第01讲 锐角三角函数的概念、特殊角与计算（6个知识点+6种题型+分层练习） -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第01讲 锐角三角函数的概念、特殊角与计算（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型强化 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2024•七星区校级一模）如图，在中，，，，则的值为　　 A． B． C． D．2 2．（2024春•天河区校级月考）如图，在中，，，，则　　． 3．（2024•秦都区校级一模）在中，，，，分别是、、的对边． （1）已知，，求； （2）已知，，求． 题型二．锐角三角函数的增减性 4．（2024•义乌市模拟）若是锐角，且，则　　 A． B． C． D． 5．（2023春•江北区校级期中）比较大小：　　（填“”或“” ． 6．（1）如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较、、、、这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小． 题型三．同角三角函数的关系 7．（2024春•赣榆区校级月考）在中，，若，则的值为　　 A． B． C． D． 8．（2024•姜堰区二模）若为锐角，，则　　． 9．（2024•西城区校级开学）如图，直角三角形， （1）写出其中三角函数是哪些边的比：． （2）若，，直接写出三角函数的值：　　，　　，　　． 题型四．互余两角三角函数的关系 10．（2024•金凤区校级二模）在中，，，则的值为　　 A． B． C． D． 11．（2023•未央区校级二模）在中，，，则的值为 　　． 12．阅读下列材料：如图，在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作 ，即；锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，．由此可知，的正切与余切的关系为． 根据以上内容回答下列问题：（1）若，，则　　，　　； （2）若，则　　； （3）不使用计算器，求的值． 题型五．特殊角的三角函数值 13．（2024•梅县区一模）在中，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 14．（2024春•金溪县校级月考）在△中，已知，是锐角，若，则的度数为 　　． 15．（2024秋•绿园区校级月考）若，，为的内角，试确定三角形的形状． 题型六．计算器—三角函数 16．（2023•文登区一模）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是　　 A． B． C． D． 17．（雁塔区校级一模）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． ．正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是　　． ．运用科学计算器比较大小：　　． 18．已知三角函数值，用计算器求锐角．（角度精确到． （1）； （2）； （3）． 分层练习 一、单选题 1．下列各式中正确的个数是（　　） ①②③④． A．4 B．3 C．2 D．1 2．在中，，是边上的中线，，，则（） A． B． C． D． 3．如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13m，若，则小车上升的高度是（   ） A．4米 B．5米 C．6米 D．12米 4．下列运算结果是无理数的是（    ） A． B． C． D． 5．坡度等于1：的斜坡的坡角等于（　　） A． B． C． D． 6．中，的对边分别为a、b、c．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，于点D，若，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，，，点D是的中点，点E在线段上，，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D．或 9．如图，在平面直角坐标系中，OAB的边OA在轴上，OAB的两条中线OC与AD交于点M，反比例函数的图像经过点M．若OA=8，tan∠AOC=，四边形BDMC的面积为6，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11． ． 12．计算：﹣tan60°＝ ． 13．计算： 14．中，，，，则的长为 ． 15．在中，若满足，则的度数为 ． 16．在中，，，，点在直线上，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，连接．当为直角三角形时，则的长为 ． 17．如图，在中，，点D在边上，，点E在边上， ，点F为上一点，，若，则的长为 ． 18．如图，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为EF，则EF＝ cm， 三、解答题 19．（1）计算：． （2）解方程：． 20．如图,已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a=15，根据定义求∠A,∠B的三角函数值. 21．在中，，、、分别是、、的对边，且，，求和的值． 22．计算下列各题． (1) (2) 23．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 ，，． （1）将向下平移 4 个单位后得到，请画出； （2）将绕原点 逆时针旋转 90°后得到，请画出，并直接写出的值； 24．如图，，点、分别在、上，．    (1)求证： (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，，，求的长． 25．如图，小明家居住的家属楼前20米处有一土丘，经测量斜坡长为8米，坡角恰好为．一天小明站在斜坡顶端B处，手持1米的木棒（手臂长为0.6米，手臂与身子垂直，木棒与身子平行），发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上；眼睛A、木棒的底端E、楼房的底部N三点共线，请你计算小明家居住的这栋楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到1米） 26．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．是一元二次方程的一个根，且，点为的中点，为轴正半轴上一点，，直线与相交于点． (1)求点及点的坐标； (2)反比例函数经过点关于轴的对称点，求的值； (3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 锐角三角函数的概念、特殊角与计算（6个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 题型强化 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2024•七星区校级一模）如图，在中，，，，则的值为　　 A． B． C． D．2 【分析】直接利用勾股定理求出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【解答】解：在中，，， 设，则，故， 则． 故选：． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确掌握边角之间的关系是解题关键． 2．（2024春•天河区校级月考）如图，在中，，，，则　　． 【分析】在中，已知，的值，根据，可将的值求出，再由勾股定理可将斜边的长求出． 【解答】解：在中，， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，求出的值是解题的关键． 3．（2024•秦都区校级一模）在中，，，，分别是、、的对边． （1）已知，，求； （2）已知，，求． 【分析】根据直角三角形的边角关系求解即可． 【解答】解：（1）， ； （2），， ， ， 【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 题型二．锐角三角函数的增减性 4．（2024•义乌市模拟）若是锐角，且，则　　 A． B． C． D． 【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），据此可得结论． 【解答】解：是锐角，且， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 5．（2023春•江北区校级期中）比较大小：　　（填“”或“” ． 【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行判断即可． 【解答】解：由于“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”可知， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，掌握“一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大”是正确判断的前提． 6．（1）如图中①、②，锐角的正弦值和余弦值都是随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值及余弦值的变化规律； （2）根据你探索到的规律，试分别比较、、、、这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小． 【分析】（1）根据概念，不难发现：随着一个锐角的增大，它的对边在减小，邻边在增大，即可找到正余弦值的变化规律； （2）根据正余弦值的变化规律，即可比较正余弦值的大小． 【解答】解：（1）由图①，知 ，， ． 且， ． ． 而， 而对于， ， ． ， ． 而． 由图②知， ． ． 同理，，， ，． ，． ． ． ，，均为锐角， ． 而． 而对于， ， ． ，． ． 而． 结论：锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． （2）由（1）知 ， ． 【点评】理解锐角三角函数的概念，掌握锐角三角函数值的变化规律． 题型三．同角三角函数的关系 7．（2024春•赣榆区校级月考）在中，，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角函数的定义，，因而可以设，则，根据勾股定理可以求得的长，然后利用余弦的定义即可求解． 【解答】解：在中，，， 设，则， 根据勾股定理可以得到：， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角函数的定义，正确理解三角函数可以转化成直角三角形的边的比值，是解题的关键． 8．（2024•姜堰区二模）若为锐角，，则　　． 【分析】根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值． 【解答】解：由知， 如果设，则，结合得； ． 故． 【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 9．（2024•西城区校级开学）如图，直角三角形， （1）写出其中三角函数是哪些边的比：． （2）若，，直接写出三角函数的值：　　，　　，　　． 【分析】（1）根据正弦、余弦和正切的定义作答即可； （2）根据特殊角的三角函数解答即可． 【解答】解：（1），，． （2），，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握各三角函数的定义及特殊角的三角函数值是本题的关键． 题型四．互余两角三角函数的关系 10．（2024•金凤区校级二模）在中，，，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】由锐角的正切定义得到，令，则，由勾股定理得到，即可求出的值． 【解答】解：中，， 令，则， ， ． 故选：． 【点评】本题考查互余两角三角函数关系，勾股定理，关键是掌握锐角的正切，余弦定义． 11．（2023•未央区校级二模）在中，，，则的值为 　　． 【分析】根据题意设，，然后利用勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：在中，，， ， 设，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 12．阅读下列材料：如图，在中，，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作 ，即；锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作，．由此可知，的正切与余切的关系为． 根据以上内容回答下列问题：（1）若，，则　　，　　； （2）若，则　　； （3）不使用计算器，求的值． 【分析】（1）根据余切的定义求解； （2）利用求解； （3）先把余切转化为正切，然后利用互余关系求解． 【解答】解：（1）若，，则，； 故答案为：2，； （2）； 故答案为：； （3）． 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系：若，那么．也考查了锐角三角函数的定义． 题型五．特殊角的三角函数值 13．（2024•梅县区一模）在中，，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案． 【解答】解：，，， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 14．（2024春•金溪县校级月考）在△中，已知，是锐角，若，则的度数为 　　． 【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可得：，，从而可得，，进而可得，，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【解答】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的三角函数值．熟记特殊角三角函数值是关键． 15．（2024秋•绿园区校级月考）若，，为的内角，试确定三角形的形状． 【分析】根据非负数的性质和特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：由，得，则， 度． 为直角三角形． 【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主． 【相关链接】非负数的性质（之一）：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若，，，为非负数，且，则必有． 题型六．计算器—三角函数 16．（2023•文登区一模）利用科学计算器计算，下列按键顺序正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果． 【解答】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是： 故选：． 【点评】本题主要考查了计算器三角函数，要求学生对计算器上的各个功能键熟练掌握，会根据按键顺序列出所要计算的式子．借助计算器这样的工具做题既锻炼了学生动手能力，又提高了学生学习的兴趣． 17．（雁塔区校级一模）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分． ．正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是　　． ．运用科学计算器比较大小：　　． 【分析】．由正多边形的外角和为且一个外角是求解可得； ．利用计算器分别计算出和的值可得答案． 【解答】解：．正多边形的外角和为，且一个外角是， 这个正多边形的边数是， 故答案为：9； ．，， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查计算器三角函数，解题的关键是掌握正多边形的性质和计算器的使用． 18．已知三角函数值，用计算器求锐角．（角度精确到． （1）； （2）； （3）． 【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数． 【解答】解：（1）由可得； （2）由可得； （3）由可得． 【点评】考查了计算器三角函数，本题结合计算器的用法，熟练掌握计算器的用法是解题关键． 分层练习 一、单选题 1．下列各式中正确的个数是（　　） ①②③④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．解题的关键是熟练掌握各个三角函数的定义，以及熟记各个特殊角度的锐角三角函数值，根据各个锐角三角函数的定义和值逐个判断即可，解答④时，要充分利用三角函数的定义． 【详解】解：①，故①错误； ②∵，， ∴；故②正确； ③若，则，故③错误； ④，故④正确； 综上所述，正确的说法有②④，共2个； 故选：C． 2．在中，，是边上的中线，，，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据直角三角形斜边上中线的性质得，所以，根据勾股定理得，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】如图，    ∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13m，若，则小车上升的高度是（   ） A．4米 B．5米 C．6米 D．12米 【答案】B 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】根据正弦的定义列式计算,得出答案． 【详解】解：设小车上升的高度是xm， ∵sinα， ∴， 解得:x=5． 故选择:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用类型中的坡度坡角问题,准确理解定义,列出式子． 4．下列运算结果是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】特殊三角形的三角函数、无理数 【分析】对各选项分别化简、计算，再利用无理数的定义进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A、，2是有理数，故此选项不符合题意； B、，2是有理数，故此选项不符合题意； C、    ，是无理数，故此选项符合题意； D、，0是有理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了无理数的定义，掌握平方根的性质、立方根的定义及特殊角的三角函数值，并能利用无理数就是无限不循环小数进行准确判断是解题的关键． 5．坡度等于1：的斜坡的坡角等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【分析】根据坡度就是坡角的正切值即可求解． 【详解】坡角α，则tanα=1：=， 则α=30°． 故选A． 【点睛】本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键． 6．中，的对边分别为a、b、c．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、与三角形的高有关的计算问题、求角的余弦值 【分析】本题考查了锐角三角形函数的求值，勾股定理逆定理的应用，先利用勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，再利用三角形面积求出的长，即可求出最后结果． 【详解】解：如图， ， 即， 为直角三角形，且， ， ， ， ， 故选：C． 7．如图，在中，，于点D，若，，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的正切值、直角三角形的两个锐角互余 【分析】首先根据直角三角形的性质，可证得，再根据正切函数的定义，即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质及求一个角的正切值，熟练掌握和运用直角三角形的性质及求一个角的正切值的方法是解决本题的关键． 8．如图，中，，，点D是的中点，点E在线段上，，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、已知正切值求边长、等腰三角形的性质和判定 【分析】由题可求出，取中点，连接，则是的中位线，满足，进而可求此时，然后在上取一点，使得，则是等腰三角形，再利用同角的三角函数相等，设，即可解答． 【详解】解：∵为中点，， ∴， 取中点，连接，则是的中位线，此时，， ∴， 在上取一点，使得，则是等腰三角形， 过点作，则， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴ 设，则，，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质以及解直角三角形，根据进行分情况求解是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，OAB的边OA在轴上，OAB的两条中线OC与AD交于点M，反比例函数的图像经过点M．若OA=8，tan∠AOC=，四边形BDMC的面积为6，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正切值求边长、重心的有关性质、反比例函数与几何综合 【分析】连接BM并延长，交AO于点E，过点M作MH⊥x轴于点H，根据OAB的两条中线OC与AD交于点M可得点M是OAB的重心以及，，由此可证得，再根据tan∠AOC=可设MH＝2a，OH＝5a，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接BM并延长，交AO于点E，过点M作MH⊥x轴于点H， ∵OAB的两条中线OC与AD交于点M， ∴点M是OAB的重心，，， ∴EM∶BM＝1∶2， ∴，， ∴， 即， ∵在RtMOH中，tan∠AOC=， ∴设MH＝2a，则OH＝5a， 则点M的坐标为（5a，2a）， ∵， ∴， ∵OA＝8，MH＝2a， ∴， 解得：， ∴k＝2a·5a＝， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上的点的特征，三角形的中线的性质，重心的性质以及解直角三角形等相关知识，熟练掌握相关知识是解决本题的关键． 10．如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求角的正弦值、矩形与折叠问题、利用平行四边形的判定与性质求解、全等三角形综合问题 【分析】由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD=DN，即可证四边形DNKM是菱形，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，可求DM=，即可求的值． 【详解】解：如图， ∵∠ADC=∠HDF=90° ∴∠CDM=∠NDH，且CD=DH，∠H=∠C=90° ∴△CDM≌△HDN（ASA） ∴MD=ND，且四边形DNKM是平行四边形 ∴四边形DNKM是菱形 ∴KM=DM ∵sinα=sin∠DMC=， ∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小， 设MD=a=BM，则CM=8-a， ∵MD2=CD2+MC2， ∴a2=4+（8-a）2， ∴a=， ∴DM=， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角函数综合，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求DM的长是本题的关键． 二、填空题 11． ． 【答案】2 【知识点】二次根式的加减运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】先化简绝对值和特殊角的三角函数值，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解: ． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 12．计算：﹣tan60°＝ ． 【答案】2． 【知识点】特殊三角形的三角函数、利用二次根式的性质化简 【分析】先运用二次根式的性质和特殊角的三角函数进行化简，然后再进行计算即可. 【详解】解：﹣tan60° ＝3﹣ ＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了基本运算，解答的关键是灵活运用二次根式的性质对二次根式进行化简、牢记特殊角的三角函数值. 13．计算： 【答案】 【分析】先计算零指数幂、特殊角的三角函数，即可得到答案. 【详解】解： = =； 故答案为：. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则. 14．中，，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题主要考查了解直角三角形．利用三角函数值即可求出的长． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴． 故答案为：． 15．在中，若满足，则的度数为 ． 【答案】/75度 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据特殊角三角函数值求角的度数 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和，根据，得到，，推出，再根据三角形内角和求出的度数，熟练掌握各锐角的三角函数值是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴, 故答案为． 16．在中，，，，点在直线上，过点作交边于点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，连接．当为直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或1 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】分两种情况讨论，①当∠CFE=90°时，②当∠ECF=90°时，利用翻折的性质和特殊角的三角函数值分别求解即可． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，DE⊥AB，BC=， ∴∠BED=∠A=60°，AC=BC1，AB=2 AC=2， 根据折叠的性质知：∠BED=∠FED=60°，BD=FD，BE=EF， ∴∠FED=∠FEC=60°， ①当∠CFE=90°时，则∠ACF=60°，如图： ∵∠A=60°， ∴△ACF为等腰三角形时， ∴AF=AC=1，则BF=AB-AF=1， ∴BD= FD=BF=； ②当∠ECF=90°时，则点F与点A重合， ∴BD= FD=AB=； 综上，BD的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了翻折的性质和特殊角的三角函数值的应用，掌握翻折的性质和特殊锐角三角函数值是解题的关键． 17．如图，在中，，点D在边上，，点E在边上， ，点F为上一点，，若，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】已知正弦值求边长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】过点作交于点，设，，，根据等边对等角可推出，从而证出，然后等角的正弦值相等即可求出，从而求出，再根据等角对等边可得，最后根据勾股定理列出方程即可求出结论． 【详解】解：过点作交于点， 设，，， 则，，，， ， ， ， 整理可得：， 在中，，即， ，， ， 解得：， ， ，， ， ， 在中，，即， 整理，得， ， 整理，得， 解得：（不符合实际，舍去）， 即， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的性质和勾股定理，掌握等边对等角，等角对等边，等角的锐角三角函数相等和勾股定理是解决本题的关键． 18．如图，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°，将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为EF，则EF＝ cm， 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的证明、根据菱形的性质与判定求线段长、折叠问题、已知余弦求边长 【分析】连接AC、BD，根据题意得出E、F分别为AB、AD的中点，EF是△ABD的中位线，得出EF＝BD，再由已知条件根据三角函数求出OB，即可求出EF. 【详解】解：连接AC、BD，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∵将菱形ABCD折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为EF， ∴AE＝EO，AF＝OF， ∴E、F分别为AB、AD的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF＝BD， ∵菱形ABCD的边长为2cm，∠A＝120°， ∴AB＝2cm，∠ABC＝60°， ∴OB＝BD，∠ABO＝30°， ∴OB＝AB•cos30°＝2×＝， ∴EF＝BD＝OB＝； 故答案为：. 【点睛】此题考查菱形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，三角形中位线的判定及性质，由折叠得到EF是△ABD的中位线，由此利用锐角三角函数求出OB的长度达到解决问题的目的. 三、解答题 19．（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）3；（2）， 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求解即可； （2）利用因式分解法求解. 【详解】解：（1）原式 （2） 或 ， 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值及因式分解法解一元二次方程是解题的关键. 20．如图,已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a=15，根据定义求∠A,∠B的三角函数值. 【答案】sinA=,cosA==,tanA=,sinB==,cosB=,,tanB=. 【知识点】解直角三角形、根据特殊角三角函数值求角的度数、特殊三角形的三角函数 【详解】试题分析：特殊直角三角形中的三角函数值，三角函数定义易得. 试题解析： 在Rt△ABC中，∠B=90°－∠A=90°－60°=30°. b=c,c2=a2+b2=152+c2. ∴c2=300,即c=. ∴b=. ∴sinA=,cosA==, tanA=,sinB==, cosB=,,tanB= 21．在中，，、、分别是、、的对边，且，，求和的值． 【答案】，． 【知识点】求角的正弦值 【分析】本题主要考查了三角函数的比值关系，熟悉掌握正弦的比值关系是解题的关键． 根据正弦的比值关系列式比较即可． 【详解】解：根据勾股定理可得：在中，， 又∵，， ∴， ∴b＝4， ∴，． 22．计算下列各题． (1) (2) 【答案】(1) (2)4 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算． （1）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； （2）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 ，，． （1）将向下平移 4 个单位后得到，请画出； （2）将绕原点 逆时针旋转 90°后得到，请画出，并直接写出的值； 【答案】（1）见解析；（2）图见解析， 【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、已知角度比较三角函数值的大小、平移(作图) 【分析】（1）将的向下平移 4 个单位后得到坐标，依次连接即可； （2）将三点绕绕原点逆时针旋转 90°后得到，依次连接即可得到，作C2D⊥B2C2，求出，即可求出的值. 【详解】解：（1）将的向下平移 4 个单位后得到坐标，依次连接即可得到如图所示； （2）将三点绕绕原点逆时针旋转 90°后得到，依次连接即可得到如图所示 ， 作C2D⊥B2C2， 在Rt△中， ， . 【点睛】本题是对图形平移旋转的考查，熟练掌握图形平移，旋转的作法及三角函数知识是解决本题的关键. 24．如图，，点、分别在、上，．    (1)求证： (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【知识点】求角的正切值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据三角形的外角的性质得出，进而可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质得出，进而证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； （3）根据相似三角形的性质得出，进而得出，求出，再根据，得出，设，则，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：（负值舍去），即． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，正确理解题意是解题的关键． 25．如图，小明家居住的家属楼前20米处有一土丘，经测量斜坡长为8米，坡角恰好为．一天小明站在斜坡顶端B处，手持1米的木棒（手臂长为0.6米，手臂与身子垂直，木棒与身子平行），发现眼睛A、木棒的顶端D、楼房的顶端M在一条直线上；眼睛A、木棒的底端E、楼房的底部N三点共线，请你计算小明家居住的这栋楼的高度．（参考数据：，，，结果精确到1米） 【答案】44米 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、已知余弦求边长 【分析】如图，作交于点G，交于点H，延长交于点F；通过三角函数计算求出线段，再根据矩形判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，求出的长；根据相似三角形的判定定理之一：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可知：；利用相似三角形性质：对应高的比等于相似比，从而求出最终结果． 【详解】解：如图，延长交于点F，作交于点G，交于点H， ∵斜坡米，坡角， ∴米； ∵米， ∴米， ∵根据题意， ∴四边形是矩形， ∴米； ∵， ∴， ∴，即， 解得：米， 故这栋楼的高度为44米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理、性质和矩形的判定定理及锐角三角函数的运用，熟练掌握相似三角形的判定定理及性质是解本题的关键． 26．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．是一元二次方程的一个根，且，点为的中点，为轴正半轴上一点，，直线与相交于点． (1)求点及点的坐标； (2)反比例函数经过点关于轴的对称点，求的值； (3)在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或． 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、已知正切值求边长 【分析】（1）先解得到两个根，取其正值，可得，再由可得，于是可知，进而可求得的中点． （2）求出直线，直线的解析式，构建方程组确定交点F的坐标，再根据对称性求出点F′的坐标即可． （3）先运用待定系数法求出直线的解析式为，设点，分，和三种情况列式求出t的值即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴点D的坐标为，即． （2）在中，由勾股定理得： ， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ， 解得： ∴直线的函数解析式为， ∵， 设直线的函数解析式为， ∴，解得，， ∴直线的函数解析式为， 当时，， 此时， ∴， ∴点F关于y轴的对称点为， ∵反比例函数经过点， ∴． （3）设直线的解析式为， 将点的坐标代入得， ，解得： ∴直线的解析式为 ∵点P在直线上， ∴设点， ∴ 下面分三种情况讨论： ①当时, 解得：， ∴ ∴点P的坐标为； ②当时, 解得：， ∴,此时点P不存在， ， ∴点P的坐标为； ③当时, 解得：， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$