专题06 线段与角的等量代换模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题06 线段与角的等量代换模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 1 模型1.线段与角度的等量代换模型 1 34 模型1.线段与角度的等量代换模型 等量即相等的量，代换即替代、更换，等量代换的意思就是相等的量可以互换，更通俗点儿说，如果几个量都等于某一个量，那么这几个量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了针对的对象必须是等式。 等量代换的一般形式：如果a=b，b=c，那么a=c，利用的是等式的传递性。 “等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等； 例1．（23-24七年级上·湖北荆州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，如果AB=CD，那么比较AC与BD的大小关系为（    ） A．AC>BD B．AC<BD C．AC=BD D．不能确定 例2．（23-24·福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 例3．（23-24七年级上·河南信阳·期末）如图，，，，四点在同一条直线上． (1)若，①比较线段的大小：______；（填“>”“=”或“<”） ②若，且，则的长为______cm；(2)若线段被点，分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是20cm，求的长． 例4．（23-24广东七年级期中）已知：如图所示，则(　　) A． B． C． D．与的大小无法比较 例5．（2024·云南昆明·校考一模）如图所示，，若，则的度数为 ． 例6．（23-24七年级下·天津南开·开学考试）如图所示，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例7．（23-24浙江绍兴七年级期末）如图，若，则的理由是（　　） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．对顶角相等 D．角平分线的定义 例8．（23-24浙江·七年级专题练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）；②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）；④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）．正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 例9．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）如图，两个直角和有公共顶点，下列结论：①；②的平分线与的平分线是同一条射线；③若平分，则平分；④，其中正确的是 ．（填序号） 例10．（23-24山东七年级期末）如图，已知，平分，平分．    (1)求的度数；(2)如果，那么是多少度？(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示) 例11．（23-24辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，与的数量关系是：________． (2)如图2，，，与的数量关系是：________． (3)由（1）（2）你得出的结论是：如果________，那么________________． (4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，求这两个角度数． 例12．（2023浙江七年级期末）如图，． (1)已知过直线上点有，条射线，，求的度数； (2)若直线与直线相交于点，求图中各锐角的度数． 1．（2023·河北石家庄·七年级校考期中）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（  ） A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能确定 2．（2023·广东深圳·七年级统考期末）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023.湖南省娄底市七年级期末）如图所示，已知，，则∠AOD的度数为(   ) A． B． C． D． 4．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图所示，已知∠AOB=162°，∠AOC=∠BOD=90°，则∠COD的度数是（　　） A．72° B．36° C．18° D．9° 5．（2023春·云南昭通·七年级校考期末）将一副三角板分别按图中位置摆放，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．（2023秋·福建厦门·七年级校考期末）下列推理正确的是（    ） A． B． C．， D．与互余，与互余与互余 7．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期中）如图，，，下列说法中错误的是（    ） A．与相等 B．与互余 C．与互余 D．与互余 8．（23-24广东·七年级统考期中）已知，，如果，那么，依据是(    ) A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 9．（23-24福建九年级月考）下面是推导“对顶角相等”的过程，“”处应填的内容是（    ）(多选题) 如图，已知直线，相交于点， ∵，（邻补角的定义） ∴（）． A．等角的补角相等 B．等量代换 C．邻补角互补 D．同角的补角相等 10．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图，点C，D在线段AB上，且，点E是线段AB的中点．若，则CE的长为 ． 11．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知的两边互相垂直，且，则的度数为 ． 12．（2023秋·山东青岛·七年级校考期末）如图（射线在内部），与都是直角，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①若，则;②图中共有5个角;③; ④与的和不变; ⑤时，平分． 13．（2023春·上海长宁·七年级校联考期末）如图，，比大，与互余，则 ．    14．（2023春·浙江七年级期中）如图所示，与都是直角，那么，这个结论可以概括为 ． 15．（2023春·浙江七年级期中）如图所示，，，则 ． 16．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，已知B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，且．(1)如图线段AD上有6个点，则共有______条线段； (2)比较线段的大小：AC______BD（填“＞”、“=”或“＜”）；(3)若，，求MN的长度． 17．（23-24七年级上·河南安阳·期末）如图，A，B，C，D四点在同一条直线上． (1)若，且，，则___________cm；(2)若线段被点B，C分成了1：2：3三部分，点M，N分别是线段，的中点，且，求的长． 18．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，点 A，C，E，B，D 在同一条直线上，且，点 E 是线段的中点．(1)点 E 是线段的中点吗？说明理由；(2)若，，求线段的长． 19．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）如图1，∠AOB＝∠COD＝90°． （1）若∠BOC＝2∠AOC，求∠BOC的大小；（2）试探究∠BOC与∠DOA之间的数量关系； （3）若把图1中∠AOB绕点O转动到图2的位置，试说明（2）中∠BOC与∠DOA之间的数量关系还成立吗？ 20．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图所示，，，平分． (1)若，求的度数；(2)若，求的度数． 21．（2023春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知：如图，在中，，点、分别在、上，、相交于点．有以下三个选项：①，②平分，③．从中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的命题，并加以证明．    条件______，结论______．（填序号） 证明： 22．（2023浙江省绍兴市七年级期末）如图所示，∠AOB＝∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝22°，求∠AOC的度数． 23．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）已知，在内部， (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 24．（2023春·四川眉山·七年级统考期末）如图，在△ABC中BD是边AC上的高，∠ABC=128°，∠ABD=65°，点E在AC的延长线上，求∠BCE的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵BD⊥AC（已知），∴∠ADB= ． ∵∠ABD=65°（已知），∴∠BAD=90°－∠ABD（直角三角形两锐角互余），∴∠BAD= ． ∵∠BCE=∠BAC＋∠ABC（ ）， ∴∠BCE= ＋128°= （等量代换）． 25．（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，如图所示，解答下列问题：（1）如图1，，，与的数量关系是 （2）如图2，，，与的数量关系是 （3）由（1）（2）得出的结论是 （4）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角的度数分别是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 线段与角的等量代换模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 1 模型1.线段与角度的等量代换模型 1 34 模型1.线段与角度的等量代换模型 等量即相等的量，代换即替代、更换，等量代换的意思就是相等的量可以互换，更通俗点儿说，如果几个量都等于某一个量，那么这几个量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了针对的对象必须是等式。 等量代换的一般形式：如果a=b，b=c，那么a=c，利用的是等式的传递性。 “等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等； 例1．（23-24七年级上·湖北荆州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，如果AB=CD，那么比较AC与BD的大小关系为（    ） A．AC>BD B．AC<BD C．AC=BD D．不能确定 【答案】C 【分析】由题意已知AB=CD，根据等式的基本性质，两边都减去BC，等式仍然成立． 【详解】根据题意和图示可知AB=CD，而CB为AB和CD共有线段，故AC=BD．故选C． 【点睛】本题考查了线段的和差．注意根据等式的性质进行变形． 例2．（23-24·福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】根据线段的和差关系计算即可得到结论． 【详解】解：∵，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD ∵，，∴BD＝7，∴AC＝7，故选：B． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键． 例3．（23-24七年级上·河南信阳·期末）如图，，，，四点在同一条直线上． (1)若，①比较线段的大小：______；（填“>”“=”或“<”） ②若，且，则的长为______cm；(2)若线段被点，分成了三部分，且的中点和的中点之间的距离是20cm，求的长． 【答案】(1)①=；②30 (2)30cm 【分析】(1)①根据等式的性质，得出答案；②求出BC的值，再求出AB、CD的长，进而求出AD的长即可；(2)根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可． 【详解】（1）①∵AB= CD，∴AB+ BC= CD+ BC，即，AC= BD，故答案为： =； ②∵BC=AC，且AC = 24cm，∴BC=×24= 18(cm)， ∴AB=CD=AC-BC=24-18=6 (cm)∴AD= AC+CD= 24+6= 30 (cm)故答案为：30； （2）解：如图1所示， ∵线段被点B，分成了三部分，设，则，， 因为是的中点，是的中点，所以，， 所以；   得；所以． 【点睛】本题考查线段的和差及其中点的有关计算，理解线段中点的意义是正确计算的前提，以及根据已知，用方程思想解决问题是解题关键． 例4．（23-24广东七年级期中）已知：如图所示，则(　　) A． B． C． D．与的大小无法比较 【答案】C 【分析】已知，由等式性质得到即可得到答案． 【详解】解：∵，∴，即．故选：C． 【点睛】本题考查角的有关计算．根据等式性质得到是解题的关键． 例5．（2024·云南昆明·校考一模）如图所示，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】直接根据角的和差即可得． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的和差，掌握角的和差运算是解题关键． 例6．（23-24七年级下·天津南开·开学考试）如图所示，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的度数，然后根据，即可得出答案． 【详解】解：，， ，故选：D． 【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，求出的度数． 例7．（23-24浙江绍兴七年级期末）如图，若，则的理由是（　　） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．对顶角相等 D．角平分线的定义 【答案】A 【分析】根据同角的余角相等，即可求解． 【详解】解：∵∴ ∴ (同角的余角相等)，故选：A． 【点睛】本题考查了余角的性质，角平分线的定义、对顶角相等，掌握同角的余角相等是解题的关键． 例8．（23-24浙江·七年级专题练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）；②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）；④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）．正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知），所以（等量代换）． 所以（等量代换）．∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 例9．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）如图，两个直角和有公共顶点，下列结论：①；②的平分线与的平分线是同一条射线；③若平分，则平分；④，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】 【分析】此题考查了角的计算，角平分线的定义，根据角的和差关系和角平分线的定义，逐一进行计算即可判断求解，利用角的和差关系熟练进行角的计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，∴，故正确； ∵，∴的平分线与的平分线是同一条射线，故正确； ∵，平分，∴， 则 ，∴平分，故正确； 只有当，分别为和的平分线时，，故错误； ∴正确的有．故答案为：． 例10．（23-24山东七年级期末）如图，已知，平分，平分．    (1)求的度数；(2)如果，那么是多少度？(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示) 【答案】(1)(2)(3)； 【分析】（1）根据角平分线的定义结合图形，可得，进而即可求解； （2）根据题意可得，进而根据角平分线的定义即可求解； （3）同（2）的方法，即可求解． 【详解】（1）解：，平分，平分， ； （2）， ， 平分，； （3）， ， 平分，， ． 【点睛】本题考查了几何图形的角度计算，角平分线的定义，数形结合，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 例11．（23-24辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，与的数量关系是：________． (2)如图2，，，与的数量关系是：________． (3)由（1）（2）你得出的结论是：如果________，那么________________． (4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，求这两个角度数． 【答案】(1) (2) (3)一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补 (4)、或、 【分析】（1）根据垂线的定义，得出，，根据直角三角形两锐角互余，得出，，最后根据，得出结论即可；（2）根据垂线的定义得出，，，根据四边形内角和，得出，最后得出结论即可；（3）根据解析（1）（2）总结归纳出结论即可；（4）设另一个角的度数为，则这个角的度数为，根据这两个角相等或互补两种情况列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，∴，，∴，， ∵∴，故答案为； （2）解：∵，，∴，， ∵，∴，故答案为． （3）解：由（1）（2）可得一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补， 故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补； （4）解：设另一个角的度数为，则这个角的度数为， 根据题意可得或解得或， 当时，，当时，， ∴这两个角的度数为，或，． 【点睛】本题主要考查补角的定义和垂直的定义，余角的性质，直角三角形的性质，四边形内角和，在解题的过程中，要注意分类讨论． 例12．（2023浙江七年级期末）如图，． (1)已知过直线上点有，条射线，，求的度数； (2)若直线与直线相交于点，求图中各锐角的度数． 【答案】(1) (2)图中各锐角的度数为 【分析】（1）根据得出，根据图形可得，，，即可求解； （2）根据，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴， ∴，． ∴； （2）解：∵，∴， ∴，∴，∴，∴． ∴图中各锐角的度数为． 【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角，解决本题的关键是掌握垂线、对顶角、邻补角定义． 1．（2023·河北石家庄·七年级校考期中）如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（  ） A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能确定 【答案】B 【分析】由题意可知AB=CD，根据等式的基本性质，两边都减去BC，等式仍然成立． 【详解】根据题意和图示可知AB=CD，而BC为AB和CD共有线段，故AC=BD，故选：B． 【点睛】注意根据等式的性质进行变形，读懂题意是解题的关键． 2．（2023·广东深圳·七年级统考期末）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由作图可得点和点分别是、的中点，再根据线段中点的定义可得答案． 【详解】解：，，点与点恰好重合， 点和点分别是、的中点，，， ．故选：C． 【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义． 3．（2023.湖南省娄底市七年级期末）如图所示，已知，，则∠AOD的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据∠AOC和∠BOC的度数得出∠AOB的度数，从而得出答案． 【详解】解：∵∠AOC=80°， ∠BOC=30°， ∴∠AOB=80°－30°=50°， ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=50°+80°=130°，故选A 【点睛】本题主要考查的是角度的和差计算，属于基础题型，理解各角之间的关系是解题的关键． 个角互为补角． 4．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图所示，已知∠AOB=162°，∠AOC=∠BOD=90°，则∠COD的度数是（　　） A．72° B．36° C．18° D．9° 【答案】C 【详解】∵∠AOB=162°，∠AOC=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=72°， ∴∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-72°=18°，故选C. 5．（2023春·云南昭通·七年级校考期末）将一副三角板分别按图中位置摆放，下列说法正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的余角相等解题即可． 【详解】如图，∵，∴，故选A．    【点睛】本题考查余角的性质，掌握同角或等角的余角相等是解题的关键． 6．（2023秋·福建厦门·七年级校考期末）下列推理正确的是（    ） A． B． C．， D．与互余，与互余与互余 【答案】C 【分析】根据题意逐项推理判断即可． 【详解】解：A、当，，时，，但，，故A选项错误； B、当，，时，，但，，故B选项错误； C、∵，又∵， 由等式的基本性质可知，，∴，故C选项正确； D、与互余，与互余∴，，∴，故D选项错误；故选：C． 【点睛】本题考查同角的余角相等，及等式的基本性质，熟练的运用等式的基本性质将等式变形是解决问题的关键． 7．（2023秋·河北石家庄·七年级统考期中）如图，，，下列说法中错误的是（    ） A．与相等 B．与互余 C．与互余 D．与互余 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理和余角的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴与相等，与互余，与互余，与相等， ∴只有D选项说法错误，符合题意；故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，余角的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 8．（23-24·广东·七年级统考期中）已知，，如果，那么，依据是(    ) A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 【答案】C 【分析】根据等角的余角相等进行解答． 【详解】解：∵，，∴与互余，与互余， 又∵，∴的余角与的余角相等， 即(等角的余角相等)．故选：C． 【点睛】本题主要考查了等角或同角的余角相等的性质，熟记这个余角的性质是解题的关键． 9．（23-24福建九年级月考）下面是推导“对顶角相等”的过程，“”处应填的内容是（    ）(多选题) 如图，已知直线，相交于点， ∵，（邻补角的定义） ∴（）． A．等角的补角相等 B．等量代换 C．邻补角互补 D．同角的补角相等 【答案】BD 【分析】本题主要考查了对顶角相等的证明，熟练掌握证明对顶角相等的方法和步骤是解题关键．由邻补角的定义可得，，然后根据等量代换可得，即可证明结论． 【详解】解：已知直线，相交于点， ∵，（邻补角的定义）， ∴（等量代换或同角的补角相等）．故选：BD． 10．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）如图，点C，D在线段AB上，且，点E是线段AB的中点．若，则CE的长为 ． 【答案】2 【分析】根据线段中点可得，代入数据进行计算即可得解求出AB的长；再求出AE的长，最后． 【详解】解：∵，点E是线段AB的中点，∴， ∴，则．故答案为：2． 【点睛】本题考查了线段的和差，两点间的距离，主要利用线段中点的性质，比较简单，准确识图是解题的关键． 11．（2023春·四川成都·七年级校考期中）已知的两边互相垂直，且，则的度数为 ． 【答案】70°或 【分析】若的两边互相垂直，则，据此即可求解． 【详解】解： 如图所示：若的两边互相垂直，则 ∵时，； 时，；故答案为：70°或． 【点睛】本题考查了垂直的定义．分类讨论画出满足题意的图形是解题关键． 12．（2023秋·山东青岛·七年级校考期末）如图（射线在内部），与都是直角，则下列说法正确的是 ．（填序号） ①若，则;②图中共有5个角;③; ④与的和不变; ⑤时，平分． 【答案】①③④⑤ 【分析】①先根据余角的定义求出，再根据角的和差关系即可判定； ②根据角的定义数出图中的角即可判定；③根据同角的余角相等即可求解； ④根据角的和差关系即可判定；⑤先根据余角的定义求出°即可判定． 【详解】解：∵与都是直角， ∴若，则，则，故①正确； 图中，，，，，共6个角，故②错误； ∵，∴，故③正确； ∵， ∴与的和不变，故④正确； ∵，∴， ∵，∴，即平分，故⑤正确． 说法正确的是①③④⑤．故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题考查了余角性质，以及角的计算，属基础题，准确识图是解题的关键． 13．（2023春·上海长宁·七年级校联考期末）如图，，比大，与互余，则 ．    【答案】 【分析】设，表示出，根据与互余，，得出关于的等式，求解即可． 【详解】解：设，比大，， 与互余，，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了互余的定义，一元一次方程，解题的关键是利用互余建立一元一次方程求解． 14．（2023春·浙江七年级期中）如图所示，与都是直角，那么，这个结论可以概括为 ． 【答案】同角的余角相等 【分析】根据互余的知识点计算即可； 【详解】∵与都是直角， ∴，∴， 理由：同角的余角相等．故答案是：同角的余角相等． 【点睛】本题主要考查了同角的余角的相等知识点，准确分析是解题的关键． 15．（2023春·浙江七年级期中）如图所示，，，则 ． 【答案】68 【分析】直接根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， 又，，∴．故答案为68． 【点睛】本题主要考查互余角，关键是根据“同角的余角相等”可得角的等量关系，然后求解即可． 16．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图，已知B、C在线段AD上，M是AB的中点，N是CD的中点，且．(1)如图线段AD上有6个点，则共有______条线段； (2)比较线段的大小：AC______BD（填“＞”、“=”或“＜”）；(3)若，，求MN的长度． 【答案】(1)15(2)＝(3)10 【分析】（1）根据线段有两个端点，得出所有线段的条数； （2）依据AB＝CD，即可得到AB＋BC＝CD＋BC，进而得出AC＝BD； （3）依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到MN的长度． 【详解】（1）∵线段AD上有6个点， ∴图中共有线段条数为6×（6−1）÷2＝15；故答案为：15； （2）∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD；故答案为：＝； （3）∵，，∴， ∵M是AB的中点，N是CD的中点，∴，， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． 17．（23-24七年级上·河南安阳·期末）如图，A，B，C，D四点在同一条直线上． (1)若，且，，则___________cm；(2)若线段被点B，C分成了1：2：3三部分，点M，N分别是线段，的中点，且，求的长． 【答案】(1)8 (2)的长为 【分析】(1)根据线段之间的关系，可求得的长，，可得答案． （2）设，则，，用x表示出的长，列方程求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵且，∴，∴， ∵，∴，∴．故答案为：8 （2）解：设，则，， ∵点M，N分别是线段，的中点， ∴，，且， ∴，解得，∴，答：的长为． 【点睛】本题考查线段有关的知识，明确中点的概念，根据题意合理利用方程求解是解题的关键． 18．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，点 A，C，E，B，D 在同一条直线上，且，点 E 是线段的中点．(1)点 E 是线段的中点吗？说明理由；(2)若，，求线段的长． 【答案】(1)点是线段的中点，理由见解析(2)16 【分析】（1）先根据线段和差可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据线段和差即可得出结论；（2）先根据（1）的结论可得，从而可得，再根据可得，然后根据即可得． 【详解】（1）解：点是线段的中点．理由如下： ∵，∴，即， 又∵是线段的中点，∴， ∴，即，∴点是线段的中点． （2）解：∵，∴， 又∵，∴， 又∵，∴． 【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，熟练掌握线段之间的运算是解题关键． 19．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）如图1，∠AOB＝∠COD＝90°． （1）若∠BOC＝2∠AOC，求∠BOC的大小；（2）试探究∠BOC与∠DOA之间的数量关系； （3）若把图1中∠AOB绕点O转动到图2的位置，试说明（2）中∠BOC与∠DOA之间的数量关系还成立吗？ 【答案】（1）60°；（2）∠BOC与∠DOA互补；（3）仍然成立，理由见详解 【分析】（1）根据条件可得：∠AOB=3∠AOC，求出∠AOC的度数，进而即可求解； （2）推出∠DOA+∠BOC=180° ，即可得到结论； （3）推出∠DOA+∠BOC=180°即可得到结论． 【详解】（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝2∠AOC，∠AOB=∠BOC+∠AOC， ∴∠AOB=3∠AOC，∴∠AOC=30°，∴∠BOC＝2∠AOC=60°； （2）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠DOC=∠BOC+∠BOD，∠DOA=∠DOB+∠AOB， ∴∠DOA+∠BOC=∠DOB+∠AOB+∠BOC=∠COD+∠AOB=90°+90°=180°，∴∠BOC与∠DOA互补； （3）仍然成立，理由如下： ∵∠DOA+∠BOC=360°-∠AOB-∠DOC=360°-90°-90°=180°，∴∠BOC与∠DOA互补． 【点睛】本题考查角的和，差，倍，分以及补角的定义，掌握角的的和，差，倍，分关系，是解题的关键． 20．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图所示，，，平分． (1)若，求的度数；(2)若，求的度数． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，角的和差，数形结合是解答本题的关键． （1）先求出，根据对顶角的性质得到，进而求出； （2）根据角平分线的定义可得，进而可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴． 21．（2023春·江苏泰州·七年级校联考期中）已知：如图，在中，，点、分别在、上，、相交于点．有以下三个选项：①，②平分，③．从中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个正确的命题，并加以证明．    条件______，结论______．（填序号） 证明： 【答案】见解析 【分析】若①②为条件，③为结论，可利用垂直定义和直角三角形的两个锐角互余可证明，，再利用角平分线的定义和等角的余角相等得到，进而可证得结论；若①③为条件，②为结论，同理证明即可；若②③为条件，①为结论，证明即可． 【详解】解：方法一： 条件①②，结论③． 证明：∵ ∴ 在中， ∴ 在中， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ 方法二： 条件①③，结论②． 证明：∵ ∴ 在中， ∴ 在中， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴平分． 方法三 条件②③，结论①． 证明：∵平分∴ 在中，∴ ∴ ∵， ∴ ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形两个锐角互余、等角的余角相等、角平分线的定义，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 22．（2023浙江省绍兴市七年级期末）如图所示，∠AOB＝∠COD＝90°，OE为∠BOD的平分线，∠BOE＝22°，求∠AOC的度数． 【答案】136° 【详解】【试题分析】利用角平分线的定义求出 , ，再利用周角的定义，计算∠AOC= 即可 【试题解析】 OE为∠BOD的平分线, ∠BOE＝22° ∠AOB＝∠COD＝90°， ∠AOC= 即∠AOC=136 23．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）已知，在内部， (1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，若平分，请说明：； (3)如图3，若在的外部分别作，的余角，，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)， 【分析】（1）根据即可得出答案； （2）根据平分可得，，然后进行求解即可； （3）根据题意可得：，，，进而得出，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）∵平分，∴， ∴ ； （3），理由如下： 根据题意可得：，，， ∴， ， 即． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，余角的定义，几何图形中角度的计算等知识点，掌握消元的思想将无关的角消除，得到所求角的数量关系是关键． 24．（2023春·四川眉山·七年级统考期末）如图，在△ABC中BD是边AC上的高，∠ABC=128°，∠ABD=65°，点E在AC的延长线上，求∠BCE的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵BD⊥AC（已知），∴∠ADB= ． ∵∠ABD=65°（已知），∴∠BAD=90°－∠ABD（直角三角形两锐角互余），∴∠BAD= ． ∵∠BCE=∠BAC＋∠ABC（ ）， ∴∠BCE= ＋128°= （等量代换）． 【答案】90°；25°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；25°；153°． 【分析】根据垂直的定义及直角三角形两个锐角互余得出∠BAD=25°．再由三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵BD⊥AC（已知），∴∠ADB=90°． ∵∠ABD=65°（已知），∴∠BAD=90°－∠ABD（直角三角形两锐角互余），∴∠BAD=25°． ∵∠BCE=∠BAC＋∠ABC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴∠BCE=25°＋128°=153°（等量代换）． 故答案为：90°；25°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；25°；153°． 【点睛】题目主要考查垂直的定义及直角三角形两个锐角互余，三角形外角的定义等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键． 25．（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，如图所示，解答下列问题：（1）如图1，，，与的数量关系是 （2）如图2，，，与的数量关系是 （3）由（1）（2）得出的结论是 （4）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角的度数分别是多少？ 【答案】（1）相等；（2）互补；（3）一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等或互补；（4）30°和30°或70°和110° 【分析】（1）利用三角形的内角和定理，对顶角的性质解决问题即可．（2）利用四边形内角和定理即可解决问题．（3）利用（1）（2）中结论即可解决问题．（4）利用（1）（2）中结论，构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，设DE交AB于M，EF交AB于N，交BC于Q． ∵DE⊥AB，EF⊥BC，∴∠EMN=∠EQB=90°， ∵∠ENM=∠BNF，而∠1=180°-∠EQB- ∠BNF，∠2=180°-∠EMN-∠ENM ∴∠1=∠2．故答案为相等． （2）如图2中，∵DE⊥AB，EF⊥BC，∴∠EMB=∠EQB=90°， 又四边形EMBF内角和为360°∴∠2+∠1=180°．故答案为互补． （3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补．故答案为：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补． （4）设两个角分别为：x°和（2x-30）°， 由（1）（2）可知：x=2x-30或x+2x-30=180°，解得x=30或70， ∴两个角分别为：30°和30°或70°和110°． 【点睛】本题考查了垂线，一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$