专题13 角的概念与运算-2024-2025学年上学期七年级数学重难点复习（人教版新教材）

专题13 角的概念与运算 题型一 角的比较 例1．如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【分析】本题考查了角的大小比较，根据图中的三角尺为等腰直角三角形得，，利用中间角比较角的大小是解题的关键． 【解析】解：∵图中的三角尺为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故选：A． 【1-1】用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【1-2】如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【1-3】如图，已知是内部的一条射线，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．可以用表示 D．与表示同一个角 【1-4】比较与的大小，把它们的顶点A和边重合，把它们的另一边和放在的同一侧，若，则（    ） A．落在的内部 B．落在的外部 C．和重合 D．不能确定的位置 题型二 三角板中的角度计算问题 例2．如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么 度． 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，根据题意可得，根据即可求解． 【解析】解：∵， ∴ ， 故答案为：180． 【2-1】用一副三角尺的两个角不能拼成（   ）度的角． A．15 B．105 C．110 D．120 【2-2】如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点A，若的度数是的倍，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【2-3】用一副三角尺可能拼出的小于平角的角的度数是 （至少3个） 【2-4】将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则 ． 题型三 角度的四则运算 例3．计算： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查了角的四则运算： （1）根据角度制的进率为60进行计算求解即可； （2）根据角度制的进率为60进行计算求解即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【3-1】计算： (1)； (2)． 【3-2】计算： (1)； (2)． 【3-3】计算： (1)； (2)． 【3-4】计算 (1) (2) 题型四 角平分线的有关计算 例4．如图，已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转到，且． (1)如图①，若，试判断与之间的大小关系并说明理由； (2)如图②，作射线，射线为的平分线，设，当时，若射线恰好平分，求的度数． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据，，即可确定两个角的大小； （2）根据角平分线的定义可得，，根据列方程，求出的值，再根据计算即可． 【解析】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：恰好平分， ， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ． 【4-1】如图，从顶点任意作一条射线，若是的平分线，是的平分线，，则的度数为 【4-2】已知，平分，，则的度数为 ． 【4-3】已知在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 【4-4】已知． (1)如图1，若，在的左侧，则 ； (2)如图2，平分，平分，求． 题型五 求一个角的余角 例5．如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差； （1）由角平分线的定义得，由互余的定义得，由角的和差，即可求解； （2）由互余的定义得，再由角平分线的定义即可求解； 理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键． 【解析】（1）解：平分， ， 与互余， ， ， ； （2）解：与互余， ， ， 平分， ， ． 【5-1】若，则的余角是（    ） A． B． C． D． 【5-2】如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【5-3】已知，与互余，则 ． 【5-4】如图所示，可以用量角器度量的度数，那么的余角的度数为 ． 题型六 求一个角的补角 例6．如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 【分析】本题考查了角的和差，补角的定义，角平分线的定义； （1）由角的和差得，由角的平分线及角的和差得，即可求解； （2）由补角的定义得，由角平分线的定义即可求解； 理解补角的定义，角平分线的定义，能用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【解析】（1）解：，， ； 是的平分线， ， ； （2）解：是的平分线； 理由如下： ， ， ， ， 是的平分线． 【6-1】若，则的补角是 ． 【6-2】如图，已知点M，O，N在同一条直线上，，则 ． 【6-3】若一个角的补角的度数是这个角的3倍，则这个角的补角的度数为 度． 【6-4】已知，与互为余角，求的补角的度数． 题型七 与余角补角有关的计算 例7．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （3）用分别求出和，即可得到答案． 【解析】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）因为恰好是的平分线，， 所以， 因为 所以； 所以旋转角是50度； （3） 理由：因为恰好是的平分线 因为， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以． 【7-1】已知和之和的补角等于和之差的余角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【7-2】若，则与的关系是 ． 【7-3】将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且，射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 【7-4】如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角________； (2)若，则________； (3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．下列说法中错误的是（    ） A．点是构成图形的基本元素 B．一个锐角的补角一定大于这个角 C．若，则与互为余角 D．若，则点C是线段的中点 2．下列说法：其中正确的说法是（   ） ①单项式的次数是6；②已知为锐角，如果，那么射线是的平分线；③2时40分，时针与分针的夹角为；④从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得21个锐角 A．①② B．③④ C．②④ D．①②③④ 3．如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 4．如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线、、，且平分，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，射线都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③ 若，则；④ 若平分，平分，则．其中结论正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．题目：“如图．在一幅直角三角板①和②中，．将①固定不动，将②的顶点与①的顶点重合．若②的一条直角边或）与边的夹角为，求②的另一条直角边与边的夹角度数．嘉嘉给出的答案为或，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还有另一个不同的值”．下列判断正确的是（    ） A．淇淇说得对，另一个值是 B．淇淇说得不对，答案就是或 C．嘉嘉求的结果不对，答案应是或 D．两人都不对，答案应该有4个不同值 8．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与一定相等的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．② 二、填空题 9．将转化为度分秒的形式时，分的大小应为 ． 10．若的余角为，则的补角的大小是 ． 11．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕． ，则＝ 度． 12．如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 13．如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 14．如图，已知点O是直线上一点，为从点O引出的四条射线，若，，，则与之间的数量关系是 ； 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 17．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 18．已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 19．如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度） (1)如图①，的度数为______度； (2)将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 20．已知一副三角板按图1所示摆放，，，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧．保持不动． (1)在图1中，______； (2)将绕点旋转至如图2所示的位置，则______； (3)将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数？ (4)将绕点逆时针方向旋转时，直接写出与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 角的概念与运算 题型一 角的比较 例1．如图，用同样大小的三角板此较和的大小，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．没有量角器，无法确定 【分析】本题考查了角的大小比较，根据图中的三角尺为等腰直角三角形得，，利用中间角比较角的大小是解题的关键． 【解析】解：∵图中的三角尺为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故选：A． 【1-1】用叠合的方法比较和两个角的大小，先将的顶点与的顶点O重合，边与边重合，边落在了的内部，则和的关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】解：如图， ∴， 故选：A 【1-2】如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【解析】解：将平移，让与两个角的顶点重合， 如图： 可得： 在的内部， 所以． 故选：A． 【1-3】如图，已知是内部的一条射线，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．可以用表示 D．与表示同一个角 【答案】D 【解析】解：A．∵是内部的一条射线而不是角平分线，∴，故本选项不符合题意； B．可能大于，也可能小于，也有可能等于，故本选项不符合题意； C．不可以用表示，故本选项不符合题意； D．与表示同一个角，故本选项符合题意． 故选：D． 【1-4】比较与的大小，把它们的顶点A和边重合，把它们的另一边和放在的同一侧，若，则（    ） A．落在的内部 B．落在的外部 C．和重合 D．不能确定的位置 【答案】A 【解析】解：比较与时，把它们的顶点A和边重合，把和放在AB的同一侧，若，则AD落在的内部． 故选：A． 题型二 三角板中的角度计算问题 例2．如图，将一副直角三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，那么 度． 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，根据题意可得，根据即可求解． 【解析】解：∵， ∴ ， 故答案为：180． 【2-1】用一副三角尺的两个角不能拼成（   ）度的角． A．15 B．105 C．110 D．120 【答案】C 【解析】解：A．的角，；故本选项不符合题意； B．的角，；故本选项不符合题意； C．的角，无法用三角板中角的度数拼出；故本选项符合题意； D．的角，；故本选项不符合题意． 故选C． 【2-2】如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点A，若的度数是的倍，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵ ∴ ∵的度数是的倍， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【2-3】用一副三角尺可能拼出的小于平角的角的度数是 （至少3个） 【答案】，，，， 【解析】解： 一副三角板的六个角共有四个度数：、、、， ∴，，，，， ∴可能拼出的小于平角的角的度数有，，，，． 故答案为：，，，，． 【2-4】将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则 ． 【答案】 【解析】解：∵比大 ∴设，则 根据题意得：， 解得：， ∴ 故答案为：． 题型三 角度的四则运算 例3．计算： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查了角的四则运算： （1）根据角度制的进率为60进行计算求解即可； （2）根据角度制的进率为60进行计算求解即可． 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【3-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【3-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【3-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【3-4】计算 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： （2）解： 题型四 角平分线的有关计算 例4．如图，已知，从的顶点O引出一条射线，射线在的内部，将射线绕点O逆时针旋转到，且． (1)如图①，若，试判断与之间的大小关系并说明理由； (2)如图②，作射线，射线为的平分线，设，当时，若射线恰好平分，求的度数． 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据，，即可确定两个角的大小； （2）根据角平分线的定义可得，，根据列方程，求出的值，再根据计算即可． 【解析】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：恰好平分， ， ， 为的平分线， ， ， ， ， ， ， ． 【4-1】如图，从顶点任意作一条射线，若是的平分线，是的平分线，，则的度数为 【答案】 【解析】解：是的平分线，是的平分线， ， ， ， 故答案为：． 【4-2】已知，平分，，则的度数为 ． 【答案】或 【解析】解：∵，平分， ∴． 分两种情况：如答图①，当在的同侧时， ， 此时； 如答图②，当在的异侧时， ， 此时． 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【4-3】已知在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 【答案】或 【解析】解：①如图，当在的外部， ∵平分，，， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∵平分， ∴； ②如图，当在的内部， ∵平分，，， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∵平分， ∴． 综上所述，的度数是或． 【4-4】已知． (1)如图1，若，在的左侧，则 ； (2)如图2，平分，平分，求． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解： 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 题型五 求一个角的余角 例5．如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差； （1）由角平分线的定义得，由互余的定义得，由角的和差，即可求解； （2）由互余的定义得，再由角平分线的定义即可求解； 理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键． 【解析】（1）解：平分， ， 与互余， ， ， ； （2）解：与互余， ， ， 平分， ， ． 【5-1】若，则的余角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：的余角．故选：． 【5-2】如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线，反射光线和法线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴，即， 根据光的反射定律可知， ∵， ∴． 故答案为：C． 【5-3】已知，与互余，则 ． 【答案】 【解析】解：．故答案为：． 【5-4】如图所示，可以用量角器度量的度数，那么的余角的度数为 ． 【答案】 【解析】解：看量角器内圈的数字可读出的度数为 的余角的度数为； 故答案为： 题型六 求一个角的补角 例6．如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 【分析】本题考查了角的和差，补角的定义，角平分线的定义； （1）由角的和差得，由角的平分线及角的和差得，即可求解； （2）由补角的定义得，由角平分线的定义即可求解； 理解补角的定义，角平分线的定义，能用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【解析】（1）解：，， ； 是的平分线， ， ； （2）解：是的平分线； 理由如下： ， ， ， ， 是的平分线． 【6-1】若，则的补角是 ． 【答案】 【解析】， 的补角是， 故答案为：． 【6-2】如图，已知点M，O，N在同一条直线上，，则 ． 【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【6-3】若一个角的补角的度数是这个角的3倍，则这个角的补角的度数为 度． 【答案】135 【解析】解：设这个角为x度， 由题意得， 解得， ∴． 故答案为：135． 【6-4】已知，与互为余角，求的补角的度数． 【答案】 【解析】解∶∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角的度数为． 题型七 与余角补角有关的计算 例7．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （3）用分别求出和，即可得到答案． 【解析】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）因为恰好是的平分线，， 所以， 因为 所以； 所以旋转角是50度； （3） 理由：因为恰好是的平分线 因为， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以． 【7-1】已知和之和的补角等于和之差的余角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：， 解得：故选：C． 【7-2】若，则与的关系是 ． 【答案】互余 【解析】解：∵， ∴， ∴与互余． 故答案为：互余 【7-3】将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)如图，且，射线平分，则的大小为 ； (2)在（1）的条件下，射线平分，射线平分，求的度数； (3)若将三角板绕点O旋转，射线平分，射线平分．请写出与度数的等量关系： ． 【答案】(1) (2) (3)或 【解析】（1）解：， ， 平分， ， 故答案为：； （2）解：， ， 平分， ， ； （3）解：或，理由如下： 当射线与线段不相交时，如图： 射线平分，射线平分， ， ， 当射线与线段相交时，如图： 射线平分，射线平分， ， ， ， 故答案为：或． 【7-4】如图，点，，在同一条直线上，，射线在直线的上方绕点旋转，记，平分． (1)若与互补，则角________； (2)若，则________； (3)是否存在的值，使得与互余，若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)存在，的值为或． 【解析】（1）∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）如图， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； （3）存在， ∵与互余， ∴， ∵，平分， ∴， 如图， ∵， ∴， 解得； 如图所示， ∵， ∴， 解得：， 综上所述，的值为或． 一、单选题 1．下列说法中错误的是（    ） A．点是构成图形的基本元素 B．一个锐角的补角一定大于这个角 C．若，则与互为余角 D．若，则点C是线段的中点 【答案】D 【解析】解：A.点是构成图形的基本元素，正确，故此选项不符合题意； B.一个锐角的补角是钝角，一定大于这个角，正确，故此选项不符合题意； C.若，则与互为余角，正确故此选项不符合题意； D.若且A、C、B在一条直线上时，点C才是线段的中点，原说法错误，故此选项符合题意． 故选：C． 2．下列说法：其中正确的说法是（   ） ①单项式的次数是6；②已知为锐角，如果，那么射线是的平分线；③2时40分，时针与分针的夹角为；④从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得21个锐角 A．①② B．③④ C．②④ D．①②③④ 【答案】B 【解析】解：单项式的次数是，故①不符合题意； ∵为锐角，，且在的内部， ∴射线是的平分线；故②不符合题意； ∵2时40分，时针与分针的夹角为：，故③符合题意； ∵从一个锐角的顶点出发，在它的内部引5条射线后，一共可得：（个）锐角，故④符合题意； 故选：B． 3．如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【解析】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 4．如图，已知为直线上一点，过点向直线上方引三条射线、、，且平分，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 5．如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 6．如图，射线都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③ 若，则；④ 若平分，平分，则．其中结论正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】解：∵和都是直角， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 若，则：， ∴，故③正确； 若平分，平分，    则：，， ∴；故④正确； 故选：D． 7．题目：“如图．在一幅直角三角板①和②中，．将①固定不动，将②的顶点与①的顶点重合．若②的一条直角边或）与边的夹角为，求②的另一条直角边与边的夹角度数．嘉嘉给出的答案为或，而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还有另一个不同的值”．下列判断正确的是（    ） A．淇淇说得对，另一个值是 B．淇淇说得不对，答案就是或 C．嘉嘉求的结果不对，答案应是或 D．两人都不对，答案应该有4个不同值 【答案】D 【解析】解：①如图， 此时与边夹角为，，，即与边的夹角度数为， ②如图， 此时与边夹角为，，，即与边的夹角度数为， ③如图， 此时与边夹角为，，即与边的夹角度数为， ④如图， 此时与边夹角为，，即与边的夹角度数为， 共4种情况， 故选：D． 8．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与一定相等的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．② 【答案】B 【解析】①，则①不符合题意． ②与都有一个相同的余角，那么，则②符合题意． ③与都有一个相同的补角，那么，则③符合题意． ④，则④不符合题意． 综上，②③符合题意． 故选：B． 二、填空题 9．将转化为度分秒的形式时，分的大小应为 ． 【答案】16 【解析】， 分的大小应为16， 故答案为：16． 10．若的余角为，则的补角的大小是 ． 【答案】 【解析】解：的余角为， ， 的补角为， 故答案为：． 11．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕． ，则＝ 度． 【答案】 【解析】解：根据翻折的性质可知，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为． 12．如图，，则图中三个角的数量关系是 ． 【答案】 【解析】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 【答案】6或24 【解析】解：， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：6或24． 故答案为：6或24． 14．如图，已知点O是直线上一点，为从点O引出的四条射线，若，，，则与之间的数量关系是 ； 【答案】 【解析】解：设， 由， ， ， 即， ， ， 即， 故答案为：． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 16．如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析(2) 【解析】（1）解：；理由如下： ， ， 平分， ， ， ， ． （2）解：设， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 17．如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴ ∴． （2）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． 18．已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解： 平分，平分， ， ， ， ， ； （2）解：同理（1）得：， ， ． 19．如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度） (1)如图①，的度数为______度； (2)将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)； (2)逆时针旋转或顺时针旋转，能使． 【解析】（1）解：由图可得，， 故答案为：； （2）解：能． ①逆时针旋转，如图，    由题意得，， 解得； ②顺时针旋转，如图，    当时， 由题意得，， 解得，不符题意，舍去； 当时， 由题意得，， 解得； 综上所述，逆时针旋转或顺时针旋转，能使． 20．已知一副三角板按图1所示摆放，，，，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧．保持不动． (1)在图1中，______； (2)将绕点旋转至如图2所示的位置，则______； (3)将绕点逆时针方向旋转到边平分时，求旋转角的度数？ (4)将绕点逆时针方向旋转时，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) (4)当时，；当时， 【解析】（1）解：图1中，， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：平分时，， 设旋转角度为，， ， 解得， 即旋转角的度数为； （4）解：当时，，， ； 当时，，， ； 综上可知，当时，；当时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$