专题08 一元一次方程-2024-2025学年上学期七年级数学重难点复习（人教版新教材）

专题08一元一次方程 题型一 判断各式是否是方程 例1．在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 【分析】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 根据含有未知数的等式叫方程，可得答案． 【解析】解：∵①，是等式但不含未知数，故不是方程； ∵②③，含有未知数的等式，故是方程； ④，含有未知数但不是等式，故不是方程， 故答案为：②③． 【1-1】给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（  ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解析】解：根据方程的定义可得①③④⑤⑥是方程； ②是不等式，不是方程； 故有5个式子是方程． 故选：C． 【1-2】下列四个式子中，是方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、不含未知数，不是方程，故此选项不符合题意； B、是方程，故此选项符合题意； C、不是等式，故此选项不符合题意； D、不是等式，故此选项不符合题意． 故选：B． 【1-3】下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：，，，这3个式子即是等式又含有未知数，都是方程． 不是等式，因而不是方程． （a，b为已知数）不含未知数，所以不是方程． 故有3个式子是方程． 故选：C． 【1-4】下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【解析】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 题型二 方程解的含义 例2．若关于x的方程的解是，则代数式的值为 ． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可得到答案． 【解析】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【2-1】关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【解析】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴，即， ∴． 故选A． 【2-2】若a是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2023 【解析】解：∵a是方程的解， ∴即， ∴ ， 故答案为：2023． 【2-3】代数式中，当x取值分别为，0，1，2时，对应代数式的值如下表： x 0 1 2 kx＋b 1 3 5 则 ． 【答案】3 【解析】解：∵当时，， ∴， 故答案为：． 【2-4】已知关于的一元一次方程的解为，则 ． 【答案】 【解析】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：． 题型三 一元一次方程的定义 例3．已知是关于的一元一次方程，则 ． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，根据一元一次方程的一般形式可得且，求解即可，掌握一元一次方程的一般形式是解题的关键． 【解析】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 【3-1】下列方程是一元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； D、，是一元一次方程，符合题意； 故选：D． 【3-2】下列方程中，是一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：． ，未知数的次数为2，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； ．，含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； ．，是一元一次方程，故该选项符合题意； ．不是等式，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 【3-3】若方程是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【解析】解：由于方程是关于的一元一次方程， 所以， 解得：； 故答案为：． 【3-4】已知是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】 【解析】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 题型四 等式的基本性质 例4．下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【分析】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可． 【解析】解：∵， ∴，符合等式性质1，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故④符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 【4-1】下列运用等式性质变形一定正确的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】解：A、若，则，原式变形不一定正确，不符合题意； B、若，则，原式变形不一定正确，不符合题意； C、若，则，原式变形一定正确，符合题意； D、若，则，原式变形不一定正确，不符合题意； 故选：C． 【4-2】下列利用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．由，得 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【解析】解：A、如果，那么等式两边同时加1可得，原变形错误，不符合题意； B、如果，那么等式两边同时除以可得，原变形错误，不符合题意； C、如果，那么等式两边同时加可得，原变形正确，符合题意； D、如果，那么等式两边同时除以可得，原变形错误，不符合题意； 故选：C． 【4-3】若，，则（　　） A．3 B．8 C．13 D．无法确定 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【4-4】已知，则 ． 【答案】8096 【解析】解：∵， ∴等式两边同时除以得， ∴， 故答案为：． 题型五 同解问题 例5．如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 【分析】本题主要考查的是同解方程，理解同解方程的概念是解题的关键． 先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可． 【解析】解：解方程得：， 将代入得：， 解得： ， ∴． 【5-1】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 方程的解， 即为的解， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 【5-2】已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【解析】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于的一元一次方程的解为， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为． 故答案为：． 【5-3】已知与是关于的方程且有相同的解，求的值． 【答案】 【解析】解：， ， ， ∵与是关于y的方程且有相同的解， ∴把代入方程得：， 解得：． 【5-4】已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 【答案】 【解析】解：， 移项合并得：， 解得：， 关于x的方程与有相同的解， 将代入方程，可得， 解得：， 将代入，可得， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化1得： 题型六 一元一次方程中的参数问题 例6．已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的整数解．先求解方程，解得，再根据x为整数，且k是整数，即可求出所有k值的和． 【解析】解：解方程得：， ∵x为整数，且k是整数， ∴k的值为0或1或3或， ∴所有k值的和为， 故答案为：2． 【6-1】k为整数，当 时，方程有正整数解． 【答案】8或 【解析】解：∵， ∴， 当时，无解； 当时，，不合题意； 当时， ， ∵方程有正整数解． 故或， 当或时，或1． 故答案为：8或． 【6-2】如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：由题意，∵无解， ， ， 故答案为：． 【6-3】已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】m的值为0 【解析】解：， 解得：， ∵方程的解为与方程的解互为相反数， ∴方程的解为， 把代入方程，得： ， 解得：． 故m的值为0． 【6-4】当为何值时，关于的方程的解比关于的方程的解大6． 【答案】 【解析】解方程的解是：； 方程的解是：， 依题意，得， 解得，． 题型七 一元一次方程的综合应用 例7．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【分析】本题考查有关解一元一次方程、一元一次方程的解，解题的关键是知道解一元一次方程的方法． （1）根据关于的方程与方程是“兄弟方程”，先求出方程的解为，再代入中求解； （2）根据“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为，利用两个解的差为，列出方程求解． 【解析】（1）解： 解方程， 得 ∵关于的方程与方程是“兄弟方程”， ∴方程的解为， ∴， ， ∴． （2）解：因为“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为． ∵两个解的差为， ∴或， ∴，． 【7-1】已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1)(2)(3)(4)；(5) 【解析】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 【7-2】如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”． (1)若方程是方程的“稻香方程”，则 ； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”，求n的值； (3)当时，如果关于x方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值． 【答案】(1)2(2)(3) 【解析】（1）解：， ∴， ∴， 又， ∴， ∵方程是方程的“稻香方程”， ∴． 故答案为：2； （2）解：解关于x方程，得， 解关于x的方程，得， 关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”， ∴． 整理得， 又， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴关于x方程的解是，关于x方程的解是， ∵关于x方程是方程的“稻香方程”， ∴， ∴， ∴ ． 【7-3】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“统一方程”．例如，方程的解为，方程的解为，，所以方程与方程互为“统一方程”． (1)方程与方程互为“统一方程”吗？请说明理由； (2)若关于x方程与方程互为“统一方程”，求n的值． 【答案】(1)是，理由见解析． (2)． 【解析】（1）解：方程与方程是“统一方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得， ， 方程与方程是“统一方程”． （2）解：由，解得； 由，解得； 关于方程与是“统一方程”， ， 解得． 【7-4】解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 【答案】(1)是(2)(3) 【解析】（1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； （3）解： ， 方程是巧合方程， ，即， 解得：； 解得：， 方程是巧合方程， ， ， ， ， 解得：， ． 一、单选题 1．下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 【答案】D 【分析】本题考查了方程的定义和方程的解，熟练掌握方程的定义是解题的关键； 根据方程的概念：含有未知数的等式．所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式；方程的解，据此判断即可． 【解析】A．方程的解是，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； B．，含有未知数，但不是等式，因此不是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； C．等式不一定含有未知数，只有含有未知数的等式才是方程，该选项的说法是错误的，故选项不符合题意； D．方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式，因此方程一定是等式，该选项的说法是正确的，故选项符合题意． 故选：D． 2．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 【答案】B 【分析】设人数为x，然后根据等量关系“每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱”即可列出方程． 【解析】解：设人数为x， 根据题意可得：． 故选B． 3．已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解，代数式求值，把代入方程可得，再代入代数式计算即可求解，掌握方程解的定义是解题的关键． 【解析】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程叫做一元一次方程即可判断求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【解析】解：、方程含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元一次方程，该选项符合题意； 、方程中未知数的最高次数是，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程的右边不是整式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 5．下列各等式中变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质判断即可．性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【解析】解：A．如果，那么两边同时加得，故本选项不符合题意； B．如果，那么两边同时乘得，故本选项不符合题意； C．如果，那么两边同时乘得，故本选项不符合题意； D．如果，那么两边同时减得，故本选项符合题意． 故选：D． 6．下列解方程去分母正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程——去分母．正确的去分母是解题的关键．根据解一元一次方程——去分母，对各选项进行判断作答即可． 【解析】解：A. 由，得，原计算错误； B. 由，得，原计算错误； C. 由，得，原计算错误； D. 由，得，计算正确； 故选：D． 7．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是3，则输出的值为1．若输出的值为3，则输入的值是（     ） A． B． C．7或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了程序框图的含义，一元一次方程的应用，正确理解程序是解题的关键．根据输入x的值是3，则输出y的值为1，得到，求得b，具体化后，分别令式子值为3，求得x的值，符合范围的就是所求． 【解析】解：∵输入x的值是3，则输出y的值为1， ∴， 解得， ∴当时，；当时，； 当时，解得，符合题意； 当时，解得，不符合题意； 故选：A． 8．小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（  ） A．第11个 B．第12个 C．第13个 D．第14个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减运算及解一元一次方程，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键．先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定写出的运算符号是第12个． 【解析】解： ， 运算结果比小， “”错写成“”， 设写错符号的数是， ， 解得， 写错的运算符号第12个， 故选：B 9．设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程的解，根据新定义得到关于m的方程是解题的关键．利用题中的新定义化简，然后解一元一次方程即可求出m的值． 【解析】解：根据题意得：， 即， 解得：， 故选：D． 10．已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（    ） ①若，则；②若的值与的值无关，则；③若，则；④若关于的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程，解绝对值方程，非负整数的概念． 代入多项式列方程求解即可判断①；先代入多项式化简，再利用结果与x的值无关得到、的值，即可判断②；代入多项式列绝对值方程求解即可判断③；代入多项式，得到，根据题意得到符合条件的非负整数m值，即可判断④． 【解析】解：，， ①， ， ， 或，①错误； ② ， 的值与x的值无关， 的值与x的值无关， ，， ，， ，②正确； ③ ，， 当时，， 当时，， 当时，， 若，即， 当时，满足条件，③正确； ④， ， ， 若关于x的方程的解为整数，则符合条件的非负整数m有1、2、3，共3个，④正确， 故结论中正确的是②③④， 故选：C． 二、填空题 11．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查方程解的定义，熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 【解析】解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论k为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 12．方程从到变形的依据是 ． 【答案】等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立. ． 根据等式的基本性质即可解答. 【解析】解：∵方程的两边同时减去，再同时减去，即可得到， ∴依据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 13．将9个数填入(三行三列)的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方．如图，一个三阶幻方如下，若，，，，则整式 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，等式得性质，根据题意可得，从而得到，整体代入求解即可． 【解析】解：依题意得：， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， 故答案为：． 14．某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘，因而求得方程的解为．则的值为 ，原方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． 方程右边的项没有乘，则所得的式子是：，再把代入即可得到一个关于的方程，求得的值，然后把的值代入中，最后解方程即可． 【解析】解：方程右边的项没有乘，则所得的式子是：， 把代入方程，得， 解得：， 方程为， 去分母，得， 解得：， 故答案为：，． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)； (3) 【解析】（1）解： 去括号得： ， 移项，合并同类项得： ， 解得：； （2）解：， 去括号得： ， ， 移项，合并同类项得： ， 解得：； （3）解： 变形为： ， 去分母得： ， 移项，合并同类项得： ， 解得：． 16．如果是关于的一元一次方程，试求，的值． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，解含绝对值的方程，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可得出，，再求解即可． 【解析】解：是关于的一元一次方程， ，， 解得：，或． 17．（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）求出第二个方程的解，根据两方程解互为相反数求出第一个方程的解，即可求出m的值； （2）分别求两个方程的解，根据已知可列出关于m的方程，可求出m的值． 【解析】解：（1）方程， 解得：， 把代入得：， 解得：； （2）， 移项得：， 系数化为一得：x， ， 移项得：， 系数化为一得：， ∴， 解得：m． 18．已知关于的多项式是二次二项式．求： (1)的值． (2)代数式的值． 【分析】（1）利用已知条件二次二项式即可得出一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）把代入代数式，可发现相邻两项之和均为，因此得解． 【解析】（1）解：关于的多项式是二次二项式， ， 解得：； （2）解：把代入代数式，得： ． 19．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 【分析】此题考查含绝对值的一元一次方程，掌握绝对值的意义是解决问题的关键． （1）分两种情况：，探讨得出答案即可； （2）由题意可知：①无解；②只有一个解；③有两个解，分别求得答案即可． 【解析】（1）解：， 当时，此方程不成立； 当时，原方程化为，解得：，不合题意， 所以此方程无解； （2）解：， ①方程无解，则，所以； ②方程只有一个解，则，所以； ③方程有两个解，则，所以． 20．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程 差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则 ． （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解题的关键是读懂题意，理解差解方程的概念并根据概念列出方程． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）根据差解方程的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）根据差解方程的定义即可得出关于a、b的二元二次方程，整理即可得出； （4）根据差解方程的概念列式得到关于m、n的两个方程，联立求解得到m、n的关系，得出，，然后代入代数式进行计算即可求解． 【解析】解：（1）∵方程的解为， ∴方程是差解方程． 故答案为：是； （2）由题意可知，由一元一次方程可知， ∴， 解得； （3）∵方程是“差解方程”， ∴， 解方程，得， ∴， ∴，即． 故答案为：16； （4）∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴， 整理得， ∵一元一次方程是“差解方程”， ∴， 解方程一元一次方程得 ∴， 整理得， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08一元一次方程 题型一 判断各式是否是方程 例1．在 ①，②，③，④中，方程有 （填序号）． 【分析】本题考查了方程，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 根据含有未知数的等式叫方程，可得答案． 【解析】解：∵①，是等式但不含未知数，故不是方程； ∵②③，含有未知数的等式，故是方程； ④，含有未知数但不是等式，故不是方程， 故答案为：②③． 【1-1】给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（  ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【1-2】下列四个式子中，是方程的是（  ） A． B． C． D． 【1-3】下列各式，，（a，b为已知数），，中，方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【1-4】下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 题型二 方程解的含义 例2．若关于x的方程的解是，则代数式的值为 ． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可得到答案． 【解析】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【2-1】关于x的一元二次方程的一个解是，则（    ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【2-2】若a是方程的解，则代数式的值为 ． 【2-3】代数式中，当x取值分别为，0，1，2时，对应代数式的值如下表： x 0 1 2 kx＋b 1 3 5 则 ． 【2-4】已知关于的一元一次方程的解为，则 ． 题型三 一元一次方程的定义 例3．已知是关于的一元一次方程，则 ． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，根据一元一次方程的一般形式可得且，求解即可，掌握一元一次方程的一般形式是解题的关键． 【解析】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 【3-1】下列方程是一元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 【3-2】下列方程中，是一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【3-3】若方程是关于的一元一次方程，则 ． 【3-4】已知是关于x的一元一次方程，则 ． 题型四 等式的基本性质 例4．下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确的是 （填序号）． 【分析】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可． 【解析】解：∵， ∴，符合等式性质1，故①符合题意； ∵，， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③不符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故④符合题意； ∵， ∴，符合等式性质2，故⑤符合题意； 故答案为：①④⑤． 【4-1】下列运用等式性质变形一定正确的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【4-2】下列利用等式的基本性质变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．由，得 C．如果，那么 D．如果，那么 【4-3】若，，则（　　） A．3 B．8 C．13 D．无法确定 【4-4】已知，则 ． 题型五 同解问题 例5．如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 【分析】本题主要考查的是同解方程，理解同解方程的概念是解题的关键． 先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可． 【解析】解：解方程得：， 将代入得：， 解得： ， ∴． 【5-1】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【5-2】已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为 ． 【5-3】已知与是关于的方程且有相同的解，求的值． 【5-4】已知：关于x的方程与有相同的解，求以y为未知数的方程的解． 题型六 一元一次方程中的参数问题 例6．已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的整数解．先求解方程，解得，再根据x为整数，且k是整数，即可求出所有k值的和． 【解析】解：解方程得：， ∵x为整数，且k是整数， ∴k的值为0或1或3或， ∴所有k值的和为， 故答案为：2． 【6-1】k为整数，当 时，方程有正整数解． 【6-2】如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是 ． 【6-3】已知关于x的方程，若该方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【6-4】当为何值时，关于的方程的解比关于的方程的解大6． 题型七 一元一次方程的综合应用 例7．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值； (2)若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【分析】本题考查有关解一元一次方程、一元一次方程的解，解题的关键是知道解一元一次方程的方法． （1）根据关于的方程与方程是“兄弟方程”，先求出方程的解为，再代入中求解； （2）根据“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为，利用两个解的差为，列出方程求解． 【解析】（1）解： 解方程， 得 ∵关于的方程与方程是“兄弟方程”， ∴方程的解为， ∴， ， ∴． （2）解：因为“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为． ∵两个解的差为， ∴或， ∴，． 【7-1】已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【7-2】如果两个方程的解相差a，a为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“稻香方程”，例如：方程是方程的“稻香方程”． (1)若方程是方程的“稻香方程”，则 ； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“稻香方程”，求n的值； (3)当时，如果关于x方程是方程的“稻香方程”，求代数式的值． 【7-3】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“统一方程”．例如，方程的解为，方程的解为，，所以方程与方程互为“统一方程”． (1)方程与方程互为“统一方程”吗？请说明理由； (2)若关于x方程与方程互为“统一方程”，求n的值． 【7-4】解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 一、单选题 1．下面说法正确的是（ ）． A．方程的解是5 B．是方程 C．等式一定是方程 D．方程一定是等式 2．《儿童算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱，问人数是多少？ 若设人数为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D．8x+4=7x-3 3．已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．下列各等式中变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 6．下列解方程去分母正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 7．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是3，则输出的值为1．若输出的值为3，则输入的值是（     ） A． B． C．7或 D．或 8．小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（  ） A．第11个 B．第12个 C．第13个 D．第14个 9．设为任意两个有理数，规定，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知两个多项式，，以下结论中正确的个数有（    ） ①若，则；②若的值与的值无关，则；③若，则；④若关于的方程的解为整数，则符合条件的非负整数有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是1，则 ． 12．方程从到变形的依据是 ． 13．将9个数填入(三行三列)的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方．如图，一个三阶幻方如下，若，，，，则整式 ． 14．某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘，因而求得方程的解为．则的值为 ，原方程的解为 ． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)； (3) 16．如果是关于的一元一次方程，试求，的值． 17．（1）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． （2）已知关于x的方程的解比关于x的方程的解大2，求m的值． 18．已知关于的多项式是二次二项式．求： (1)的值． (2)代数式的值． 19．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2） 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得； 当时，原方程可化为：，解得． 所以原方程的解是，． (1)解方程：； (2)探究：当为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解． 20．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程是“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程 差解方程；（填“是”或“不是”） （2）若关于x的一元一次方程是“差解方程”，求m的值； 【知识应用】 （3）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，则 ． （4）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$