高二数学第二次阶段测（范围：空间向量+直线与圆+圆锥曲线）-【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（人教A版2019）

2024-2025学年高二数学第二次阶段测 数 学·答题卡 姓名________ 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 选项 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．_______________ 13．___________________ 14．__________________ 三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学第二次阶段测 说明：本试卷以中档题为主，减少了基础题与压轴题，适合中等生 考试范围：空间向量+直线与圆+圆锥曲线 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B C A D C B 9 10 11 ACD ABD BCD 12 13 14 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线与，则“”是“”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用两直线垂直的充要条件得到，从而得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当直线与垂直时，，即， 解得或， 所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．已知正方体中，为平面上一动点，若到的距离与到的距离相等，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】若，根据正方体结构特征，化为到点距离与的距离相等，结合抛物线定义确定轨迹. 【详解】因为平面，平面， ，又，，平面， 所以平面， 若，显然面， 由为平面上一动点，平面， 所以， 因为到的距离与到的距离相等， 所以到点距离与的距离相等， 结合抛物线定义，轨迹是在平面内，以为焦点，为准线的抛物线. 故选：D    3．如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算得，两边平方得到方程，即可计算线段的长. 【详解】∵二面角的大小为，，， ∴，. 由题意得，， ， ∴， ∴，即线段的长为. 故选：B. 4．关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再求出切线与直线的斜率，列式求解即可. 【详解】依题意，，由代入椭圆方程得，不妨设， 则切线，即，切线的斜率， 直线的斜率，则，所以. 故选：C 5．如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故选A. 6．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为，，根据抛物线的定义以及三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得答案. 【详解】当在第一象限时， 设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为， 因为，且为的中点， 所以为三角形的中位线，即， 所以，又根据抛物线的定义， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以，此时， 根据对称性，当在第四象限时，， 故选：D. 【点睛：焦点弦被焦点分成定比】 若，则 （注：抛物线默认e=1） 7．已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】设点，，根据圆的切线的性质可得C，D在以OP为直径的圆上，求得其圆的方程，再由C，D在圆上，可得直线CD的方程，求得直线CD恒过定点，从而得M在以OQ为直径的圆，得出圆的方程可求得的最小值． 【详解】设点，，因为PD，PC是圆的切线，所以， 所以C，D在以OP为直径的圆上， 其圆的方程为， 又C，D在圆上，则将两个圆的方程作差得直线CD的方程：，即，所以直线CD恒过定点， 又因为，M，Q，C，D四点共线，所以，即M在以OQ为直径的圆上，其圆心为，半径为， 所以，所以的最小值为， 故选：C． 【点睛：圆的双切线模型】 切点弦方程（二级结论）： 1、圆外一点向圆作切线，两个切点A,B的连线方程为（类似的其余圆锥曲线都有此类方程） 2、双切线性质：OP⊥l时候 ①切线长最小 ②切点四边形面积最小 ③切点弦AB最短 ④切线夹角最大 ⑤AB平行l 3、切点弦的方程的常规求法：如图，易知PAOB四点共圆，且PO为圆的直径，而AB为两圆的公共弦 8．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用韦达定理求以及线段AB的中垂线的方程，进而可求点D和，结合运算求解即可. 【详解】 法一二级结论【焦点弦的中垂线模型】（可用焦半径公式推导）： 三大圆锥曲线中，设过焦点F且不垂直于坐标轴的弦为AB，其垂直平分线和焦点所在坐标轴交于点R，则 故 法二：常规法：设双曲线的右焦点为，则直线， 联立方程，消去y得：， 则可得， 则， 设线段的中点，则， 即， 且，线段的中垂线的斜率为， 则线段的中垂线所在直线方程为， 令，则，解得， 即，则， 由题意可得：，即， 整理得，则， 注意到双曲线的离心率， ∴双曲线的离心率取值范围是. 故选：B. 【模型结论证明】这里仅给出椭圆情形的证明，双曲线和抛物线情形的证明类似．如图所示，设直线AB的倾斜角为， 因为M是AB的中点，则|．又因为，所以|，则，所以 【补充】焦半径公式   椭圆焦半径与焦点弦夹角公式 焦半径长公式：（长），（短）， 【特别的】焦半径倒数和为定值： 证明：在中，由余弦定理得， 将代入得：， 移项合并得：， 同理，在中，由余弦定理得， 将代入化简得： 则 双曲线焦半径与焦点弦夹角公式 已知双曲线，求出2种情况下的焦半径,以及焦点弦 情况1：：AB两点同一支上，直线AB与x轴夹角为α 【答案】情况1： 在中，由余弦定理得， 将代入得：， 移项合并得：， 同理可得：，则. 情况2：AB两点不在同一支上，直线AB与x轴夹角为β 【答案】情况2： 在中，由余弦定理得， 将代入得：， 移项合并得：， 同理可得：，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知点是圆上任意一点，直线：分别与轴、轴相交于点，则（    ） A．直线与圆相离 B．面积的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由圆心到直线距离与半径大小即可判断，对于B，确定圆心到直线的距离，即可求解，对于C，设，通过直线与圆恒有交点即可，对于D，由与圆相切即可求解. 【详解】对于A，由，得圆心， 圆心到的距离，直线与圆相离，A正确； 对于B，易知，，由A知，圆心到直线距离为， 故圆上点到直线距离的最小值为， 所以面积最小值为，B错误； 对于C，令，得，因为为圆上的点， 所以与圆有交点， 故，解得，C正确； 对于D，结合图象可知当与圆这种相切时，最小，    设斜率为，直线方程为：，由相切可得：， 解得，即的倾斜角为，所以， 易知，所以，D正确. 故选：ACD 10．如图，，为双曲线的左右焦点，，为该双曲线的两条渐近线，到一条渐近线的距离为2，过的直线与双曲线左右两支分别交于点M，N，.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的内切圆半径是 D． 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离求解判断A；根据双曲线的定义结合勾股定理求解判断B；根据曲线的弦长公式和双曲线定义以及直角三角形内切圆半径公式求解判断C；在直角三角形中，利用角的正切定义即可判断D. 【详解】由，可知， 不妨设到渐近线的距离为2，即，故A对； 所以， 设，又， 所以，即，故B对； 因为，所以点M在以线段为直径的圆上，且圆的方程额， 因为点M在双曲线的右支上，不妨设M在第二象限，设， 由， 所以, 直线的方程为，设, 由，消元得， 所以， 所以， 又，所以的内切圆半径为，故C错； 由，所以在直角中，，故D对； 故选：ABD 11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面为六边形 B．点G到平面的距离为定值 C．若，且，则G为棱的中点 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用空间向量推得四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D，从而得解. 【详解】对于A，连接， 在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以，， 所以，则平面与平面为同一平面， 所以平面截正方体所得截面为平面，为四边形，故A错误； 对于B，在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，连接， 因为，且，所以四点共面， 因为在正方体中，平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，则，则， 因为E为棱的中点，所以G为棱的中点，故C正确； 对于D，以为原点，建立空间直角坐标系，如图，    设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知抛物线，准线为l，过的直线交抛物线于A，B两点，AP垂直l于点P，点C满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，联立抛物线并应用韦达定理得，再结合抛物线定义及已知得，应用基本不等式求最小值. 【详解】由题设，可设，联立抛物线得，， 若且，则，，故， 由抛物线定义知，，， 由，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为.    故答案为： 13．已知圆上任意一点，的取值与的位置无关，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知直线，直线位于圆的两侧，且与圆均不相交，从而可列出不等式得出的范围． 【详解】设直线，直线， 则到直线的距离为，到直线的距离为， 因为的取值与的位置无关，所以为常数， 所以圆在平行线之间，又直线在圆下方，所以直线在圆上方， 由，得到或， 故答案为：． 14．已知椭圆：（）的左，右焦点分别是，，下顶点为点，直线交椭圆于点，设的内切圆与相切于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】先结合椭圆的定义和切线长定理，求出的值，再设，在中，利用余弦定理列式，可求的值. 【详解】如图：    设的内切圆与、相切于点、， 由切线长定理可得：，，. 又，所以，所以. 由椭圆的定义可知：， 即， 故. 因为，所以. 设，则，，又， 所以在中，， 即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中∠ABC＝45°，，E为棱PC上一动点. (1)若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC； (2)若E是棱PC上靠近P的三等分点，求平面ABE和平面PBE夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题设可得，由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定、性质定理得，等腰三角形性质得，最后根据线面垂直的判定证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值即可. 【详解】（1）由题设， 所以， 由PA⊥平面ABCD，面，则， 又均在面内，所以面， 由面，则， 因为，且E为PC中点，则， 由均在面内，所以AE⊥平面PBC； （2）由（1），且四边形ABCD为平行四边形，则， 又PA⊥平面ABCD，故可构建如图所示的空间直角坐标系， 所以， 由，则， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得， 若平面ABE和平面PBE夹角为，则. 16．如图，是过抛物线焦点F的弦，M是的中点，是抛物线的准线，为垂足，点N坐标为. (1)求抛物线的方程； (2)求的面积（O为坐标系原点）. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由已知得准线方程为：，由此可求得抛物线的方程； （2）设，代入抛物线的方程作差得，再由M是的中点，求得，由此求得直线的方程，与抛物线的方程联立可求得弦长AB，由三角形的面积公式可求得答案. 【详解】（1）解：点在准线上，所以准线方程为：， 则，解得，所以抛物线的方程为：； （2）解：设，由在抛物线上， 所以，则， 又，所以点M纵坐标为是的中点，所以， 所以，即，又知焦点F坐标为，则直线的方程为：， 联立抛物线的方程，得，解得或，所以， 所以. 17．已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)； (2)，或. 【分析】（1）根据题意 ，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由圆关于直线对称， 即圆心在直线，满足， 即圆， 又因为在圆上，所以，解得， 所以圆的方程为. （2）解：由，可得， 联立方程组，解得，即直线过定点， 又由由（1）圆心为，可得，因为， 所以当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径， 此时点C到直线l的距离，， 所以可以取到，所以，解得或， 故所求直线l的方程为或. 18．如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，答案见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定可得平面，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证. （2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点到平面的距离. （3）由面面垂直的性质得到点到平面的距离为即是的长度，再由勾股定理确定点的位置即可. 【详解】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得， 又平面平面，平面平面，面ABC， 则平面，又平面，于是，而，则， 又，平面，因此平面，又平面， 所以 （2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高， 由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为， 设点到平面的距离为d，由，得， 而，，则的面积， 由，，得，又，，则， 又，，由余弦定理得， 则，的面积， 则，即 ，所以点到平面的距离为. （3） 设存在， 如图，由平面平面可得平面， 由（2）可得点到平面的距离为即是的长度， 在中，， 所以. 19．已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线过定点. 【答案】(1)椭圆的方程为 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及的周长，可得的值，从而可求解椭圆方程； （2）（i）先利用点的坐标表示出两条直线的斜率，再结合椭圆的方程，代入化简即可；（ii）联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理与（i）中斜率乘积为定值，化简求得定点坐标，即可证得结论． 【详解】（1）依题意可设椭圆，且， 又的周长为，即， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）证明：（i）设,，,，， 由（1）可知，， 所以，， 因为，即，所以， 所以， 又，所以， 所以； （ii）因为直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，， 由（i）可知，，即， 所以， 即， 化简得，解得或（舍去）， 所以直线的方程为， 所以直线经过轴上的定点，定点坐标为． 【点睛】①计算优化：最后一问由为定值可以通过平移齐次化求定点（符合手电筒模型） 遇到斜率和积为定值与直线定点问题结合时可以考虑平移+齐次化的方法，和常规方法相比大大优化了计算难度，不过注意正规考试中如果答案算了一般不会给步骤分 【手电筒模型】直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆上异于AB的任意一点，若定值或定值(不为0)，则直线AB会过定点． (因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)． 【坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移） Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理 Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系， Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去! ②模型解读：最后一问有极点极线背景，可以快速得出所过定点为极线所对应的极点，即 【极点极线之椭圆内接四边形】 若ABCD是椭圆的一个内接四边形， 点P是四边形对角线的交点， 则： 同理, 为点对应的极线, 为点所对应的极线. 因而将称为自极三点形. 设直线交圆锥曲线于点两点, 则, 恰为圆锥曲线的两条切线. 4 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学第二次阶段测 说明：本试卷以中档题为主，减少了基础题与压轴题，适合中等生 考试范围：空间向量+直线与圆+圆锥曲线 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知直线与，则“”是“”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．已知正方体中，为平面上一动点，若到的距离与到的距离相等，则的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．如图，二面角的大小为，棱上有两点，线段，，，.若，，，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 4．关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为.”设椭圆的左焦点为，右顶点为，过且垂直于轴的直线与的一个交点为，过作椭圆的切线，若切线的斜率与直线的斜率满足，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．如图，设抛物线的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ，，其中点 ，在抛物线上，点 在轴上，则 与的面积之比是 A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 8．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知点是圆上任意一点，直线：分别与轴、轴相交于点，则（    ） A．直线与圆相离 B．面积的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 10．如图，，为双曲线的左右焦点，，为该双曲线的两条渐近线，到一条渐近线的距离为2，过的直线与双曲线左右两支分别交于点M，N，.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的内切圆半径是 D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面为六边形 B．点G到平面的距离为定值 C．若，且，则G为棱的中点 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知抛物线，准线为l，过的直线交抛物线于A，B两点，AP垂直l于点P，点C满足，则的最小值为 . 13．已知圆上任意一点，的取值与的位置无关，则的取值范围是 . 14．已知椭圆：（）的左，右焦点分别是，，下顶点为点，直线交椭圆于点，设的内切圆与相切于点，若，则的长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中∠ABC＝45°，，E为棱PC上一动点. (1)若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC； (2)若E是棱PC上靠近P的三等分点，求平面ABE和平面PBE夹角的余弦值. 16．如图，是过抛物线焦点F的弦，M是的中点，是抛物线的准线，为垂足，点N坐标为. (1)求抛物线的方程；(2)求的面积（O为坐标系原点）. 17．已知圆关于直线对称，且在圆上. (1)求圆C的标准方程； (2)若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程. 18．如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，，平面平面. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)线段是否存在一点，使得平面平面，如果存在找出点的位置，不存在请说明理由. 19．已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线过定点. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$