精品解析：四川省巴中市第三中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

巴中市第三中学2024年秋学期半期考试 高二年级数学试题 命题人：杨金池 审题人：程书杰 考试时间：120分钟 试卷分数：150分 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 经过点A(0，－3)且斜率为2的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（　 　） A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件 4. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，点E，F分别是棱的中点，则异面直线与CF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 直线l：和圆C：交于A，B两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在两个袋内分别写着装有、、、、、六个数字的张卡片,今从每个袋中各取一张卡片，则两数之和等于9的概率为 A. B. C. D. 8. 已知，动点与点A的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值（ ） A. B. 8 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有几个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆和圆的交点为，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离是 C. D. 异面直线与所成角的正切值为4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则线段的垂直平分线的方程为__________. 13. 过三点，，的圆标准方程为________. 14. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦.且，则的最小值为__________. 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 16. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示. （1）求的值； （2）求所有受灾居民的经济损失的平均值； （3）现按照分层抽样的方法从经济损失在的居民中随机抽取8人，再从这8人中任取2人了解情况，求至多有1人经济损失在的概率. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点. （1）求证：； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点． （1）求证：平面平面PBC； （2）设二面角的平面角为θ，当时，求的值． 19. 已知圆，直线与圆交于两点. （1）求； （2）点，过点向圆引切线，切点为，求直线的方程； （3）设过点的直线交圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中市第三中学2024年秋学期半期考试 高二年级数学试题 命题人：杨金池 审题人：程书杰 考试时间：120分钟 试卷分数：150分 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 经过点A(0，－3)且斜率为2的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接代入点斜式方程求解即可． 【详解】因为直线经过点且斜率为2， 所以直线的方程为， 即， 故选：． 2. 若点（1，1）在圆的外部，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点和圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】由题意可知，解得或a＞3， 则实数a的取值范围是， 故选：C. 3. 奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（　 　） A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件 【答案】C 【解析】 【详解】甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．选C. 4. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用倾斜角和斜率的关系求解即可. 【详解】易知的斜率为，显然倾斜角为. 故选：C 5. 如图，在正方体中，点E，F分别是棱的中点，则异面直线与CF所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，将问题转换为求即可. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 设正方体的棱长为1，则， 所以， 所以，即异面直线与CF所成角的余弦值为. 故选：A. 6. 直线l：和圆C：交于A，B两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线过的定点、圆的圆心坐标及半径，再利用圆的性质及弦长公式计算即得. 【详解】依题意，直线l：过定点， 圆C：即的圆心，半径， 由，知点在圆内， 所以当且仅当直线与直线垂直时，直线截圆所得弦长最短， 则所求最短弦长为. 故选：B 7. 在两个袋内分别写着装有、、、、、六个数字的张卡片,今从每个袋中各取一张卡片，则两数之和等于9的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算从两个袋中各取一张卡片的取法数目，再列举其中和为9的情况，可得其数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案． 【详解】解：从两个袋中各取一张卡片，每个袋中有6张卡片，即有6种取法， 则2张卡片的取法有6×6=36种， 其中和为9的情况有（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），共4种情况， 则两数之和等于9的概率为=， 故选：C． 8. 已知，动点与点A的距离是它与点的距离的倍，则面积的最大值（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出点的轨迹方程为圆，数形结合得高的最大值为圆的半径，可解问题. 【详解】设，由， 得，化简整理得， 即点的轨迹为圆，半径为， 由于，所以当边上高最大时，的面积最大， 所以. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有几个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 同时掷红、蓝两枚质地均匀的正四面体骰子，骰子的面上标有1、2、3、4，记录骰子朝下的面上的点数，事件表示“两枚骰子的点数之和为”，事件表示“红色骰子的点数是偶数”，事件表示“两枚骰子的点数相同”，事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”．则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，列举法找到所有可能情况，由古典概型的概率计算公式分别计算. 【详解】设红骰子朝下的面上的点数为m，蓝骰子朝下的面上的点数为n，样本点为， 则样本空间为，则， 事件表示“两枚骰子的点数之和为”， ， 所以，故A错误； 事件表示“红色骰子的点数是偶数”， 所以，故B正确； 事件表示“两枚骰子的点数相同”， ， 所以，故C正确； 事件表示“至少一枚骰子的点数是偶数”, ， 所以，故D正确. 故选：BCD 10. 已知圆和圆的交点为，则（ ） A. 公共弦所在直线的方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. 公共弦的长为 D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】两圆方程相减即可得公共弦的方程，则选项A可判断；由两圆中一个圆的圆心坐标，由垂直关系可得中垂线的斜率，利用点斜式方程可求中垂线方程，则选项B可判断；利用两圆中一个圆的圆心到直线的距离，则公共弦的长可求，则选项C可判断；利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，加上半径即点到直线距离的最大值，即选项D可判断． 【详解】对于A，因为圆和圆，圆心距，且,两圆相交，将两式作差可得公共弦所在直线的方程为，即，故选项A正确； 对于B，因为圆的圆心为，，则线段中垂线的斜率为，即线段中垂线方程为，整理可得，故选项B正确； 对于C，圆心到直线的距离为，又圆的半径，所以，故选项C错误； 对于D，点为圆上一动点，圆心到直线的距离为，又圆的半径，所以点到直线距离的最大值为，故选项D错误． 故选：AB． 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离是 C. D. 异面直线与所成角的正切值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算判断A，建立空间直角坐标系利用空间向量模的坐标求法判断C，利用投影公式结合勾股定理判断B，利用线线角的向量求法判断D即可. 【详解】依题意得，故A正确； 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， ， 对于BC，， 所以，设， 则点到直线的距离，故BC正确； 对于D，因为， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的正切值为，故D错误． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后利用投影公式结合勾股定理得到所要求的长度即可． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则线段的垂直平分线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求得中点，结合斜率即可求解. 【详解】由，可知中点坐标为， ，由垂直关系可知：线段的垂直平分线斜率为：， 所以线段的垂直平分线的方程为：， 即， 故答案为： 13. 过三点，，的圆标准方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】 设圆的方程为，根据圆过点，，求解. 【详解】设圆的方程为：， 因为圆过点，，， 所以，解得， 所以圆的方程为：， 所以圆标准方程为：， 故答案为： 14. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦.且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行以及经过的定点，可得在圆：上运动，根据数量积的运算律，结合圆的性质求解最值即可. 【详解】对于与可知两直线系数满足，故两直线垂直， 且，故过定点, ,故过定点， 因此点在以为直径的圆上，圆心为，半径为,故圆：， 圆的圆心和半径分别为, 取中点为，则, 连接,由可得, 故, , 由于, 因此的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据两直线垂直以及经过的定点,，可得在圆：上运动. 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，根据点在圆上列方程可得，可得方程； （2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得. 【小问1详解】 由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或. 16. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示. （1）求的值； （2）求所有受灾居民的经济损失的平均值； （3）现按照分层抽样的方法从经济损失在的居民中随机抽取8人，再从这8人中任取2人了解情况，求至多有1人经济损失在的概率. 【答案】（1） （2）3360 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率直方图各小长方形面积之和为1即可列式求解； （2）根据频率分布直方图估计平均值，只需用每一个小长方形横坐标的中间值乘以相应段的频率即可； （3）把基本事件总个数列举出来，然后把满足条件的列出来，即可根据古典概型公式求解. 【小问1详解】 依题意，， 解得. 【小问2详解】 所有受灾居民经济损失的平均值为 . 【小问3详解】 由分层抽样知识可知，经济损失在的有6人，记为， 经济损失在的有2人，记为. 随机抽取2人，所有的情况为，，，共28件， 其中满足条件的为，，共13件， 故所求概率. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点. （1）求证：； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）     证明：根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， ，，，，， ，， 则， 所以，即 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，然后由向量的数量积为，即可证明向量垂直； （2）根据题意，由空间向量的坐标运算，再结合线面角的计算公式，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，，设平面的法向量为 则，解得，取，则 所以平面的一个法向量为， 又因为， 设AB与平面所成角为， 所以， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点． （1）求证：平面平面PBC； （2）设二面角的平面角为θ，当时，求的值． 【答案】（1）证明：由四边形ABCD是正方形，得，而平面平面ABCD， 平面平面平面ABCD，则平面PCD， 又平面PCD，于是， 由，点为线段PC的中点，得， 又平面PBC，因此平面PBC，而平面DEF， 所以平面平面PBC. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）以D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法列式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面PCD，而，则平面PCD， 在平面PCD内过D作交PC于点G，显然直线DA，DC，DG两两垂直， 以D为原点，直线DA，DC，DG分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 由，，得，， 设，则，设平面DEF的法向量为， 则，令，得， 而平面PCD的法向量为，则， 而，解得，此时． 19. 已知圆，直线与圆交于两点. （1）求； （2）点，过点向圆引切线，切点为，求直线的方程； （3）设过点的直线交圆于两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点满足.证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析，定点为 【解析】 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可求得弦长； （2）根据圆外点作圆的两条切线，切点所在直线即为两圆相交弦所在直线即可求解； （3）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合根与系数的关系，表示出直线SN的方程，从而确定定点. 【小问1详解】 易知圆心，半径，圆心到直线的距离， 所以弦长. 【小问2详解】 根据题意，点在圆外，则过点向圆有两条切线，切点分别为, 则,所以在以为直径的圆上， 则圆的圆心为，半径, 所以圆的方程为，则圆与圆相交弦即为直线， 联立，得， 所以直线的方程为. 【小问3详解】 当直线的斜率不存在，即轴时，直线的方程为，代入圆方程得：或， 设，则直线方程为， 代入直线得：，故， 因为，所以是的中点，得， 所以，所以直线的方程为：， 即，直线过点. 当直线的斜率存在时，如图所示： 设直线方程为：，即， 设，联立得：， ，解得或， 由韦达定理得： ①，， 所以③，④，且⑤， 将代入直线得：，所以， 是的中点，得，所以， 所以直线的方程为：， 将点的坐标代入并整理，化简得：， 将①③④⑤代入上式得：，显然成立. 综上可得：直线过定点. 【点睛】方法点睛：(1)解答直线与圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)根据圆的切线切点的几何特征求解. （3）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $