第01讲 二次函数的图像和性质（7个知识点+7种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第01讲 二次函数的图像和性质（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点5．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点6．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点7．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 题型强化 题型一．二次函数的定义 1．（2023•江都区模拟）下列函数是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用二次函数的一般形式为：、、是常数，，进而判断得出即可． 【解答】解：、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意； 、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意； 、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意； 、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键． 2．（镇江模拟）已知函数的图象是一条抛物线，则　　． 【分析】根据二次函数的定义即可求解． 【解答】解：依题意得：， 解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了二次函数的定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式． 题型二．二次函数的图象 3．（2024春•玄武区校级月考）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线求得的符号，然后根据二次函数的性质即可判断． 【解答】解：．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故选项错误； ．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，称轴为，则对称轴应在轴左侧与图象不符，故选项错误； ．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故选项错误； ．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故选项正确． 故选：． 【点评】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题． 4．（2024春•姑苏区校级月考）在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为 ．正方形的面积为，在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段的长是 　6　． 【分析】在中，，，则，求得的长，用顶点法，设函数解析式，用待定系数法，求出函数表达式，即可求解． 【解答】解：在中，，，则， 当时，，解得：（负值已舍去）， ， 抛物线经过点， 抛物线顶点为：， 设抛物线解析式为：， 将代入，得：，解得：， ， 当时，，（舍或， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了求二次函数解析式，解题的关键是：从图中获取信息． 5．（南京一模）如图，函数的图象交轴于，交轴于，点是直线上任意一点，轴，设是垂足，设点的坐标为，的面积为（当点与、重合时，其面积记为． （1）试求与之间的函数关系式； （2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得的点的个数． 【分析】（1）本题要根据题意把各种情况都讨论出来，同时把的面积表示出来． （2）要根据题意列式整理分析，在根据解析式画出图象． 【解答】解：（1）①当时，，， ； ②当时，，， ； ③当时，，， ； ④当或4时，； 于是，； （2） 下图中的实线部分就是所画的函数图象． 观察图象可知： 当时，符合条件的点有四个； 当时，符合条件的点有三个； 当时，符合条件的点只有两个． 【点评】本题考查二次函数有关分情况讨论的问题，解题中要注意对各种情况做出准确分析，尤其是值做好取值范围的分段， 题型三．二次函数的性质 6．（2024秋•姑苏区校级期中）抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数的解析式可以直接写出抛物线的顶点坐标，本题得以解决． 【解答】解：， 该抛物线的顶点坐标是， 故选：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的顶点坐标． 7．（2024•宜兴市一模）请写出一个函数表达式，使其图象是开口向上，顶点在第三象限，与轴交于负半轴的抛物线：　 　． 【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足，，即可． 【解答】解：开口向上，顶点在第三象限，与轴交于负半轴的抛物线可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质．本题属于开放性试题，答案不唯一． 8．（2024春•浦口区校级月考）函数． （1）当点在函数的图象上时，求函数图象与轴的另一个公共点的坐标以及的值； （2）当时，直接写出函数的图象的顶点纵坐标的取值范围． 【分析】（1）将点代入，求出的值，求解一元二次方程即可； （2）把顶点纵坐标看成关于的二次函数，然后根据二次函数图象性质，在范围内求出顶点坐标纵坐标的最大值和最小值，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：，即， 或； 当时，，令，则， 解得：或， 函数图象与轴的另一个交点的坐标为； 当时，，令，则， 解得：或， 函数图象与轴的另一个交点的坐标为； （2）的顶点坐标为， 设函数， ， 函数，关于直线对称， ， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，函数有最小值为， ， 时，函数有最大值为， 当时，函数顶点纵坐标的取值范围是， 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 题型四．二次函数图象与系数的关系 9．（2024•宜兴市二模）二次函数的图象如图所示，①；②；③；④．上述结论中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】由函数图象可知，对称轴，图象与轴的交点，函数与轴有两个不同的交点；即可得出，；△；再由图象可知当时，，即；当时，，即；当时，，即，即可求解． 【解答】解：由函数图象抛物线开口向下，对称轴，图象与轴的交点， ，，， ， ，故①正确； ， ，故②正确； 当时，，即； 当时，，即； ，即；故③正确； 时，， ，即，故④错误； 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出，，，△，对称轴的关系是解题的关键． 10．（2022•沭阳县校级模拟）已知二次函数为常数），如果当自变量分别取，，1时，所对应的值只有一个大于零0，那么的取值范围是 　　． 【分析】根据题意得到，即，解得，把的值分别代入即可求得． 【解答】解：由题意得， ， ， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 的取值范围是且，， 故答案为：且，． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由题意得到关于的不等式组是解题的关键． 题型五．二次函数图象上点的坐标特征 11．（2024•沭阳县校级模拟）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【分析】求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【解答】解：， 二次函数的开口向上，对称轴是直线， 时，随的增大而增大， 点关于直线的对称点是， ， ， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质． 12．（2024•无锡模拟）已知抛物线经过点和点，则的最小值是 　　． 【分析】根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可确定的最小值． 【解答】解：抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过点和点， 点和点关于对称轴对称，， ，即， ， ， ， 时，有最小值为：． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 13．（2024•秦淮区一模）点和点在二次函数，是常数）的图象上． （1）当时，求的值； （2）当时，求证． 【分析】（1）代入坐标得到，，根据，列出方程解出值即可； （2）根据得到，代入，即可得以证明． 【解答】（1）解：，，且， ， ， （2）证明：， ， ， ， ， ，， ， ， ． ． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键． 题型六．二次函数图象与几何变换 14．（2024•淮阴区一模）点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先求出抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，根据点移动的最短路程为顶点由移到的距离求解即可． 【解答】解：抛物线， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线， 抛物线的顶点坐标为，将抛物线进行平移得抛物线， 点移动的最短路程为顶点由移到的距离， 最短距离为． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶点坐标，属于中考常考题型． 15．（2024秋•姑苏区校级月考）将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为 　　． 【分析】先根据平移性质得出抛物线的顶点坐标，根据关于轴对称，得出抛物线的顶点坐标，即可作答． 【解答】解：依题意，， 抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线， ， 此时抛物线的顶点坐标为，， 抛物线与抛物线关于轴对称， 抛物线的顶点坐标， 开口方向向下，开口大小不变， 则抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称性质以及二次函数的平移性质，由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 16．（2024•盱眙县校级一模）已知二次函数图象经过点． （1）请用含的代数式表示； （2）当时； ①请求出此时二次函数图象的顶点坐标； ②当时，总有，求实数的值； ③当时，将相应的函数图象向下平移个单位长度，将相应的新函数的函数值记为，若都满足，求的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案；②根据题意可知当时，或时，，据此讨论求解即可；②分当时，当时，两种情况根据二次函数的性质讨论求解即可． 【解答】解：（1）二次函数图象经过点， ， ； （2）①当时，抛物线解析式为， 此时二次函数图象的顶点坐标坐标为； ②抛物线解析式为， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，函数有最大值4， 当时，总有， 当时，或时，， 当时，，则，解得或； 当时，，则，解得； 综上所述，或或； ③由题意得，平移后的解析式为， 当时，此时随增大而增大， 当时，，当时，， ， ， 解得或，不符合题意，舍去； 当时，则当时，， ， 解得， 综上所述，． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象的平移问题，二次函数的最值问题． 题型七．二次函数的最值 17．（2023•江都区一模）已知，则的最小值是　　 A．8 B． C． D．9 【分析】由已知得，代入再配方，利用非负数的性质即可求解． 【解答】解：， ， ， ， ， ，， 时最小值是8． 故选：． 【点评】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式是解决问题的关键． 18．（2024•盐城模拟）如图，四边形的对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为 　　． 【分析】直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值． 【解答】解：设， 四边形面积为，则， 则：， 当时，； 所以时，四边形的面积最大，且为， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法，正确掌握对角线互相垂直的四边形面积求法是解题关键． 19．（2023•苏州一模）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动：同时，点从点出发，的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． （1）当为何值时，的面积为； （2）求四边形的面积的最小值． 【分析】（1）利用两点运动的速度表示出，的长，进而表示出的面积即可； （2）根据二次函数的性质确定四边形面积的最小值． 【解答】解：（1）由题意得：，， ， ， 解得或， 当或时，的面积为； （2）， ， 时，有最小值，最小值为． 【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质的应用，根据题意用表示三角形和四边形的面积是解题关键． 分层练习 一、单选题 1．抛物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据二次函数对称轴的公式，代值求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数对称轴的公式是解决问题的关键． 2．将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 按照“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解：由题意得，平移后的抛物线解析式为：， 即：， 故选：B． 3．对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．顶点坐标是 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，直接利用二次函数的性质分析得出答案． 【详解】解：A、抛物线，开口向上，正确，不合题意； B、抛物线，对称轴是y轴，正确，不合题意； C、抛物线，顶点坐标是，正确，不合题意； D、抛物线，在时，函数y随x随增大而增大，选项错误，符合题意； 故选：D． 4．下列关于二次函数的说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（-1，-3） B．它的图象的对称轴是直线x=3 C．当x=0时，y有最大值为0 D．当x<0时，y随x的增大而减小 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据题目中的函数解析式，可以求出当x＝−1时，y的值，从而可以判断A；写出该函数的对称轴，即可判断B；当x＝0时该函数取得最小值，即可判断C；当x＜0时，y随x的增大如何变化，即可判断D． 【详解】解：∵二次函数， ∴当x＝−1时，y＝3，故选项A不符合题意； 它的图象的对称轴是直线x＝0，故选项B不符合题意； 当x＝0时，y有最小值为0，故选项C不符合题意； 当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 5．将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是，原函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，则原函数的解析式是， 故选：A． 6．已知抛物线（a＞0）的图像上三个点的坐标分别为A(-1，y1)、B(2，y2)、C(4，y3)，则y1、y2、y3的大小关系为（    ） A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先求解抛物线的对称轴为： 再计算与对称轴的距离，从而可得答案. 【详解】解： 抛物线（a＞0） 抛物线的对称轴为： 函数图象的开口向上，离对称轴越近的点的纵坐标越小， y3＞y1＞y2 故选：A 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的图象开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小”是解题的关键. 7．将函数y＝2（x+1）2﹣3的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位，可得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2x2﹣1 C．y＝2（x+2）2﹣5 D．y＝2（x+2）2﹣1 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据函数图象平移的法则即可得出结论． 【详解】将函数y=2（x+1）2-3的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位， 则平移后的抛物线的解析式：y=2（x+1+1）2-3+2，即y=2（x+2）2-1， 故选D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 8．在平面直角坐标系中，已知点，，下列y关于x的函数中，函数图象可能同时经过A，B两点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求反比例函数解析式、求一次函数解析式 【分析】分别把两点代入对应的函数解析式中，看是否满足即可得到答案． 【详解】解：A、假设A、B都在函数的图象上，则， ∴，不成立， ∴A、B两点不可能同时在的图象上，即A选项不符合题意； B、假设A、B都在函数的图象上，则， ∴，不成立， ∴A、B两点可能同时在的图象上，即B选项符合题意； C、假设A、B都在函数的图象上，则， ∴，不成立， ∴A、B两点不可能同时在的图象上，即C选项不符合题意； D、假设A、B都在函数的图象上，则， ∴， ∴， ∴，即，不成立 ∴A、B两点不可能同时在的图象上，即D选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点一定满足函数解析式是解题的关键． 9．二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①抛物线开口向下，则， 抛物线对称轴位于y轴右侧，则a，b异号，即， 抛物线与y轴交于正半轴，则，所以， 故①错误； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， 故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线， ∴函数的最大值为：， ∴，即， 故③错误； ④∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧， ∴当时，， ∴， 故④错误； ⑤∵， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，即， ∵， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②⑤． 故选：C． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键． 10．已知抛物线，为常数）经过点，且不经过第三象限．当时，函数的最大值与最小值之差为16，则的值为（） A．3 B．1 C．3或1 D．2或6 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】将点代入，得出，当时，，函数不经过第三象限，则；此时，最大值与最小值之差为25；当时，，函数不经过第三象限，则，得，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值，当时，函数有最大值；当最大值时，；当最大值时，；即可求解． 【详解】解：将点代入， 得， 则； ， 对称轴， 当时，，函数不经过第三象限，则； 此时，当时，函数最小值是0，最大值是25， 最大值与最小值之差为25；（舍去） 当时，，函数不经过第三象限，则△， ， ， 当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最大值； 函数的最大值与最小值之差为16， 当最大值时，， 或， ， ； 当最大值时，， 或， ， ． 综上所述，的值为1或3． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象和性质，分类讨论解题是关键． 二、填空题 11．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】x=-1 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】试题分析：二次函数的对称轴为直线x=-=-1. 考点：二次函数的对称轴 12．二次函数图象的对称轴是 ． 【答案】直线 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】根据二次函数的顶点式直接得出对称轴． 【详解】二次函数图象的对称轴是x=2． 故答案为：直线x=2 【点睛】本题考查的是根据二次函数的顶点式求对称轴． 13．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据抛物线求出，，带入数值，即可求出对称轴． 【详解】解：根据题意可得抛物线中的，， ∴， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案是：． 14．已知抛物线经过点和点，则 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据对称性求得对称轴为直线，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点和点， ∴对称轴为直线， 又∵ ∴， 故答案为：． 15．二次函数的对称轴为，则的值是 ． 【答案】2 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】由抛物线的对称轴列出方程，求出的值即可． 【详解】解：的对称轴为， 对称轴为， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，准确解一元一次方程是解题的关键． 16．把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的表达式为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位， 平移后的抛物线顶点坐标为， 平移后抛物线的表达式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移后解析式的变化规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 17．已知点A（4，），B（1，），C（﹣3，）在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是 （由小到大排列） 【答案】y3＜y1＜y2 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，根据x＜2时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵（m为常数）， ∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝2， ∵A（4，y1）关于直线x＝2的对称点是（0，y1），且−3＜0＜1， ∴y3＜y1＜y2       故答案为y3＜y1＜y2． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解决本题的关键． 18．二次函数（）的部分对应值如下表： … -3 -2 0 1 3 5 … … 7 0 -8 -9 -5 7 … 则二次函数在时， ． 【答案】0 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】利用表格中数据反映出来的对称性，结合对称轴x=1，可判断出x=4时关于直线x=1对称的点为x=-2，故可求出y=0． 【详解】解：∵x=-3和x=5时，y=7， ∴对称轴； ∴x=4的点关于对称轴x=1对称的点为x=-2， ∵x=-2时，y=0， ∴x=4时，y=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，要求掌握二次函数的对称性，会利用表格中的数据规律找到对称点，确定对称轴，再利用对称轴求得对称点． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①  ② (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到 ，解得 【详解】（1）①， ∴； ②∵抛物线中， ， ∴抛物线开口向上， ∵点点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； （2）由题意可知，点)在对称轴的左侧, 点在对称轴的右侧， ，都有， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，解得 ， ∴的取值范围是 ． 20．已知二次函数y=﹣x﹣3． （1）用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向； （2）在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象．    【答案】（1）该函数图象的顶点坐标为（2，﹣4），对称轴是直线x=2，图象的开口向上（2）见解析 【知识点】用描点法画函数图象、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】（1）仔细分析题意，首先将二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标、对称轴、开口方向即可； （2）用描点法画出图像即可． 【详解】解：（1）∵， ∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣4），对称轴是直线x=2，图象的开口向上； （2） ∴当x=6时，y=0，当x=﹣2时，y=0， ∴该函数过点（﹣2，0），（6，0），（2，﹣4）， 函数图象如右图所示．    【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与二次函数的性质，比较简单，把函数解析式整理成顶点式形式是解题的关键． 21．某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： (1)若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写山与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)，， (2)当降价元时，每星期的利润最大，为元． 【知识点】列二次函数关系式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据题意找出等量关系列式计算即可得； （2）根据二次函数的性质进行解答即可得． 【详解】（1）解： , ∴, ∵降价要确保盈利， ∴， 解得； （2）解：∵ ∴当时，有最大值， 即当降价元时，每星期的利润最大，为元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找出等量关系和掌握二次函数的性质． 22．某校准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，且墙长为，另外三边用长为30的篱笆围成．设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的最大值． 【答案】(1)； (2)108． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是列出函数解析式并求出自变量的取值范围． （1）根据题意可以写出y与x的函数关系式即可； （2）根据墙长，可以求得x的取值范围，然后根据（1）中的函数关系式和函数的性质即可解答本题． 【详解】（1）解：由题意，得， 与的函数关系式是． （2）解：配方，得． 由题意，得． 解得 时，函数值随自变量的增大而减小． 当时，取得最大值，最大值为108． 23．定义：在平面直角坐标系中，点、点，若，则称点M、N互为正等距点，叫做M、N的正等距．特别地，一个点与它本身互为正等距点，且正等距为0．例如，点、互为正等距点，两点的正等距为3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)判断函的图像是否存在点A的正等距点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)若与点A的正等距等于4的点恰好落在直线上，求k的值； (3)若抛物线上不存在点A的正等距点，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)存在， (2)或 (3) 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、正比例函数的性质、根据判别式判断一元二次方程根的情况、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）设的正等距点为，且正等距为m，根据正等距点的定义推算出x和y关于m的表达式，再带入反比例函数建立方程，解方程即可得到答案； （2）根据正等距等于4求出正等距的坐标，再带入一次函数的解析式即可求得答案； （3）假设存在，且A的正等距点，可得它的轨迹是直线，求直线和抛物线的交点，根据当时无解，建立不等式即可求得答案． 【详解】（1）解：设的正等距点为，且正等距为m， 由，可得，， ∴ 若反比例函数的图像上， 得， 解方程得，则，， ∵， ∴， 故 ∴； （2）解：由题意得，， ∴或，故或，分别代入， ∴或； （3）解：假设存在，则A的正等距点， ∴它的轨迹是直线， ∴， 整理得，， ∵它与抛物线无交点， ∴， ∴． 【点睛】本题综合考查反比例函数、一次函数和二次函数的综合，解题的关键是根据互为正等距点的定义设坐标计算，需要注意互为正等距点与正等距之间的符号区别． 24．如图，过点F（0，2）的直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（M在N的左侧），分别过M、N作直线l：y＝﹣2的垂线，垂足分别是M1、N1，点L是线段M1N1的中点． （1）如图1，证明LF⊥MN； （2）如图2，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论； （3）如图3，证明：无论k取何实数，为定值，并求出该值． 【答案】（1）见解析；（2）是直角三角形，证明见解析；（3）见解析， 【知识点】其他问题(二次函数综合)、一元二次方程的根与系数的关系、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】（1）由题得出，把代入中得，故直线为，把直线和抛物线联立得，由根与系数的关系得出，，故可得，故可求出直线LF解析式，即可得出答案； （2）求出，，，由勾股定理的逆定理即可得出答案； （3）求出，，代入进行化简即可得出答案． 【详解】（1），， ，， 是的中点， ， 把代入中得：， 直线为， 得， ，， 故， 设直线的解析式为， 把，代入解得：， ， ， ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ， ， ， 满足勾股定理， 是直角三角形； （3）， ， ， ， ， ， ，， ， 无论k取何实数，为定值，． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合问题，根与系数的关系以及勾股定理的逆定理，由根与系数的关系化简线段长度是本题的关键． 25．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B左边），与y轴交于点C． (1)求直线的函数表达式及点C的坐标． (2)如图2，在直线下方的二次函数图象上取一点M，过点M作轴于点H，交于点N，已知，设点M的横坐标为m． ①求m的值； ②二次函数的图象上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为，点； (2)①；②点Q的坐标为或． 【知识点】角度问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求得点A和点B以及点C的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）①设，，表示出线段，，根据题意列式计算即可求解； ②（3）根据题意分点Q在x轴上方和x轴下方两种情况讨论，分别根据直线和抛物线的交点求解即可． 【详解】（1）解：令，则；令，则，解得或， ∴点和点，点． 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：①设，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得（舍去）或； ②由①得， 如图所示，当点Q在x轴上方抛物线上时，    ∵， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴将，代入得，解得， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴将点代入得：， ∴， ∴联立和得，， ∴解得， ∴将代入， ∴点Q的坐标为； 如图所示，当点Q在x轴下方抛物线上时，    设交于点，连接交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线的表达式为， ∴联立直线和直线可得，，即， ∴解得， ∴将代入， ∴， ∴设直线的解析式为， ∴将，代入得， ∴解得， ∴， ∴联立得，，即， ∴解得，， ∴将代入， ∴， 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数综合，解题的关键是数形结合分类讨论，掌握二次函数的图象和性质． 26．抛物线y=﹣x2+bx+c（b，c均是常数）经过点O（0，0），A（4，4），与x轴的另一交点为点B，且抛物线对称轴与线段OA交于点P． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）过点P作x轴的平行线l，若点Q是直线上的动点，连接QB． ①若点O关于直线QB的对称点为点C，当点C恰好在直线l上时，求点Q的坐标； ②若点O关于直线QB的对称点为点D，当线段AD的长最短时，求点Q的坐标（直接写出答案即可）． 【答案】（1）y=﹣（x﹣）2+；（，）；（2）①（﹣，）或（，）；②（0，）； 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】1)把0(0,0),A(4,4v3)的坐标代入 y=﹣x2+bx+c,转化为解方程组即可. (2)先求出直线OA的解析式,点B坐标,抛物线的对称轴即可解决问题. (3)①如图1中,点O关于直线BQ的对称点为点C,当点C恰好在直线l上时,首先证明四边形BOQC是菱形,设Q（m，）,根据OQ=OB=5,可得方程,解方程即可解决问题. ②如图2中,由题意点D在以B为圆心5为半径的OB上运动,当A,D、B共线时,线段AD最小,设OD与BQ交于点H.先求出D、H两点坐标,再求出直线BH的解析式即可解决问题. 【详解】（1）把O（0，0），A（4，4）的坐标代入y=﹣x2+bx+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+． 所以抛物线的顶点坐标为（，）； （2）①由题意B（5，0），A（4，4）， ∴直线OA的解析式为y=x，AB==7， ∵抛物线的对称轴x=， ∴P（，）． 如图1中，点O关于直线BQ的对称点为点C，当点C恰好在直线l上时， ∵QC∥OB， ∴∠CQB=∠QBO=∠QBC， ∴CQ=BC=OB=5， ∴四边形BOQC是平行四边形， ∵BO=BC， ∴四边形BOQC是菱形， 设Q（m，）， ∴OQ=OB=5， ∴m2+（）2=52， ∴m=±， ∴点Q坐标为（﹣，）或（，）； ②如图2中，由题意点D在以B为圆心5为半径的⊙B上运动，当A、D、B共线时，线段AD最小，设OD与BQ交于点H． ∵AB=7，BD=5， ∴AD=2，D（，）， ∵OH=HD， ∴H（，）， ∴直线BH的解析式为y=﹣x+， 当y=时，x=0， ∴Q（0，）． 【点睛】本题二次函数与一次函数的关系、几何动态问题、最值问题、作辅助圆解决问题，难度较大，需积极思考，灵活应对． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数的图像和性质（7个知识点+7种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点5．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点6．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点7．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 题型强化 题型一．二次函数的定义 1．（2023•江都区模拟）下列函数是二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．（镇江模拟）已知函数的图象是一条抛物线，则　　． 题型二．二次函数的图象 3．（2024春•玄武区校级月考）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是　　 A． B． C． D． 4．（2024春•姑苏区校级月考）在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为 ．正方形的面积为，在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，线段的长是 　　． 5．（南京一模）如图，函数的图象交轴于，交轴于，点是直线上任意一点，轴，设是垂足，设点的坐标为，的面积为（当点与、重合时，其面积记为． （1）试求与之间的函数关系式； （2）在如图所示的直角坐标系内画出这个函数的图象，并利用图象求使得的点的个数． 题型三．二次函数的性质 6．（2024秋•姑苏区校级期中）抛物线的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 7．（2024•宜兴市一模）请写出一个函数表达式，使其图象是开口向上，顶点在第三象限，与轴交于负半轴的抛物线：　 　． 8．（2024春•浦口区校级月考）函数． （1）当点在函数的图象上时，求函数图象与轴的另一个公共点的坐标以及的值； （2）当时，直接写出函数的图象的顶点纵坐标的取值范围． 题型四．二次函数图象与系数的关系 9．（2024•宜兴市二模）二次函数的图象如图所示，①；②；③；④．上述结论中正确的是　　 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（2022•沭阳县校级模拟）已知二次函数为常数），如果当自变量分别取，，1时，所对应的值只有一个大于零0，那么的取值范围是 　　． 题型五．二次函数图象上点的坐标特征 11．（2024•沭阳县校级模拟）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 12．（2024•无锡模拟）已知抛物线经过点和点，则的最小值是 　　． 13．（2024•秦淮区一模）点和点在二次函数，是常数）的图象上． （1）当时，求的值； （2）当时，求证． 题型六．二次函数图象与几何变换 14．（2024•淮阴区一模）点在抛物线上，将抛物线进行平移得抛物线，的对应点为，则点移动的最短路程为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 15．（2024秋•姑苏区校级月考）将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为 　　． 16．（2024•盱眙县校级一模）已知二次函数图象经过点． （1）请用含的代数式表示； （2）当时； ①请求出此时二次函数图象的顶点坐标； ②当时，总有，求实数的值； ③当时，将相应的函数图象向下平移个单位长度，将相应的新函数的函数值记为，若都满足，求的取值范围． 题型七．二次函数的最值 17．（2023•江都区一模）已知，则的最小值是　　 A．8 B． C． D．9 18．（2024•盐城模拟）如图，四边形的对角线互相垂直，且，则四边形面积的最大值为 　　． 19．（2023•苏州一模）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动：同时，点从点出发，的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． （1）当为何值时，的面积为； （2）求四边形的面积的最小值． 分层练习 一、单选题 1．抛物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到的抛物线是（    ） A． B． C． D． 3．对于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．顶点坐标是 D．y随x的增大而增大 4．下列关于二次函数的说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（-1，-3） B．它的图象的对称轴是直线x=3 C．当x=0时，y有最大值为0 D．当x<0时，y随x的增大而减小 5．将二次函数图象向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是，原函数的解析式是（       ） A． B． C． D． 6．已知抛物线（a＞0）的图像上三个点的坐标分别为A(-1，y1)、B(2，y2)、C(4，y3)，则y1、y2、y3的大小关系为（    ） A．y3＞y1＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1 7．将函数y＝2（x+1）2﹣3的图象向上平移2个单位，再向左平移1个单位，可得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x﹣1）2﹣5 B．y＝2x2﹣1 C．y＝2（x+2）2﹣5 D．y＝2（x+2）2﹣1 8．在平面直角坐标系中，已知点，，下列y关于x的函数中，函数图象可能同时经过A，B两点的是（    ） A． B． C． D． 9．二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数，则；④；⑤若，且，则．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知抛物线，为常数）经过点，且不经过第三象限．当时，函数的最大值与最小值之差为16，则的值为（） A．3 B．1 C．3或1 D．2或6 二、填空题 11．抛物线的对称轴是直线 ． 12．二次函数图象的对称轴是 ． 13．抛物线的对称轴是直线 ． 14．已知抛物线经过点和点，则 ． 15．二次函数的对称轴为，则的值是 ． 16．把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的表达式为 ． 17．已知点A（4，），B（1，），C（﹣3，）在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是 （由小到大排列） 18．二次函数（）的部分对应值如下表： … -3 -2 0 1 3 5 … … 7 0 -8 -9 -5 7 … 则二次函数在时， ． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 20．已知二次函数y=﹣x﹣3． （1）用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向； （2）在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象．    21．某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： (1)若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写山与的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 22．某校准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，且墙长为，另外三边用长为30的篱笆围成．设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． (1)求与之间的函数关系式； (2)求的最大值． 23．定义：在平面直角坐标系中，点、点，若，则称点M、N互为正等距点，叫做M、N的正等距．特别地，一个点与它本身互为正等距点，且正等距为0．例如，点、互为正等距点，两点的正等距为3．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)判断函的图像是否存在点A的正等距点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)若与点A的正等距等于4的点恰好落在直线上，求k的值； (3)若抛物线上不存在点A的正等距点，请直接写出a的取值范围． 24．如图，过点F（0，2）的直线y＝kx+b与抛物线y＝x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（M在N的左侧），分别过M、N作直线l：y＝﹣2的垂线，垂足分别是M1、N1，点L是线段M1N1的中点． （1）如图1，证明LF⊥MN； （2）如图2，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论； （3）如图3，证明：无论k取何实数，为定值，并求出该值． 25．综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B左边），与y轴交于点C． (1)求直线的函数表达式及点C的坐标． (2)如图2，在直线下方的二次函数图象上取一点M，过点M作轴于点H，交于点N，已知，设点M的横坐标为m． ①求m的值； ②二次函数的图象上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．抛物线y=﹣x2+bx+c（b，c均是常数）经过点O（0，0），A（4，4），与x轴的另一交点为点B，且抛物线对称轴与线段OA交于点P． （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）过点P作x轴的平行线l，若点Q是直线上的动点，连接QB． ①若点O关于直线QB的对称点为点C，当点C恰好在直线l上时，求点Q的坐标； ②若点O关于直线QB的对称点为点D，当线段AD的长最短时，求点Q的坐标（直接写出答案即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $$