专题09 点和圆、直线和圆的位置关系（6基础题型+2提升题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（长沙专用）

专题09 点和圆、直线和圆的位置关系 点与圆的位置关系 1．（2022秋•岳麓区校级期末）抛物线与轴交于、两点在左侧），其对称轴与轴交于点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，则线段的最大值与最小值的比值为　　 A． B． C． D． 2．（2023春•雨花区校级期末）已知的半径为3，，则点在　　 A．内 B．上 C．外 D．无法确定 3．（2021秋•开福区校级期末）半径为5的，圆心在直角坐标系的原点，则点与的位置关系是　　 A．在上 B．在内 C．在外 D．不能确定 4．（2021秋•长沙县期末）若的半径是，点在内，则的长可能是　　 A． B． C． D． 5．（2022秋•望城区期末）如图，在平面直角坐标系中，点是以，为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 　 　． 三角形的外接圆与外心 6．（2023秋•长沙期末）如图，和内接于，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．（2022秋•望城区期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是　　 A． B． C． D． 8．（2022秋•浏阳市期末）如图，内接于，连接并延长交于点，若，，则　 　度． 9．（2021秋•长沙期末）如图，的半径为2，是的内接三角形，连接、，若弦的长度为，则　 　度． 直线与圆的位置关系 10．（2023秋•长沙县期末）已知的半径为2，点到直线的距离是4，则直线与的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．以上情况都有可能 11．（2023春•雨花区校级期末）已知的半径为4，圆心到直线的距离为3，则直线与位置关系是 　 　（选填“相离，相切，相交” ． 12．（2021秋•长沙县期末）如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并证明； （2）若，，求的半径． 切线的性质 13．（2023秋•开福区校级期末）如图，，是的切线，，是切点，点为上一点，若则的度数为　　 A． B． C． D． 14．（2022秋•长沙期末）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且，则　　 A． B． C． D． 15．（2022秋•浏阳市期末）如图，、分别与相切于、两点，，则　　 A． B． C． D． 16．（2022秋•雨花区期末）如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•开福区校级期末）如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为　 　． 18．（2021秋•岳麓区校级期末）如图，线段与相切于点，线段与和相交于点，，，则的半径长为 　 　． 19．（2022秋•望城区期末）若函数的图象与轴相切（顶点在轴上），则常数的值为 　 　． 20．（2022秋•长沙期末）如图，以的边为直径作，交边于点，为的切线，弦于点，连结． （1）求证：． （2）若点为中点，且，求线段的长． 21．（2023秋•开福区校级期末）如图，为的直径，切于，于，交于． （1）求证平分； （2）若，，求的长． 切线的判定 22．（2021秋•开福区校级期末）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，的直径为20，求线段、的长． 23．（2022秋•雨花区期末）如图1，的半径，弦、交于点，为弧的中点，过点的直线交延长线于点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，连接，若，，求的长． 24．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点垂直于的直线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）如图，，求的直径． 25．（2019秋•岳麓区校级期末）如图，的直径为，弦为，，分别是的平分线与，直径的交点，为延长线上一点，且． （1）求、的长； （2）试判断直线与的位置关系，并说明理由． 切线的判定与性质 26．（2022秋•浏阳市期末）如图，点在以为直径的上，平分，且于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 27．（2023秋•长沙期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，平分，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求和的长． 28．（2023秋•雨花区期末）如图，在中，，以为直径的与相交于点，，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若弦垂直于，垂足为，，，求的直径． 29．（2021秋•开福区校级期末）如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）若当点为的中点时，的半径为1，求矩形的面积． 30．（2020秋•天心区期末）如图，内接于，为直径，过点作，交的延长线于点，交于点，为上一点，连接，其中． （1）求证：是的中点； （2）求证：是的切线； （3）如果，，求弦的长． 31．（2020秋•天心区期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，是的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）过点作，垂足为，求证：； （3）若，，求长． 32．（2021秋•芙蓉区校级期末）如图所示，是的直径，与相切于点，与相切于点，点为延长线上一点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求线段的长． 切线长定理 33．（2023秋•雨花区期末）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，，则的长是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 34．（2022秋•嘉禾县期末）如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点．给出下列四种说法： ①； ②； ③四边形有外接圆； ④是外接圆的圆心． 其中正确说法的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 35．（2021秋•吉首市期末）如图，，是的切线，，为切点，，则　 　． 三角形的内切圆与内心 36．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，△的内切圆与，，分别相切于点，，，且，△的周长为14，则的长为 　 　． 37．（2021秋•望城区期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，．且，，，则的半径是 　 　． 38．（2020秋•长沙期末）在中，，，，则的内切圆半径　 　． 39．（2020秋•岳麓区校级期末）《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是 　 　步． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/26 19:22:26；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 点和圆、直线和圆的位置关系 点与圆的位置关系 1．（2022秋•岳麓区校级期末）抛物线与轴交于、两点在左侧），其对称轴与轴交于点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，则线段的最大值与最小值的比值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由三角形中位线定理，把求的最大值，最小值转化成求的最大值，最小值，连接交圆于，延长交圆于，由二次函数的性质求出，，的长即可． 【解答】解：连接， 抛物线的对称轴与轴交于点， 是的中点， 是中点， 是△的中位线， ， 当取最大值，最小值时，取得最大值，最小值， 连接交圆于，延长交圆于， 当与重合时，长最小，当与重合时，长最大， 抛物线， 当时， ， ，， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， 的半径是， ，， 长的最大值是，最小值是， 的最大值是，最小值是， 线段的最大值与最小值的比值是， 故选：． 【点评】本题考查求线段最大值，最小值的问题，关键是把求的最大值，最小值转化成求的最大值，最小值． 2．（2023春•雨花区校级期末）已知的半径为3，，则点在　　 A．内 B．上 C．外 D．无法确定 【答案】 【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）． 【解答】解：， 点在外， 故选：． 【点评】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系． 3．（2021秋•开福区校级期末）半径为5的，圆心在直角坐标系的原点，则点与的位置关系是　　 A．在上 B．在内 C．在外 D．不能确定 【答案】 【分析】先利用两点间的距离公式求出点到原点的距离，再判断与半径的大小关系，从而得出答案． 【解答】解：点， ， ， 则， 点在上， 故选：． 【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外②点在圆上③点在圆内． 4．（2021秋•长沙县期末）若的半径是，点在内，则的长可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设点到圆心的距离为，圆的半径为，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 【解答】解：点在内，且的半径是， ， 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系．熟记点与圆位置关系与数量关系的对应是解题关键，由位置关系可推得数量关系，同样由数量关系也可推得位置关系． 5．（2022秋•望城区期末）如图，在平面直角坐标系中，点是以，为圆心，1为半径的上的一个动点，已知，，连接，，则的最小值是 　 　． 【分析】设点，表示出的值，从而转化为求的最值，画出图形后可直观得出的最值，代入求解即可． 【解答】解：设， ，， ， ， ， 当点处于与圆的交点上时，取得最值， 的最小值为， 最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点坐标，将所求代数式的值转化为求解的最小值，难度较大． 三角形的外接圆与外心 6．（2023秋•长沙期末）如图，和内接于，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理即可得出答案． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 7．（2022秋•望城区期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到为的直径，则点为的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到，，所以，，，然后利用线段的中点坐标公式得到点坐标． 【解答】解：四边形为圆的内接四边形， ， ， ， 为的直径， 点为的中点， 在中，， ， ，，， 点坐标为，． 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了坐标与图形性质． 8．（2022秋•浏阳市期末）如图，内接于，连接并延长交于点，若，，则　 　度． 【答案】68． 【分析】延长交圆于点，连接，根据直径所对圆周角是直角可得，再根据同弧所对圆周角相等，得，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【解答】解：如图，延长交圆于点，连接， 是的直径， ， ， ， ， ． 故答案为：68． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理． 9．（2021秋•长沙期末）如图，的半径为2，是的内接三角形，连接、，若弦的长度为，则　 　度． 【答案】60． 【分析】首先过点作于，由垂径定理可得，又由锐角三角函数，可求得的度数，然后根据圆周角定理，求得的度数． 【解答】解：过点作于， 则，， 在中，， ， ， ， 故答案为：60． 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 直线与圆的位置关系 10．（2023秋•长沙县期末）已知的半径为2，点到直线的距离是4，则直线与的位置关系是　　 A．相离 B．相切 C．相交 D．以上情况都有可能 【答案】 【分析】根据圆的半径和，圆心到直线的距离的大小，相交：；相切：；相离：；即可选出答案． 【解答】解：的半径为2，圆心到直线的距离为4， ，即：， 直线与的位置关系是相离． 故选：． 【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键． 11．（2023春•雨花区校级期末）已知的半径为4，圆心到直线的距离为3，则直线与位置关系是 　 　（选填“相离，相切，相交” ． 【分析】根据的半径为4，圆心到直线的距离为3，，即可得． 【解答】解：的半径为4，圆心到直线的距离为3，， 直线与位置关系是相交， 故答案为：相交． 【点评】本题考查圆与直线的位置关系，解题的关键是理解题意，掌握圆与直线的位置关系． 12．（2021秋•长沙县期末）如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． （1）判断直线与的位置关系，并证明； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）6． 【分析】（1）欲证明是切线，只要证明，利用全等三角形的性质即可证明； （2）设的半径为，在中，根据，可得，推出，即可解决问题． 【解答】解：（1）相切， 证明：如图，连接， 在与中， ， ， ， ， 又为的半径， 是的切线； （2）设的半径为， 在中，， ， ， 的半径为6． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 切线的性质 13．（2023秋•开福区校级期末）如图，，是的切线，，是切点，点为上一点，若则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接、，利用四边形内角和可求出，根据圆周角定理即可得出答案． 【解答】解：连接、， ，是的切线， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查切线的性质，熟练掌握切线的性质及圆周角定理是解题关键． 14．（2022秋•长沙期末）如图，已知是的直径，点为延长线上一点，是的切线，点为切点，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，利用切线的性质可得，利用等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：如图，连接， 是的切线，点为切点， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质，掌握切线的性质是解题关键． 15．（2022秋•浏阳市期末）如图，、分别与相切于、两点，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连结、，如图，先根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，然后利用四边形的内角和可计算出的度数． 【解答】解：连结、，如图， 、分别与相切于、两点， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 16．（2022秋•雨花区期末）如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，，，，在矩形中，得到，，由于，，分别与相切于，，三点，得到，推出四边形，是正方形，得到，由勾股定理列方程即可求出结果． 【解答】解：连接，，，， 在矩形中， ，， ，，分别与相切于，，三点， ， 四边形，是正方形， ， ， 是的切线， ，， ， 在中，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 17．（2023秋•开福区校级期末）如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为　 　． 【分析】连接、，由切线的性质得出，由圆内接四边形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质即可得出结果． 【解答】解：如图所示：连接、， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键． 18．（2021秋•岳麓区校级期末）如图，线段与相切于点，线段与和相交于点，，，则的半径长为 　 　． 【答案】6． 【分析】设的半径是，连接，根据切线的性质得出，根据勾股定理得出关于的方程，求出方程的解即可． 【解答】解：设的半径是，连接， 则， 线段与相切于点， ， ， 由勾股定理得：， ， 即得：， 即的半径是6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了切线的性质和勾股定理，能根据切线的性质求出是解此题的关键． 19．（2022秋•望城区期末）若函数的图象与轴相切（顶点在轴上），则常数的值为 　 　． 【答案】． 【分析】根据题意可得：函数的图象与轴只有一个交点，从而得到△，即可求解． 【解答】解：函数的图象与轴相切（顶点在轴上）， 函数的图象与轴只有一个交点， △， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到函数的图象与轴只有一个交点是解题的关键． 20．（2022秋•长沙期末）如图，以的边为直径作，交边于点，为的切线，弦于点，连结． （1）求证：． （2）若点为中点，且，求线段的长． 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）根据切线的性质得到，求得，根据垂直的定义得到，于是得到结论． （2）连接，根据直角三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：为直径，为的切线， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：连接， 点为中点， ， ， ， ，， 弦于点，为直径， ． 【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键． 21．（2023秋•开福区校级期末）如图，为的直径，切于，于，交于． （1）求证平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）6． 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论； （2）过点作于，根据勾股定理求出，根据垂径定理解答即可． 【解答】（1）证明：连接， 切于， ， ， ， ， ， ， ，即平分； （2）解：过点作于， 则， ，，， 四边形为矩形， ， 在中，， ． 【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 切线的判定 22．（2021秋•开福区校级期末）如图，已知直线交于、两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为． （1）求证：为的切线； （2）若，的直径为20，求线段、的长． 【分析】（1）欲证明为的切线，只要证明即可． （2）作于，设，则，在中利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【解答】证明：（1）连接． 点在上，， ， ， ， ， 平分， ， ， 是切线． （2）作于， ， 四边形是矩形， ，， ，设，则， ， ， 在中，， ， 解得或0（舍弃）， ，，， ， ． 【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质、垂径定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 23．（2022秋•雨花区期末）如图1，的半径，弦、交于点，为弧的中点，过点的直线交延长线于点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，连接，若，，求的长． 【分析】（1）如图，作辅助线；证明，即可解决问题． （2）如图，作辅助线；证明，，此为解题的关键性结论；证明；列出方程，求出，即可解决问题． 【解答】证明：（1）如图1，连接、； 为弧的中点， ，； ， ； ， ， ， 即， 与相切． （2）如图2，连接、； 由（1）知， ； ， ；而， ， ； 设，则， ，，； 由勾股定理得：； ， ； 在直角中，由勾股定理得： ， 即， 解得：， ． 【点评】该题主要考查了圆的切线的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用有关定理来分析、解答． 24．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，是的直径，点是上一点，的平分线交于点，过点垂直于的直线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）如图，，求的直径． 【分析】（1）连接，由为角平分线，得到一对角相等，再由，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行可得与平行，由两直线平行同旁内角互补，得到与互补，再由为直角，可得为直角，即为圆的切线，得证； （2）连接，由为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到为直角，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义得到，又在直角三角形中，由及的长，利用锐角三角函数定义求出的值，由，得到，得出的值，即可求出直径的长． 【解答】（1）证明：连接，如图所示： 为的平分线， ， 又， ， ， ， ， 又，即， ， 则为圆的切线； （2）解：连接，如图所示， 为圆的直径， ， 在中，， 在中，，， ，又， ， 则，即圆的直径为． 【点评】此题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，平行线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，切线的证明方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线证明垂线段等于圆的半径． 25．（2019秋•岳麓区校级期末）如图，的直径为，弦为，，分别是的平分线与，直径的交点，为延长线上一点，且． （1）求、的长； （2）试判断直线与的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）连接，如图，根据圆周角定理由为直径得，则可利用勾股定理计算出；由平分得，根据圆周角定理得，则为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出的长； （2）连接，由得，利用三角形外角性质得，加上，，于是可得到，则，于是根据切线的判定定理可得为的切线． 【解答】解：（1）连接，如图1所示， 为直径， ， 在中，，， ； 平分， ， 为等腰直角三角形， ； （2）与圆相切．理由如下： 连接，如图2所示： ， ， ， 而，， ， ， 即， ， 为的切线． 【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解决问题的关键． 切线的判定与性质 26．（2022秋•浏阳市期末）如图，点在以为直径的上，平分，且于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【分析】（1）如图1中，连接．只要证明，由，即可推出； （2）过点作于点，得矩形，然后利用勾股定理即可求出半径的长． 【解答】（1）证明：如图中，连接． ， ， 平分， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点， 得矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 解得． 的半径为． 【点评】此题主要考查了切线的性质与判定，解决本题的关键是掌握切线的判定． 27．（2023秋•长沙期末）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，平分，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求和的长． 【答案】（1）见解析； （2），2． 【分析】（1）通过证明，结合平分可得，再根据可得，即可证明是的切线； （2）根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，求得，得到，根据弧长公式得到的长为；根据勾股定理得到，于是得到结论． 【解答】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是的直径， ， ，， ， ， ， ，， ，， 的长为； ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质， 28．（2023秋•雨花区期末）如图，在中，，以为直径的与相交于点，，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）若弦垂直于，垂足为，，，求的直径． 【答案】（1）见解答；（2）． 【分析】（1）连接，先判断出，进而得出，进而判断出，即可得出结论； （2）连接，先求出，设的半径为，则，，进而求出，最后用勾股定理求解，即可得出结论． 【解答】（1）证明：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图2，连接， ，且为的直径，， ， 设的半径为，则，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ． 即的直径为． 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质， 29．（2021秋•开福区校级期末）如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，连接，． （1）求证：为的切线； （2）若当点为的中点时，的半径为1，求矩形的面积． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）． 【分析】（1）根据矩形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，，证出，则可得出结论； （2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半、直角三角形的边角关系以及等腰三角形的性质可得，，利用直角三角形的边角关系求出、利用矩形的面积计算方法进行计算即可． 【解答】证明：（1）连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 为的半径 是的切线； （2）解：在中，点为的中点， ， ，， ， 在中，， ，， ，， 矩形的面积为． 【点评】本题考查了切线的判定，矩形的性质、直角三角形的边角关系以及特殊锐角三角函数值，掌握直角三角形的边角关系以及矩形、等腰三角形的性质是解题的关键． 30．（2020秋•天心区期末）如图，内接于，为直径，过点作，交的延长线于点，交于点，为上一点，连接，其中． （1）求证：是的中点； （2）求证：是的切线； （3）如果，，求弦的长． 【答案】证明过程见解析； 证明过程见解析； ． 【分析】由圆周角定理得出,由直角三角形的性质得出，得出,则可得出结论； 连接,由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出,则,则可得出结论； 先根据勾股定理求出，，的长，证明，得出比例线段即可求出的长． 【解答】证明：为的直径， ， , , 在中，， ， ， ， ， , 是的中点； 证明连接, , , , ， ， ， , ， , , , 是的切线； 解，, ， ， ， 在中，， 在和中， ，， ， ， 即， ． 【点评】本题考查了切线的判定,直角三角性质,勾股定理,圆周角定理和相似三角形的判定与性质,熟练掌握切线的判定是解题的关键． 31．（2020秋•天心区期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，是的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）过点作，垂足为，求证：； （3）若，，求长． 【分析】（1）连接，由于是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；又，所以，即是的切线； （2）连接，先根据证明，再由全等三角形的对应边相等即可得出． （3）先证得，根据相似三角形的性质得出比例线段求得，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得，进一步求得，然后解直角三角形即可求得，得出． 【解答】证明：（1）如图1，连接． ， ， 是圆的直径． 平分， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：如图2，连接． ，于，于， ． ，， ． 在与中， ， ． （3）解：由（2）得，又， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，， 中，， 中，， ， ， ． 【点评】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．正确作出辅助线是解题的关键． 32．（2021秋•芙蓉区校级期末）如图所示，是的直径，与相切于点，与相切于点，点为延长线上一点，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求线段的长． 【分析】（1）由切线得出，证明，得出，证出为的切线； （2）作辅助线求出，，设，中，根据勾股定理得：，得出即可． 【解答】（1）证明：连接，；如图所示： 与相切于点 ， 在和中， ， ， ， 为的切线； （2）过点作于；如图所示：设 ，为切线， ， ，为切线， ， ， 四边形为矩形， ， ， 中，根据勾股定理得： ， 解得：， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及切线的判定与性质；根据切线的性质利用勾股定理计算是解决问题的关键． 切线长定理 33．（2023秋•雨花区期末）如图，、、是的切线，切点分别是、、．若，，则的长是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长． 【解答】解：、为的切线， ， 、为的切线， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键． 34．（2022秋•嘉禾县期末）如图，已知，是的两条切线，，为切点，线段交于点．给出下列四种说法： ①； ②； ③四边形有外接圆； ④是外接圆的圆心． 其中正确说法的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当时，，此时，则可对④进行判断． 【解答】解：，是的两条切线，，为切点， ，所以①正确； ，， 垂直平分，所以②正确； ，是的两条切线，，为切点， ，， ， 点、在以为直径的圆上， 四边形有外接圆，所以③正确； 只有当时，，此时， 不一定为外接圆的圆心，所以④错误． 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理． 35．（2021秋•吉首市期末）如图，，是的切线，，为切点，，则　 　． 【分析】由切线的性质得出，，得出，，由已知得出，再由三角形内角和定理即可得出结果． 【解答】解：，是的切线， ，， ，， ， ； 故答案为：76． 【点评】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题． 三角形的内切圆与内心 36．（2023秋•岳麓区校级期末）如图，△的内切圆与，，分别相切于点，，，且，△的周长为14，则的长为 　 　． 【分析】根据切线长定理得到，，，由△的周长为14，可求的长． 【解答】解：与 ，，分别相切于点，， ，，， △的周长为14， ， ， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 37．（2021秋•望城区期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，．且，，，则的半径是 　 　． 【答案】3． 【分析】根据勾股定理的逆定理可得三角形为直角三角形，再根据切线长定理即可求解． 【解答】解：如图，连接、、， 的内切圆与，，分别相切于点，．， ，，， ，，， 即， 为直角三角形， ， 四边形是正方形， ， 设的半径是， 则，，， ， ， 解得． 所以的半径是3． 故答案为3． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是利用切线长定理和勾股定理的逆定理． 38．（2020秋•长沙期末）在中，，，，则的内切圆半径　 　． 【答案】2． 【分析】设切于点，切于，切于，连接，，由切线的性质易证四边形为正方形，得到，由切线长定理得，，利用可求出． 【解答】解：如图，切于点，切于，切于，连接，， ，， 正方形为正方形， ，，， ， 设的半径为，则， ，， ，即， 解得：． 故答案为：2． 【点评】本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等．证得四边形为正方形是解题的关键． 39．（2020秋•岳麓区校级期末）《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是 　 　步． 【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径． 【解答】解：根据勾股定理得：斜边为， 则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步，即直径为6步， 故答案为：6． 【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握中，两直角边分别为、，斜边为，其内切圆半径是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/26 19:22:26；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 ( 12 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$