精品解析：河南省安阳市龙安高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

安阳市龙安高级中学 2024-2025学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷 本试卷共四大题，19小题，满分150分，时间120分钟 注意事项：考生答题时将答题答在答题卡上，在本试题卷上答题无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点坐标可求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，，所以，故. 故选：D. 2. 已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆一般方程与标准方程的互化即可求解. 【详解】由题意知，圆的标准方程为, 所以圆心坐标为，半径. 故选：C 3. 若，，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量线性运算及数量积的坐标表示求的值. 【详解】由题设，则. 故选：A 4. 设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量判定空间位置关系即可. 【详解】对于A，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直，即A正确； 对于B，若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行，即B正确； 对于C，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，即C正确； 对于D，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该面内，即D错误. 故选：D 5. 如图，在空间四边形中，设分别是，的中点， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的平行四边形法则得出，再由平面向量的三角形加法运算法则即可得出结果. 【详解】解：由题可知，分别是，的中点， 根据平面向量的平行四边形法则，可得， 再由平面向量的三角形加法法则，得出： . 故选：C. 6. 已知圆与圆，下列正确的是（ ） A. 原点在圆外 B. 原点在圆内 C. 圆与圆相交 D. 圆与圆相离 【答案】C 【解析】 【分析】确定两圆圆心坐标与半径，再计算圆心距，即可判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 由，则原点在圆内，故A错误 圆的圆心，半径， 由，则原点在圆外，故B错误 则，有，所以圆与圆相交，故C正确，D错误. 故选：C. 7. 如图，四棱柱中，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由向量加法的几何意义可得，再应用向量数量积的运算律有，即可求的长. 【分析】由， 所以 ，故. 故选：C 8. 若直线与平行，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离. 【详解】∵直线与平行， ∴且，解得． ∴直线与间的距离． 故选：B． 二、单项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项；利用斜截式方程可判断B选项；求出直线的倾斜角，可判断C选项；求出过点且垂直于直线的直线方程，可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线方程可化为，由可得， 所以，直线必过定点，A对； 对于B选项，直线方程可化为，故直线在轴上的截距为，B错； 对于C选项，直线的斜率为，该直线的倾斜角为，C错； 对于D选项，过点且垂直于直线的直线方程可设为， 则，可得， 所以，过点且垂直于直线的直线方程为，D对. 故选：AD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面为六边形 B. 点G到平面的距离为定值 C. 若，且，则G为棱的中点 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A，利用线面平行的判定定理判断B，利用空间向量推得四点共面，结合面面平行的性质定理判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D，从而得解. 【详解】对于A，连接， 在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以，， 所以，则平面与平面为同一平面， 所以平面截正方体所得截面为平面，为四边形，故A错误； 对于B，在正方体中，E，F分别为棱的中点， 所以， 又平面，平面，所以平面， 又点G是棱上的一个动点，所以点G到平面的距离为定值，故B正确； 对于C，连接， 因为，且，所以四点共面， 因为在正方体中，平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，则，则， 因为E为棱的中点，所以G为棱的中点，故C正确； 对于D，以为原点，建立空间直角坐标系，如图， 设，则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知动点到原点与的距离之比为2，动点的轨迹记为，直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 的方程为 B. 直线被截得的弦长为 C. 动点到直线的距离的取值范围为 D. 上存在三个点到直线的距离为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据到两定点的距离之比为定值可以求出圆的方程，再根据弦长公式求出弦长，最后结合优弧劣弧上的点到直线的距离取值范围确定取值范围为定值的点的个数. 【详解】设点，因为动点到原点与的距离之比为2， 所以，解得， 对于A：由上面结论可知，A错误； 对于B：圆心到直线的距离， 所以弦长，B正确； 对于C：由B知圆心到直线的距离为1， 所以点到直线的距离为，C错误； 对于D：由B知圆心到直线的距离为1， 所以劣弧上的点到直线的距离为，有且只有一个点到直线的距离为， 优弧上的点到直线的距离为，所以有2个点到直线的距离为， 所以一共存在三个点到直线的距离为，所以D正确， 故选：BD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线的充要条件列式计算即得. 【详解】向量共线，则，解得， 所以. 故答案为：. 13. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积、模的运算、夹角等知识来求得正确答案. 【详解】由于底面，平面，所以， 而底面是矩形，所以， ， ， 所以， . 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 14. 正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点，在侧棱上存在一点，使得，则______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由题设分别写出四点的坐标，利用垂直关系即可求解． 【详解】正三棱柱中，在平面内过作，以为原点建立空间直角坐标系， 则，设， 则，由， 得，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. （1）斜率是，且经过点； （2）经过点，且垂直于轴； （3）过点且在两坐标轴上截距相等. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由点斜式直接写出方程； （2）垂直于轴，则斜率不存在，由点的横坐标直接得到直线方程； （3）分类讨论截距是否存在，截距存在时设截距式，代点求直线方程；截距为0在时过原点，由两点式得到直线方程； 【小问1详解】 由点斜式得直线方程为，即 【小问2详解】 【小问3详解】 当直线截距不为0时，设求直线方程为， 代入（1，3）得，所以直线方程为， 当直线截距为0，即直线过原点时，直线方程为，化为一般式为， 综上直线的方程为或. 16. （1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）求出已知圆的圆心关于对称点的坐标，进而可求圆的方程. 【详解】（1）设圆方程：， 由已知，解得， 圆的方程为. （2）设圆的圆心关于直线对称的点为， 则，解得， 即所求圆的圆心为， 故所求圆的方程为. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得证； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量方法即可求解； （3）根据点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， ，平面，所以平面， 又底面为正方形，及， 所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，，故， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离. 18. 已知圆：，直线过定点. （1）若与圆相切，求的方程； （2）若与圆相交于，两点，求三角形面积的最大值，并求此时的直线方程. 【答案】（1）或；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件设出直线方程,注意的斜率是否存在,圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线距离公式,即可确定出直线的方程; （2）先设直线方程,求出圆心到直线的距离,再根据垂径定理,求出弦长,得到面积的表达式,再求出此表达式的最大值. 【详解】（1）将圆的一般方程化为标准方程,得, ∴圆心，半径. ①若直线的斜率不存在,则直线,符合题意． ②若直线斜率存在，设直线：,即. ∵与圆相切.∴圆心到已知直线的距离等于半径2, 即,解得. ∴综上，所求直线方程为或． （2）直线与圆相交,斜率必定存在, 设直线方程为. 则圆心到直线的距离. 又∵面积 ， ∴当时，. 由,解得或. ∴直线方程为或. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的性质,涉及到的知识有:点到直线的距离公式,三角形面积公式,垂径定理以及直线方程.要注意分类讨论,是一道多知识点综合题. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）∵平面平面，且平面平面， 且，平面， 平面， 平面，， 又，且，，平面， 平面； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到，结合得到线面垂直； （2）由三垂直建立空间直角坐标系，求出线段长，得到点的坐标，设，，，求出平面的法向量，平面的法向量，利用面面角的余弦值得到方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 存在点，使得平面与平面所成角余弦值为，此时， 理由如下： 取中点为，连接，， 又，，则， ，，则， ∵平面平面，且平面平面， ∴平面，即， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 假设在棱上存在点点，使得平面与平面所成角余弦值为. 设，，， ，，， ，， ，得， ，， 设为平面的一个法向量， 则由，得，令，则. 设平面的一个法向量为，则有 ，令，则， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， ， ，解得（舍去），， 所以此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安阳市龙安高级中学 2024-2025学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷 本试卷共四大题，19小题，满分150分，时间120分钟 注意事项：考生答题时将答题答在答题卡上，在本试题卷上答题无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 4. 设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，在空间四边形中，设分别是，的中点， 则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆，下列正确的是（ ） A. 原点在圆外 B. 原点在圆内 C. 圆与圆相交 D. 圆与圆相离 7. 如图，四棱柱中，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 若直线与平行，则与间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、单项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，G是棱上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面为六边形 B. 点G到平面的距离为定值 C. 若，且，则G为棱的中点 D. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 11. 已知动点到原点与的距离之比为2，动点的轨迹记为，直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 的方程为 B. 直线被截得的弦长为 C. 动点到直线的距离的取值范围为 D. 上存在三个点到直线的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，且，则__________． 13. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______. 14. 正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点，在侧棱上存在一点，使得，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式. （1）斜率是，且经过点； （2）经过点，且垂直于轴； （3）过点且在两坐标轴上截距相等. 16. （1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知圆：，直线过定点. （1）若与圆相切，求的方程； （2）若与圆相交于，两点，求三角形面积的最大值，并求此时的直线方程. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. （1）求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $