有4人，其中男生2名，女生2名，为了激励学生增强安全意识，现需要从这4人中随机抽取2人介绍学习经验，请用“列表法”或“画树状图”，求恰好选到一男一女的概率． 【答案】（1）作图见解答过程；0.05； （2）1760人； （3）． 【分析】（1）根据第二组的频数是20，频率是0.10，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得的值，用第三组频数除以数据总数可得的值；根据计算结果即可补全频数分布直方图； （2）用总人数乘以样本中良好人数所占比例即可； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：（1）样本容量是：， ；， 补全频数分布直方图，如下： 故答案为：0.05； （2）（人， 答：估计该校安全知识竞赛良好的学生人数为1760人； （3）画树状图如下： 所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种， 恰好选到一男一女的概率． 【点评】本题考查读频数（率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力、列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 28．（2022秋•雨花区期末）在不透明的袋子里装有2个红球、1个蓝球（除颜色外其余都相同）， （1）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到一红一蓝的概率． （2）若向袋中再放入若干个同样的蓝球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个蓝球的概率为，求后来放入袋中的蓝球个数． 【答案】（1）； （2）9个． 【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； （2）设后来放入的篮球有个，根据摸出一个蓝球的概率为列出关于的方程，解之即可． 【解答】解：（1）列表如下： 红 红 蓝 红 （红，红） （蓝，红） 红 （红，红） （蓝，红） 蓝 （红，蓝） （红，蓝） 由表知，共有6种等可能结果，其中两次摸到一红一蓝的有4种结果， 所以两次摸到一红一蓝的概率为； （2）设后来放入的篮球有个， 根据题意，得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， 所以后来放入袋中的蓝球有9个． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 29．（2023秋•长沙期末）打造书香文化，培养阅读习惯．崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍：科技类，：文学类，：政史类，：艺术类，其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的　　，　　，文学类书籍对应扇形圆心角等于 　　度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从，，三类书籍中随机选择一种，乙同学从，，三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【分析】（1）由喜欢的人数除以所占百分比得出调查的学生人数，即可解决问题； （2）由该校共有学生人数乘以最喜欢阅读政史类书籍的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：（1）调查的学生人数为：（人， ， ， 文学类书籍对应扇形圆心角， 故答案为：18，6，72； （2）（人， 答：估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数约为480人； （3）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种，即、， 甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 30．（2022秋•长沙期末）2022年10月12日我校推出四种校本课程：．激光切割，．数学游戏，．击剑，．趣味编程，学生可在长沙市中小学课后服务系统选择自己心仪的选修课程．为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 　　人； （2）请将条形统计图补充完整； （3）在平时的“趣味编程”的课堂学习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加趣味编程大赛，用树状图或列表法求出恰好同时选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）200； （2）见解答； （3）． 【分析】（1）用选修课程的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数； （2）先计算出选修课程的人数，然后补全条形统计图； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出同时选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）这次被调查的学生总人数为（人； 故答案为：200； （2）选修课程的人数为（人， 条形统计图补充为： （3）画树状图： 共有12种等可能的结果，其中同时选中甲、乙两位同学的结果数为2， 所以恰好同时选中甲、乙两位同学的概率． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图． 31．（2022秋•岳麓区校级期末）某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为、音乐类（记为、球类（记为、其它类（记为．根据调查结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调查情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图．请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）七年级（1）班学生总人数为 　　人； （2）请补全条形统计图； （3）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法，求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率． 【答案】（1）48； （2）见解析； （3）． 【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图可得到七年级（1）班学生总人数； （2）求得类的人数，则可补全统计图； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）七年级（1）班学生总人数为：（人， 故答案为：48； （2）类人数：（人， 如图： （3）分别用，表示两名擅长书法的学生，用，表示两名擅长绘画的学生， 画树状图得： 共有12种等可能的结果，抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的有8种情况， 抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率为：． 【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图，掌握相关知识是解题的关键． 32．（2022秋•长沙期末）随着“新冠肺炎”疫情防控新十条的颁布，各地开始复工复学，某校复学后从全校师生中征集志愿者成立“防疫服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．服务队各岗位人数条形统计图和扇形统计图如下： （1）该“防疫服务队”共有志愿者 　　人；补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“④操场活动监督岗”所占扇形的圆心角的数值为 　　； （3）李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗，用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 【答案】（1）50，补全统计图详见解答； （2）； （3）． 【分析】（1）由两个统计图可知，③就餐监督岗的人数是20人，占调查人数的，根据频率进行计算即可；求出戴口罩的人数即可补全条形统计图； （2）求出④操场活动监督岗所占的百分比，再根据扇形统计图中各个部分所占的百分比进而求出其对应的圆心角度数即可； （3）用列表法列举出所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）（人，②戴口罩监督岗人数为：（人，补全条形统计图如图所示： （2），即， 故答案为：； （3）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 共用16种等可能出现的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的有4种， 所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率为． 【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，列表法或树状图法，列举出所有可能出现的结果是正确计算概率的关键． 游戏公平性 33．（2023春•岳麓区校级期末）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△的　　 A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【解答】解：三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， 凳子应放在△的三条垂直平分线的交点最适当． 故选：． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 34．（2023秋•雨花区期末）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局． （1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果； （2）试用概率说明游戏是否公平． 【分析】（1）画出树状图，进一步一一列举得出所有情况即可； （2）计算甲、乙获胜的概率，进一步比较得出答案即可． 【解答】解：（1）如图所示： （红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄）， （黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿） 共9种情况； （2）（甲获胜）， （乙获胜）， （甲获胜）（乙获胜）， 所以游戏不公平． 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．利用概率所求情况数与总情况数之比解决问题． 35．（2022秋•浏阳市期末）在一次数学兴趣小组活动中，江华和江玉两位同学设计了如图所示的两个转盘做游戏（每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每个扇形区域内标上数字）．游戏规则如下：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则江华获胜；若指针所指区域内两数和等于12，则为平局；若指针所指区域内两数和大于12，则江玉获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）． （1）请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数和的所有可能的结果； （2）分别求出江华和江玉获胜的概率； （3）请问游戏规则公平吗？如不公平，请更改游戏规则，使游戏公平． 【答案】（1）见解答； （2），； （3）此游戏规则不公平，理由见解答，修改规则：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则江华获胜；若指针所指区域内两数和不小于12，则江玉获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）． 【分析】（1）列表可得所有等可能结果； （2）从表格中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； （3）判断两人获胜的概率是否相等即可判断． 【解答】解：（1）根据题意列表如下： 6 7 8 9 3 9 10 11 12 4 10 11 12 13 5 11 12 13 14 由图表可知，两数和共有12种等可能结果； （2）由表知，和小于12的有6种结果，大于12的有3种结果， 所以江华获胜的概率为，江玉获胜的概率为； （3）此游戏规则不公平， ， 此游戏规则不公平； 修改规则为：两人分别同时转动甲、乙转盘，转盘停止后，若指针所指区域内两数和小于12，则江华获胜；若指针所指区域内两数和不小于12，则江玉获胜（若指针停在等分线上，重转一次，直到指针指向某一份内为止）． 【点评】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． 36．（2023秋•浏阳市期末）小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有，，．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案；注意此实验室是放回实验； 【解答】解：画树状图得： 共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果， 两次摸到卡片字母相同的概率为：； 小明胜的概率为，小亮胜的概率为， ， 这个游戏对双方不公平． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 利用频率估计概率 37．（2023秋•雨花区期末）关于频率与概率有下列几种说法，其中正确的说法有　　 ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币正面朝上的概率为0.5”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在0.5附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】 【分析】分别利用概率的意义分析得出答案． 【解答】解：①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大，此说法正确； ②“抛一枚硬币正面朝上的概率为0.5”表示每抛两次就有一次正面朝上，此说法错误； ③“某彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖，此说法错误； ④“抛一枚硬币正面朝上的概率为0.5”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在0.5附近，此说法正确． 故选：． 【点评】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键． 38．（2023秋•长沙县期末）水稻育秧前都要提前做好发芽试验，特别是高水分种子，确保发芽率达到以上，保证成苗率，现有，两种新水稻种子，为了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同的种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 100 500 1000 2000 3000 发芽率 0.97 0.96 0.98 0.97 0.97 发芽率 0.98 0.96 0.94 0.96 0.95 下面有两个推断： ①当实验种子数量为500时，两种种子的发芽率均为0.96，所以，两种新水稻种子发芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率是0.97． 其中合理的是 　　． 【答案】②． 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得． 【解答】解：①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为500，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理． ②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子出芽的概率是0.97，故推断合理． 故答案为：②． 【点评】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 39．（2023秋•长沙期末）在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出1个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸球200次，发现有50次摸到红球，则口袋中红球约有 　个． 【分析】利用频率估计随机摸出1个球是红球的概率为，根据概率公式即可求出答案． 【解答】解：由题意可得， 口袋中红球的个数约为：（个． 故答案为：3． 【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的红球个数． 40．（2022秋•望城区期末）一副扑克牌去掉大小王后，只剩下52张牌，从中任取一张，记下花色，随着试验次数的增加，出现红桃花色的频率将稳定在 　　左右． 【答案】． 【分析】根据概率的计算公式可得答案． 【解答】解：一副扑克牌去掉大小王后，剩下52张牌中，四种花色都是13张， 从中任取一张，记下花色，随着试验次数的增加，出现红桃花色的频率将稳定在左右， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握等可能条件下概率的计算是解题的关键． 41．（2022春•雨花区校级期末）综合实践小组的同学做了某种黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如表，那么这种黄豆发芽的概率约为 　　．（结果精确到 每批粒数 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 发芽的频数 762 948 1142 1331 1518 1710 1902 发芽的频率 0.953 0.948 0.952 0.951 0.949 0.950 0.951 【答案】0.95． 【分析】根据频率与概率的关系，利用发芽的频率来估计概率． 【解答】解：根据表中的数据可知，发芽的频率在0.950左右摆动． 根据频率与概率的关系，这种黄豆发芽的概率约为0.95． 故答案为：0.95． 【点评】本题考查了频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个数据附近左右摆动，并且随着实验次数的增多，摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性原理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件发生的概率． 42．（2022秋•开福区校级期末）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则的值约为 　　． 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【解答】解：由题意可得，， 解得，． 故答案为：30． 【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 43．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，这是一幅长为，宽为的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为　　． 【分析】根据题意求出长方形的面积，根据世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系计算即可． 【解答】解：长方形的面积， 骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近， 世界杯图案占长方形世界杯宣传画的， 世界杯图案的面积约为：， 故答案为：2.4． 【点评】本题考查的是利用频率估计概率，正确得到世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系是解题的关键． 几何概率 1．（23-24七年级下·湖南常德·期末）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率，阴影部分的圆心角与整个圆的圆周角的比值，即可得；掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵阴影部分占， ∴阴影部分占整个圆面积的：， 该顾客获奖的概率为：， 故选：D． 2．（22-23七年级下·四川成都·期末）七巧板是我国古代的一项发明，被誉为“东方魔板”，19世纪传到国外被称为“唐图”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．如图，在七巧板铺成的正方形地板上，一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据七巧板的特点求出阴影部分面积在正方形面积中的占比即可得到答案． 【详解】解：由七巧板的特点可知，阴影部分的面积是大正方形面积的， ∴一个小球自由滚动，则小球停留在阴影部分的概率为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了几何概率，正确求出阴影部分的面积是大正方形面积的是解题的关键． 3．（22-23九年级上·四川眉山·期末）如图，已知正方形的边长为，分别以点，为圆心，为半径作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用几何概型求解概率问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键，将阴影部分分成两个小弓形，从而求解处出阴影部分的面积，进一步求出概率即可． 【详解】解：阴影部分的面积是， 正方形面积 ∴此点取自阴影部分的概率是， 故选：C 用频率估计概率的综合应用 4．（23-24九年级上·江西赣州·期末）在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右．利用概率公式进行计算． 【详解】解：大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右， 设白球有个， ，解得． 故选：B． 5．（22-23九年级上·湖南衡阳·期末）在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在左右，那么摸出黑球的概率约为 【答案】 【分析】根据大量重复试验频率等于概率及概率之和等于1直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在左右， ∴， 故答案为； 【点睛】本题主要考查大量重复试验频率等于概率及概率之和等于1． 6．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）小明在操场上做游戏，他在沙地上画了一个面积为的矩形，并在四个角画上面积不等的扇形，在不远处的固定位置向矩形内部投石子，记录如下（石子不会落在矩形外和各区域边缘）： 投石子的总次数 50次 150次 300次 600次 石子落在空白区域内的次数 14次 85次 199次 400次 石子落在空白区域内的频率 依此估计空白部分的面积可能是 ． 【答案】4 【分析】本题主要是利用频率估计概率、概率的应用等知识点，掌握当实验次数越多时，某事件的频率越接近于该事件的概率是解题的关键． 根据投在空白区域内的频率得到概率的大小，由此计算空白区域的面积即可． 【详解】解：由表格可知： 当投石子的次数越来越多时，石子落在空白区域的频率越接近，即空白区域的面积占总面积的， ∴空白部分的面积=． 故选答案为4． 7．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的应用等知识点，根据频率稳定在左右估计概率为是解题的关键． 先抽到“云冈石窟”卡片的为，再用500乘以概率即可解答． 【详解】解：∵发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在0.15左右， ∴抽到“云冈石窟”卡片的概率为， ∴估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 故答案为：75． 8．（21-22九年级下·湖南长沙·期末）从一副张（没有大王、小王）的扑克牌中，每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在试验中得到下表中部分数据： 试验次数 出现方块的次数 出现方块的频率 (1)上表中 ， ； (2)从上表中可以估计出现方块的概率是 ．（精确到）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据频率的计算公式即可求解； （2）根据频率与概率的关系即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，解得，，， 故答案为：，． （2）解：根据题意，当试验次数无限增大时，事件发生的频率会逐渐稳定于概率附件， ∴出现方块的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查频率的计算方法，频率与概率的关系，掌握以上知识是解题的关键． ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$