专题09 相似三角形的应用（8大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题09 相似三角形的应用 目录 【题型一 建筑物高问题】 1 【题型二 影长问题】 3 【题型三 河宽问题】 5 【题型四 树高问题】 7 【题型五 杠杆问题】 10 【题型六 实验问题】 13 【题型七 古文问题】 15 【题型八 裁剪问题】 18 【题型一 建筑物高问题】 例题：（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即塔高为米， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，楼房的高度应为 ． 【答案】/10米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定证得，可得，即可求解． 【详解】解：由图可得，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·福建三明·期中）小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离米，若小颖的眼睛距离地面高度米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米？ 【答案】教学大楼的高度是米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，，得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵由题意得，，， ∴， ∴，即， 解得：，               答：教学楼的高度是米． 【题型二 影长问题】 例题：（23-24九年级下·湖南株洲·期末）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高． 【详解】解：设影长为米的旗杆的高是米， 根据题意可得：， 解得：， 即影长为米的旗杆的高是米． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为 米． 【答案】12 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意可得：，从而可得，再根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴楼高为12米， 故答案为：12． 2．（22-23九年级上·河南鹤壁·开学考试）如图1，平直的公路旁有一灯杆，在灯光下，小丽从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小丽身高． (1)求灯杆的长； (2)若小丽从D处继续沿直线前进到达G处（如图2），求此时小丽的影长的长． 【答案】(1)灯杆的高度为 (2)此时小丽的影长的长是 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的应用，解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出． （1）根据题意得出，由平行线得出，得出对应边成比例，即可得出结果． （2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值解答即可． 【详解】（1）解：如图1，根据题意得：，（米， ， ， 即， 解得：（米； 答：灯杆的高度为； （2）如图2，根据题意得：，（米， ， ， 即， 解得：（米； 答：此时小丽的影长的长是． 【题型三 河宽问题】 例题：（2024九年级上·浙江·专题练习）为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（　　）米． A．24 B．30 C．32 D．40 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意得到，由相似三角形的对应边成比例求得答案． 【详解】解：∵， ∴． ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴米． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）测量河宽的示意图如图所示，与相交于点，，测得，，，则河宽    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，证明，再根据三角形相似的性质即可求出答案． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点、，先从出发与成方向向前走米，到处立一标杆，然后方向不变继续朝前走米到处，在处转，沿方向走到处，若、、三点恰好在同一直线上，且米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？ 【答案】河宽为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，易证明，根据相似三角形的性质可得，据此代值计算即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴河宽为． 【题型四 树高问题】 例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，小明在时测得某树的影长为米，在时又测得该树的影长为米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据题意证∽，求出树高即可． 【详解】解：如图： 由题知，，， ，， ， ， ∽， ， 米，米， 米， 故选：C． 【变式训练】 1．（20-21九年级上·陕西西安·期末）如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是 米． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由题意知，得出，根据求出的值． 【详解】解：由题意知， ∴ 在和中 解得 故答案为：5． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，相似三角形的判定与性质，等式的性质等知识点，利用相似三角形的性质正确求出树影长是解题的关键．延长，交延长线于点，根据同一时刻物体与影长成正比可得，根据可得，于是可得，进而可得，于是可求出的长，再由可求出的长，然后根据求出的长即可． 【详解】解：如图，延长，交延长线于点， 则就是树影长的一部分， 在某一时刻测得高为的竹竿影长为， ， 由题意可知：， ， ， ， ， ， ． 【题型五 杠杆问题】 例题：（23-24九年级上·山西大同·期末）“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度是解题的关键． 【详解】解：解：由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山西大同·期末）阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为 cm．    【答案】21 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， cm． 故答案为：21． 2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起，已知，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 ． 【答案】45 【分析】如图：都与水平线的垂直，M，N是垂足，则，即，然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，都与水平线的垂直，M，N是垂足，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴当时，， 故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压． 故答案为：45． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键． 【题型六 实验问题】 例题：（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）如图，在小孔成像实验中，已知燃烧的蜡烛距小孔15厘米，光屏在距离小孔45厘米处，测得蜡烛的火焰高度为1厘米，则光屏上火焰所成像的高度为（   ）    A．3厘米 B．5厘米 C．7厘米 D．9厘米 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由实际问题构建出相似三角形．如图，，推出，利用相似三角形的性质比例式解答即可． 【详解】解：如图：   ，表示蜡烛火焰的高，表示蜡烛火焰所成像的高度， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴光屏上火焰所成像的高度为． 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·吉林长春·一模）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，利用蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离是带“小孔”的纸板与光屏间距离的一半，得出蜡烛火焰的高度与像的高度的比值为，进而求出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1) (2)灯泡到地面的高度为 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：； （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 【题型七 古文问题】 例题：（24-25九年级上·山西阳泉·期中）《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”，这句话描述了小孔成像的现象及原理．老师在物理课上制作了一个小孔成像的装置，其中纸筒的长度为，点燃蜡烛测得蜡烛及火焰的长为，要想得到高度为的像，请你计算一下，蜡烛到纸筒的水平距离应该为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．直接利用相似三角形对应高的比等于相似比解题． 【详解】解：设蜡烛到纸筒的水平距离是， 由相似三角形对应高的比等于相似比得到：， 解得， 即蜡烛火焰的高度是， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：和均为直角， ， ， ， ，，， ． 故答案为：5． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 【题型八 裁剪问题】 例题：（23-24九年级上·山西长治·期中）如图，一张底边长为、底边上的高为的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（    ）    A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质．设剪得正方形纸条是第张，根据相似三角形的性质，得到，从而求出的值，即可得到答案．掌握相似三角形对应边成比例是解题关键． 【详解】解：字母标注如图， 由题意可知，，，， 设剪得正方形纸条是第张， ， ， ， ， 解得：， 即剪得正方形纸条是第张， 故选：C．    【变式训练】 1．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【答案】B 【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张． 【详解】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则该正方形的边长为， 设从顶点到这个正方形顶边的距离为， 根据相似三角形的性质可得，解得（张）， 所以这张正方形纸条是第5张， 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键． 2．（2023·浙江湖州·一模）三八妇女节，同学们准备送小礼物给妈妈，首先利用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为分米，则这个礼品盒的体积 分米． 【答案】8 【分析】设，判断出和为等腰直角三角形，证明，得到，可求出，即可得到正方体礼品盒的棱长，从而计算体积． 【详解】解：如图，在正方形中，， 设， 由此裁剪可得：和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴正方体礼品盒的棱长为2， ∴体积为立方分米， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形． 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，和是直立在地面上的两根立柱，的长为6米，某一时刻在阳光下的投影米，在阳光下的投影长为8米，则的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了平行投影，根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建比例关系即可得出的长． 【详解】解：如图， 在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为8米， ∵，米，米，米， ， ， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南开封·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰的像的高度是，物距为，则像距是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的高的比等于相似比．如图，先证，再根据相似三角形的高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ，， ， ，即， 解得， 即像距是． 故选：D． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．根据题意做出示意图，证明，由相似三角形的性质可得出，进而可求出答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：D． 4．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）随着铜仁市旅游业蓬勃发展，某旅投公司修建了许多特色房屋，如图所示，阳光通过窗口射到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离，窗口高，那么窗口底部离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由得到，进而得到，代入已知条件即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得 故选：． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，路灯距地面8米，身高米的小明从点处沿所在的直线行走到点时，人影长度（　　） A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 【答案】C 【分析】此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化．小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化． 【详解】解：设小明在处时影长为，长为，处时影长为． ，， ，， ，， 则， ； ， ， ， 故变短了米． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，小明利用标杆测量旗杆的高度，小明的眼睛与地面的距离，标杆，，，则旗杆的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握用相似三角形的相似比求物体高度是解题关键．先求出，，再根据，得到，即可得到旗杆的高度． 【详解】解：如图，过点作于，交于， 由题意得，，， ∴四边形是矩形四边形是矩形，四边形是矩形是矩形， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意，画出示意图，易得，进而可得，即，代入数据可得答案． 【详解】解：根据题意，作，树高为，且，，； ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造相似三角形是解题关键．令所在的水平线与交于点，证明四边形是矩形，则，，证明，得到，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，令所在的水平线与交于点， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论． 【详解】解：由题意知，， ， ， 由题知，， ， ， ， ， 米，米，米， ， 米． ， 米， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题意，河两岸平行，证明来解决问题，列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，设河宽为h， 米，P到的距离是米， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：米， ∴河宽为米． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，小颖为测量学校旗杆的高度，在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子E离旗杆的底部A的距离，且A，C，E三点在同一水平直线上，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据题意可得，可证得，即可求解． 【详解】解：根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明想利用相关数学知识测量这个路灯的高．如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），小明测得窗户距离地面高度，窗高，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，．求出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：，， ， 又， ，， ， 即，， 解得：， 答：路灯的高度为． 13．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）综合与实践 学习过“利用相似三角形测物高”的内容后，小武利用平面镜的镜面反射特点来构造相似测一大楼的高度，如图1所示． 【问题提出】 (1)大楼为，平面镜放在点处，表示小武的位置，若，求大楼的高．（用含的式子表示） (2)实地观察大楼周围的环境之后、发现由于条件限制，大楼的底部不可到达，所以无法准确测量大楼底部到平面镜的距离．在老师帮助下，小武进一步完善了自己的想法，构造二次相似，将测量距离进行转化．如图2，小武测量得到．请求出大楼的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与应用． （1）由反射特点可知，证明，，即可求得； （2）由反射特点可知，，证得，，有，，，，可得． 【详解】（1）解：由反射特点可知，． ， ， ， ， ∴， ， 即大楼的高为； （2）解：由反射特点可知，． ， ∴， ． ， ， ， ， 解得， ， 解得． 答：大楼的高度为． 14．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 【答案】大雁塔的高度为64米 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 设米，证明，推出，可得，再证明，推出，构建方程求解即可． 【详解】解：设米． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 答：大雁塔的高度为64米． 15．（23-24九年级上·山西运城·期中）数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小明在地面上直立一根标杆，沿着直线后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上（如图）．测量：人与标杆的距离，人与旗杆的距离，人的目高和标杆的高度差，人的高度．请求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度是米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 由题意得，，，，，证明，则，即，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 答：旗杆的高度是米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 相似三角形的应用 目录 【题型一 建筑物高问题】 1 【题型二 影长问题】 2 【题型三 河宽问题】 3 【题型四 树高问题】 4 【题型五 杠杆问题】 5 【题型六 实验问题】 6 【题型七 古文问题】 7 【题型八 裁剪问题】 8 【题型一 建筑物高问题】 例题：（24-25九年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 【变式训练】 1．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，楼房的高度应为 ． 2．（24-25九年级上·福建三明·期中）小颖同学学了本学期第四单元第6节《利用相似三角形测高》后，用下面的方法来测量自己学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离米，然后在射线AE上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离米，若小颖的眼睛距离地面高度米，请你帮小颖利用这些数据求出教学楼的高度是多少米？ 【题型二 影长问题】 例题：（23-24九年级下·湖南株洲·期末）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，利用标杆测量楼高，点C，A，B在同一直线上，，垂足分别为A，B．若测得影长米，米，影长米，则楼高为 米． 2．（22-23九年级上·河南鹤壁·开学考试）如图1，平直的公路旁有一灯杆，在灯光下，小丽从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小丽身高． (1)求灯杆的长； (2)若小丽从D处继续沿直线前进到达G处（如图2），求此时小丽的影长的长． 【题型三 河宽问题】 例题：（2024九年级上·浙江·专题练习）为了测量河宽，有如下方法：如图，取一根标尺横放，使，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得米，米，米，则河宽的长度为（　　）米． A．24 B．30 C．32 D．40 【变式训练】 1．（24-25九年级上·全国·单元测试）测量河宽的示意图如图所示，与相交于点，，测得，，，则河宽    2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，要测量河宽，可在两岸找到相对的两点、，先从出发与成方向向前走米，到处立一标杆，然后方向不变继续朝前走米到处，在处转，沿方向走到处，若、、三点恰好在同一直线上，且米，你能根据题目提供的数据和图形求出河宽吗？ 【题型四 树高问题】 例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，小明在时测得某树的影长为米，在时又测得该树的影长为米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式训练】 1．（20-21九年级上·陕西西安·期末）如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树高，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯的高度长是 米． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，小亮想利用树影测量树高，他在某一时刻测得高为的竹竿影长为，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他先测得留在墙上的影高，又测得地面部分的影长，请你帮助小亮求树高． 【题型五 杠杆问题】 例题：（23-24九年级上·山西大同·期末）“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·山西大同·期末）阿基米德曾说过：“给我一个支点和一根足够长的杆子，我就能撬起整个地球．”这句话的意思是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动．如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为 cm．    2．（22-23九年级上·河南南阳·期末）如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起，已知，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压 ． 【题型六 实验问题】 例题：（23-24九年级下·浙江金华·开学考试）如图，在小孔成像实验中，已知燃烧的蜡烛距小孔15厘米，光屏在距离小孔45厘米处，测得蜡烛的火焰高度为1厘米，则光屏上火焰所成像的高度为（   ）    A．3厘米 B．5厘米 C．7厘米 D．9厘米 【变式训练】 1．（2024·吉林长春·一模）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度为时，所成的像的高度为 ． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【题型七 古文问题】 例题：（24-25九年级上·山西阳泉·期中）《墨经》中记载：“景到，在午有端，与景长，说在端”，这句话描述了小孔成像的现象及原理．老师在物理课上制作了一个小孔成像的装置，其中纸筒的长度为，点燃蜡烛测得蜡烛及火焰的长为，要想得到高度为的像，请你计算一下，蜡烛到纸筒的水平距离应该为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东深圳·期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高 ． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【题型八 裁剪问题】 例题：（23-24九年级上·山西长治·期中）如图，一张底边长为、底边上的高为的等腰三角形纸片，沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条．若剪得的纸条是一张正方形，则这张正方形纸条是（    ）    A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 【变式训练】 1．（21-22九年级上·全国·课后作业）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ） A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张 2．（2023·浙江湖州·一模）三八妇女节，同学们准备送小礼物给妈妈，首先利用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为分米，则这个礼品盒的体积 分米． 一、单选题 1．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，和是直立在地面上的两根立柱，的长为6米，某一时刻在阳光下的投影米，在阳光下的投影长为8米，则的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25九年级上·河南开封·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，阐释了光沿直线传播的原理．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，蜡烛火焰的像的高度是，物距为，则像距是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）随着铜仁市旅游业蓬勃发展，某旅投公司修建了许多特色房屋，如图所示，阳光通过窗口射到室内，在地面上留下宽的亮区，已知亮区到窗口下的墙脚的距离，窗口高，那么窗口底部离地面的高度为（   ） A． B． C． D． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，路灯距地面8米，身高米的小明从点处沿所在的直线行走到点时，人影长度（　　） A．变长 B．变长 C．变短 D．变短 二、填空题 6．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）如图，小明利用标杆测量旗杆的高度，小明的眼睛与地面的距离，标杆，，，则旗杆的高度是 ． 7．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 ． 8．（24-25九年级上·山东济南·期中）坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，，则超然楼的高度 ． 9．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）某数学兴趣小组开展了“测量宝塔高度”的实践活动，在点C处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向右平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，宝塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米．求宝塔的高度为 米． 10．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米． 三、解答题 11．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，小颖为测量学校旗杆的高度，在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度，她离镜子的水平距离，镜子E离旗杆的底部A的距离，且A，C，E三点在同一水平直线上，求旗杆的高度． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明想利用相关数学知识测量这个路灯的高．如图，路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），小明测得窗户距离地面高度，窗高，，，其中、、、四点在同一条直线上，、、三点在同一条直线上，且，．求出路灯的高度． 13．（24-25九年级上·山西阳泉·期中）综合与实践 学习过“利用相似三角形测物高”的内容后，小武利用平面镜的镜面反射特点来构造相似测一大楼的高度，如图1所示． 【问题提出】 (1)大楼为，平面镜放在点处，表示小武的位置，若，求大楼的高．（用含的式子表示） (2)实地观察大楼周围的环境之后、发现由于条件限制，大楼的底部不可到达，所以无法准确测量大楼底部到平面镜的距离．在老师帮助下，小武进一步完善了自己的想法，构造二次相似，将测量距离进行转化．如图2，小武测量得到．请求出大楼的高度． 14．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在处，位于点正前方3米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，小刚在处竖立了一根高2米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为6米，为58米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）． 15．（23-24九年级上·山西运城·期中）数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，小明在地面上直立一根标杆，沿着直线后退到点D，使眼睛C、标杆的顶点E、旗杆的顶点A在同一直线上（如图）．测量：人与标杆的距离，人与旗杆的距离，人的目高和标杆的高度差，人的高度．请求出旗杆的高度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$