精品解析：山东省淄博市博山区第六中学2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024－2025学年度第一学期初三数学期中试题 一、单选题（每题4分，合计40分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的和都同时扩大倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小 D. 扩大倍 4. 下列因式分解的结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ） A. B. 6 C. D. 5 7. 解分式方程，去分母后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的值为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 9. 若的结果为整数，则整数的值不可能是（ ） A. 44 B. 55 C. 66 D. 77 10. 规定新运算：，其中，，则把因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，合计21分） 11. 已知，，则______． 12. 若分式的值为0，则x的值为___________． 13. 已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的平均数是____，方差是_____ ． 14. 在一次演讲比赛中，甲的演讲内容分、演讲能力分、演讲效果分，若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为________． 15. 甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少钱___________． 16. 一项工作，甲独做小时完成，乙独做小时完成，则甲、乙两人合作完成的时间为________小时． 17. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”，如，，因此24和56都是“幸福数”，下列4个结论： ①最小的“幸福数”是8； ②521是“幸福数”； ③“幸福数”一定是4的偶数倍； ④20以内的所有“幸福数”之和是24． 请填写正确结论的序号__________． 三、解答题（18－20题，每题10分；21题，9分；22－23题，每题12分；24－25题，每题13分） 18. 因式分解： （1） （2）． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再从中取一个数代入求值． 22. 小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 （1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 （3）小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 23. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理、分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：75，83，76，82，75，83，95，80，68，83 乙班的成绩整理如表：其中分布在这一组的成绩是：85，85，86，84，85 【整理数据】 班级 甲班 1 4 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 81 46.6 乙班 80 85 45.6 【解决问题】根据以上信息，解答下面问题： （1）填空：________；________；_________； （2）请你根据【分析数据】中的数据，判断哪个班级的成绩比较好，简要说明理由． （3）甲班共有54人，乙班共有学生50人．按竞赛规定，80分以上的学生可以获奖，请估计这次两个班级共可以获奖多少人？ 24. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地． （1）求前 1 小时这辆汽车行驶的速度； （2）汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？ 25. （一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期初三数学期中试题 一、单选题（每题4分，合计40分） 1. 下列代数式中，属于分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，根据“分式的定义：形如（A、B是整式，且B中含有字母，）的式子”进行判断即可，掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】A、不是分式，故此选项不符合题意； B、不是分式，故此选项不符合题意； C、不是分式，故此选项不符合题意； D、是分式，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简分式的定义、分式的性质，根据最简分式是分式的分子和分母没有公因式的分式逐项判断即可． 【详解】解：A、，故不是最简分式，不符合题意； B、，故不是最简分式，不符合题意； C、，故不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式符合题意． 故选：D． 3. 如果把分式中的和都同时扩大倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小 D. 扩大倍 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，先根据题意列出算式，再根据分式的性质进行化简即可，能灵活运用分式的性质进行变形是解题的关键． 【详解】解：， 即如果把分式中的和都同时扩大倍，那么分式的值扩大倍， 故选：． 4. 下列因式分解的结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用平方差公式分解因式即可判断A；提取公因式即可判断B；利用十字相乘法分解因式即可判断C；利用完全平方公式分解因式即可判断D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 6. 某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ） A. B. 6 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数和平均数的求解，根据题意得求出，可知这组数据为：，即可求出中位数． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴这组数据为： 故中位数为：， 故选：A 7. 解分式方程，去分母后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程．方程两边都乘以去分母即可判断． 【详解】解：将方程去分母， 得， 故选：C． 8. 已知，则的值为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形求值，根据代入求值即可． 【详解】解：， ，即， ． 故选：C． 9. 若的结果为整数，则整数的值不可能是（ ） A. 44 B. 55 C. 66 D. 77 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律探索，用平方差公式分解因式，将分子进行因式分解，确定其质因数组成，再对各选项分解质因数，判断是否均为分子的因数． 【详解】解：∵ ， A．，所有质因数均在分子中存在，符合条件，故A不符合题意； B．，所有质因数均存在分子中存在，符合条件，故B不符合题意； C．，所有质因数均存在分子中存在，符合条件，故C不符合题意； D．，分子中无质因数7，因此无法整除，故D符合题意． 故选：D． 10. 规定新运算：，其中，，则把因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查整式的加减运算及因式分解，理解题意，根据新定义的运算法则计算，然后因式分解即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】∵， ∴ ， 故选：A． 二、填空题（每题3分，合计21分） 11. 已知，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，提取公因式后整理成已知条件的形式是解题的关键，然后整体代值计算．只要把所求代数式因式分解成已知的形式，然后把已知代入即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：6． 12. 若分式的值为0，则x的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的值为0，可得分式的分子等于0，分母不等于0，由此可解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式的值为0时，分子等于0，分母不等于0． 13. 已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的平均数是____，方差是_____ ． 【答案】 ①. 4 ②. 3 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，方差，根据平均数，方差公式计算即可． 【详解】一组数据的平均数为， 方差， ∴另一组数据的平均数为， 方差为 ． 故答案为：4，3． 14. 在一次演讲比赛中，甲的演讲内容分、演讲能力分、演讲效果分，若按照演讲内容占，演讲能力占，演讲效果占，计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：该选手的综合成绩为：， 故答案为：． 15. 甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少钱___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式减法的应用，掌握异分母减法法则是解题关键．由题意可知，原来人均车费为元，实际人均车费为元．作差求解即可． 【详解】解：由题意可知，原来人均车费为元，实际人均车费为元． 则， 答：甲厂为员工支付的人均车费可比原来少元， 故答案为：． 16. 一项工作，甲独做小时完成，乙独做小时完成，则甲、乙两人合作完成的时间为________小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查根据题意写代数式并化简，理清题意写出代数式是解答本题的关键． 根据“工作量工作效率工作时间”得甲的工作效率是，乙的工作效率是，则可求得两人合作需要的时间． 【详解】解：甲的工作效率是，乙的工作效率是， 两人合作需要的时间是：． 故答案为： 17. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“幸福数”，如，，因此24和56都是“幸福数”，下列4个结论： ①最小的“幸福数”是8； ②521是“幸福数”； ③“幸福数”一定是4的偶数倍； ④20以内的所有“幸福数”之和是24． 请填写正确结论的序号__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，先两个连续的奇数为和，根据“幸福数”的定义，证明“幸福数”是8的倍数，据此对各个结论进行计算判断即可． 【详解】解：设两个连续的奇数为和， ∵ ， ∴“幸福数”是8的倍数， ∵n为正整数， ∴n的最小值为1， ∴最小的“幸福数”是8，故①正确； ∵， ∴521不是“幸福数”，故②错误； ∵“幸福数”是8的倍数， ∴“幸福数”是4的偶数倍，故③正确； ∵当时，“幸福数”是8， 当时，“幸福数”是16， 当时，“幸福数”是24， ∴20以内的所有“幸福数”之和是：，故④正确， ∴正确结论的序号为①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（18－20题，每题10分；21题，9分；22－23题，每题12分；24－25题，每题13分） 18. 因式分解： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用平方差公式因式分解即可； （2）整体利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简，分式的混合运算，掌握分式混合运算法则是解题的关键． （1）将分母化为同分母，再根据同分母分式的加减运算法则计算即可求解； （2）先乘方，再根据分式乘除法运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）原分式方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程转化为一元一次方程，解一元一次方程的方法是解题的关键，注意分式方程需要检验根是否使方程有意义． （1）方程两边同时乘以去分母，化成一元二次方程，再运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根的方法即可求解； （2）方程两边同时乘以去分母，化成一元二次方程，再运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根的方法即可求解． 【小问1详解】 解： 两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 解： 原分式方程的分母分解因式得，， 两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，，原分式方程分母为0，无意义， ∴原分式方程无解． 21. 先化简，再从中取一个数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【详解】解： ， 由题意：、、， 故a取1，当时， 原式． 22. 小华在解分式方程时，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚； 解方程 （1）她把这个数“？”猜成，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“如果方程的增根是，原分式方程无解”，设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的值 （3）小华的妈妈说：“如果方程的解为正数，”设原分式方程中“？”代表的数为，请你求出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，理解增根，分式方程的解为正数，掌握把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程的方法是解题的关键，注意检验根是否使原分式方程有意义． （1）根据解分式方程的方法，去分母化为一元一次方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1得方法计算，最后检验根，由此即可求解； （2）根据解分式方程的方法可得，把方程的增根是代入计算即可求解； （3）根据解分式方程的方法可得，再根据方程的解为正数可得，同时保证原分式方程有意义，即，由此即可求解． 【小问1详解】 解：当“？”猜成时，原式为， ∴， 两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：“？”代表的数为， ∴原式为， ∴， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， ∵方程的增根是，原分式方程无解， ∴把代入得，， 解得，； 【小问3详解】 解：“？”代表的数为， ∴， ∴， ∴由上述计算可得，， ∵方程的解为正数， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 解得，， ∴且． 23. 某校甲乙两班联合举办了“经典阅读”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理、分析．下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩：75，83，76，82，75，83，95，80，68，83 乙班的成绩整理如表：其中分布在这一组的成绩是：85，85，86，84，85 【整理数据】 班级 甲班 1 4 1 乙班 0 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 80 81 46.6 乙班 80 85 45.6 【解决问题】根据以上信息，解答下面问题： （1）填空：________；________；_________； （2）请你根据【分析数据】中的数据，判断哪个班级的成绩比较好，简要说明理由． （3）甲班共有54人，乙班共有学生50人．按竞赛规定，80分以上的学生可以获奖，请估计这次两个班级共可以获奖多少人？ 【答案】（1）；； （2） 解：乙班成绩更好，理由如下： ∵甲乙两班的平均数均为80，甲班的方差为46.6，乙班的方差为45.6 ∵46.6>45.6，这说明乙班的成绩比甲班更稳定； 又乙班的成绩中位数和众数均大于甲班的成绩中位数和众数 ∴乙班的成绩更好． （3）估计这次两个班级共可以获奖57人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，方差,用方差判断稳定性，用样本估计总体等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义以及样本容量进行求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数及方差进行求解即可； （3）分别用甲乙两个班的人数乘以样本中对应班级成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案. 【小问1详解】 解：； 甲班10名学生竞赛成绩中，83分出现次数最多，共3次，故； 将乙班的成绩按大小排列，最中间的两个数据是第5，6个，即84，85， 所以，乙班的成绩中位数； 故答案为：4；83；84.5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：甲班10名同学中80分以上有人，乙班10名同学中80分以上有人． ∴ ∴估计这次两个班级共可以获奖57人． 24. 一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地． （1）求前 1 小时这辆汽车行驶的速度； （2）汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？ 【答案】（1）前 1小时这辆汽车行驶的速度为 （2）以提速后的速度行驶更省油． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用： （1）设前 1小时这辆汽车行驶的速度为，则1小时后这辆汽车行驶的速度为，根据出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的倍匀速行驶，结果比原计划提前到达目的地列出方程求解即可； （2）设以原来速度行驶每小时耗油y升，则提速后每小时耗油升，根据汽车出发时油箱有油升油，到达目的地时还剩升油列出方程求出y的值，进而分别求出原速回来和提速回来的油耗，比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：设前 1小时这辆汽车行驶的速度为，则1小时后这辆汽车行驶的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴前 1小时这辆汽车行驶的速度为； 【小问2详解】 解：设以原来速度行驶每小时耗油y升，则提速后每小时耗油升， 由题意得， ， 解得， ∴， ∴回来时若以原速度行驶总耗油升， 若以提速后的速度行驶总耗油升， ∵， ∴以提速后的速度行驶更省油． 25. （一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 【答案】实践探索：；问题解决：6 【解析】 【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可． 【详解】实践探索：解：由，知， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $