2024-2025学年七年级数学上册第四章 一元一次方程 单元检测(2024新苏科版）A卷

2024-2025学年七年级上学期 第四章 一元一次方程 单元检测A卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 2．是下列方程（   ）的解． A． B． C． D． 3．已知关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 4．下列运用等式性质变形一定正确的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．把方程去分母后，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 6．关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值是（ ） A．0.6 B．1 C．－1 D．2 7．把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 8．小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，那么原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 9．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是3，则输出的值为1．若输出的值为3，则输入的值是（     ） A． B． C．7或 D．或 10．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．若是方程的解，则的值为 ． 12．已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ． 13．已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 14．已知是关于的一元一次方程，则 ． 15．已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是 ． 16．对于两个非零有理数a、b， 规定，若， 则 ． 17．某商家将某种服装按成本价加价作为标价，又以八折（即按标价的）优惠卖出，结果每件服装仍可获利元，则这件服装的实际售价是 元． 18．如图所示，点是数轴上的三个点，其中两点的距离为6，且两点表示的数互为相反数．若点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为秒，经过 秒后，M、N两点间的距离为15个单位长度． 19．已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 20．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 21．（本题6分）解下列方程： (1) (2) 22．（本题6分）解下列方程： (1) (2)． 23．（本题6分）如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 24．（本题6分）已知，． (1)计算； (2)若和时，（1）中式子的值相等，试求的值． 25．（本题8分）老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观．老师骑摩托车速度为25千米/小时，这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．如果学生步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆． 26．（本题10分）我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程． (1)方程和 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”） (2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值； (3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解． 27．（本题8分）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求m的值？ 28．（本题10分）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上两点之间的距离为7，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； (2)如图2，点A、表示的数分别是、4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点A距离的3倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图2，若将此纸条沿A、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级上学期 第四章 一元一次方程 单元检测A卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。 【详解】解：①符合方程的定义，故本小题正确； ②不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③不是等式，故本小题错误； ④符合方程的定义，故本小题正确； ⑤不是等式，故本小题错误； ⑥不是等式，故本小题错误． ⑦符合方程的定义，故本小题正确； ⑧ 符合方程的定义，故本小题正确． 故选C． 2．是下列方程（   ）的解． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，将分别代入四个选项，能使得方程左边等于右边即为方程的解． 【详解】解：把代入， A、左边，右边，因此不是的解，故不符合题意； B、左边，右边，因此是的解，故符合题意； C、左边，右边，因此不是的解，故不符合题意； D、左边，右边，因此不是的解，故不符合题意； 故选：B． 3．已知关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．先根据方程的解定义可得，从而可得，再进一步即可得答案． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．下列运用等式性质变形一定正确的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或式子，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式变形不一定正确，不符合题意； B、若，则，原式变形不一定正确，不符合题意； C、若，则，原式变形一定正确，符合题意； D、若，则，原式变形不一定正确，不符合题意； 故选：C． 5．把方程去分母后，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为∶去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1，方程两边同乘以8去分母得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程去分母，得， 故选：B． 6．关于的方程的解与方程的解互为相反数，则的值是（ ） A．0.6 B．1 C．－1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的解法，先求出方程的解，然后把它的相反数代入即可求解． 【详解】解： 移项合并同类项，得 系数化为1，得 把代入得， 解得． 故选C． 7．把方程的分母化为整数的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，方程利用分数的基本性质化简，整理即可得到结果． 【详解】解：把方程的分母化为整数的方程是， 故选：D． 8．小明解方程去分母时，方程右边的忘记乘6，因而求出的解为，那么原方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答关键． 去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是，把代入即可求得的值，然后把的值代入原方程，解方程即可． 【详解】解：去分母时，方程右边的忘记乘6，则所得的方程是， 把代入方程得， 解得：， 把代入方程得 ， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 故选：B． 9．按如图所示的程序进行计算，若输入的值是3，则输出的值为1．若输出的值为3，则输入的值是（     ） A． B． C．7或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了程序框图的含义，一元一次方程的应用，正确理解程序是解题的关键．根据输入x的值是3，则输出y的值为1，得到，求得b，具体化后，分别令式子值为3，求得x的值，符合范围的就是所求． 【详解】解：∵输入x的值是3，则输出y的值为1， ∴， 解得， ∴当时，；当时，； 当时，解得，符合题意； 当时，解得，不符合题意； 故选：A． 10．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】设， 方程的解， 即为的解， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．若是方程的解，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查一元一次方程的解，代数式求值，把代入方程，得，将变形为：，即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：13． 12．已知于的一元一次方程无解，则a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键； 根据题意得出关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 一元一次方程无解， ， ． 13．已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键． 设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可． 【详解】解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g． 由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得， 将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得， 〇g，□g． 故答案为：，． 14．已知是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，根据一元一次方程的一般形式可得且，求解即可，掌握一元一次方程的一般形式是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 15．已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，确定的值是解题关键．首先将代入方程中并解得，再把代入方程中，然后按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程中， 得，整理可得， 解得， 再把代入方程中， 可得， 去括号，可得 ， 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 ． 16．对于两个非零有理数a、b， 规定，若， 则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，解一元一次方程，根据新定义得出，即，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得：， 故答案为：4． 17．某商家将某种服装按成本价加价作为标价，又以八折（即按标价的）优惠卖出，结果每件服装仍可获利元，则这件服装的实际售价是 元． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程的知识，设衣服的成本价为元，根据售价成本价利润列出方程求解即可． 【详解】解：设这件服装的成本价为元． 根据题意列方程得： 解得 实际售价为：（元） 故答案为：． 18．如图所示，点是数轴上的三个点，其中两点的距离为6，且两点表示的数互为相反数．若点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为秒，经过 秒后，M、N两点间的距离为15个单位长度． 【答案】21或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴，根据题意求出点A和点B表示的数，再确定点M和点N表示的数，最后分点N向左和向右运动，根据列出方程求出t的值即可． 【详解】解：两点的距离为6，且两点表示的数互为相反数， ∴点B表示的数为2，点A表示的数为， ∴点表示的数为， 当点N向右运动时，点表示的数为， ∵M、N两点间的距离为15个单位长度， ∴， 解得：或（舍去）， 当点N向左运动时，点表示的数为， ∵M、N两点间的距离为15个单位长度， ∴， 解得，， 所以，经过21秒或秒后，M、N两点间的距离为15个单位长度． 故答案为：21或． 19．已知关于x的方程的解是整数，且k也是整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的整数解．先求解方程，解得，再根据x为整数，且k是整数，即可求出所有k值的和． 【详解】解：解方程得：， ∵x为整数，且k是整数， ∴k的值为0或1或3或， ∴所有k值的和为， 故答案为：2． 20．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于方程与是“美好方程”，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解方程可得，由“美好方程”的定义可得方程的解为，将方程变形为，可得，据此即可求解，利用同解方程的意义解答是解题的关键． 【详解】解：解方程得，， ∵方程与是“美好方程”， ∴方程的解为， 将方程变形为， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共60分） 21．（本题6分）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把y系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项合并得：， 解得：； （2）解： 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 22．（本题6分）解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1成为解题的关键． （1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得∶， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得，， 合并同类项，得， 系数化为1，得 ． 23．（本题6分）如果方程的解与方程的解相同，求字母a的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，属于基础题型，正确理解题意、熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程求出，然后把求出的方程的解代入，再解关于的方程求出即可． 【详解】解：对方程， 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得； 把代入，得， 解得：． 24．（本题6分）已知，． (1)计算； (2)若和时，（1）中式子的值相等，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算，解一元一次方程等知识． （1）根据整式的加减计算法则得到，再去括号，合并同类项即可得到答案； （2）分别把和代入（1）所求式子计算出对应的结果，进而可得方程，解方程得到，再把所求式子去括号，合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：当时，， 当时，， ∵和时，（1）中式子的值相等， ∴， ∴， ∴ ． 25．（本题8分）老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观．老师骑摩托车速度为25千米/小时，这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．如果学生步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆． 【答案】老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生，整个过程在路上共计花了3个小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－行程问题，包含相遇与追及问题，用线段图来表示行程问题中的变化，可以使过程变得更清晰，是解决本题的关键，数形结合是数学中常用的一种数学思想． 如图1中，千米，第一个学生在C点下车后步行到博物馆，此时老师在C点，第二个学生步行到D点，段存在一个老师与第二个学生之间的相遇问题．从时间上产生等量关系，即：老师从C点单车返回到E点的时间+带第二个学生从E点到B点的时间=第一个学生从C点步行到B点的时间．若设千米，则，用含x的代数式表示出该等量关系，即可得方程解出问题． 【详解】解：如图， 设第一个学生搭乘摩托车的路程为x千米，即，则， ， 对于段的相遇问题，可设老师与第二个学生相遇的时间为t小时， 于是得方程： ∴ ∴ ∴ 由时间关系，可得方程 解方程得 则在路上共计用的时间为 即：老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生，整个过程在路上共计花了3个小时． 26．（本题10分）我们规定：如果两个一元一次方程的解之和为，我们称这两个方程为“仁爱”方程，例如： 方程和为“仁爱”方程． (1)方程和 “仁爱”方程；（填“是”或“不是”） (2)关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， 求的值； (3)关于的一元一次方程 和 是“仁爱”方程，求关于的一元一次方程 的解． 【答案】(1)不是； (2)； (3)． 【分析】（）分别解出两个方程，再根据“仁爱”方程的定义，即可求解； （）分别解出两个方程，再根据“仁爱”方程的定义，即可求解； （）先解出由的解为，再根据“仁爱”方程的定义，得关于的一元一次方程的解为，由得，然后对比即可求解； 本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“仁爱”方程的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由， ， ∴， 即的解是； 由 ， ， ∴， 即的解是； ∵， ∴方程和 不是“仁爱”方程， 故答案为：不是； （2）解：由，得； 由， ， ， ∴， ∵关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， ∴， 解得：； （3）解：由得， ∵关于的一元一次方程和是“仁爱”方程， ∴关于的一元一次方程的解为， ∵由得， ∴， ∴， ∴关于的一元一次方程的解为． 27．（本题8分）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”按标价七折出售，剩余的“妮妮”按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是6000元，求m的值？ 【答案】(1)购进“滨滨”400个，“妮妮”600个 (2)的值为200 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意． （1）设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个，根据题意列一元一次方程，解方程即可； （2）根据促销规则列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”个，则购进“妮妮”个． 则， 解得：， ， 答：购进“滨滨”400个，“妮妮”600个． （2）解：由题意得， 解得：， 答：的值为200． 28．（本题10分）如图，在一张长方形纸条上画一条数轴． (1)折叠纸条使数轴上表示的点与表示9的点重合，折痕与数轴的交点表示的数是 ；如果数轴上两点之间的距离为7，经过上述的折叠方式能够重合，那么左边这个点表示的数是 ； (2)如图2，点A、表示的数分别是、4，数轴上有点，使点到点的距离是点到点A距离的3倍，那么点表示的数是多少？ (3)如图2，若将此纸条沿A、两处剪开，将中间的一段纸条对折，使其左右两端重合，这样连续对折5次后，再将其展开，分别求出最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数． 【答案】(1)3， (2)或 (3)和 【分析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握数轴上点的特点，以及理解图形对称的性质． （1）找出表示的点与9表示的点组成线段的中点表示数，然后结合数轴即可求得答案； （2）分点在小之间和点右侧两种情况解答； （3）先求出A，两点之间距离和连续对折5次后的段数，再求出每两条相邻折痕间的距离，即可解得答案． 【详解】（1）解：， ∴折痕与数轴的交点表示的数是：3； 因为两点间的距离为7， ∴这两点到表示数3的点的距离为， ∴左边这个点表示的数是， 故答案为：3，； （2）解：设点表示的数为， ， 点离点A较近，只有两种情况： ①点在线段上时，， 解得：； ②当点在点A的左边数轴上时，， 解得：， 故点表示的数是为：或； （3）解：对折5次后，每两条相邻折痕间的距离， 最左端的折痕与数轴的交点表示的数为：， 最右端的折痕与数轴的交点表示的数为：． 答：最左端和最右端的折痕与数轴的交点表示的数分别为：和． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$