专题14.5 因式分解（7大考点+过关检测）-【学霸满分】2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

专题14.5 因式分解 目录 【典型例题】 1 【考点一 判断是否因式分解】 1 【考点二 已知因式分解的结果求参数】 3 【考点三 公因式】 6 【考点三 提多项式的公因式的因式分解法】 7 【考点四 综合利用提公因式法和公式法因式分解】 9 【考点五 十字相乘法因式分解】 13 【考点六 分组分解法因式分解】 16 【考点七 因式分解的应用】 19 【过关检测】 23 【典型例题】 【考点一 判断是否因式分解】 例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点二 已知因式分解的结果求参数】 例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【考点三 公因式】 例题：（24-25八年级上·山东青岛·期中）把多项式分解因式，应提的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）多项式的公因式是 ． 2．（24-25九年级上·全国·期中）多项式分解因式时应提取的公因式是 ． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）多项式的公因式是 ． 【考点三 提多项式的公因式的因式分解法】 例题：（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）分解因式： ． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【考点四 综合利用提公因式法和公式法因式分解】 例题：（24-25八年级上·北京·期中）分解因式： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·北京·期中）分解因式 (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4)． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点五 十字相乘法因式分解】 例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【考点六 分组分解法因式分解】 例题：（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：分解因式：． 解1： 解2： ． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式： (2)分解因式： 2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读以下材料，并解决问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1： ……………………分成两组 ………………分别分解 ………………………提取公因式完成分解 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． (1)材料例1中，分组的目的是_________． (2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？ _____________； _____________． (3)利用分组分解法进行因式分解：． 【考点七 因式分解的应用】 例题：（24-25八年级上·山东威海·期中）我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解： ①； ②． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）阅读下列材料： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：． 又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得． 于是我们可以得到： 请你根据以上材料，解答以下问题： (1)当______时，多项式的值为0，所以多项式有因式______，从而因式分解______； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京·期中）已知，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 3．（24-25八年级上·北京·期中）已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．美我南阳 C．南阳游 D．我爱南阳 5．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题）已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 6．（24-25八年级上·全国·课堂例题）因式分解： ． 7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 8．（24-25八年级上·北京·期中）若，，则的值为 ． 9．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，其中k、q均为整数，则 ． 10．（24-25八年级上·河南南阳·期中）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25八年级上·山东泰安·期中）分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（24-25八年级上·云南昆明·期中）整体思想是数学解题中常用的一种思想方法： 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：令 原式    第一步         第二步         第三步         第四步 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是______． A．提取公因式    B．公式法 (2)请你类比以上方法尝试对多项式进行因式分解． 14．（24-25八年级上·山东烟台·期中）《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式 解：添加两项 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 15．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式 ； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ① ； ② ； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式： ． 16．（24-25八年级上·福建泉州·期中）下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务．若是多项式的一个因式，求的值． 解：是多项式的一个因式， 设（A为整式）． 当时，则有． 将代入，得．解得． 学习任务： (1)若是多项式的一个因式，求出多项式中二次项的系数的值； (2)若和是多项式的两个因式，求出多项式中三次项和一次项的系数，的值． 17．（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 18．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形．先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值； (3)当a，b为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.5 因式分解 目录 【典型例题】 1 【考点一 判断是否因式分解】 1 【考点二 已知因式分解的结果求参数】 3 【考点三 公因式】 6 【考点三 提多项式的公因式的因式分解法】 7 【考点四 综合利用提公因式法和公式法因式分解】 9 【考点五 十字相乘法因式分解】 13 【考点六 分组分解法因式分解】 16 【考点七 因式分解的应用】 19 【过关检测】 23 【典型例题】 【考点一 判断是否因式分解】 例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】十字相乘法、判断是否是因式分解、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不符合题意； B、，不是积的形式，不符合题意； C、，故原式分解错误，不符合题意； D、，分解正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得． 【详解】解：A． ，是因式分解，选项说法正确，符合题意；     B． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； C． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；     D． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； 故选：A ． 2．（24-25七年级上·上海浦东新·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法，是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，是整式的乘法，不符合题意； C、，分解错误，不符合题意； D、，等式右边不是整式积的形式，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义是解决本题的关键． 利用“因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解”解题即可． 【详解】解：①是整式乘法； ②结果是和的形式，不是因式分解； ③是整式乘法； ④是因式分解； ⑤是因式分解； ⑥中含有不是整式的式子，不是因式分解； 故是因式分解的有④⑤，①②③⑥不符合定义， 故选：B． 【考点二 已知因式分解的结果求参数】 例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 【答案】14 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果，求参数，求出当时，，则当时，，据此求解即可． 【详解】解：当时，， ∵关于的多项式有一个因式为， ∴当时，， ∴， ∴， 故答案为：14． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 【考点三 公因式】 例题：（24-25八年级上·山东青岛·期中）把多项式分解因式，应提的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟知公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．据此求解即可． 【详解】解：把多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林长春·期中）多项式的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】多项式， 各项系数的最大公约数为， 各项都含有，的最低指数为， 该多项式的公因式为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·期中）多项式分解因式时应提取的公因式是 ． 【答案】/ 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式，方法是：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照此方法即可找到公因式． 【详解】解：多项式的公因式为：； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）多项式的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 【考点三 提多项式的公因式的因式分解法】 例题：（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解-分组分解法，提取公因式法，根据题意，先把分组得，然后再提取公因式，得出，最后再提取公因式即可得出答案． 【详解】解： 、 ． 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式，进而分解因式得出答案． 【详解】解：原式． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，直接提取公因式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）用提公因式法将下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键； （1）提公因式法提取分解因式即可求解； （2）提公因式法提取分解因式即可求解； 【详解】（1）解： （2）解： ． 【考点四 综合利用提公因式法和公式法因式分解】 例题：（24-25八年级上·北京·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 【变式训练】 1．（23-24八年级上·北京·期中）分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式法分解因式； （2）先提公因式，然后利用平方差公式法分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）用因式分解法求解即可； （2）先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先化为平方差形式分解因式，再分别提公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解题的关键． （1）直接运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可； （3）先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可； （4）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）， ， ； （3）， ， ， ； （4）， ， ． 【考点五 十字相乘法因式分解】 例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化为，化为，用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解分解可得； （3）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则2；3； ∴； （2）解：一次项为：，则常数项为， 则； （3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 【考点六 分组分解法因式分解】 例题：（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． （1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：分解因式：． 解1： 解2： ． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】：尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式： (2)分解因式： 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查因式分解： （1）先将原式分组为，再利用提取公因式法和公式法进行分解； （2）先将原式变形为，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）阅读以下材料，并解决问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1： ……………………分成两组 ………………分别分解 ………………………提取公因式完成分解 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． (1)材料例1中，分组的目的是_________． (2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？ _____________； _____________． (3)利用分组分解法进行因式分解：． 【答案】(1)分组后能出现公因式，分组后能应用公式 (2)， (3) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题主要考查的因式分解的方法，掌握提取公因式法公式法分解因式，理解分组分解的方法是解题的关键． （1）根据因式分解的方法“提取公因式，公式法”即可求解； （2）根据材料提示的“分组分解法”进行分解因式即可求解； （3）运用分组分解法进行分解因式，先把前三项看做一个整体，是完全平方公式，再与后一项结合，运用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解：分组后能出现公因式，分组后能应用公式； （2）解：，前两项为一组，后一项为一组， ∴原式， ，第一项和第三项作为一组，第二、四、五项作为一组， ∴原式， 故答案为：，． （3）解： ． 【考点七 因式分解的应用】 例题：（24-25八年级上·山东威海·期中）我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 【知识点】分组分解法、因式分解的应用、构成三角形的条件 【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键． （1）依据分组分解法，把分组为，然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式即可求解； （2）通过分组分解法把化成，然后利用三角形三边关系得出，则，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：等腰三角形． 由，可得． ， ． ． 是等腰三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解： ①； ②． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【答案】(1)； (2)是等腰三角形． 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 2．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）阅读下列材料： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：． 又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得． 于是我们可以得到： 请你根据以上材料，解答以下问题： (1)当______时，多项式的值为0，所以多项式有因式______，从而因式分解______； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：． 【答案】(1)1，，； (2)，过程见解析． 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键． （1）根据题意，当时，，设，求出m、n的值，进而即可求出答案； （2）根据题意，当时，，设， 求出m、n的值，进而即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， 设， 解得， ∴因式分解， 故答案为1，，； （2）当时，， 设， 解得， ∴． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】根据完全平方公式和平方差公式，进行逐一判断即可． 本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：A．无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； B． ，用平方差公式分解，故此选项正确，符合题意； C． 无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； D． 无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京·期中）已知，则的值是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】先根据平方差公式将分解成，然后将整体代入，再化简得结果为，再利用提公因式法分解因式得结果为，然后再次将整体代入即可得解． 本题主要考查了分解因式和整体代入法求代数式的值，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：D． 3．（24-25八年级上·北京·期中）已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，先把已知条件式左边分解因式推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵、、是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 根据现有条件无法证明是直角三角形和等边三角形， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南南阳·期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．美我南阳 C．南阳游 D．我爱南阳 【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故结果呈现的密码信息可能是我爱南阳， 故选：D． 5．（重庆育才中学教育集团2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题）已知多项式（为常数），下列说法： ①当时，无论取何值，都有； ②若且，则； ③若，则不存在整数，使得． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】利用平方根解方程、运用完全平方公式进行运算、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性求解题目，做题的关键是配方． 结合已知，依次对各个选项进行配方成完全平方形式，结合平方的非负性进行判断即可． 【详解】解：对于①：， ∵，， ∴当时，，故①正确； 对于②：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴不存在整数，使得，故③正确． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·全国·课堂例题）因式分解： ． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了公式法分解因式，根据平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提取公因式，然后再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·北京·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据已知得出，原式化为即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，其中k、q均为整数，则 ． 【答案】或15 【知识点】十字相乘法 【分析】把等式右边展开，由对应相等得出，，再由k，q均为整数，求出k和q的值，即可求出答案． 本题考查因式分解—十字相乘法等，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 故答案为或15 10．（24-25八年级上·河南南阳·期中）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义、非负数的性质及三角形三边关系；根据关系式得出，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：∵，即， ∴， ，， ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形 周长为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分组分解法、十字相乘法、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式后，运用平方差公式进行因式分解； （2）运用十字相乘法进行因式分解； （3）运用分组分解法进行因式分解； （4）将原式变形为，将看成整体，运用十字相乘法进行分解后，再次运用十字相乘法和提公因式法进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 12．（24-25八年级上·山东泰安·期中）分解因式 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合运用公式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用提公因式法进行因式分解即可； （3）先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ； （3）解：原式 （4）解：原式 ． 13．（24-25八年级上·云南昆明·期中）整体思想是数学解题中常用的一种思想方法： 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：令 原式    第一步         第二步         第三步         第四步 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是______． A．提取公因式    B．公式法 (2)请你类比以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)B (2) 【知识点】完全平方公式分解因式、因式分解的应用 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可得到答案； （2）根据题意所给方法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：根据完全平方公式可知，第二步到第三步运用了因式分解的方法是公式法， 故选B； （2）解：令， 原式 ． 14．（24-25八年级上·山东烟台·期中）《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式 解：添加两项 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法、分组分解法 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）你数学老师教你因式分解的场面你一定还记忆犹新吧！现让我们来温故一下因式分解的几种方法并练习！ （1）提取公因式法：提取各单项式中的公因式，提取完后合并单项式分解因式： ； （2）十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数．其实就是运用乘法公式的逆运算来进行因式分解： ①分解因式 ； ②解方程：． （3）拆项添项法：即把多项式中某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个符合相反的项． ① ； ② ； 除以上方法外因式分解还有双十字相乘法、换元法、因式定理法、待定系数法等． [综合应用]分解因式： ． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；②；综合应用： 【知识点】因式分解的应用、分组分解法、十字相乘法、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据提公因式法可进行分解因式； （2）①根据十字相乘法可进行分解因式；②先移项，然后再对方程左边进行十字相乘，进而问题可求解； （3）①把拆分，然后再根据提公因式和完全平方公式可进行分解因式；②把拆开，然后根据提公因式和平方差公式可进行分解因式； 综合应用：根据完全平方公式、十字相乘法及整体思想可进行分解因式． 【详解】解：（1）； 故答案为； （2）①； 故答案为； ② ∴或， ∴； （3）① ； ② ； 故答案为；； 综合应用： ； 故答案为． 16．（24-25八年级上·福建泉州·期中）下面是一位同学仿解题过程，请仔细阅读，在理解的基础上，完成相应的学习任务．若是多项式的一个因式，求的值． 解：是多项式的一个因式， 设（A为整式）． 当时，则有． 将代入，得．解得． 学习任务： (1)若是多项式的一个因式，求出多项式中二次项的系数的值； (2)若和是多项式的两个因式，求出多项式中三次项和一次项的系数，的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】因式分解的应用、加减消元法 【分析】本题考查了因式分解的应用及解二元一次方程组： （1）依据题意列出式子，令即可求解； （2）依据题意列式，令或，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：若是多项式的一个因式， 设（其中为整式）， 令 即取，得； 解得； （2）解：设（其中为整式）， 令或， 当时，即时，得， 当时，即时，得， 即， 由解得，则． 17．（24-25八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为________． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)订正：小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“3-系多项式”．若多项式是“3-系多项式”，则________，________，________． 【答案】(1)或 (2) (3)，， 【知识点】计算多项式乘多项式、因式分解的应用 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，因式分解的应用； (1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； (2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； (3）根据题意，由“-系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：或； （2）根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， 多项式的另一个零点是； （3）， 的两个零点分别是或， 根据“系多项式”的定义，有， ∴ 把代入， 得 ， ， 故答案为：，，． 18．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形．先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值； (3)当a，b为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】(1)； (2)时，多项式有最大值为20； (3)，时，多项式有最小值为13． 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质、配方法等知识点，熟练掌握配方法、因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可解答； （2）利用分解因式将多项式转化为，然后利用非负数的性质即可解答； （3）利用分解因式将多项式转化为，然后利用非负数的性质即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）∵， ， ， ∵， ∴当时，多项式有最大值为20； （3）， ， ， ， ， ∵， ∴当，时，多项式有最小值为13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$