第23讲三角函数的应用（4种题型+1个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

第23讲 三角函数的应用（4种题型+1个易错点+过关检测） 知识点一、简谐运动的物理量的描述 简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0，x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离. (1)A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅； (2)往复运动一次所需的时间T=称为这个运动的周期； (3)单位时间内往复运动的次数f==称为运动的频率； (4)ωx+φ称为相位，x=0时的相位φ称为初相位. 知识点二、三角函数模型的应用 解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意：读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题. (2)建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型. (3)求解函数模型：利用所学的三角函数知识解得到的三角函数模型，求得结果. (4)得出结论：将所得结果翻译成实际问题的答案，并检验. 题型1：函数式y=Asin（ωx+φ）描述简谐运动时的基本概念 【例题1】已知简谐振动的振幅为，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（20-21高一·江苏·课后作业）已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0， 1)，则该简谐运动的振幅为 ，初相为 . 【变式2】振动量的初相和频率分别为 和 ，则它的相位是 ． 【变式3】已知某简谐振动的函数表达式为，.求这个简谐振动的振幅､周期与初相. 题型2：知模型求参数 【例题2】（21-22高一上·浙江嘉兴·期末）血压是指血液在血管内流动时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，岁以上成人收缩压或舒张压，则说明这位成人有高血压.设从未使用过抗高血压药的小王今年岁，从某天早晨点开始计算（即早晨点起，），他的血压（单位：）与经过的时间（单位：）满足关系式，则（    ） A．血压的最小正周期为 B．当天下午点小王的血压为 C．当天小王有高血压 D．当天小王的收缩压与舒张压之差为 【变式1】（多选）（22-23高一·福建漳州·期中）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按顺时针方向绕圆心做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ）    A．点第一次到达最高点需要秒 B．点第一次到达最低点需要秒 C．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的下方 D．当水轮转动秒时，点距离水面的高度是米 【变式2】（21-22高一上·江苏扬州·期末）摩天轮的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面42m（即长），摩天轮的半径长为40m，摩天轮逆时针旋转且每分钟转一圈．摩天轮上悬挂吊舱，点M为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P处，此时有m，则距离地面的高度h为 m． 【变式3】（23-24高一·安徽）近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为.    (1)求的解析式； (2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长. 题型3：建立三角函数模型 【例题3】如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·广东·期末）如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（21-22高一上·浙江衢州·期末）衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（    ） A．点P第一次达到最高点，需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 C．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米 D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随着时间变化逐渐增加，到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律改变． (1)求出这种昆虫种群数量y（单位：只）关于时间t（单位：月）的函数解析式； (2)画出这个函数的图象． 题型4：三角函数模型的应用 【例题4】（22-23高一·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（    ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 【变式1】（20-21高一上·福建福州·期末）月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中个月的月均温（单位：）与月份（单位：月）的关系可近似地用函数（）来表示，已知月份的月均温为，月份的月均温为，则月份的月均温为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h． 【变式3】（22-23高一·浙江杭州·阶段练习）某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点是半圆的圆心，在圆弧上取点、，使得，把四边形建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段，，和组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且； (1)求塑胶跑道的总长关于的函数关系式； (2)当为何值时，塑胶跑道的总长最长，并求出的最大值． 易错点：求错函数模型 【例题1】（21-22高一·北京海淀·阶段练习）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（20-21高一·全国·课后作业）在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一上·江苏淮安·期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．    【变式3】（22-23高一上·浙江杭州·期末）如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每4min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点． (1)试确定点P距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关系式； (2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？ 一、单选题 1．（20-21高一上·福建·期末）福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．（2023高一上·全国·专题练习）甲、乙两人从直径为的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用表示乙在某时刻旋转角的弧度数，表示甲、乙两人的直线距离，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·北京·期末）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）： 体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）．它们在一个周期内的表现如下表所示： 高潮期 低潮期 体力 体力充沛 疲倦乏力 情绪 心情愉快 心情烦躁 智力 思维敏捷 反应迟钝 如果从同学甲出生到今日的天数为，那么今日同学甲（    ） A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷 B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷 C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷 D．疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝 4．（20-21高一上·浙江金华·期末）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高三上·湖北·阶段练习）在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时时中，观花的最佳时段约为（    ）（参考数据：） A．时时 B．时时 C．时时 D．时时 6．（22-23高一上·广东东莞·期末）记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一上·江苏常州·期末）王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远"的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置(人的高度忽略不计)，按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧的长度为500km，则需要登上楼的层数约为（    ）（参考数据：，，） A．5800 B．6000 C．6600 D．7000 8．（22-23高一上·云南大理·期末）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为α，且小正方形与大正方形面积之比为1∶5，则tanα的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024高一上·全国·专题练习）一简谐运动的图象如图所示，则下列判断错误的是（    ） A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为 C．该质点在和时速度最大 D．该质点在和时加速度最大 10．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ） A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是 11．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则下列说法正确的是（    ）    A．函数的初相为 B．1秒时，函数的相位为0 C．4秒后，点第一次到达最高点 D．7秒和15秒时，点高度相同 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的振幅是 ，频率为 ，初始相位为 ． 13．（23-24高一上·山西大同·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，且d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为： ；则d与时间t之间的关系是 ． 14．（21-22高一上·浙江杭州·期中）如图，摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱时他距离地面的高度为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，把一段直径20厘米的圆柱形木料截成横截面为矩形的木料，怎样锯才能使横截面的面积最大？    16．（23-24高一上·湖南长沙·期末）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为. (1)求的值； (2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？ 17．（23-24高一上·广西柳州·期末）建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足，关系. (1)求的表达式； (2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的活动广场及矩形的停车场，剩余的地方进行绿化.其中半圆的圆心为O，半径为r，矩形的一边在直径上，点C、D、G、H在圆周上，E、F在边上，且，设.记活动广场及停车场的占地总面积为，求的表达式. 19．（23-24高一上·贵州黔西·期末）如图①，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图②，一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水下则为负数），与时间（单位：）之间的关系是. (1)盛水筒旋转一周需要多少秒？盛水筒出水后至少经过多少秒就可以达到最高点； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态），并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 三角函数的应用（4种题型+1个易错点+过关检测） 知识点一、简谐运动的物理量的描述 简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0，x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离. (1)A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅； (2)往复运动一次所需的时间T=称为这个运动的周期； (3)单位时间内往复运动的次数f==称为运动的频率； (4)ωx+φ称为相位，x=0时的相位φ称为初相位. 知识点二、三角函数模型的应用 解三角函数应用问题的基本步骤 (1)审清题意：读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，提炼出相应的数学问题. (2)建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型. (3)求解函数模型：利用所学的三角函数知识解得到的三角函数模型，求得结果. (4)得出结论：将所得结果翻译成实际问题的答案，并检验. 题型1：函数式y=Asin（ωx+φ）描述简谐运动时的基本概念 【例题1】已知简谐振动的振幅为，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点求出初相即可得解. 【详解】由题意可知，， ， 则， ， . 因为过点， 由，得. ∵， ∴. 因此频率，初相为. 故选：A 【变式1】（20-21高一·江苏·课后作业）已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0， 1)，则该简谐运动的振幅为 ，初相为 . 【答案】 2 【分析】利用图象所过的点可求，从而可求振幅和初相. 【详解】因为图象过，故即，而，故， 故简谐振动的初相为，又由的解析式可得振幅为2， 故答案为：2，. 【变式2】振动量的初相和频率分别为 和 ，则它的相位是 ． 【答案】 【分析】根据初相、相位和频率的定义即可求解. 【详解】由题意知，，所以 ， ∴．相位是． 故答案为： 【变式3】已知某简谐振动的函数表达式为，.求这个简谐振动的振幅､周期与初相. 【答案】振幅，周期，初相. 【解析】根据的物理意义确定． 【详解】解：由题设可知： 振幅 周期 初相 题型2：知模型求参数 【例题2】（21-22高一上·浙江嘉兴·期末）血压是指血液在血管内流动时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.在未使用抗高血压药的前提下，岁以上成人收缩压或舒张压，则说明这位成人有高血压.设从未使用过抗高血压药的小王今年岁，从某天早晨点开始计算（即早晨点起，），他的血压（单位：）与经过的时间（单位：）满足关系式，则（    ） A．血压的最小正周期为 B．当天下午点小王的血压为 C．当天小王有高血压 D．当天小王的收缩压与舒张压之差为 【答案】BCD 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算出的值，可判断B选项；计算出的最大值和最小值，结合题干条件可判断C选项；计算出，可判断D选项. 【详解】对于A选项，血压的最小正周期为，A错； 对于B选项，下午点时，即，可得，B对； 对于C选项，因为，，所以，当天小王有高血压，C对； 对于D选项，当天小王的收缩压与舒张压之差为，D对. 故选：BCD. 【变式1】（多选）（22-23高一·福建漳州·期中）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米.已知水轮按顺时针方向绕圆心做匀速转动，每秒转动一圈，如果当水轮上点从水面浮现时（图中点位置）开始计时，则下列判断正确的有（    ）    A．点第一次到达最高点需要秒 B．点第一次到达最低点需要秒 C．在水轮转动的一圈内，有秒的时间，点在水面的下方 D．当水轮转动秒时，点距离水面的高度是米 【答案】ACD 【分析】设，利用最值、最小正周期和可求得解析式；利用、可求得AB正误；由可求得的范围，由此知C正确；由可知D正确. 【详解】设点距离水面的高度与时间的函数解析式为， 由题意知：，，最小正周期， ，，， ，即，又，， ； 对于A，令，解得：，即点第一次到达最高点需要秒，A正确； 对于B，令，解得：，即点第一次到达最低点需要秒，B错误； 对于C，，， 令，即， ，解得：， 水轮转动一圈内，点在水面下方的时间为秒，C正确； 对于D，， 当水轮转动秒时，点距离水面的高度是米，D正确. 故选：ACD. 【变式2】（21-22高一上·江苏扬州·期末）摩天轮的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面42m（即长），摩天轮的半径长为40m，摩天轮逆时针旋转且每分钟转一圈．摩天轮上悬挂吊舱，点M为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点P处，此时有m，则距离地面的高度h为 m． 【答案】20 【分析】以为坐标原点，为轴，与垂直的线为轴，建立坐标系，设点的方程为，由题意求得解析式，当代入计算即可得出结果. 【详解】以为坐标原点，为轴，与垂直的线为轴，建立坐标系如图所示，设点的方程为，依题意得,解得： 又因为，所以，此时， 又当时，，所以， 所以， 所以当时，，所以距离地面的高度 故答案为：20. 【变式3】（23-24高一·安徽）近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为.    (1)求的解析式； (2)求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件写出方程组，解出即可； （2）根据题中条件建立不等式，解出即可. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系， 当时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点， 设为，则， 由题意得，，， 解得， 所以. 注：写成也给分.    （2）令，则， 即， 所以， 解得. 当时，，， 所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为秒. 题型3：建立三角函数模型 【例题3】如图，圆的半径为，是圆上的定点，是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则在上的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于，由题意得到，，由求出，即可得出函数解析式，从而可判断结果. 【详解】 如图：过作于，则由题意可得：，， 在中，， 所以， ∴. 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角函数的应用，以及判断三角函数的图像，属于常考题型. 【变式1】（22-23高一上·广东·期末）如图，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每转一圈．则该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的纵坐标为，根据题意可求，与，从而可求解. 【详解】设点的纵坐标为， 由题意可得，得. 因为起始点在第四象限，所以初相， 由图可知， 所以. 所以该质点到x轴的距离y关于时间t的函数解析式是. 故选:A. 【变式2】（多选）（21-22高一上·浙江衢州·期末）衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（    ） A．点P第一次达到最高点，需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米 C．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米 D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为 【答案】ABD 【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项. 【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确； 点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确； 令，解得：，，当时，（s），B选项正确； ，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误； 故答案为：ABD 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）某昆虫种群数量1月1日低到700只，其数量随着时间变化逐渐增加，到当年7月1日高达900只，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律改变． (1)求出这种昆虫种群数量y（单位：只）关于时间t（单位：月）的函数解析式； (2)画出这个函数的图象． 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】（1）设函数表达式，结合三角函数的最值、最小正周期及特殊点代入即可得解； （2）根据解析式列表作图即可. 【详解】（1）设， 由题意，解得，且，解得， 又因为当时，取最小值， 所以，即， 可取，所以； （2）列表： t 0 1 4 7 10 12 0 y 700 800 900 800 作出函数图象如下：    题型4：三角函数模型的应用 【例题4】（22-23高一·江西萍乡·期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（    ） A．7.3时～11.3时 B．8.7时～11.3时 C．7.3时～12.7时 D．8.7时～12.7时 【答案】B 【分析】由三角函数的性质结合条件即得. 【详解】当时，， 由，得， 所以(时)； 由，得， 所以(时). 故在6时时中，观花的最佳时段约为时时. 故选：B 【变式1】（20-21高一上·福建福州·期末）月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中个月的月均温（单位：）与月份（单位：月）的关系可近似地用函数（）来表示，已知月份的月均温为，月份的月均温为，则月份的月均温为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得出关于、的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令可得结果. 【详解】由题意可得，解得， 所以，函数解析式为， 在函数解析式中，令，可得. 因此，月份的月均温为. 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h． 【答案】 【分析】根据函数周期性可得，令，结合正弦函数性质分析求解即可. 【详解】由题意可得：，则， 令，则， 可得，解得， 设该船到达港口时刻为，离开港口时刻为，可知， 则，即， 所以最多可停留时长为小时. 故答案为：. 【变式3】（22-23高一·浙江杭州·阶段练习）某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点是半圆的圆心，在圆弧上取点、，使得，把四边形建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段，，和组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且； (1)求塑胶跑道的总长关于的函数关系式； (2)当为何值时，塑胶跑道的总长最长，并求出的最大值． 【答案】(1)， (2)当， 取得最大值10千米 【分析】（1）根据角度关系，由知，利用等腰三角形的性质求得底边长，从而得的表达式； （2）利用二倍角公式化简函数式为关于的二次函数，结合二次函数性质、正弦函数性质得最小值． 【详解】（1）由已知得，， 故， 所以，； （2） ， 所以当，时，取得最大值10千米． 易错点：求错函数模型 【例题1】（21-22高一·北京海淀·阶段练习）为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定函数的周期，再利用待定系数法可求得函数的解析式 【详解】因为函数的周期为，所以， 由于秒针顺时针旋转，所以可设函数解析式为， 因为初始位置为点，所以当时，， 所以，所以可能取， 所以， 故选：D 【变式1】（20-21高一·全国·课后作业）在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距离平衡位置最远处时开始计时．则物体对平衡位置的位移x（单位：cm）和时间t（单位：s）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，根据振幅确定，根据周期确定，根据确定，即可得出结果. 【详解】设位移关于时间的函数为， 根据题中条件，可得，周期，故， 由题意可知当时，取得最大值，故，则， 所以. 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查由三角函数的性质求参数，属于基础题型 【变式2】（22-23高一上·江苏淮安·期末）近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．    【答案】 4 【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得，待定系数即可； （2）解不等式即得. 【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径， 风车转动一圈为秒，则角速度， 如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系， 设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设， 以为始边，为终边的角不妨取， 那么经过（秒）后，运动到点， 于是，以为始边，为终边的角为， 由三角函数定义知， 则， 所以. （2）令， 所以, 所以. 当时，， 所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒. 故答案为：；.    【变式3】（22-23高一上·浙江杭州·期末）如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每4min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点． (1)试确定点P距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关系式； (2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m？ 【答案】(1) (2)min 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，利用旋转周期可得在 min内转过的角度为，再利用三角函数定义可得；（2）利用（1）中的表达式可解出时，可得，即可求得结果. 【详解】（1）建立如题所示的平面直角坐标系， 根据题意可得在 min内转过的角度为， 设为点在时间内转过的角度，所以； 以轴正半轴为始边，所在位置为终边，所以为终边的角为， 因此点的纵坐标为， 所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式为， 化简得 （2）当时， 解得， 又在一圈内，所以符合题意i的时间段为或， 即在摩天轮转动一圈内，有min点距离地面超过70m. 一、单选题 1．（20-21高一上·福建·期末）福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】从图象中的最小值入手，求出，进而求出函数的最大值，即为答案. 【详解】从图象可以看出，函数最小值为2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m. 故选：C 2．（2023高一上·全国·专题练习）甲、乙两人从直径为的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用表示乙在某时刻旋转角的弧度数，表示甲、乙两人的直线距离，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析，当时两人相遇，再根据距离一定非负，即可得到答案. 【详解】甲的速度是乙的速度的两倍， 由题意知当时，两人相遇，排除A，C，两人的直线距离大于等于零，排除D. 故选：B. 3．（22-23高一上·北京·期末）从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如下图所示（均为正弦型曲线）： 体力、情绪、智力在从出生之日起的每个周期中又存在着高潮期（前半个周期）和低潮期（后半个周期）．它们在一个周期内的表现如下表所示： 高潮期 低潮期 体力 体力充沛 疲倦乏力 情绪 心情愉快 心情烦躁 智力 思维敏捷 反应迟钝 如果从同学甲出生到今日的天数为，那么今日同学甲（    ） A．体力充沛，心情烦躁，思维敏捷 B．体力充沛，心情愉快，思维敏捷 C．疲倦乏力，心情愉快，思维敏捷 D．疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝 【答案】D 【分析】由题知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为，进而根据周期性求解即可得答案. 【详解】由图中数据可知体力的周期为，情绪的周期为，智力的周期为. 从同学甲出生到今日的天数为5860， 故对于体力，有，处于低潮期，疲倦乏力； 对于情绪，有，处于高潮期，心情愉快； 对于智力，有，处于低潮期，反应迟钝； 故今日同学甲疲倦乏力，心情愉快，反应迟钝. 故选：D 4．（20-21高一上·浙江金华·期末）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由振幅可得的值，由周期可得的值，由初相位可得的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式. 【详解】解：因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则， 周期为，则，初相位为，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故选：A. 5．（22-23高三上·湖北·阶段练习）在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时时中，观花的最佳时段约为（    ）（参考数据：） A．时时 B．时时 C．时时 D．时时 【答案】C 【分析】由三角函数的性质求解 【详解】当时，，则在上单调递增.设花开､花谢的时间分别为. 由，得，解得时； 由，得，解得时. 故在6时时中，观花的最佳时段约为时时. 故选：C 6．（22-23高一上·广东东莞·期末）记某时钟的中心点为，分针针尖对应的端点为．已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点顺时针匀速转动．若以中心点为原点，3点和12点方向分别为轴和轴正方向建立平面直角坐标系，则点到轴的距离（单位：）与时间t（单位：min）的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图像，由题意分析得， 利用已知条件求解出化简即可. 【详解】如图所示： 由题意得分针每分钟转rad， 则分钟后转了rad， 则点到轴的距离与时间t的关系可设为： ， 当时，点在钟表的12点处，此时， 所以， 所以可以取， 此时， 故选：D. 7．（22-23高一上·江苏常州·期末）王之涣《登鹳雀楼》：白日依山尽，黄河入海流，欲穷千里目，更上一层楼.诗句不仅刻画了祖国的壮丽河山，而且揭示了“只有站得高，才能看得远"的哲理，因此成为千古名句，我们从数学角度来思考：欲穷千里目，需上几层楼？把地球看作球体，地球半径R=6371km，如图，设O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置(人的高度忽略不计)，按每层楼高3m计算，“欲穷千里目”即弧的长度为500km，则需要登上楼的层数约为（    ）（参考数据：，，） A．5800 B．6000 C．6600 D．7000 【答案】C 【分析】根据弧长公式可求得即的大小，在中，即可求得的大小. 【详解】O为地球球心，人的初始位置为点M，点N是人登高后的位置，的长度为km， 令，则， ∵，，， ∴， 又， 所以按每层楼高m计算，需要登上6600层楼. 故选：C. 8．（22-23高一上·云南大理·期末）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为α，且小正方形与大正方形面积之比为1∶5，则tanα的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一: 用直角三角形较短的直角边长x及α表示出大小正方形边长,由小正方形与大正方形面积之比为1∶5求得后再求tanα的值. 方法二: 设较长直角边边长为x，小正方形边长为a，大正方形的边长为b，由小正方形与大正方形面积之比为1∶5及直角三角形边关系求得,进一步求tanα的值. 【详解】方法一：设直角三角形较短的直角边长为x，由于， 则较长直角边长为，所以小正方形的边长为，大正方形的边长为， 因为小正方形与大正方形面积之比为1∶5， 所以，所以， 所以， 由于，解得． 方法二：设较长直角边边长为x，小正方形边长为a，大正方形的边长为b， ，∴，，， ∴，， 故选：D． 二、多选题 9．（2024高一上·全国·专题练习）一简谐运动的图象如图所示，则下列判断错误的是（    ） A．该质点的振动周期为 B．该质点的振幅为 C．该质点在和时速度最大 D．该质点在和时加速度最大 【答案】ACD 【分析】利用三角函数的物理应用分析即可. 【详解】周期为，故A错误； 由题中图象可知，振幅为，故B正确； 在最高点时，速度为零，加速度最大，故C，D错误． 故选：ACD． 10．（23-24高一上·江苏南通·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，小球的最高点与最低点间的距离为（单位：），它在（单位：）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度由关系式确定，其中，.则下列说法正确的是（    ） A．小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时 B．小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为 C．小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为 D．小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是 【答案】BC 【分析】求出的值，求出函数的最小正周期，可判断A选项；根据的值可计算出小球在往复振动一次的过程中，经过的路程，可判断B选项；解方程，求出的可能取值，可判断C选项；求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】由题意可知，，则， 对于A选项，函数的最小正周期为， 所以，小球在往复振动一次的过程中，从最高点运动至最低点用时，A错； 对于B选项，小球在往复振动一次的过程中，经过的路程为，B对； 对于C选项，因为当时，， 由可得或， 解得或， 易知，，则的可能取值有：、、、、、、， 小球从初始位置开始振动，重新回到初始位置时所用的最短时间为，C对； 对于D选项，由可得，则当时，小球第一次到达最高点， 以后每隔一个周期都出现一次最高点， 因为小球在内经过最高点和最低点的次数恰好是次， 所以，，因为，则， 所以，小球从初始位置开始振动，若经过最高点和最低点的次数均为次，则所用时间的范围是，D错. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 11．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则下列说法正确的是（    ）    A．函数的初相为 B．1秒时，函数的相位为0 C．4秒后，点第一次到达最高点 D．7秒和15秒时，点高度相同 【答案】BC 【分析】由函数模型，求出、和、、，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】由题意知，函数模型中，，， ，所以， 又，得，显然， 所以，即函数的初相为，故A错误； 因为，1秒时，， 所以函数的相位为，故B正确； 4秒时，， 点第一次到达最高点，故C正确； ，， 所以7秒和15秒时，点高度不相同，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的振幅是 ，频率为 ，初始相位为 ． 【答案】 1 【分析】根据振幅、频率和初始相位的定义进行求解即可． 【详解】解：， 振幅为，周期， 则频率， 初始相位， 故答案为：，1，． 13．（23-24高一上·山西大同·期末）如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，且d与时间t（单位：分钟）之间的关系式为： ；则d与时间t之间的关系是 ． 【答案】 且 ，且 【分析】根据题意确定关系式，再结合已知及题图求出对应参数，即可得d与时间t之间的关系. 【详解】由题设，d与时间t之间的关系式为且， 筒车按逆时针方向每4分钟转1圈，则，可得， 筒车半径为3米，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米，则，， 又盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，在水面下则d为负数， 所以，可得，故， 所以，且. 故答案为：且；，且. 14．（21-22高一上·浙江杭州·期中）如图，摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为.已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈.游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱时他距离地面的高度为 . 【答案】 【分析】设在时，距离地面的高度为，其中，根据题中条件求出、的值，可得出关于的函数关系式，然后将代入函数解析式，即可得解. 【详解】因为摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为， 设在时，距离地面的高度为，其中， 则，可得，则， 由摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转动一圈，可得，所以， 即， 当时，可得，即， 因为，解得， 所以， 令，可得. 所以，游客进舱时他距离地面的高度为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，把一段直径20厘米的圆柱形木料截成横截面为矩形的木料，怎样锯才能使横截面的面积最大？    【答案】截面为正方形的时候截面面积最大为200. 【分析】设，用表示出，从而得，结合三角函数的最值求解. 【详解】如图，设，则，， .    故，即时，横截面的面积最大，最大为200. 即截面为正方形的时候截面面积最大为200. 16．（23-24高一上·湖南长沙·期末）如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为. (1)求的值； (2)盛水筒出水后至少经过多少时间就可到达最高点？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）依题意，设函数表达式为，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （2）根据题意，令，即可求解. 【详解】（1）解：依题意，设函数表达式为， 水轮半径为，所以振幅， 水轮每分钟按逆时针方向转动1.5圈，故角速度为， 水轮上点从水中浮现时开始计时，所以，且，解得， 所以函数表达式为，故. （2）解：根据题意，令，可得. 所以盛水筒出水后至少约就可到达最高点. 17．（23-24高一上·广西柳州·期末）建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足，关系. (1)求的表达式； (2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 【答案】(1) (2)8小时 【分析】（1）利用五点作图法，结合图象即可得解； （2）解正弦不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，得，解得， 又，所以，又，所以， 因为过， 则，即， 所以，即， 又，所以， 所以. （2）根据题设，令，即， 由的性质得，， 解得，， 又因为， 当时，；当时，； 所以或， 所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，有一块半圆形的空地，政府计划在空地上建一个矩形的活动广场及矩形的停车场，剩余的地方进行绿化.其中半圆的圆心为O，半径为r，矩形的一边在直径上，点C、D、G、H在圆周上，E、F在边上，且，设.记活动广场及停车场的占地总面积为，求的表达式. 【答案】，其中. 【分析】将停车场面积转化为矩形面积之和，后将涉及的边长运用锐角三角函数转化成关于的表达式，即可得到函数表达式. 【详解】解：因为半圆的半径为r，，， 所以在中，，，所以. 所以. 又因为，连接，由半圆的对称性可知，，所以. 所以为等边三角形，所以，. 所以. 所以 ，其中. 19．（23-24高一上·贵州黔西·期末）如图①，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图②，一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水下则为负数），与时间（单位：）之间的关系是. (1)盛水筒旋转一周需要多少秒？盛水筒出水后至少经过多少秒就可以达到最高点； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态），并说明理由. 【答案】(1)旋转一周需要60秒，出水后至少经过20秒就可以达到最高点； (2)处于向下的运动状态，理由见解析. 【分析】（1）利用周期计算旋转一周需要的时间，利用取最大值时的值得盛水筒出水后达到最高点的最短时间； （2）由区间内函数的单调性，判断盛水筒的运动状态. 【详解】（1）因为的最小正周期， 所以盛水筒旋转一周需要60秒； 时，， 当，有，则， 解得，又，所以时，， 盛水筒出水后至少经过20秒就可以达到最高点. （2）盛水筒处于向下运动的状态，理由如下： ，当， 有， 此时单调递减，所以盛水筒处于向下运动的状态. 【点睛】方法点睛：利用函数解析式计算周期，由函数值求自变量，运动状态的实际意义是研究函数单调性. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$