专题07 线段中的四类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题07 线段中的四类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1 模型2.线段上动点问题中的定值模型 3 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 4 模型4.阅读理解型（新定义）模型 6 8 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 例1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）（1）如图，已知点在线段上，线段，，点，分别是，的中点，求线段的长度； （2）在（1）的条件下，动点、分别从，同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，当运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（直接写出答案即可） 例2．（2024七年级·重庆·培优）如图，点是线段上一点，且两点分别从点同时出发以的速度沿直线向右运动，后，点恰好分别为的中点． (1)求的长度；(2)求证：；(3)若运动后，两点到点的距离相等，求的值． 例3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）。(1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 模型2.线段上动点问题中的定值模型 例1．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如下图所示，在数轴上点A、B、C起初表示的数分别是、2、20，从某一时刻开始，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，点C同时出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，点M是线段的中点. (1)运动开始前，线段的中点M表示的数是______； (2)点A、C运动t秒后，线段的中点M表示的数是______（用含的式子表示并化简）； (3)按照上述方式运动， A、C两点同时出发多少秒后相遇，相遇点表示的数是多少? (4)若点B跟点A、C同时出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点A和点C相遇后，所有的点都停止运动，试说明的值与t无关. 例2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长；(2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 例3．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 例1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 例3．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上运动，当时，______；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 模型4.阅读理解型（新定义）模型 例1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)若点C是线段的中点，判断C是否是线段的“巧点”； (2)如图2，已知，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，设移动的时间为t（s），当其中一点到达终点时，运动停止．①当t为何值时，P、Q重合？②当t为何值时，Q为的“巧点”？ 例2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）【定义】：若点P在线段上，当时，我们称m为点P在线段上的“分值”，记作． 【理解】：如点P是的中点时，即当，则；反过来，当时，则．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【应用】：(1)如图1，点P在线段上．若，则＝ ；若，则 ． (2)如图2，已知线段，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，P，Q都停止运动，设运动时间为． ① 若点P，Q的运动速度均为，试用含t的代数式表示和，并说明：； ② 若点P和点Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回B，当t为何值时，． 例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；            ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 3．（2024·江苏·无锡市七年级期中）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______． 4．（23-24七年级上·四川巴中·期末）如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是，，1，且点C为线段的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段的中点，P、Q为数轴上两个动点，点P从点B向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点D向左运动，速度为每秒3个单位长度，P、Q同时运动，运动时间为．有下列结论：①若点E表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点P是线段的中点；其中正确的有 ．(填序号)      5．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 6．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒．    7．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，在数轴上A，B，C三点分别表示的数是x，y，z．z是绝对值最小的整数，且x，y满足．(1)填空：______， ______，______；    (2)若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点C分别以每秒2个单位长度和1个单位长度的速度向左运动．假设t秒钟过后，若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请判断的值是否随着时间t的变化而变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由； (3)如图，点D，E分别在点C的左右两侧，若点P，Q分别从点D，E处开始相向运动，在点C处相遇后，点P继续向点E处运动，点Q停止了14秒后再继续向点D处运动．点P，Q到达点E，D处立即折返，仍在C处相遇．已知点P每秒运动3个单位长度，点Q每秒运动4个单位长度，求点D与点E之间的距离． 8．（2024·江苏·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，． 9．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图（1），已知A，B为数轴上的两点，点O表示原点，点A表示的数为．动点C从A出发做匀速运动，动点D从B出发做匀速运动．    (1)若动点C向右运动，动点D向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整． 时间（秒） 0 1 2 C点在数轴上的位置所表示的数 _____ D点在数轴上的位置所表示的数 _____ 3 2 (2)若点D先出发2秒后，点C开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数．(3)如图（2），若动点C，D以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点P以恒定速度和方向从点O出发运动．在运动过程中，如果点F为线段的中点，且，试求点P的运动方向和速度． 11．（2024·浙江·七年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 12．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图①，已知线段，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且． (1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 13．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点．①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． (1)填空：①A、B两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为___________；点Q表示的数为___________． (2)求当t为何值时，；(3)当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为的三等分点且靠近于P点，求的值． 15．（23-24七年级上·浙江温州·期中）新定义学习： 【新知学习】若A，B，C是数轴上的三个点，如果点C到A的距离等于点C到B的距离，那么我们就称点C是的中点．例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是2，那么点C是的中点． 【知识运用】(1)如图2，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为，点F所表示的数为2，求的中点所表示的数，并说明理由．(2)如图3，若数所表示的点G是的中点，那么M表示的数为 ，N表示的数为 （只要写出符合条件的一对值即可）． 【知识拓展】(3)如图4，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．现有一只电子蜗牛P从点A出发，以1个单位每秒的速度向右运动；同时另一只电子蜗牛Q从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，若点M，N分别是和的中点，则在P，Q的运动过程中，当 秒时，M，N点到原点的距离相等（请直接写出答案）． 16．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动． (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值．    17．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 18．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______；(2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 19．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 20.（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点、、、，其中，点对应的数是． (1)若，则点对应的数是______； (2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点处以单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为个单位． (3)在（2）的条件下，将线段、分别绕点、点竖直向上折起，连接线段，围成如图3的长方形中，点从点出发，以单位/的速度沿点－－－匀速运动，最终到达点．设点运动时间为秒，问：为何值时，的面积为？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 线段中的四类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1 模型2.线段上动点问题中的定值模型 4 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 8 模型4.阅读理解型（新定义）模型 11 16 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 例1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）（1）如图，已知点在线段上，线段，，点，分别是，的中点，求线段的长度； （2）在（1）的条件下，动点、分别从，同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，当运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（直接写出答案即可） 【答案】（1）（2）当或或时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点 【分析】本题考查了线段中点的有关计算、一元一次方程的应用、数轴上的动点问题等知识点，构造数轴是解决第二问较为巧妙的方法．（1）根据、即可求解；（2）以点为原点，射线方向为正方向，构造数轴，可得点表示的数为：；点表示的数为：；点表示的数为：；分类讨论若点为线段的中点若点为线段的中点若点为线段的中点，三种情况即可求解． 【详解】解：（1）∵，，点，分别是，的中点， ∴∴ （2）以点为原点，射线方向为正方向，构造数轴，如图所示： 则点表示的数为：；点表示的数为：；点表示的数为：； 若点为线段的中点：，解得：； 若点为线段的中点：，解得：； 若点为线段的中点：，解得：； 综上所述：当或或时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点 例2．（2024七年级·重庆·培优）如图，点是线段上一点，且两点分别从点同时出发以的速度沿直线向右运动，后，点恰好分别为的中点． (1)求的长度；(2)求证：；(3)若运动后，两点到点的距离相等，求的值． 【答案】(1)(2)见解析(3)或15 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，一元一次方程的应用： （1）先求出，，则由线段中点的定义可得； （2）先求出，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况分别表示出，即可得到结论； （3）分当点是线段的中点时，两点到点的距离相等，当点重合时，点在线段的延长线上，两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，后，， 点恰好分别为的中点，． （2）证明：∵∴，∴， 当点在线段上时，，； 当点在线段的延长线上时，，．综上，． （3）解：当点是线段的中点时，两点到点的距离相等， ∴，解得； 当点重合时，点在线段的延长线上， ，解得．综上，或15． 例3．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）。(1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或1 【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题．（2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，， ，，，． （2）解：设运动时间为t，则，， ，，又，，即， ，，，故答案为：． （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又，，，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又，，即．综上所述的值为或． 模型2.线段上动点问题中的定值模型 例1．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如下图所示，在数轴上点A、B、C起初表示的数分别是、2、20，从某一时刻开始，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，点C同时出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，点M是线段的中点. (1)运动开始前，线段的中点M表示的数是______； (2)点A、C运动t秒后，线段的中点M表示的数是______（用含的式子表示并化简）； (3)按照上述方式运动， A、C两点同时出发多少秒后相遇，相遇点表示的数是多少? (4)若点B跟点A、C同时出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当点A和点C相遇后，所有的点都停止运动，试说明的值与t无关. 【答案】(1)6(2)(3)7秒后相遇，相遇点表示的数是13(4)见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间距离，整式的加减，一元一次方程的应用，运用了数形结合，类比和方程思想．（1）根据线段中点的计算方法计算即可； （2）首先表示出t秒后点A和点C对应的数，再利用线段中点的计算方法计算即可； （3）两点相遇，即表示的数相同，据此列出方程，解之，再代入式子中求出相遇点表示的数；（4）求出t秒后，点B表示的数，结合其他点表示出和，再代入中，根据计算结果即可得到结论． 【详解】（1）解：∵运动开始前，点A表示的数为，点C表示的数为20， ∴线段的中点M表示的数是； （2）t秒后，点A表示的数为，点C表示的数为， 则此时线段的中点M表示的数是； （3）当A、C两点相遇时，，解得：，相遇点表示的数为：； （4）t秒后，点B表示的数为，则，， ∴，故的值与t无关． 例2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长；(2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 【答案】(1)；(2)或；(3)，定值为． 【分析】（）根据题意可得的长等于的三分之一，即可求解； （）设，分点在点左侧和右侧两种情况列方程求解即可；（）由式子的值为定值可判断出木棒和木棒重叠，分别求出点与点重合和点与点重合的时间，即可求出的取值范围，由木棒和木棒重叠可得的值为定值即为的值；本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，并运用分类讨论的方法分别列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：设，当点在点左侧时，， ∵，∴，解得，∴； 当点在点右侧时，， ∵，∴，解得，∴； ∴的长为或； （3）解：由题意可得，当木棒和木棒重叠时，式子的值为定值， 定值即为， 当点与点重合时，，解得； 当点与点重合时，，解得； ∴当时，式子的值为定值，定值为． 例3．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7(2)点Q的运动速度是或者(3)不变，值为2 【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值；（2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答；（3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答． 【详解】（1）解：因为所以， 因为b是最小的正整数，所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时，由，可分两种情况： ①当点P在上时，得，此时； ∴点P运动的时间为，∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得，此时， ∴点P的运动时间是，∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下：设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点，∴，∵点F是的中点，，∴， ∴，∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 例1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）． (1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值． (3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？ (4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，(2)(3)能重合，(4) 【分析】（1）根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到；当时，秒过后，点P运动的路程为，结合，得，得到即．（2）设点P、Q出发t秒钟后，点B是线段的中点．根据题意得到等量关系：列式计算即可； （3）假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则，列式计算即可； （4）需要分类讨论：当点P在点Q左侧和右侧两种情况下的t的值． 【详解】（1）解：根据题意，点P的速度为每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为，当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，∴，∴； 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，，∴即． （2）解：根据题意，点P每秒个单位长度，点P运动到点B需要用时间为， 当时，秒过后，点P运动的路程为， ∵，∴，∴； ∵点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动． ∴秒过后，点Q运动的路程为， ∵点B是线段的中点．∴，∴，解得， 即点P、Q出发秒钟后，点B是线段的中点． （3）解：假设点P、Q出发t秒钟后，点P和点Q重合，则， ∴．解得：；故点P、Q出发秒钟后，点P和点Q重合． （4）解：当点P在点Q左侧时，线段与线段的长度不可能相等． 当点P在点Q右侧时，设点P、Q出发t秒钟后，线段与线段的长度相等，根据题意，得，解得：．当时，线段与线段的长度相等． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值． 【分析】（）根据题意，求出，再根据结论解答即可求解； （）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可； 根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解； 根据两点之间的距离公式求出，得到，当时即可求出常数的值，进而求出定值． 【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数， ∴，，∴； 线段的中点表示的数为；故答案为：；； （）秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点，∴点表示的数是，故答案为：； 当点为中点时，则，解得，不合，舍去； 当点为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得；∴运动时间的值为或； 当点在点左侧时，，， ∴， 当时，∴，此时，定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键． 例3．（23-24七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段上运动，当时，______；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)3(2)当时，点的运动时间的值为或20(3) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，线段中点的含义，线段的和差运算，理解题意，清晰地分类讨论是解本题的关键．（1）由中点的含义先求解，证明，再求解，从而可得答案；（2）当点在线段上，，当点在线段的延长线上，，再建立方程求解即可；（3）先证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为的中点，为的中点，， ∴，∴， ∵线段，∴，∴．故答案为：3． （2）当点在线段上，，如图， 为的中点，∴，解得， 当点在线段的延长线上，，如图， 同理：解得， 综上所述，当时，点的运动时间的值为或20； （3）当点在线段的反向延长线上时，，理由如下：如图， 为的中点，为的中点， 模型4.阅读理解型（新定义）模型 例1．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，点C在线段上，图中共有三条线段和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)若点C是线段的中点，判断C是否是线段的“巧点”； (2)如图2，已知，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿向点A匀速运动，点P，Q同时出发，设移动的时间为t（s），当其中一点到达终点时，运动停止．①当t为何值时，P、Q重合？②当t为何值时，Q为的“巧点”？ 【答案】(1)中点是这条线段“巧点”． (2)①时，P、Q重合；②或，Q为“巧点” 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，一元一次方程的实际应用． （1）根据中点平分线段，得到，即可得出结论； （2）①根据两点的路程和为15，列出方程进行求解即可； ②分为的中点，和，三种情况进行讨论求解即可． 掌握“巧点”的定义，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）因为点C是线段的中点，所以，所以中点是这条线段“巧点”． （2）①由题意，得：，解得：； ②当为中点（）时，，；（运动终止） 当时，，； 当时，，（舍去） 综上所述：或，Q为 “巧点”． 例2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）【定义】：若点P在线段上，当时，我们称m为点P在线段上的“分值”，记作． 【理解】：如点P是的中点时，即当，则；反过来，当时，则．因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【应用】：(1)如图1，点P在线段上．若，则＝ ；若，则 ． (2)如图2，已知线段，点P，Q分别从点A、B同时出发，相向运动，点P到达点B时，P，Q都停止运动，设运动时间为． ① 若点P，Q的运动速度均为，试用含t的代数式表示和，并说明：； ② 若点P和点Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回B，当t为何值时，． 【答案】(1)，(2)①和，见解析，②2或 【分析】本题查了新定义下线段和差倍数关系和一元一次方程的应用， 根据新定义即可求得；结合，可得，即可求得； ①根据题意可得和，结合新定义即可求得和，即有结论成立；②分两种情况点Q到达点A前，且点P未到达点B；点P到达点B前，且点Q从点A未到达点B前用，分别求得和，进一步列出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴；故答案为：，； （2）①∵点P，Q的运动速度均为，∴，， ∵，∴，，； ②∵点P到达点B时，P，Q都停止运动，∴点Q到达点A前，且点P未到达点B用时；点P到达点B时，且点Q从点A未到达点B前用时，用时， 当时，，，则，解得； 当时，，，则，解得； 综上所述，或时，． 例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①5，；②M点为，N点为 (2)为，为(3)存在，n为5，为 【分析】（1）①由题意可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②根据，可得，即可． （2）由（1）中②可得两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据点和也关于中点1对称，且k值不变即可求解．（3）根据题意可得，根据，可得点，到的中点的距离相等，从而表达出对应和的值，从特殊取值过程中，研究n和点以及点的关系，总结出一般规律进行解题． 【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴， 又∵，， ∴M点为5，N点为，故答案为：5，． ②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴，且中点所对应的数为1， 又∵，∴中点所对应的数也为1， ∵，， ∴M点为，即，N点为，即； （2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称， ∴．∴， ∴．∴为，为． （3）解：存在，理由：∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”， ∴， ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴的中点所表示的数为1， ∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴，∴点，到的中点的距离相等， 当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为， 当n为2时，为，为， 当n为3时，为，为， 当n为4时，为，为， 以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是， 令，∴， ∴，∴． ． 当表示的数为65时，，解得：． 又∵和关于1对称，∴为． 答：存在次数n使得为65，此时n为5，为． 【点睛】本题考查列代数式的表达能力，数轴上表示数，利用数轴上线段中点解决相关问题，乘方，数的规律总结能力以及数轴相关知识运用，难度偏大，利用数形相结合是解题的关键． 1．（23-24七年级上·广东深圳·期末）如右图所示：C是线段上一点，且，P、Q从C点同时出发，分别朝着点A运动、点B运动，且点P的运动速度是点Q的一半，当时，的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差倍分，根据点P的运动速度是点Q的一半，可得，根据可得，则． 【详解】解：点P的运动速度是点Q的一半，， ，，， ， ，故选C． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度沿运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（  ） ①运动后，；            ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变；                ④当时，运动时间为．    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点，，，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点，， ，的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，，， 的值不变，故③正确； ，，，解得：，故④正确；故选：D 3．（2024·江苏·无锡市七年级期中）如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______． 【答案】1或 【分析】设点A在数轴上表示的数为a，点B在数轴上表示的数为b，设运动的时间为t秒，由OD=4AC得a与b的关系，再根据点M在直线AB的不同的位置分4种情况进行解答，①若点M在点B的右侧时，②若点M在线段BO上时，③若点M在线段OA上时，④若点M在点A的左侧时，分别表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之间的关系，再计算的值即可． 【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m 则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t， ∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a， ①若点M在点B的右侧时，如图1所示： 由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a ∴ ②若点M在线段BO上时，如图2所示： 由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴ ③若点M在线段OA上时，如图3所示： 由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即： ∵此时m＜0，a＜0，∴此种情况不符合题意舍去； ④若点M在点A的左侧时，如图4所示： 由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a； 而m＜0，b-a＞0，因此，不符合题意舍去， 综上所述，的值为1或． 【点睛】考查数轴表示数的意义，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键，分类讨论和整体代入在解题中起到至关重要的作用． 4．（23-24七年级上·四川巴中·期末）如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是，，1，且点C为线段的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段的中点，P、Q为数轴上两个动点，点P从点B向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点D向左运动，速度为每秒3个单位长度，P、Q同时运动，运动时间为．有下列结论：①若点E表示的数是3，则；②若，则；③当时，；④当时，点P是线段的中点；其中正确的有 ．(填序号)      【答案】①③/③① 【分析】①根据线段的中点的定义以及点D、E可确定点C、F表示的数，进而得到的长度；②由，分两种情况讨论：点E在点D的右侧时以及点E在点D的左侧时，可得到点E表示的数，由点F为线段的中点可得点F表示的数，进而得到的长度；③当时，可得到的长，从而确定点P、Q，即可得到的长；④当时，可得到的长，从而确定点P、Q，进而判断． 【详解】解：①若点E表示的数是3， ∵点F为线段的中点，D表示的数是1，∴，即F表示的数是2， ∵数轴上点A、B表示的数分别是 −9 ， −1 ，点C为线段的中点， ∴点C表示的数为，∴，故①正确； ②若，当点E在点D的右侧时，则点E表示的数是4， ∵点F为线段的中点，∴，即F表示的数是，∴， 当点E在点D的左侧时，则点E表示的数是， ∵点F为线段的中点，∴，即F表示的数是，∴， 综上，或，故②不正确； ③当时，， ∵B、D表示的数分别是，1，∴P、Q表示的数分别是，∴，故③正确； ④当时，，，∴P、Q表示的数分别是，， ∵点P在D、Q的左侧，不可能是线段的中点，故④不正确；故答案为：①③． 【点睛】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵，即与重合，∴与C之间的距离为．故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 6．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置； （2）由题意知，；（3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵，∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵，∴点在边上，故答案为：； （2）解：由题意知，，故答案为：； （3）解：由题意知，，解得，，故答案为：7.2． 【点睛】本题考查动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．（23-24七年级上·广东广州·期中）如图，在数轴上A，B，C三点分别表示的数是x，y，z．z是绝对值最小的整数，且x，y满足．(1)填空：______， ______，______；    (2)若点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点C分别以每秒2个单位长度和1个单位长度的速度向左运动．假设t秒钟过后，若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请判断的值是否随着时间t的变化而变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由； (3)如图，点D，E分别在点C的左右两侧，若点P，Q分别从点D，E处开始相向运动，在点C处相遇后，点P继续向点E处运动，点Q停止了14秒后再继续向点D处运动．点P，Q到达点E，D处立即折返，仍在C处相遇．已知点P每秒运动3个单位长度，点Q每秒运动4个单位长度，求点D与点E之间的距离． 【答案】(1)，1，0(2)的值不随着时间t的变化而变化，其值为1，理由见详解； (3)点D与点E之间的距离为84个单位长度 【分析】（1）根据绝对值与偶次幂的非负性可进行求解；（2）由（1）可知：点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为1，点C在数轴上表示的数为0，则由题意可得：t秒钟过后，点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为，然后代入求解即可； （3）设点P、Q第一次在点C相遇的时间为t，则有：，然后可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∵z是绝对值最小的整数， ∴； 故答案为，1，0； （2）解：的值不随着时间t的变化而变化，理由如下： 由（1）可知：点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为1，点C在数轴上表示的数为0，则由题意可得：t秒钟过后，点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，点C在数轴上表示的数为， ∴， ∴ ； （3）解：设点P、Q第一次在点C相遇的时间为t，则有： ， ∴第二次相遇时，点P从点C运动到点E后折返回点C处所需时间为，而点Q从点C运动到点D后折返回点C处所需时间为， ∵点Q停止了14秒后再继续向点D处运动， ∴，解得：， ∴，即点D与点E之间的距离为84个单位长度． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、一元一次方程的应用及线段的和差问题，熟练掌握数轴上的动点问题、一元一次方程的应用及线段的和差问题是解题的关键． 8．（2024·江苏·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，． 【答案】(1)，(2)①3；②2或6 【分析】（1）根据“点值”的定义即可得出答案； （2）①设运动时间为t，再根据的值是个定值即可得出m的值； ②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动时两种情况加以分析即可 【详解】（1）解：∵，，∴∴，∵，∴ （2）解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，则， ∵的值是个定值，∴的值是个定值，∴m=3 ②当点Q从点B向点A方向运动时，∵∴∴t=2 当点Q从点A向点B方向运动时，∵∴∴t=6∴t的值为2或6 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义，并能运用是本题的关键． 9．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点． (1)如图1，点是线段的一个三等分点，满足，若，则________． (2)如图2，已知，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．①当为何值时，点是线段的三等分点． ②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值． 【答案】(1)3(2)①当为或时，点是线段的三等分点；②的值为或或 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键．（1）由，，可得出的长度； （2）①点是线段的三等分点，分两种情况：或进行讨论求解即可；②点，点分别是，的三等分点，可以分四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴ 故答案为：3； （2）由题意可得：， ∴， 点是线段的三等分点，分两种情况： 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：当为或时，点是线段的三等分点； 由题意得：，则，， ∵点，点分别是，的三等分点， ∴可以分四种情况讨论： 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：； 当时，则，， 分别解得：， ∴ 解得：（舍去）； 点，点分别是，的三等分点，的值为或或． 10．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图（1），已知A，B为数轴上的两点，点O表示原点，点A表示的数为．动点C从A出发做匀速运动，动点D从B出发做匀速运动．    (1)若动点C向右运动，动点D向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整． 时间（秒） 0 1 2 C点在数轴上的位置所表示的数 _____ D点在数轴上的位置所表示的数 _____ 3 2 (2)若点D先出发2秒后，点C开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数．(3)如图（2），若动点C，D以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点P以恒定速度和方向从点O出发运动．在运动过程中，如果点F为线段的中点，且，试求点P的运动方向和速度． 【答案】(1)，；(2)；(3)点P向右运动，且运动速度为个单位/秒． 【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，利用表格得出点C，点D的运动速度，根据距离时间速度，求出距离，即可解题． （2）本题考查一元一次方程的实际应用，设C点的运动秒后，两点相遇，根据点C的运动距离点D总的的运动距离，建立方程求解，即可得到相遇时间，再推出点C的运动距离，即可解题． （3）本题考查一元一次方程的实际应用，以及线段中点的定义，设点P的运动速度为个单位/秒，运动时间为秒，表示出，，，根据题意分以下两种情况讨论，①点P向右运动，②点P向左运动，根据以上两种情况通过建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，点C向右运动的速度为：个单位/秒， 当时间为2秒时，C点在数轴上的位置所表示的数为：， 点D向左运动的速度为：个单位/秒， 当时间为0秒时，点D在数轴上的位置所表示的数为：， 故答案为：，； （2）解：由动点D从B出发可知，点B表示的数为， 设C点的运动秒后，两点相遇， 根据题意有：， 解得：， C点运动的距离为， 两点相遇时的位置所表示的数为：； （3）解：设点P的运动速度为个单位/秒，运动时间为秒， 下面分情况讨论： ①点P向右运动， 有，，， 点F为线段的中点， ， ， ，整理得，解得， 即点P向右运动，且运动速度为个单位/秒； ②点P向左运动， 有， ， ，整理得，解得（不合题意，舍去）， 综上所述，点P向右运动，且运动速度为个单位/秒． 11．（2024·浙江·七年级专题练习）如图，点是定长线段上一点，、两点分别从点、出发以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上）． （1）若点、运动到任一时刻时，总有，请说明点在线段上的位置； （2）在（1）的条件下，点是直线上一点，且，求的值； （3）在（1）的条件下，若点、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），点、分别是、的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】（1）点P在线段AB的处；（2）或；（3）结论②的值不变正确，. 【分析】（1）设运动时间为t秒，用含t的代数式可表示出线段PD、AC长，根据，可知点在线段上的位置； （2）由可知，当点Q在线段AB上时，等量代换可得，再结合可得的值；当点Q在线段AB的延长线上时，可得，易得的值. （3）点停止运动时，，可求得CM与AB的数量关系，则PM与PN的值可以含AB的式子来表示，可得MN与AB的数量关系，易知的值. 【详解】解：（1）设运动时间为t秒，则， 由得，即 ，，，即所以点P在线段AB的处； （2）①如图，当点Q在线段AB上时， 由可知， ②如图，当点Q在线段AB的延长线上时， ， 综合上述，的值为或； （3）②的值不变. 由点、运动5秒可得， 如图，当点M、N在点P同侧时，点停止运动时，， 点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 如图，当点M、N在点P异侧时， 点停止运动时，，点、分别是、的中点， 当点C停止运动，点D继续运动时，MN的值不变，所以； 所以②的值不变正确，. 【点睛】本题考查了线段的相关计算，利用线段中点性质转化线段之间的和差倍分关系是解题的关键. 12．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图①，已知线段，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且． (1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)17或25(2)(3)不是定值，理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，线段的和差关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出m、n的值，分类讨论进行求解即可； （2）根据线段和差关系进行计算即可．； （3）先根据线段和差关系证明，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ①当点C在点B的左侧时， ， ， ， ②当点C在点B的右侧时， ， ， ， 综上所述，的长为17或25． （2）解：∵点M，N分别为线段的中点， ，． ∴； （3）解：不是定值，说明如下： 点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，如图所示： ∴， ∵， ∴ ， ∵点位值不确定， ∴长度不确定， 故不是定值． 13．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点．①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 14．（2024七年级上·浙江·专题练习）如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． (1)填空：①A、B两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为___________；点Q表示的数为___________． (2)求当t为何值时，；(3)当点P运动到点B的右侧时，PA的中点为M，N为的三等分点且靠近于P点，求的值． 【答案】(1)①10，3；②， (2)1或3 (3)5 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由数轴上两点间的距离公式可求，两点之间的距离，由中点公式可求线段的中点表示的数； （2）根据点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，进行计算即可得到答案；由，得到方程，求解即可得到答案； （3）先表示，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：①点表示的数为，点表示的数为8， ，两点间的距离等于，线段的中点表示的数为； ②t秒后，点P表示的数为；点Q表示的数为； （2）， ， 或3， 或3时，； （3）∵的中点为M，N为的三等分点且靠近于P点， ∴， ， ∴． 15．（23-24七年级上·浙江温州·期中）新定义学习： 【新知学习】若A，B，C是数轴上的三个点，如果点C到A的距离等于点C到B的距离，那么我们就称点C是的中点．例如，如图1，点A表示的数为，点B表示的数为3，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是2，那么点C是的中点． 【知识运用】(1)如图2，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为，点F所表示的数为2，求的中点所表示的数，并说明理由．(2)如图3，若数所表示的点G是的中点，那么M表示的数为 ，N表示的数为 （只要写出符合条件的一对值即可）． 【知识拓展】(3)如图4，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．现有一只电子蜗牛P从点A出发，以1个单位每秒的速度向右运动；同时另一只电子蜗牛Q从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，若点M，N分别是和的中点，则在P，Q的运动过程中，当 秒时，M，N点到原点的距离相等（请直接写出答案）． 【答案】(1)，理由见解析(2)(3)秒或秒 【分析】本题考查了实数与数轴，结合中点公式与方程解答是解题的关键． （1）利用中点公式解答； （2）根据中点公式结合中点定义，求出、即可． （3）表示出、表示的数，列方程解答． 【详解】（1）解：、中点为， 理由：到和2的距离都是3； （2）解：①， 取，则， 故答案为：1，（答案不唯一）； （3）解：由题意得：点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为，点表示的数为， ①，在数轴同侧，则有，解得； ②，在数轴异侧，则有，解得； 综上所述，当秒或24秒时，点，到原点的距离相等． 16．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可； （2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可； （3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， ∵，∴，∴， ∵，∴；    （2）解：设运动时间为，则，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴． （3）解：∵，∴，，， ∵，∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，∴， ∵，∴，∴，∴．    当点P在点B右边时，∵，， ∴，∴；综上，或． 【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果． 17．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 【答案】(1)，(2)之间的距离(3)或时，等式成立 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点等知识．运动过程中用含的式子表达线段的长度是解决本题的关键．（1）用含式子表示，即可求解； （2）由题意先求和，根据中点定义求出和，即可求得的距离； （3）分两种情况：当点到达点之前时，当点到达点返回时，分别表示、，代入题中等式，即可求出时间． 【详解】（1）解：，， 又，，． （2）如图， 点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为， ，， 又、是线段、的中点，，， ． （3）当点到达点之前时，即时， 由题意得，，，， 又，，解得：； 当点到达点返回时，即时， 由题意得，，， 又，，解得：， 综上所述，当或时，等式成立． 18．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______；(2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由见详解 【分析】本题考查了绝对值的非负性，线段的中点、和差的计算， （1）根据几个非负性项之和为0，则每一个非负性均为0，据此即可求解； （2）分当点P在线段上时；当点P在点N左侧，点Q在线段上时；当点P、点Q均在点N左侧时，三种情况讨论，画出图形，根据线段的中点、和差即可计算求解． 【详解】（1）∵，又∵，， ∴，，∴，，故答案为：，； （2）当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由如下：设点P表示的数为x， ∵，，∴， 当点P在线段上时，如图，    ∵点P表示的数为x，点N表示的数为，点M表示的数为， ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴， ∴， ∴，∴； 当点P在点N左侧，点Q在线段上时，即，如图，    ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，且， ∴，则：，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； 当点P、点Q均在点N左侧时，如图，    ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，且，∴， ∴，∴， ∴， 综上所述：当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，． 19．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 【答案】(1)(2)(3)(4)或 【分析】（1）根据线段之间的数量关系代入解答即可； （2）根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题； （3）由题意可知，点C表示的数是，设M点离O点近，且，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；（4）根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，；②点P在点C左侧，． 【详解】（1）解：由题意得，∴， ∵，∴； （2）解：如图，∵， 当时，，，即点也是图1中线段的圆周率点， 与的数量关系是相等；故答案为：； （3）解：由题意可知，点C表示的数是， ∵点M、N均为线段的圆周率点，不妨设M点离O点近，且， ∴，∴，解得：， ∴，∴； （4）解：由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：， 当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时， ①如图①，点P在点C左侧， ∵，，∴； 如图②，点P在点C左侧， ∵，∴，∴； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键． 20.（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点、、、，其中，点对应的数是． (1)若，则点对应的数是______； (2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点处以单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为个单位． (3)在（2）的条件下，将线段、分别绕点、点竖直向上折起，连接线段，围成如图3的长方形中，点从点出发，以单位/的速度沿点－－－匀速运动，最终到达点．设点运动时间为秒，问：为何值时，的面积为？ 【答案】(1)(2)或(3)或 【分析】（1）根据，，得到，再利用两点之间的距离公式即可求解； （2）由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为，分为碰板前后两种情况讨论，①甲、乙碰到板子前（），得到，解得，符合题意；②甲、乙碰到板子后（），得到，解得，符合题意，由此即可解答；（3）先分别计算出当点运动到点、、时的时间值，再分类讨论当运动到、、上的情况，根据面积公式列方程求出时间即可． 【详解】（1），， ，， 点对应的数是，点对应的数是，故答案为：； （2），，即， 由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为，分类讨论，分为碰板前后两种情况， ①甲、乙碰到板子前（），甲距离点：，乙距离点：， 解得：，，符合题意； ②甲、乙碰到板子后（）甲与点的距离为：，乙与点的距离为：， ，解得：，，符合题意， 综上所述，或为时，甲、乙两小球之间的距离为个单位； （3）当点运动到点时，， 当点运动到点时，，当点运动到点时，， ①当点在运动时， ，， 即，解得：，符合题意；        ②当点在运动时，，， 由（2）得，， 即，解得：，符合题意； ③当点在运动时，，， ，即，解得：，不符合题意； 综上所述，为或时，的面积为． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系，三角形的面积，解题的关键是掌握两点之间的距离公式，理解题意找到其中蕴含的等量关系，学会用分类讨论的思想解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 $$