经典奥数-立体图形表面积和体积12种类型精讲精练-小升初奥数应用题讲义

小升初经典奥数——表面积和体积12种类型讲练测 本章讲义在立足课本的基础上，对重难点进行引申和拓展，有机渗透各种数学思想和创新思维方法，通过剖析竞赛真题，将课本知识内联和外延、迁移和重组，使课本与竞赛一体化，使奥数不再遥不可及！ 三大板块： 经典范例——通过解题思路及技巧的点拨，领会解题原理，建立思维模型。 巩固提升——在“经典范例”的基础上强化解题能力，巩固知识点。 综合测试——提升综合能力，累积考试经验。 朱熹曰：有疑者，须教有疑；有疑者，却要无疑，到这里方是长进。我期盼，通过本章讲义，让更多的学子思维得到发展，素养得到提升！ ‌ 立体图形的表面积和体积是几何学中的重要概念，分别表示一个立体图形所有面的面积总和和物体所占空间的大小。基本公式如下： 图形 表面积 体积 长方体 （长×宽+长×高+宽×高）×2 S=2（ab+ah+bh） 长×宽×高 V=abh 正方体 棱长×棱长×6 S=6a2 棱长×棱长×棱长 V=a3 圆柱体 侧面积+底面积×2 S=ch+2πr3 底面积×高 V=sh 圆锥体 ×底面积×高 V=sh 在小学数学竞赛中,我们经常会碰到一些求立体图形的表面积和体积的题目,解答这类题目时,我们必须把构成几何图形的诸多条件沟通起来,依据已有的空间观念,观察经过割、补、拼、卷、挖后物体的表面积或体积所发生的变化,合理大胆想象,正确灵活地计算。 （切割）如下图所示，一个圆柱体,如果沿着与底面平行的面切成3段,表面积增加50.24平方厘米。如果沿着直径切割成两个半圆柱，表面积增加40平方厘米。这个圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【思路导航】圆柱体积=底面积×高，即V=s×h。截成3段，表面积增加了4个底面积，每个底面积为50.24÷4=12.56（平方厘米），r2=S÷π=12.56÷3.14=4=22，d=2×2=4（厘米）；沿直径纵切表面积增加了2个长方形的面积，长方形的一条边为直径，另一条边为圆柱的高，h=40÷2÷4=5（厘米）。所以V=s×h=12.56×5=62.8（平方厘米） 底面积：S=50.24÷4=12.56（平方厘米） r2=S÷π=12.56÷3.14=4=22，所以r=2（厘米） d=2×2=4（厘米） h=40÷2÷4=5（厘米）。 所以V=s×h=12.56×5=62.8（平方厘米） 1.如下图,有两个棱长都是10厘米的正方体木块。从正方体木块A中削去一个底面直径为8厘米、高10厘米的圆柱形木块,从正方体木块B中削去4个底面直径为5厘米、高10厘米的圆柱形木块。剩下的木料,哪个多?多多少?(请用计算过程说明理由) 2.一个正方体木块,将它削成一个最大的圆柱体,这个圆柱体的侧面积是 314平方厘米,原来正方体的表面积是多少平方厘米? 3.有一块棱长分别是8分米,6分米,4分米的长方体木块,把它切割成体积尽可能大的圆锥体木块。这个圆锥体木块的体积是多少立方分米? （切拼）将一个底面直径是8分米的圆柱,沿底面直径垂直切割开，再拼成一个近似的长方体。那么它的表面积增加80平方分米,这个圆柱的体积是多少立方分米? 【思路导航】考查圆柱表面积公式的推导过程。通过切拼法，把圆柱转化为近似的长方体。长方体的长相当于圆柱的底面周长的一半，宽相当于圆柱底面的半径，高等于圆柱的高。转化后，体积不变，表面积增加了左右两个侧面积。 h=80÷2÷8=5（分米），r=8÷2=4（分米） V=s×h=πr2×h=3.14×42×4200.96（平方分米） 1.如图所示,把一个高为10厘米的圆柱切成若干等份,如果这个长方体的底面积是50平方厘米,那么圆柱体积是( )。 A.500 立方厘米 B.250 立方厘米 C.1000 立方厘米 D.50立方厘米 2.如图所示,用铁皮做一根空心的管子,需要用铁皮多少平方厘米?(单位:cm) 3.一个圆柱的体积是50.24立方厘米底面半径是2厘米,将它的底面平均分成若干个扇形后,再截开拼成一个和它等底等高的长方体,表面积增加了多少平方厘米? （拼接）老师用橡皮泥做了一个长方体,如果把这个长方体的长增加3厘米,体积就增加60立方厘米,如果宽增加6厘米,体积就增加90立方厘米,如果高增加8厘米,体积就增加96立方厘米,求原来长方体的表面积是多少? 【思路导航】长方体的长增加3厘米，体积就会增加（宽×高）×3，所以宽×高=60÷3=20（平方厘米）；如果宽增加6厘米，体积就会增加（长×高）×6，所以长×高=90÷6=15（平方厘米）；如果高增加3厘米，体积就会增加（长×宽）×8，所以长×宽=96÷8=12（平方厘米）。所以（宽×高）×（长×高）×（长×宽）=20×15×12=3600（立方厘米）=（长×宽×高）2=602，所以体积=长×宽×高=60（立方厘米） 宽×高=60÷3=20（平方厘米） 长×高=90÷6=15（平方厘米） 长×宽=96÷8=12（平方厘米） （宽×高）×（长×高）×（长×宽）=（长×宽×高）2=20×15×12=3600=602 体积=长×宽×高=60（立方厘米） 1.一根长1米，宽和高都是8厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？（一定要弄清楚减少了哪些面的面积） 2.如图所示,一个物体由三个圆柱体组成,它们的底面半径分别为1.5dm、3dm 和5dm,而高都是 2dm,则这个物体的表面积是多少平方分米? 3.一个底面为正方形的长方体的高增加3厘米后成为一个正方体，且表面积增加了48平方厘米，则原长方体的体积为立方米。 （卷折）把一张长9分米,宽6分米的长方形纸卷成一个圆柱体,并且将这个圆柱体直立在桌面上,它的最小容积是多少立方分米? (π取 3) 【思路导航】这题考查圆柱体的侧面展开图。圆柱体的侧面展开图是一个长方形，长方形的长为底面周长，宽为高。所以把把一张长9分米,宽6分米的长方形纸卷成一个圆柱体,有两种卷法。 分类讨论：1.如果以长9分米做圆柱的底面周长，则圆柱的高就是6分米，根据底面周长求出底面半径，再求出底面积即可。底面半径为9÷3÷2=1.5（分米），体积为3×1.52×6=40.5（立方分米） 2.如果以宽6分米做圆柱的底面周长，则圆柱的高就是9分米，根据底面周长求出底面半径，再求出底面积即可。底面半径为6÷3÷2=1（分米），体积为3×12×9=27（立方分米），所以圆柱的容积最小是27立方分米。 体积最大为3×（9÷3÷2）2×6=40.5（立方分米） 体积最小为3×（6÷3÷2）2×9=27（立方分米） 【小结】以长方形长为底面周长，卷成的圆柱体体积最大，相反以长方形的宽为底面周长得到的圆柱体的体积最小。（胖矮体积大，高瘦体积小） 1.用圆心角 216°、半径10厘米的扇形卷成一个高8厘米的圆锥(没有重叠)。求这个圆锥的体积。 2. 把一张长18分米,宽12分米的长方形纸卷成一个圆柱体,求这个圆柱体的体积最大是多少立方分米? (π取 3) 3.下图是一个长方体的展开图，求原来长方体的体积。 （熔铸）王叔叔想将一块长方体钢坯铸造成一个底面直径为6dm的圆锥形模型,铸成的圆锥形模型高多少分米?(5分) 【思路导航】本题考查知识点为熔铸问题。关键问题是抓住物体形变而体积不变的原理， 即长方体的体积等于圆锥的体积，通过圆锥的体积和底面积，求出圆锥的高。 h=V锥÷s÷=（9.42×3×5）÷[3.14×（6÷2）2]÷=15（厘米） 1.将表面积为24平方厘米、54平方厘米、216平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗）。求这个大正方体的体积。 2.学校把一个堆成底面直径2米,高5米的圆锥形沙子,填铺到一个长8米,宽3.14 米的沙坑里,可以铺多厚?(π取3.14,结果保留两位小数) 3.把一个高6厘米的圆柱熔铸成一个圆锥,圆锥的底面积是圆柱底面积的2倍,圆锥的高为多少? （旋转）把一个长方形按照如下的方式进行两等分，并把这个长方形绕长进行旋转，所形成的立体图形中，空白部分与阴影部分的体积比是3:1的是（ ）。 【思路导航】本题主要考查以长方形和三角形一条边为轴旋转一周得到的几何体体积，关键是画出旋转后的图形。 如图所示，选项A旋转后空白部分与阴影部分的体积之比为1:1；选项B得到的阴影圆柱体与大圆柱体的半径之比为1:2，底面积之比为1:4，所以空白部分体积与阴影圆柱体的体积之比为（4-1）：1=3:1；选项C体积之比为1:2；选项D的体积之比为1:2.所以正确选项为B. 1.如图1所示，求三角形绕 AC 轴旋转一周后形成的立体图形的体积。（单位：cm） 2.如图2所示，,ABCD是直角梯形,AB长9厘米,DC长15厘米,BC长5厘米,若以AB为轴,以BC为半径,将直角梯形旋转一周,那么所得旋转体的体积是多少立方厘米？(π取 3.14) 3.左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6．如果按照图3中所示的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？ （展开）在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥模型（如上图所示）。如果圆的半径为a，扇形的半径为b，那么b:a=（ ）。 A.9:2 B.4:1 C.7:2 D.3:1 【思路导航】本题考查的知识点为圆锥体表面展开图为一个扇形和一个圆。关键是掌握展开图中直角扇形与圆的关系。它们的关系就是直角扇形的弧长等于圆的周长。从而得到2×π×b÷4=2×π×a，b=4a，即b：a=4:1。 扇形弧长=圆周长 2×π×b÷4=2×π×a， b=4a，即b：a=4:1 1.一张长方形铁皮,阴影部分(如图)刚好可以做成一个圆柱形油桶,求油桶的体积。 2.如图,长方形铁皮 ABCD的宽 AB的长度是40厘米，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱体油桶(接头处忽略不计)。这个油桶的表面积是平方厘米。(π取 3.14) 3. 一个底面为5cm，宽为4cm的长方体侧面展开图是一个长方形，求原来长方体的体积。 （倒置）如图所示,瓶子的高为25 cm,下部呈圆柱形。瓶子内装420克油,油的高度是14cm;若将其倒立,则油的高度是18cm。这个瓶子能装多少克油? 【思路导航】本题考查不规则圆柱体的容积计算问题，通过倒置把不规则的圆柱体转化为一个规则的圆柱体二求得体积。原理是瓶子的体积=空白部分体积+油的体积，因为倒置后空白部分与倒置前空白部分容积相等，可以互换，从而得到一个规则圆柱。 倒置后空白部分高度为25-18=7（厘米） 14厘米高圆柱能装油420克，所以7厘米高圆柱能装油420÷（14÷7）=210（克） 一共装油420+210=630（克） 1.如图所示，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实心圆柱体（如图1），容器内盛有m升水时，水面恰好经过圆柱体的上底面。如果将容器倒置，圆柱体有8厘米露出水面（如图2）。已知圆柱体的底面积是正方体底面积的，求实心圆柱体的体积。 2.如图所示为一个容积为2.5L的酸奶瓶,瓶内酸奶高为20cm。把酸奶瓶盖拧紧倒放，这时瓶中空的部分高为5cm,请你算一算,瓶内酸奶的体积是多少? 3. 如下图所示,一个下面是圆柱体、上面是圆锥体的容器,圆柱体的高是10厘米,圆锥的高是6厘米,容器内的液面高7厘米。当将这个容器倒过来放时,从圆锥的尖到液面的高是多少厘米。 （捆绑）长10厘米、直径2厘米的三根圆柱捆成一捆（如图），用一张纸将这捆圆柱侧面包起来（纸要绷紧），至少需要多少的面积的纸？ 【思路导航】如截面示意图，可以得出这捆圆柱包装纸的侧面是由3个相同的长方形和3个的圆柱体表面组成的，即3个长方形面积+圆柱体侧面积；长方形的长为圆柱体长，宽为圆柱体底面直径。 10×2×3+π×2×10=122.8（平方厘米） 1.快递公司把一个正方体形状的物体用纸箱包装好，再用包装绳以如图所示的方式捆起来，一共要用多少厘米长的包装绳?(接头处共用了20cm长的包装绳) 2.把四根直径为20厘米的圆柱形木料用绳子捆成一捆,两头都捆，每头都捆了3圈。求绳子长度。（接头忽略不计） 3.有7根直径都是10厘米的圆柱形木棍，想用绳子把它们捆成一捆，最短需要多长的绳子？ （挖空）如图,在一个高10厘米，底面半径为5厘米思维圆柱上挖一个底面边长为2厘米的方形孔,得到的几何体的表面积是多少平方厘米? 【思路导航】此题考查挖掉一个长方体后表面积计算方法。挖掉一个长方体后，表面有减少部分面，也有增加部分面。减少部分面是圆柱上、下两个底面各挖去了一个正方形，增加部分面是内部新多出了长方体的四个侧面。 圆柱体的表面积：侧面积+底面积×2=2×π×5×10+π×52×2=314+157=471（平方厘米） 减少的2个正方形的面积：2×2×2=8（平方厘米） 新增加的长方体的侧面积：2×10×4=80（平方厘米） 得到的几何体的表面积：471+80-8=543（平方厘米） 1.有一棱长为5cm的正方体机器零件,现在它的上下面挖去了一个直径为2 cm的圆孔,求剩下机器零件的表面积和体积。(7分) 2.在一个棱长为4厘米的正方体的前、后、上、下、左、右6个面的中心位置各挖去一个底面半径为1厘米,高是1厘米的圆柱,求挖去后物体的表面积。(π取 3.14) 3.如图,在一个长方体蓄水槽里,把一段底面半径是5cm的圆钢全部浸入水中，水面就上升了9cm;把圆钢竖着拉出水面8cm后，水面就下降4cm。求圆钢的体积。(π=3.14) 一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为5cm，原容器内水的高度为12cm，把一根半径为1cm的玻璃棒垂直插入水中后，容器内的水将升高多少厘米？ 【思路导航】此题考查未完全插入后水的高度变化情况。水的体积一定，底面积和高正反比例。因为水的底面积减少了一个玻璃棒的底面积，所以水面上升。 水面现在的高度=水的体积÷水的底面积=水的体积÷（容器底面积-玻璃棒底面积）。 π×52×12×（π×52-π×12）=12.5（厘米） 上升高度=12.5-12=0.5（厘米） 1.一个圆柱形的水桶，底面直径是40厘米，里面装有80厘米深的水。现将一个底面周长为62.8厘米圆锥形铁块沉浸在水桶之中(水未溢出)，水面比原来上升了,圆锥形铁块的高是多少厘米? 2.一个空的圆柱形容器的底部放着一块正方体铅块，现在打开水龙头向容器内注水。15秒时恰好没过铅块的上表面，又过了1分半钟，水注满了容器。若容器高度是24厘米，铅块高度是6厘米，则容器的底面积是多少平方厘米？ 3.一个底面是正方形的容器里盛有水,从里面量边长是13厘米,水的高度是6厘米,把一个15厘米高的铁质实心圆锥直立在容器里,水的高度上升到10厘米。圆锥的体积是多少立方厘米? 下图所示，有一个长方体，正面和上面的两个面的面积和为209平方厘米，且长、宽、高都是质数，求它的体积。 【思路导航】本题主要考查正方体表面积和质数的相关知识点。 长方体正面面积为ah，上面面积为bh，ah+bh=(a+b)h=209;209=11×19，所以分两类情况讨论： 情况一：当a+b=11,h=19,因为a、b、h都为质数，根据和的奇偶性，可以得出a、b一定有一个2和9，而9不是质数，此情况不符合题意； 情况二：当a+b=19,h=11,同理可得a、b中的数有2和17，符合题意。得出长方体体积为2×17×11=374（立方厘米） 1.下图所示，有一个长方体，正面和上面的两个面的面积和为91平方厘米，且长、宽、高都是质数，求它的体积。 2.一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数，它的体积是 39270立方厘米。那么，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 满分：100分 时间：90分钟 一、填空题（每题5分，共55分） 1.一个长方形，长:宽=14:5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米。原来长方形的面积是( )平方厘米。 2.一个底面半径为10cm,高为12cm的圆锥体铁块,可铸成完整的长方体(长5cm、宽4cm、高4cm)铁块最多（ ）块。 3.一个圆柱的高增加2厘米,如果它的表面积增加50.24平方厘米,它的体积要增加（ ）立方厘米。 4.有一个圆柱体,高是底面半径的3倍。将它如图分成大、小两个圆柱体,大圆柱体的表面积是小圆柱体的3倍。那么,大圆柱体的体积是小圆柱体的（ ）倍。 5.一张扇形薄铁片,弧长18.84分米,它能够围成一个高4分米的圆锥,求圆锥的容积是（ ）立方分米。 6.把一个圆锥形容器倒放于桌面上,里面装有3升水,水面高度正好是圆锥高度的-半,这个容器还能装（ ）升水。 7.一个棱长为40厘米的正方体零件的上、下两个面上,各有一个直径为4厘米的圆孔,孔深为10厘米,这个零件的表面积是（ ）平方厘米。 8.如图,一个直角三角形,两条直角边分别为3厘米、4厘米,斜边的长为5厘米,如果以斜边为轴旋转一周,所形成的立体图形的体积是（ ）立方厘米。 9.在一个圆柱形容器里盛有一部分水,已知圆柱形容器底面半径为10cm,水深9cm。将一个底面半径为5cm,高为15cm的铁圆柱垂直放人水中,使圆柱底面与容器底面接触,此时水深为（ ）厘米。 10.一个长方体水箱,长50cm、宽 40cm、高 70cm,水箱上部安装了一个进水管A，底部安装了一个放水管B,先开A管,过一段时间后接着打开B管,下边折线统计图表示水箱中水位的变化情况。 (1)10分钟后两管同时打开,这时水深( )cm。 (2)A 管每分钟进水( )cm,B管每分钟放水( )cm。 11.一个棱长为3厘米的正方体表面涂满了绿油漆,然后锯成棱长都是1厘米的小正方体，那么锯成的小正方体木块中: (1)3个面涂有绿油漆的小正方体有（ ）块。 (2)2个面涂有绿油漆的小正方体有（ ）块。 (3)1个面涂有绿油漆的小正方体有（ ）块。 (4)6个面都没有绿油漆的小正方体有（ ）块。 二、解决问题（每题5分，共45分） 12.有两块同样的长10厘米、宽6厘米、高8厘米的长方体木块,如果把其中一块加工成最大的正方体,另一块加工成最大的圆柱体,那么加工后的正方体与圆柱体表面积之和是多少?把正方体和圆柱体再分别加工成最大的圆锥体,那么两个圆锥体体积之和是多少? 13.有甲、乙两只圆柱形玻璃杯,其内直径依次为10cm、20cm,杯中盛有适量的水,甲杯中沉没着一铁块。当取了铁块后,甲杯中的水位下降了2cm,然后将铁块沉没于乙杯,且乙杯中的水未外溢,这时乙杯中的水位上升了多少厘米? 14.牙膏出口处直径为5㎜，小颖每次刷牙挤出1㎝长的牙膏，这样，一支牙膏可用36次，该品牌牙膏推出的新包装是将出口直径改为6㎜，小颖还是按习惯每次挤出1㎝长的牙膏，这样，这一只牙膏能用多少次？ 15.两个同样的圆柱池A和B,深度都是1.2米,1号抽水机18分钟可将A池注满,2号抽水机24分钟可将A池的满池水注入B池。现在A池中有池水,B池中没有水,同时打开1号、2号抽水机,当A池中水深0.6米时,同时关闭两个抽水机,此时 B池水深多少? 16.现有甲、乙两个圆柱体容器,甲容器底面半径4厘米、高10厘米,盛有8.5厘米深的水;乙容器底面半径3厘米、高10厘米。现在将甲容器中的部分水倒人乙容器,使甲、乙两容器的水深比为1:2。问:现在两个容器里各装有多少水? 17. 一个圆柱底面半径为2分米,如把其底面分成若干个相等的扇形,然后把圆柱体按扇形的半径一一切开,拼成了一个与它等底等高的近似长方体,长方体的表面积比圆柱体的表面积增加24平方分米,求原来圆柱体的表面积是多少? 18.如图所示，一个圆柱形容器内放有一个长方体铁块,现打开水龙头往容器中灌水,3分钟时水面恰好没过长方体顶面,再过12分钟水已灌满容器。已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，则长方体的底面面积和容器底面面积之比为（ ）。 19.一个底面半径是8厘米的圆柱形玻璃容器里装有一部分水,水中浸没着一个高为12厘米的圆锥铅锤当铅锤从水中取出后,水面下降了0.5厘米。这个圆锥体的底面积是多少平方厘米?(π取 3.14) 20.有甲、乙两个圆柱形容器,它们的底面直径分别为4厘米和8厘米，高分别为36厘米和10厘米,我们先向甲容器中倒满水,然后将甲容器中的水全部倒入乙容器中。问乙容器中的水面离容器口还有多少厘米? 【巩固提升】参考答案 1.如下图,有两个棱长都是10厘米的正方体木块。从正方体木块A中削去一个底面直径为8厘米、高10厘米的圆柱形木块,从正方体木块B中削去4个底面直径为5厘米、高10厘米的圆柱形木块。剩下的木料,哪个多?多多少?(请用计算过程说明理由) 【思路导航】用正方体的体积-圆柱体的体积=剩下的体积 A中剩下的木料体积为103-3.14×（8÷2）2×10=1000-502.4=497.6（立方厘米） B中剩下的木料体积为103-3.14×（5÷2）2×10×4=1000-785=215（立方厘米） 相差体积为496.5-215=281.6（立方厘米） 或直接用B中圆柱体体积-A中圆柱体体积=3.14×（5÷2）2×10×4-3.14×（8÷2）2×10=281.6（立方厘米） 2.一个正方体木块,将它削成一个最大的圆柱体,这个圆柱体的侧面积是 314平方厘米,原来正方体的表面积是多少平方厘米? 【思路导航】此题关键求出圆柱直径即正方体棱长。 圆柱体侧面积=底面周长×高 从条件中“最大”得出圆柱体底面直径=高 所以πd×h=314，即πd×d=314，d×d=314÷3.14=100=10×10 所以d=h=10厘米 正方体体积为10×10×10=1000（立方厘米） 3.有一块棱长分别是8分米,6分米,4分米的长方体木块,把它切割成体积尽可能大的圆锥体木块。这个圆锥体木块的体积是多少立方分米? 【思路导航】分三类讨论。 情况一：以8分米为圆锥高，则圆锥底面积为π×（4÷2）2=4π 情况二：以6分米为圆锥高，则圆锥底面积为π×（4÷2）2=4π 情况三：以4分米为圆锥高，则圆锥底面积为π×（6÷2）2=9π 体积最大的是情况三：9π×4=36π=113.04（立方分米） 1.如图所示,把一个高为10厘米的圆柱切成若干等份,如果这个长方体的底面积是50平方厘米,那么圆柱体积是( )。 A.500 立方厘米 B.250 立方厘米 C.1000 立方厘米 D.50立方厘米 【思路导航】圆柱体转化为长方体，体积不变，底面积和高都不变。 所以圆柱体积为50×10=500（立方厘米） 2.如图所示,用铁皮做一根空心的管子,需要用铁皮多少平方厘米?(单位:cm) 【思路导航】可以采用转化思想，再增加一个同样管子可以拼成一个规则的圆柱体，这个圆柱体的高为8+12=20（厘米），底面直径不变。 圆柱侧面积=底面周长×高=3.14×4×20=251.2（平方厘米） 所以这根钢管的材料面积为251.2÷2=125.6（平方厘米） 3.一个圆柱的体积是50.24立方厘米底面半径是2厘米,将它的底面平均分成若干个扇形后,再截开拼成一个和它等底等高的长方体,表面积增加了多少平方厘米? 【思路导航】根据圆柱体的体积公式推导过程,要求增加的表面积,实际上是求拼成的长方体的两个侧面积之和,体积÷长=侧面积。 50.24÷(22×3.14)x2=8(平方厘米) 答:表面积增加了8平方厘米。 1.一根长1米，宽和高都是8厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？（一定要弄清楚减少了哪些面的面积） 【思路导航】考查长方体截去一段后表面积变化情况是，增加了一个正方形，减少了5个正方形，合起来一共减少了4个正方形面积 8×8×4=256（平方厘米） 2.如图所示,一个物体由三个圆柱体组成,它们的底面半径分别为1.5dm、3dm 和5dm,而高都是 2dm,则这个物体的表面积是多少平方分米? 【思路导航】考查组合体的表面积计算方法。可以采用三视图法，从上观察看到了一个大圆，相对的底面也是同样大的圆，侧面是三个圆柱的侧面积之和。 2个大圆面积+三个圆柱侧面积 π×52×2+2π×（1.5+3+5）×2=69π=216.66（平方分米） 3.一个底面为正方形的长方体的高增加3厘米后成为一个正方体，且表面积增加了48平方厘米，则原长方体的体积为立方米。 【思路导航】由题意可知:一个长方体的高增加3厘米，得到的新正方体的表面积比原长方体增加了48平方厘米，增加的48平方厘米是以正方体的底面周长为长3 厘米为宽的长方形的面积，因此，用48除以3求出底面周长，进而求出底面边长(即正方体的棱长)，然后用边长减去3厘米，得到长方体的高，最后利用长方体的体积公式:V=abh，把数据代入公式解答。 48-3=16(厘米)16÷4=4(厘米) 4×4×(4-3)=16(立方厘米) 答案:16 1.用圆心角 216°、半径10厘米的扇形卷成一个高8厘米的圆锥(没有重叠)。求这个圆锥的体积。 【思路导航】此题考查圆锥的体积和表面展开图。圆锥的表面由底面和侧面组成，侧面展开图是一个扇形；扇形的弧长等于底面周长，这个小时理解起来有点难度。所以必须要先求出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，通过底面圆的周长求出半径。 底面周长：2×3.14×10× 圆锥的底面半径：2×3.14×10×÷3.14÷2=6（厘米） 圆锥的底面积：3.14×62 圆锥体积： ×（3.14×62）×8=301.44（平方厘米） 2. 把一张长18分米,宽12分米的长方形纸卷成一个圆柱体,求这个圆柱体的体积最大是多少立方分米? (π取 3) 【思路导航】考查面卷体知识点，怎样卷得到的几何体（圆柱体）体积最大问题：胖矮的圆柱体体积最大。以18分米为圆柱底面周长，12分米为圆柱高。 体积最大为3.14×（18÷3÷2）2×12=3.14×108=339.12（立方分米） 3.下图是一个长方体的展开图，求原来长方体的体积。 【思路导航】考查长方体表面展开图知识点。长为8厘米，宽为6厘米，高为2厘米。直接利用公式求出长方体体积。 长方体体积=长×宽×高=8×6×2=96（立方厘米） 1.将表面积为24平方厘米、54平方厘米、216平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗）。求这个大正方体的体积。 【思路导航】熔铸问题。熔铸后的正方体体积与原来三个小正方体的体积之和相等。 已知正方体的表面积求出棱长即可。 24平方厘米的正方体的棱长为：24÷6=4=2×2，棱长为2厘米。 54平方厘米的正方体的棱长为：54÷6=9=3×3，棱长为3厘米。 216平方厘米的正方体的棱长为：216÷6=36=6×6，棱长为6厘米。 大正方体体积为：23+33+63=8+27+216=251（立方厘米） 2.学校把一个堆成底面直径2米,高5米的圆锥形沙子,填铺到一个长8米,宽3.14 米的沙坑里,可以铺多厚?(π取3.14,结果保留两位小数) 【思路导航】考查圆锥形沙堆铺在路面上变为长方体，利用长方体体积÷长÷宽=高。 ×3.14×（2÷2）2×5÷8÷3.14≈0.21（米） 3.把一个高6厘米的圆柱熔铸成一个圆锥,圆锥的底面积是圆柱底面积的2倍,圆锥的高为多少? 【思路导航】体积不变。 圆柱与圆锥体积之比为1:1 底面积之比为1:2 高之比为（1÷1）：（1÷÷2）=2:3 圆锥高为6÷2×3=9（厘米） 1.如图1所示，求三角形绕 AC 轴旋转一周后形成的立体图形的体积。（单位：cm） 【思路导航】考查平面图形绕轴旋转后得到的几何体的体积。以AC为轴，则AC为旋转后得到的圆锥体的高，BC为圆锥体的底面半径。 圆锥体积=×底面积×高=×π×62×8=301.44（立方厘米） 2.如图2所示，ABCD是直角梯形,AB长9厘米,DC长15厘米,BC长5厘米,若以AB为轴,以BC为半径,将直角梯形旋转一周,那么所得旋转体的体积是多少立方厘米？(π取 3.14) 【思路导航】求旋转体体积。旋转后的到一个圆柱体-圆锥体，如图所示。 圆柱体积-圆锥体积=π×52×15-×π×52×（15-9）=325π=1020.5（立方厘米） 3.左边正方形的边长为4，右边正方形对角线长度为6．如果按照图3中所示的方式旋转，那么得到的两个旋转体的体积之比是多少？ 【思路导航】左图旋转后得到一个圆柱体，圆柱体的半径为2，高为4；右边以正方形对角线为轴旋转得到两个高为3，半径为3的圆锥体。 体积之比为：π×（22×4）：×（π×32）×3×2=8:9 1.一张长方形铁皮,阴影部分(如图)刚好可以做成一个圆柱形油桶,求油桶的体积。 【思路导航】考察圆柱体表面展开图。展开后的侧面的底面周长与圆周长相等。 如图所示，底面周长+d=16.56，（π+1）d=16.56，d=4（厘米） h=2d=2×4=8（厘米） V=sh=π×（4÷2）2×8=100.48（立方厘米） 2.如图,长方形铁皮 ABCD的宽 AB的长度是40厘米，利用图中的阴影部分刚好能做成一个圆柱体油桶(接头处忽略不计)。这个油桶的表面积是平方厘米。(π取 3.14) 【思路导航】考察圆柱体表面展开图。展开后的侧面的底面周长与圆周长相等。40厘米等于2d，不等于圆周长，所以2d长度相当于圆柱高。 2d=h=40，则d=20（厘米）。 圆面积为3.14×（20÷2）2=314（平方厘米） 表面积=底面积×2+侧面积=314×2+3.14×20×40=3130（立方厘米） 3.一个底面为5cm，宽为4cm的长方体侧面展开图是一个长方形，求原来长方体的体积。 【思路导航】考查圆柱体的侧面展开图，长方体的侧面展开图是一个长方形，长方形的长为底面周长，宽为高。长方体体积=底面积×高，所以关键是求出长方体的高。又因为展开图是一个正方形，则底面周长=高=（5+4）×2=18（厘米）。 长方体的高：（5+4）×2=18（厘米） 长方体体积=长×宽×高=5×4×18=360（立方厘米） 1.如图所示，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实心圆柱体（如图1），容器内盛有m升水时，水面恰好经过圆柱体的上底面。如果将容器倒置，圆柱体有8厘米露出水面（如图2）。已知圆柱体的底面积是正方体底面积的，求实心圆柱体的体积。 【思路导航】圆柱底面积为20×20×=50（平方厘米），露出部分8厘米高的圆柱体积为50×8=400（立方厘米），水面下降高度为400÷（20×20）=1（厘米），说明图1中水高为20-8+1=13（厘米）。所以实心圆柱体体积为13×50=650（立方厘米） 圆柱底面积：20×20×=50（平方厘米） 图2中水面比原来下降高度：50×8÷（20×20）=1（厘米） 原来图1中水高：20-8+1=13（厘米） 实心圆柱体体积：13×50=650（立方厘米） 2.如图所示为一个容积为2.5L的酸奶瓶,瓶内酸奶高为20cm。把酸奶瓶盖拧紧倒放，这时瓶中空的部分高为5cm,请你算一算,瓶内酸奶的体积是多少? 【思路导航】本题考查倒置法求不规则圆柱的体积，即通过空白部分容积+酸奶体积=空瓶容积；因左右空白部分的容积相等，可以转化为高20+=25（厘米）高圆柱体。把 空白部分容积占总容积的5÷（5+20）=，所以瓶内酸奶的体积为2.5×（1-）=2（升） 3. 如下图所示,一个下面是圆柱体、上面是圆锥体的容器,圆柱体的高是10厘米,圆锥的高是6厘米,容器内的液面高7厘米。当将这个容器倒过来放时,从圆锥的尖到液面的高是多少厘米。 【思路导航】考查等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。图中圆锥体积相当于圆柱体积的，转换成高6×=2（厘米）的圆柱体积。所以液面在圆柱部分高度为7-2=5（厘米），总高为6+5=11（厘米） 7-6×+6=11（厘米） 1.快递公司把一个正方体形状的物体用纸箱包装好，再用包装绳以如图所示的方式捆起来，一共要用多少厘米长的包装绳?(接头处共用了20cm长的包装绳) 【思路导航】采用三视图很容易求出绳子长度。四个侧面共2×4=8条高，上下共4×2=8条高，再加上接头即可求出。 40×16+20=660（厘米） 2. 把四根长直径为20厘米的圆柱形木料用绳子捆成一捆,两头都捆，每头都捆了3圈。求绳子长度。（接头忽略不计） 【思路导航】捆扎圆柱的规律‌：一圈绳子长度可以把绳子划分为8个部分，即四条线段+四条弧=四条直径+一个圆周长。 ‌ （20×4+3.14×20）×3×2=856.8（厘米） 1.有一棱长为5cm的正方体机器零件,现在它的上下面挖去了一个直径为2 cm的圆孔,求剩下机器零件的表面积和体积。(7分) 【思路导航】挖空求几何体表面积。注意增加部面积与减少部分面积即可。减少2个圆面积，增加挖去的圆柱的侧面积；几何体体积=正方体体积-挖空部分体积。 表面积：5×5×6-3.14×（2÷2）2×2+3.14×2×5=205.12（平方厘米） 体积：5×5×5-3.14×（2÷2）2×5=109.3（立方厘米） 2.在一个棱长为4厘米的正方体的前、后、上、下、左、右6个面的中心位置各挖去一个底面半径为1厘米,高是1厘米的圆柱,求挖去后物体的表面积。(π取 3.14) 【思路导航】每个面减少了一个圆，但增加了一个圆和侧面积，所以每个面相当于增加了一个侧面积，6个面总共增加了6个侧面积。 正方体的表面积：4×4×6=96（平方厘米） 增加的6个侧面积：2×3.14×1×1×6=37.68（平方厘米） 总表面积：96+37.68=133.68（平方厘米） 3.如图,在一个长方体蓄水槽里,把一段底面半径是5cm的圆钢全部浸入水中，水面就上升了9cm;把圆钢竖着拉出水面8cm后，水面就下降4cm。求圆钢的体积。(π=3.14) 【思路导航】要求出圆钢体积，必须先求出长方体的底面积。关键是抓住圆柱体露出8厘米，水面就下降4厘米；表示8厘米圆柱体积等于高度4厘米水的体积。先求出8厘米圆柱体积，再除以4厘米，即得出长方体的底面积。再用水的底面积乘以9厘米，即得出圆柱体体积。 π×52×8÷4×9=1413（立方厘米） 1.一个圆柱形的水桶，底面直径是40厘米，里面装有80厘米深的水。现将一个底面周长为62.8厘米圆锥形铁块沉浸在水桶之中(水未溢出)，水面比原来上升了,圆锥形铁块的高是多少厘米? 【思路导航】完全浸没问题。圆锥体积等于排开水的体积。 排开水的体积=圆锥体积=π×（40÷2）2×80×=2000π 圆锥高=圆锥体积÷÷底面积=2000π÷÷[π×（62.8÷3.14÷2）2]=60（厘米） 2.一个空的圆柱形容器的底部放着一块正方体铅块，现在打开水龙头向容器内注水。15秒时恰好没过铅块的上表面，又过了1分半钟，水注满了容器。若容器高度是24厘米，铅块高度是6厘米，则容器的底面积是多少平方厘米？ 【思路导航】1分半=90秒。15秒钟水刚好浸没了正方体铅块，即水高为6厘米，又过了90秒水注满了圆柱体容器，即90秒钟可注满一个高度为24-6=18（厘米）的圆柱体容器。表明注水1秒钟水可以升高18÷90=0.2（厘米），15秒可以升高0.2×15=3（厘米）。而实际15秒水高为6厘米，则得出正方体铅块的体积相当于6-3=3（厘米）高圆柱体体积。铅块体积6×6×6=216（立方厘米），得出圆柱体底面积为216÷3=72（平方厘米） 6-18÷90×15=3（厘米） 6×6×6÷3=72（平方厘米） 3.一个底面是正方形的容器里盛有水,从里面量边长是13厘米,水的高度是6厘米,把一个15厘米高的铁质实心圆锥直立在容器里,水的高度上升到10厘米。圆锥的体积是多少立方厘米? 【思路导航】未完全浸没问题。圆锥浸在水中10厘米高的体积为13×13×（10-6）=676（立方厘米）。难点是浸在水中部分体积相当于圆锥体积的几分之几，这里就应用到比的知识点。未浸在水中圆锥高为5厘米，与整个圆锥高的比是5:15=1:3，则底面半径之比也为1:3（比例尺知识）。所以为进入水中圆锥体积：总圆锥体积之比为（1×1）：（32×3）=1:27。所以浸在水中部分的体积占圆锥体积的= 13×13×（10-6）=676（立方厘米） 5:15=1:3 （1×1）：（32×3）=1:27 676÷=702（立方厘米） 1.下图所示，有一个长方体，正面和上面的两个面的面积和为91平方厘米，且长、宽、高都是质数，求它的体积。 【思路导航】本题主要考查正方体表面积和质数的相关知识点。 长方体正面面积为ah，上面面积为bh，ah+bh=(a+b)h=91;209=13×7，所以分两类情况讨论： 情况一：当a+b=13,h=7,因为a、b、h都为质数，根据和的奇偶性，可以得出a、b一定有一个2和11，符合题意，得出长方体体积为2×11×7=154（立方厘米）； 情况二：当a+b=7,h=13,同理可得a、b中的数有2和5，符合题意。得出长方体体积为2×5×13=130（立方厘米） 2.一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数，它的体积是 39270立方厘米。那么，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 【思路导航】把 39270分解质因数:39270=2×3×5×7×11×17。 可知39270=33×34×35，所以这个长方体的长、宽、高分别是 33 厘米、34 厘米、35 厘米。它的表面积:2×(33×34+33×35+34×35)=2×3467=6934(平方厘米) 答案:6934平方厘米 【经典测试】参考答案 一、填空题（每题5分，共55分） 1.一个长方形，长:宽=14:5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米。原来长方形的面积是( )平方厘米。 【思路导航】如图所示，可以采用方程法解题。 设长方形长和宽为14x：5x。 则13×（14x-13）-5x×13=182 182x -65x-169=182 117x=351 X=3 原来长方形面积为14×3×5×3=630（平方厘米） 2.一个底面半径为10cm,高为12cm的圆锥体铁块,可铸成完整的长方体(长5cm、宽4cm、高4cm)铁块最多（ ）块。 【思路导航】体积不变 ×3.14×102×12÷（5×4×4）=15.7≈15（个） 3.一个圆柱的高增加2厘米,如果它的表面积增加50.24平方厘米,它的体积要增加（ ）立方厘米。 【思路导航】增加的面积为高2厘米的圆柱体侧面积。 侧面积÷高=底面周长=50.24÷2=25.12（厘米） 半径=周长÷圆周率÷2=25.12÷3.14÷2=4（厘米） 增加体积=3.14×42×4=200.96（立方厘米） 4.有一个圆柱体,高是底面半径的3倍。将它如图分成大、小两个圆柱体,大圆柱体的表面积是小圆柱体的3倍。那么,大圆柱体的体积是小圆柱体的（ ）倍。 【思路导航】考查圆柱体表面积变化关系。因为h=3r,所以侧面积可以表示为2πr×3r=6πr2，即侧面积相当于底面积的6倍，即整个圆柱体的表面积相当于底面积圆的8倍。那么大小两个圆柱体的表面积之和为10个圆面积。又因为大小圆柱体的表面积之比为1:3，则大圆柱的表面积为两个圆柱体的表面积的，即10πr2×=7.5πr2，小圆柱的表面积为（10-7.5）πr2=2.5πr2，则大小圆柱体的侧面积之比为（7.5-2）πr2：（2.5-2）πr2=5.5:1=11:5。又因为大小圆柱体的底面周长相等，所以侧面积之比就是高之比，也就是体积之比。 ∵h=3r，∴圆柱体侧面积为2πr×3r=6πr2 大、小两个圆柱体表面积共为（6+2+2）πr2=10πr2 大、小两个圆柱体表面积之比为3:1 则大小圆柱体的表面积分别为10πr2×=7.5πr2、2.5πr2 ∴大小圆柱体的侧面积之比为（7.5-2）πr2：（2.5-2）πr2=5.5:1=11:5 大小圆柱体的体积之比为11:5 5.一张扇形薄铁片,弧长18.84分米,它能够围成一个高4分米的圆锥,求圆锥的容积是（ ）立方分米。 【思路导航】考查圆锥表面展开图，圆锥底面周长等于弧长。 半径=18.84÷3.14÷2=3（分米） 容积=3.14×32×4÷3=37.68（立方分米） 6.把一个圆锥形容器倒放于桌面上,里面装有3升水,水面高度正好是圆锥高度的-半,这个容器还能装（ ）升水。 【思路导航】根据比例的放大与缩小，小圆锥与大圆锥的高之比1:2，半径之比也是1:2。 体积之比为（12×1）：（22×2）=1:8。下面圆台体积占8-1=7份。3÷7=（升） 7.一个棱长为40厘米的正方体零件的上、下两个面上,各有一个直径为4厘米的圆孔,孔深为10厘米,这个零件的表面积是（ ）平方厘米。 【思路导航】增加了两个高为10厘米的圆柱体侧面积。 402×6+3.14×4×10=9725.6（平方厘米） 8.如图,一个直角三角形,两条直角边分别为3厘米、4厘米,斜边的长为5厘米,如果以斜边为轴旋转一周,所形成的立体图形的体积是（ ）立方厘米。 【思路导航】利用三角形面积，计算出斜边上的高，就是半径。旋转后得到两个圆锥体。 半径=3×4÷5=2.4（厘米） 3.14×2.42×5÷3=30.144（立方厘米） 9.在一个圆柱形容器里盛有一部分水,已知圆柱形容器底面半径为10cm,水深9cm。将一个底面半径为5cm,高为15cm的铁圆柱垂直放人水中,使圆柱底面与容器底面接触,此时水深为（ ）厘米。 【思路导航】如图所示,首先要判断铁圆柱是否完全淹没在水中。假设铁圆柱足够高,即铁圆柱没有被水面淹没,则解题时要抓住铁圆柱放入水中前后水的体积保持不变,水的体积π×102×9=900(立方厘米),后来水的底面积为 102π-52π=75n(平方厘米),那么后来水深为:900n÷75π=12(厘米)。因为12＜15,说明铁圆柱没有被水面淹没，此时水深为12厘米。 假设铁圆柱足够高,则后来水深为:(102π×9)÷(102π-52π)=12(厘米)因为12＜15,所以铁圆柱没有被水面淹没。所以,此时水深为12厘米。 【特别提醒】解答此题的关键是要判断铁圆柱放入水中是否完全淹没在水中。(1)如果完全淹没在水中,则解题时要抓住:(铁圆柱体积十水的体积)一容器的底面积=水的深度。(2)如果铁圆柱没有淹没在水中,则解题时要抓住铁圆柱放入水中前后水的体积保持不变。 10.一个长方体水箱,长50cm、宽 40cm、高 70cm,水箱上部安装了一个进水管A，底部安装了一个放水管B,先开A管,过一段时间后接着打开B管,下边折线统计图表示水箱中水位的变化情况。 (1)10分钟后两管同时打开,这时水深( 30 )cm。 (2)A 管每分钟进水( 3 )cm,B管每分钟放水( 2 )cm。 【思路导航】考查折线统计图与体积综合应用。 A管进水速度为30÷10=3（厘米/秒） B管放水速度为3-（60-30）÷（40-10）=2（厘米/秒） 11.一个棱长为3厘米的正方体表面涂满了绿油漆,然后锯成棱长都是1厘米的小正方体，那么锯成的小正方体木块中: (1)3个面涂有绿油漆的小正方体有（ 8 ）块。 (2)2个面涂有绿油漆的小正方体有（ 12 ）块。 (3)1个面涂有绿油漆的小正方体有（ 6 ）块。 (4)6个面都没有绿油漆的小正方体有（ 1 ）块。 【思路导航】规律为3面涂色的是顶点处的8个小正方体； 2面涂色为棱上12×（n-2）=12×（3-2）=12（个） 1面涂色为面上6×（n-2）2=6×（3-2）2=6（个） 0面涂色为（n-2）3=（3-2）3=1（个） 二、解决问题（每题5分，共45分） 12.有两块同样的长10厘米、宽6厘米、高8厘米的长方体木块,如果把其中一块加工成最大的正方体,另一块加工成最大的圆柱体,那么加工后的正方体与圆柱体表面积之和是多少?把正方体和圆柱体再分别加工成最大的圆锥体,那么两个圆锥体体积之和是多少? 【思路导航】正方体的棱长为长方体最短的一边6厘米长，体积最大为胖矮的高为6厘米，直径为8厘米的圆柱体。 正方体表面积=62×6=216（平方厘米） 圆柱体表面积=3.14×（8÷2）2×2+3.14×8×6=251.2（平方厘米） 表面积之和为216+251.2=467.2（平方厘米） 体积之和为3.14×（6÷2）2×6÷3+3.14×（8÷2）2×6÷3=157（立方厘米） 13.有甲、乙两只圆柱形玻璃杯,其内直径依次为10cm、20cm,杯中盛有适量的水,甲杯中沉没着一铁块。当取了铁块后,甲杯中的水位下降了2cm,然后将铁块沉没于乙杯,且乙杯中的水未外溢,这时乙杯中的水位上升了多少厘米? 【思路导航】铁块体积（排开水的体积）一定，水的底面积和高成反比例。 π×（10÷2）2×2÷[π×（20÷2）2]=0.5（厘米） 14.牙膏出口处直径为5㎜，小颖每次刷牙挤出1㎝长的牙膏，这样，一支牙膏可用36次，该品牌牙膏推出的新包装是将出口直径改为6㎜，小颖还是按习惯每次挤出1㎝长的牙膏，这样，这一只牙膏能用多少次？ 【思路导航】考查体积包含问题和计算能力。 =25（次） 15.两个同样的圆柱池A和B,深度都是1.2米,1号抽水机18分钟可将A池注满,2号抽水机24分钟可将A池的满池水注入B池。现在A池中有池水,B池中没有水,同时打开1号、2号抽水机,当A池中水深0.6米时,同时关闭两个抽水机,此时 B池水深多少? 【思路导航】A号圆柱池水深为1.2×=0.2（厘米），注水深度为0.6-0.2=0.4（米），即相当于总高的0.4÷1.2=，注水时间为18×=6（分钟）。则B水池注水高度为6÷24=， ,1.2×=0.3（米） A号圆柱池注水高度：0.6-1.2×=0.4（厘米） A号圆柱池注水时间：18×（0.4÷1.2）=6（分钟） B号圆柱池注水高度：1.2×（6÷24）=0.3（米） 16.现有甲、乙两个圆柱体容器,甲容器底面半径4厘米、高10厘米,盛有8.5厘米深的水;乙容器底面半径3厘米、高10厘米。现在将甲容器中的部分水倒人乙容器,使甲、乙两容器的水深比为1:2。问:现在两个容器里各装有多少水? 【思路导航】甲、乙两个容器的底面积之比为42：32=16:9. 水的体积之比为（1×16）：（9×2）=8:9. 水的总体积为3.14×42×8.5=427.04（立方厘米） 甲、乙两个容器各装有水的体积为：427.04×=200.96（立方厘米），427.04-200.96=226.08（立方厘米） 17. 一个圆柱底面半径为2分米,如把其底面分成若干个相等的扇形,然后把圆柱体按扇形的半径一一切开,拼成了一个与它等底等高的近似长方体,长方体的表面积比圆柱体的表面积增加24平方分米,求原来圆柱体的表面积是多少? 【思路导航】增加了左右2个侧面。侧面长为半径，高为圆柱高。 高=24÷2÷2=6（分米） 圆柱体表面积=3.14×22×2+2×3.14×2×6=3.14×20=62.8（平方厘米） 18.如图所示，一个圆柱形容器内放有一个长方体铁块,现打开水龙头往容器中灌水,3分钟时水面恰好没过长方体顶面,再过12分钟水已灌满容器。已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器底面面积之比。 【思路导航】关键是求出长方体与圆柱体的底面积之比即可。 12-3=9（分钟）注水深度为50-20=30（厘米），则3分钟注水的深度应为30÷（9÷3）=10（厘米），而实际3分钟实际注水深度为20厘米，说明长方体的体积与20-10=10厘米高的水的体积相等。即长方体的底面积与圆柱体底面积的之比为1:2。 50-20=30（厘米） 12-3=9（分钟） 3分钟应注水高度为30÷9×3=10（厘米） 长方体体积相当于高度为20-10=10（厘米）的水的体积。 长方体的底面积与圆柱体底面积的之比为10:20=1:2 19.一个底面半径是8厘米的圆柱形玻璃容器里装有一部分水,水中浸没着一个高为12厘米的圆锥铅锤当铅锤从水中取出后,水面下降了0.5厘米。这个圆锥体的底面积是多少平方厘米?(π取 3.14) 【思路导航】排水法。 圆锥体积等于0.5厘米高水的体积。 圆锥体积=3.14×82×0.5 圆锥底面积=3.14×82×0.5÷12×3=25.12（平方厘米） 20.有甲、乙两个圆柱形容器,它们的底面直径分别为4厘米和8厘米，高分别为36厘米和10厘米,我们先向甲容器中倒满水,然后将甲容器中的水全部倒入乙容器中。问乙容器中的水面离容器口还有多少厘米? 【思路导航】水的体积一定，底面积与高成反比例、 水高：π×（4÷2）2×36÷[π×（8÷2）2]=9（厘米） 距离容积口距离为10-9=1（厘米） 学科网（北京）股份有限公司 $$