专题11 一元一次方程动点问题专题突破-2024-2025学年上学期七年级数学重难点复习（人教版新教材）

专题11 一元一次方程动点问题专题突破 例题．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足，点C对应的数为20． (1)求a，b的值； (2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； (3)若动点P、Q分别从A、B同时出发向右运动，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒．点Q运动到C点立刻原速返回，到达B点后停止运动．点P运动至C点处又以原速返回至A点，一直这样在之间做往返运动，当点Q停止运动后，点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离计算，非负数的性质： （1）根据非负数的性质可得，则； （2）设点P的运动时间为t秒，则点P表示的数为，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）设运动时间为x秒，先求出点P第一次到达点C需要8秒，点Q到达点C需要9秒，点P第一次返回A的时间为16秒，点Q返回B的时间为18秒；再分当点P没有到达点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，当点P第一次到达点C后，点Q未到点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，当点P第一次返回点A时，点Q未到点B时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，三种情况根据P、Q表示的数相同建立方程求解即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为2， 设点P的运动时间为t秒，则点P表示的数为， ∴， ∵点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴运动时间为秒或4秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； （3）解：设运动时间为x秒， 秒，秒， ∴点P第一次到达点C需要8秒，点Q到达点C需要9秒，点P第一次返回A的时间为16秒，点Q返回B的时间为18秒， 当点P没有到达点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得， ∴此时相遇点表示的数为； 当点P第一次到达点C后，点Q未到点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得， ∴此时相遇点表示的数为； 当点P第一次返回点A时，点Q未到点B时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得， ∴此时相遇点表示的数为； 综上所述，相遇点表示的数为2或14或． 【1-1】已知，点A，B分别在数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为20． (1)请写出点A，B之间的距离______； (2)现在有一只电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请你求出C点对应的数． 【答案】(1)30 (2)8 【解析】（1）解：A点对应的数为，B点对应的数为20． ∴A，B两点间的距离为， 故答案为∶30； （2）解：设运动时间为t秒， 根据题意得点Q表示的数是，点P表示的数是， ∴， 解得， ∴点C表示的数是． 【1-2】已知：有理数、、在数轴上的位置如图所示，且． (1)化简：； (2)若，，的相反数是，求、、的值； (3)在(2)的条件下，、、分别是、、点在数轴上所对应的数， ①数轴上是否存在一点，使得点到点的距离加上点到点的距离减去点到点的距离为，即？若存在，求出点在数轴上所对应的数；若不存在，请说明理由； ②点，分别以个单位秒和个单位秒的速度同时向右运动，点以个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)；； (3)①存在，点在数轴上所对应的数为或；②存在，的值为，定值为 【解析】（1）解：观察数轴，可知：，，， ，，， 原式． （2）解：，， ； ，， ； 的相反数是， ． （3）解：①设点表示的数为． 当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：舍去； 当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：舍去． 综上所述：数轴上存在一点，使得，点在数轴上所对应的数为或． ②当运动时间为秒时，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ，，， ． 为定值， ， ， ． 存在常数，使得为定值，的值为，定值为． 【1-3】阅读材料： 距离产生美！在数轴上，两点间的距离等于对应两数之差的绝对值.如：数轴上表示数1和5的两点间的距离为，例如数轴上表示数x和2的两点间的距离为.依据上述材料，解答下列问题：如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7． (1)填空：a的值为________，b的值为________，点A与点B的距离为________； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动：点N同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为秒． ①填空：点M表示的数是______，点N表示的数是________（均用含t的代数式表示）； ②若，求时间t的值． 【答案】(1)；；10 (2)①；；②或3 【解析】（1）解：∵O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7，点A在原点O的左边，点B在原点O的右边， ∴，； ∴之间的距离为10； （2）解：①点M表示的数为； 点N表示的数为； ②根据题意可得： 由（1）知且， ，得， 解得或3． 【1-4】根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)情境背景：在数轴上有A，B两点如图1所示． ①A点表示的数是__________；之间的距离是__________； ②将点B向右平移t个单位，此时该点表示的数是__________； (2)知识延伸：如图2，点A，B，M，N是数轴上的点，且． ①当点M与点B重合时，点N对应的数为28；当点N与点A重合时，点M对应的数为4，由此可得线段的长为__________； ②图2中点A所表示的数是__________，点B所表示的数是__________； (3)知识拓展：在（2）的条件下，点M从点A出发，线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动． ①求经过多长时间线段完全离开线段； ②点P是线段上一点，当点N在B点左侧时，若关系式成立，请直接写出此时线段的长：__________． 【答案】(1)①，5；    ② (2)①6；②10，22 (3)①经过6秒线段完全离开线段；②10 【解析】（1）解：①由数轴得：A点表示的数是，B点表示的数是3， ∴之间的距离是， 故答案为：；5； ②将点B向右平移t个单位，此时该点表示的数是， 故答案为：； （2）①∵，点M与点B重合时，点N对应的数为28， ∴，即点B到28的距离即为的距离， 当点N与点A重合时，点M对应的数为4，即4到A的距离即为的距离， ∴4到28的距离为：， ∴，即， 故答案为：6； ②∵4到A的距离即为的距离， ∴点A所表示的数是，点B所表示的数是， 故答案为：10；22； （3）①设运动时间为t秒， ∴点M表示的数为，点N表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为， 当点M表示的数等于点B表示的数时，完全离开， 即， 解得：， ∴经过6秒线段完全离开线段； ②∵点N在B左侧时， ∴，即时， ∴时，在之间， 设P表示的数为x， ∴，，， ∵， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：10． 一、单选题 1．如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】B 【解析】解：∵点表示的数为，， ∴， ∴点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，则点运动距离为，则点表示的数为，点运动的距离为，点表示的数为， ∴，， 根据题意得：时， 即， ∴或， 解得：或， 即经过秒或秒后，点到原点的距离相等． 故选：B． 2．如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 【答案】C 【解析】解：点表示的数为， ∴， ∵，则， ∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）， ∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）； 根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且 ∴， 解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且， ∴， 解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等， 故选：C ． 3．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】B 【解析】解：∵，， ，， ∴点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则， ，， 若时，                         ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故选：B． 4．如图，长方形中，．点Q为中点，点P从点B出发以每秒3个单位的速度沿的方向运动，当点P运动到点A时，点P停止运动．设点P运动的时间为t（秒），在整个运动过程中，当是面积为2的钝角三角形时，则此时t的值是（　　） A．或6 B． C． D．6 【答案】D 【解析】解：∵四边形为长方形，， ， ∵点Q为中点， ， ①当点P在边上运动时，始终为直角三角形，如图1所示： 故当点P在边上运动时，不存在钝角， ②当点P在边上运动时，，如图2所示： 故当点P在边上运动时，不存在面积为2的钝角 ， ③当点P在边上运动时，如图3所示： ， ， 即， ， ， ， ∵点P以每秒3个单位的速度运动， ∴，解得， 故选：D． 二、填空题 5．如图所示，点是数轴上的三个点，其中两点的距离为6，且两点表示的数互为相反数．若点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为秒，经过 秒后，M、N两点间的距离为15个单位长度． 【答案】21或 【解析】解：两点的距离为6，且两点表示的数互为相反数， ∴点B表示的数为2，点A表示的数为， ∴点表示的数为， 当点N向右运动时，点表示的数为， ∵M、N两点间的距离为15个单位长度， ∴， 解得：或（舍去）， 当点N向左运动时，点表示的数为， ∵M、N两点间的距离为15个单位长度， ∴， 解得，， 所以，经过21秒或秒后，M、N两点间的距离为15个单位长度． 故答案为：21或． 6．已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点；如果分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点对应的数为 ． 【答案】或 【解析】解：由题意得，点N表示的数为， 设点Q运动的时间为t秒， 当点P在点Q左边时，则， 解得， ∴点P表示的数为； 当点P在点Q右边时，则， 解得， ∴点P表示的数为； 综上所述，点P对应的数为或， 故答案为：或． 7．如图，已知点A在数轴上，点A表示的数为．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从原点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 【答案】或 【解析】解：设经过t秒，点M、点N分别到原点O的距离相等， ①点M、N在点O的两侧时，， 解得， ②点M、N重合时，， 解得， ∴经过或，点M、点N分别到原点O的距离相等， 故答案为：或． 8．如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点与点之间的距离记作，已知，比大16，则： （1）的值是 ． （2）若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒3个单位的速度从点出发，沿数轴向左运动，设运动时间是秒，当点与点之间的距离是8时，则的值为 ． 【答案】 16 6或2 【解析】解：（1）∵比大16， ∴， 故答案为：16； （2）根据题意，点B表示的数为，运动t秒后，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点与点之间的距离是8， ∴， ∴或， 解得或， 答：当点与点之间的距离是8时，t的值为6或2， 故答案为：6或2． 9．如图，已知，两点在数轴上，且点表示的数为． （1）若将这条数轴对折，折痕经过点，点刚好与表示的点重合，则点表示的数是 ． （2）在（1）的条件下，已知动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当点到点与点到点的距离之和是个单位长度时，运动的时间为 ． 【答案】 秒 【解析】解：（1）∵点表示的数为， ∴的点到点的距离为， ∴在点右侧的点表示的数是， （2）设点运动的时间为秒， 则点运动的路程为， ∵点表示的数为，点表示的数是， ∴点到点距离为 ∴点在点的右侧， ∴点到点的距离为，点到点的距离 ∴当点到点与点到点的距离之和是个单位长度时，可得：， 解得：秒 ∴点运动的时间为秒． 故答案为：，秒． 10．已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 【答案】 40 【解析】解：（1）M点对应的数是：； 故答案为：40； （2）A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90， ， 设t秒后P、Q相遇， ，解得， 此时点P走过的路程为， 此时C点表示的数为． 即：C点对应的数是． 故答案为：． 三、解答题 11．如图，点，，在数轴上，若将点向右移动12个单位长度可与点重合，将点向左移动8个单位长度可与点重合，点，表示的数互为相反数． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ． (2)数轴上，之间有一点，点到，，三点的距离之和为15，求点所表示的数． 【答案】(1)， (2)点所表示的数为或1 【解析】（1）解：点向右移动12个单位长度可与点重合，点，表示的数互为相反数， 点表示的数是，点表示的数是6， 点向左移动8个单位长度可与点重合， 点表示的数是， 故答案为：，； （2）设点所表示的数为， ①当在、之间时， ， 解得：， ②当在、之间时， ， 解得：， ③当在点上时，点到，，三点的距离之和为12，不合题意， 点所表示的数为或1． 12．如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)两点之间的距离为______； (2)当时，P、B两点之间的距离为______； (3)在运动过程中，线段、、中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)9 (3)是；当或3或或4或6时，线段、、中存在两条线段相等 【解析】（1）解：∵点A对应的数是，点B对应的数是10， ∴A、B两点之间的距离为：； （2）解：当时，点P表示的数为：， 点Q表示的数为：， ∴P、Q两点之间的距离为：； （3）解：在运动过程中，线段、、中存在两条线段相等，理由如下： 依题意得：，， 有以下几种情况： ①当且P与Q不重合时，如图所示 则有：， 解得：； ②当P与B重合时，即，如图所示． 则有：， 解得：； （3）当时，如图所示． 则有：， 解得：； ④当P与Q重合时，即， 则有：， 解得：； ⑤当时，如图所示： 则有：， 解得：； 综上所述，当或3或或4或6时，线段、、中存在两条线段相等． 13．若数轴上点A，B所表示的数分别是a，b，则A，B两点之间的距离可表示为两点所表示的数的差的绝对值，即AB或．已知点A，B在数轴上，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足． (1)求点A，B两点之间的距离； (2)如果点P，Q分别同时从点A，B出发，沿数轴相向运动，点P每秒走1个单位长度，点Q每秒走2个单位长度，经过几秒P，Q两点相遇？此时点P，Q对应的数是多少？ 【答案】(1)9 (2)经过3秒P，Q两点相遇，对应数是 【解析】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点，两点之间的距离； （2）解：设经过秒两点相遇， 根据题意得：， 解得：， 点对应的数：， 答：经过秒两点相遇，两点对应数是． 14．如图，已知点，点是直线上的两点，且，点和点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点、同时出发在直线上运动，运动时间为． 请回答下列问题： (1)若点向右运动，点向左运动，求为何值时、两点相遇？ (2)若点、均向右运动，求为何值时、两点相遇？ (3)若点、均向右运动，当、两点之间距离为时，求出的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【解析】（1）解：根据题意可得： ， 解得：， 答：时、两点相遇； （2）解：根据题意可得： ， 解得：， 答：时、两点相遇； （3）解：当、两点之间距离为时，有两种情况： 在的左边， 此时，、两点运动的路程差的长度减去， 即：， 解得：； 在的右边， 此时，、两点运动的路程差的长度加上， 即：， 解得：； 的值为或． 15．如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)数轴上点C表示的数为______，A、C两点的距离为______； (2)用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； (3)求运动t是多少时，P、Q两点相距20； (4)求运动t是多少时，． 【答案】(1)20，35(2)，(3)3或11(4)14或 【解析】（1）解：，，， ，， 点A在点O的左侧，点C在点O的右侧， 点A表示的数为，点C表示的数为20， A、C两点的距离为， 故答案为：，35； （2）解：由点P，点Q的初始位置，以及它们的运动方向和速度，可知： t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为：，； （3））解：点P表示的数为，点Q表示的数为， ， 或， 或， 即运动t是3或11时，P、Q两点相距； （4）解：当点P在点左侧时， ， 解得； 当点P在点右侧时， ， 解得； 即运动t是14或，． 16．，，三点在数轴上的相对位置如图所示，已知点，之间的距离为，点，之间的距离为，且，满足，动点从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动． (1)若以点为数轴原点，求，两点对应的有理数； (2)若以点为数轴原点，设运动时间为秒； ①用含的式子分别表示，两点所对应的有理数； ②数轴上一点到原点的距离是，当点到，两点的距离相等时，求此时，两点间的距离． 【答案】(1)点对应的有理数为，点对应的有理数为 (2)①点对应的有理数为，点对应的有理数为；②当，点到，两点的距离相等时 ，两点间的距离为或．当，点到，两点的距离相等时 ，两点间的距离为． 【解析】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴， 设点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∵点为数轴原点，即点对应的有理数为， ∴，， ∴，， ∴点对应的有理数为，点对应的有理数为； （2）①∵以点为数轴原点， ∴点对应的有理数为，点对应的有理数为， 设点对应的有理数为，点对应的有理数为， ∵动点从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，运动时间为秒， ∴，， ∴，， ∴点对应的有理数为，点对应的有理数为； ②设点对应的有理数为， ∵点到原点的距离是， ∴或， ∵点到，两点的距离相等， ∴， ∴或， ∴或， ①当时，或， ∴或 ∴当时，点对应的有理数为，点对应的有理数为， 此时，两点间的距离为：； 当时，点对应的有理数为，点对应的有理数为， 此时，两点间的距离为：0； ②当时，或， ∴（负值不符合题意，舍去）或 当时，点对应的有理数为，点对应的有理数为， 此时，两点间的距离为：0； 综上所述，当，点到，两点的距离相等时 ，两点间的距离为或．当，点到，两点的距离相等时 ，两点间的距离为． 17．我们约定：在数轴上，对于不重合的三点，，，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们就把点叫做的“智慧点”．例如：如图，点表示的数为，点表示的数是3，表示数2的点到的距离是3，到点的距离是1，那么是的“智慧点”；表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是3，那么点是的“智慧点”． 如图，已知数轴上点表示的数是，点表示的数是4． (1)判断下列各点是否是的“智慧点”（填“是”或“不是”）； ①点表示的数是    （   ） ②点表示的数是2（   ） ③点表示的数是8（   ） (2)若点是的“智慧点”，求点表示的数； (3)现有一点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动．问点运动多少秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”？ 【答案】(1)①不是；②是；③是 (2)点表示的数或 (3)点运动或或或或秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点” 【解析】（1）解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数是，则，，故点不是的“智慧点”； ②点表示的数是2，则，，故点是的“智慧点”； ③点表示的数是8，则，，故点是的“智慧点”； （2）解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∵点是的“智慧点”， ∴当点在点、之间时，点到的距离是到点的距离的3倍，故此时点表示的数为：， 当点在点的左侧时，点到的距离是到点的距离的3倍， 设此时点表示的数为，则， 解得：，故此时点表示的数为， 综上所述，点表示的数或； （3）解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ∴， 设点运动秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”，则点表示的数为， 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的3倍， 故此时点到点的距离， ∵在的左侧， ∴点与点的距离为：， ∴（秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的3倍， 故此时点到点的距离， ∵在的左侧， ∴点与点的距离为：，， ∴或（秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的3倍， 故此时点到点的距离， ∴（秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的3倍， 故此时点到点的距离， ∴（秒）； 综上所述，点运动或或或或秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”． 18．数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，，两条动线段和，，，如图，线段以每秒1个单位的速度从点开始一直向右匀速运动，线段同时以每秒2个单位的速度从点开始向右匀速运动，当点运动到时，线段立即以相同的速度返回，当点运动到点时，线段，立即同时停止运动，设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变，且点总在点的左边，点总在点的左边） (1)当时，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)当为何值时，点和点重合？ (3)在整个运动过程中，线段和重合部分长度能否为1，若能，请求出此时点表示的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当或时，点和点重合 (3)能，点表示的数为：、、或 【解析】（1）解：当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为； 故答案为：，； （2）解：①追及时，到达点的时间为（秒） 依题意得：， 解得：，符合题意 ②返回后相遇，依题意得：，即：， 解得：，符合题意； 答：当或时，点和点重合； （3）解：①追及时点超过点一个单位长度：， 解得，此时点表示的数为：； ②追及时点超过点一个单位长度：， 解得：，此时点表示的数为：； ③返回后相遇时点离点一个单位长度：， 即：， 解得：， 此时点表示的数为： ④返回后相遇时点离点一个单位长度：， 即：， 解得：， 此时点表示的数为： 综上：点表示的数为：、、或． 19．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点表示的数分别为、，则A，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒（）． 【综合运用】 (1)填空： ①A、两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①12，2；②， (2)当t为或时， (3)线段的长不发生变化，，理由见详解 【解析】（1）解：①由题意得：，C表示的数为：， 故答案为：12，2； ②t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， ， 解得：或， 答：当t为或时，； （3）解：线段的长度不发生变化， 理由：M表示的数为：， N表示的数为：， ， 所以线段的长度不发生变化． 20．，如图1，点与点到原点的距离相等，、、分别表示、、三点在数轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点和点处各弯折一次，使与处于水平位置、动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复为原来的速度，若、同时出发，设运动时间为． (1)_____，_____，_____； (2)当、两点相遇时，求运动时间的值； (3)在运动过程中，是否存在，使动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当、两点相遇时，运动时间的值为 (3)存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或 【解析】（1）解：∵，， ∴， 解得，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点与点到原点的距离相等， ∴点表示的数为，即， 故答案为：； （2）解：动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，设运动时间为， 由（1）可知，当在点表示的数为，点表示的数为， ∴点从的时间为，从的时间为，从的时间为， 点从的时间为，从的时间为，从的时间为， ∴当时，点在上，点在上，不能相遇，不符合题意； 当时，点走的路程为， 点走的路程为， 当、两点相遇时，， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，， 解得，； ∴当、两点相遇时，运动时间的值为； （3）解：存在，理由如下， 第一种情况：点在上，点在上时， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 第二种情况：点、在上， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 第三种情况：点在上，点在上时， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 综上所述，存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 一元一次方程动点问题专题突破 例题．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a，b，且a，b满足，点C对应的数为20． (1)求a，b的值； (2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； (3)若动点P、Q分别从A、B同时出发向右运动，点P的速度为3个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒．点Q运动到C点立刻原速返回，到达B点后停止运动．点P运动至C点处又以原速返回至A点，一直这样在之间做往返运动，当点Q停止运动后，点P随之停止运动．求在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离计算，非负数的性质： （1）根据非负数的性质可得，则； （2）设点P的运动时间为t秒，则点P表示的数为，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）设运动时间为x秒，先求出点P第一次到达点C需要8秒，点Q到达点C需要9秒，点P第一次返回A的时间为16秒，点Q返回B的时间为18秒；再分当点P没有到达点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，当点P第一次到达点C后，点Q未到点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，当点P第一次返回点A时，点Q未到点B时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，三种情况根据P、Q表示的数相同建立方程求解即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得点A表示的数为，点B表示的数为2， 设点P的运动时间为t秒，则点P表示的数为， ∴， ∵点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴运动时间为秒或4秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的2倍； （3）解：设运动时间为x秒， 秒，秒， ∴点P第一次到达点C需要8秒，点Q到达点C需要9秒，点P第一次返回A的时间为16秒，点Q返回B的时间为18秒， 当点P没有到达点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得， ∴此时相遇点表示的数为； 当点P第一次到达点C后，点Q未到点C时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得， ∴此时相遇点表示的数为； 当点P第一次返回点A时，点Q未到点B时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得， ∴此时相遇点表示的数为； 综上所述，相遇点表示的数为2或14或． 【1-1】已知，点A，B分别在数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为20． (1)请写出点A，B之间的距离______； (2)现在有一只电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，请你求出C点对应的数． 【1-2】已知：有理数、、在数轴上的位置如图所示，且． (1)化简：； (2)若，，的相反数是，求、、的值； (3)在(2)的条件下，、、分别是、、点在数轴上所对应的数， ①数轴上是否存在一点，使得点到点的距离加上点到点的距离减去点到点的距离为，即？若存在，求出点在数轴上所对应的数；若不存在，请说明理由； ②点，分别以个单位秒和个单位秒的速度同时向右运动，点以个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【1-3】阅读材料： 距离产生美！在数轴上，两点间的距离等于对应两数之差的绝对值.如：数轴上表示数1和5的两点间的距离为，例如数轴上表示数x和2的两点间的距离为.依据上述材料，解答下列问题：如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，O为原点，点A与点O的距离为3，点B与点O的距离为7． (1)填空：a的值为________，b的值为________，点A与点B的距离为________； (2)若点M，N为数轴上两个动点，点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动：点N同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为秒． ①填空：点M表示的数是______，点N表示的数是________（均用含t的代数式表示）； ②若，求时间t的值． 【1-4】根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)情境背景：在数轴上有A，B两点如图1所示． ①A点表示的数是__________；之间的距离是__________； ②将点B向右平移t个单位，此时该点表示的数是__________； (2)知识延伸：如图2，点A，B，M，N是数轴上的点，且． ①当点M与点B重合时，点N对应的数为28；当点N与点A重合时，点M对应的数为4，由此可得线段的长为__________； ②图2中点A所表示的数是__________，点B所表示的数是__________； (3)知识拓展：在（2）的条件下，点M从点A出发，线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动． ①求经过多长时间线段完全离开线段； ②点P是线段上一点，当点N在B点左侧时，若关系式成立，请直接写出此时线段的长：__________． 一、单选题 1．如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 2．如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（　　） A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒 3．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 4．如图，长方形中，．点Q为中点，点P从点B出发以每秒3个单位的速度沿的方向运动，当点P运动到点A时，点P停止运动．设点P运动的时间为t（秒），在整个运动过程中，当是面积为2的钝角三角形时，则此时t的值是（　　） A．或6 B． C． D．6 二、填空题 5．如图所示，点是数轴上的三个点，其中两点的距离为6，且两点表示的数互为相反数．若点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为秒，经过 秒后，M、N两点间的距离为15个单位长度． 6．已知在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点是数轴上两个动点；如果分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点每秒走3个单位长度，当、两点相距2个单位长度时，点对应的数为 ． 7．如图，已知点A在数轴上，点A表示的数为．点M以每秒4个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒1个单位长度的速度从原点O向右运动，且点M，点N同时出发，经过 秒，点M、点N分别到原点O的距离相等． 8．如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点与点之间的距离记作，已知，比大16，则： （1）的值是 ． （2）若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒3个单位的速度从点出发，沿数轴向左运动，设运动时间是秒，当点与点之间的距离是8时，则的值为 ． 9．如图，已知，两点在数轴上，且点表示的数为． （1）若将这条数轴对折，折痕经过点，点刚好与表示的点重合，则点表示的数是 ． （2）在（1）的条件下，已知动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当点到点与点到点的距离之和是个单位长度时，运动的时间为 ． 10．已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为90． （1）与A、B两点距离相等的M点对应的数是 ； （2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，则C点对应的数是 ； 三、解答题 11．如图，点，，在数轴上，若将点向右移动12个单位长度可与点重合，将点向左移动8个单位长度可与点重合，点，表示的数互为相反数． (1)点表示的数为 ，点表示的数为 ． (2)数轴上，之间有一点，点到，，三点的距离之和为15，求点所表示的数． 12．如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数是10．现有点P从点A出发，以4个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒． (1)两点之间的距离为______； (2)当时，P、B两点之间的距离为______； (3)在运动过程中，线段、、中是否会有两条线段相等？若有，请求出此时t的值；若没有，请说明理由． 13．若数轴上点A，B所表示的数分别是a，b，则A，B两点之间的距离可表示为两点所表示的数的差的绝对值，即AB或．已知点A，B在数轴上，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足． (1)求点A，B两点之间的距离； (2)如果点P，Q分别同时从点A，B出发，沿数轴相向运动，点P每秒走1个单位长度，点Q每秒走2个单位长度，经过几秒P，Q两点相遇？此时点P，Q对应的数是多少？ 14．如图，已知点，点是直线上的两点，且，点和点是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点、分别从点、同时出发在直线上运动，运动时间为． 请回答下列问题： (1)若点向右运动，点向左运动，求为何值时、两点相遇？ (2)若点、均向右运动，求为何值时、两点相遇？ (3)若点、均向右运动，当、两点之间距离为时，求出的值． 15．如图，A、B、C是数轴上的三点，O是原点，，，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒． (1)数轴上点C表示的数为______，A、C两点的距离为______； (2)用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为______，点Q表示的数为______； (3)求运动t是多少时，P、Q两点相距20； (4)求运动t是多少时，． 16．，，三点在数轴上的相对位置如图所示，已知点，之间的距离为，点，之间的距离为，且，满足，动点从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动． (1)若以点为数轴原点，求，两点对应的有理数； (2)若以点为数轴原点，设运动时间为秒； ①用含的式子分别表示，两点所对应的有理数； ②数轴上一点到原点的距离是，当点到，两点的距离相等时，求此时，两点间的距离． 17．我们约定：在数轴上，对于不重合的三点，，，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们就把点叫做的“智慧点”．例如：如图，点表示的数为，点表示的数是3，表示数2的点到的距离是3，到点的距离是1，那么是的“智慧点”；表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是3，那么点是的“智慧点”． 如图，已知数轴上点表示的数是，点表示的数是4． (1)判断下列各点是否是的“智慧点”（填“是”或“不是”）； ①点表示的数是    （   ） ②点表示的数是2（   ） ③点表示的数是8（   ） (2)若点是的“智慧点”，求点表示的数； (3)现有一点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动．问点运动多少秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”？ 18．数轴上有，，三个点，分别表示有理数，，，两条动线段和，，，如图，线段以每秒1个单位的速度从点开始一直向右匀速运动，线段同时以每秒2个单位的速度从点开始向右匀速运动，当点运动到时，线段立即以相同的速度返回，当点运动到点时，线段，立即同时停止运动，设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变，且点总在点的左边，点总在点的左边） (1)当时，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)当为何值时，点和点重合？ (3)在整个运动过程中，线段和重合部分长度能否为1，若能，请求出此时点表示的数；若不能，请说明理由． 19．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点表示的数分别为、，则A，两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒（）． 【综合运用】 (1)填空： ①A、两点间的距离______，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为______；点表示的数为______； (2)求当为何值时，； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 20．，如图1，点与点到原点的距离相等，、、分别表示、、三点在数轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点和点处各弯折一次，使与处于水平位置、动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复为原来的速度，若、同时出发，设运动时间为． (1)_____，_____，_____； (2)当、两点相遇时，求运动时间的值； (3)在运动过程中，是否存在，使动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$