专题07 线段中的四类动态模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版2024）

专题07 线段中的四类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1 模型2.线段上动点问题中的定值模型 5 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 8 模型4.阅读理解型（新定义）模型 12 17 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 例1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，点以每秒的速度从点沿向点运动，经过1秒后点以每秒的速度从点沿向点运动，当点到达点时，、同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，求线段的长度；(2)当为何值时，线段的长为？ (3)当为何值时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点？ 【答案】(1)(2)当为6或时，线段的长； (3)当为6，或时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点． 【分析】本题考查的是线段的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题关键． （1）先求解当时，，，再利用线段的和差运算即可得到答案；（2）利用线段的和差关系建立方程求解即可；（3）分三种情况：当点为的中点时，当点为的中点时，当点为的中点时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴． （2）由题意，，， 当点在点左侧时，，解得； 当点在点右侧时，，解得． 综上所述，当为6或时，线段的长． （3）当点为的中点时，，解得； 当点为的中点时，，解得； 当点为的中点时，，解得． 综上所述，当为6，或时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点． 例2．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为和8． (1)若点A，B分别以每秒1和3个单位长度的速度向左移动，直接写出移动多少秒时，A，B两点的距离恰好为8？(2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由．(3)在第（2）问的条件下，点P所表示的数是多少时，？ 【答案】(1)当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8 (2)线段的长度不发生变化，其值为5，理由见详解 (3)点所表示的数为或， 【分析】（1）设A、B两点移动的时间为，然后根据题意可分当点B在点A的右侧和左侧进行分类求解即可；（2）此题可分两种情况讨论，即分和两种情况求得的长即可得到答案；（3）分当点在、两点之间运动和点在点的左侧运动两种情况求得的长，从而求得点所表示的数． 【详解】（1）解：设A、B两点移动的时间为，由题意可知后点A、B在数轴上所表示的数分别为， 当点B在点A的右侧时，则有，解得：； 当点B在点A的左侧时，则有，解得：； 综上所述：当移动1秒或9秒时，A，B两点的距离恰好为8； （2）解：线段的长度不发生变化，其值为5． ∵M为的中点，N为的中点，∴， 分下面两种情况：①当点在、两点之间运动时（如图）． ； ②当点在点的左侧运动时（如图）． ． 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为5． （3）解：当点在、两点之间运动时， ∵，∴， 又，解得：，此时点所表示的数为； 当点在点的左侧运动时，同理得：， ，解得：．此时点所表示的数为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴的知识，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 例3．（23-24七年级上·天津和平·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M，B出发以的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值；(2)若点C、D运动时，总有，求的值；(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，直接写出的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】本题主要考查了线段的和差问题和两点间的距离的计算，（1）计算出和的长，进而可得出答案；（2）由结合（1）问便可解答； （3）由，分两种情况讨论：①点N在线段上时，②点N在的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解； 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，， ∵，． （2）解：设运动时间为t，则，∵， 又，，即，∴； （3）解：由（2）可得：，∵，，， 点N在线段上时，如图， ∵，∴，，即． 当点N在线段AB的延长线上时，如图， ∵，，∴，即． 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答． 模型2.线段上动点问题中的定值模型 例1．（24-25七年级上·广东·假期作业）在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，． (1)求的长；(2)若点是的中点，用含的代数式表示的长；(3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值． 【答案】(1)8(2)当时，；当时，．(3)是定值，理由见解析 【分析】本题考查列代数式及数轴，熟知数轴上两点之间距离的计算公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间距离的计算公式即可解决问题． （2）对点与点的位置进行分类讨论即可解决问题． （3）设运动时间为，用含有的代数式分别表示出及的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为点，所表示的数分别是，6，所以． （2）解：因为点是的中点，所以，则点表示的数是2． 当时，．当时，． （3）解：设运动的时间为，则点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为，点运动后对应点所表示的数为， 因为的中点为，所以点所表示的数为． 因为中点为，所以点所表示的数为， 所以，，，所以． 例2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长；(2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 【答案】(1)；(2)或；(3)，定值为． 【分析】（）根据题意可得的长等于的三分之一，即可求解； （）设，分点在点左侧和右侧两种情况列方程求解即可；（）由式子的值为定值可判断出木棒和木棒重叠，分别求出点与点重合和点与点重合的时间，即可求出的取值范围，由木棒和木棒重叠可得的值为定值即为的值；本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，并运用分类讨论的方法分别列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：设，当点在点左侧时，， ∵，∴，解得，∴； 当点在点右侧时，， ∵，∴，解得，∴； ∴的长为或； （3）解：由题意可得，当木棒和木棒重叠时，式子的值为定值， 定值即为， 当点与点重合时，，解得； 当点与点重合时，，解得； ∴当时，式子的值为定值，定值为． 例3．（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或(2)(3)是，见解析 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则． （1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得，， ，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ，解得：，， 若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ，，； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ，； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ，∵点分别是线段的中点， ， ，∴， ∴； （3）解：为定值，理由如下：设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧，∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴，∴， ∴．∴为定值． 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 例1．（2023·江苏南通·七年级月考）如图，数轴上点A，C对应的实数分别为和4，线段，，，若线段以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1cm/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时？(2)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间？ (3)P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1秒或2秒；(2)秒；(3)存在，或5． 【分析】（1）分点B在点C的左边和点B在点C的右边两种情况讨论； （2）所走路程为这两条线段的和，用路程，速度，时间之间的关系可求解； （3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况． 【详解】（1）设运动t秒时为2单位长度， ①当点B在点C的左边时，由题意得：，解得：； ②当点B在点C的右边时，由题意得：，解得：． 综合①②得：当运动1秒或2秒时； （2）∵，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是4， ，而（秒），线段与线段运动秒后相遇， 又，（秒）， 线段与线段从开始相遇到完全离开共经过秒长时间； （3）存在，设运动时间为t秒， ①当时，点B和点C重合，， 点P在线段AB上，，， 当时，，即；此时， ②当时，点C在点A和点B之间，， 当点P在线段BC上时， ，， ，，有，故时，， ③当时，点A与点C重合，， ，，，， 有，故，此时， 综上，线段PD的长为或5． 【点睛】本题以线段和差为题考查了一次方程的应用；读懂题意，分类列方程解决问题是解题的关键． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（）；；（）；或；存在，，此时定值． 【分析】（）根据题意，求出，再根据结论解答即可求解； （）根据题意，表示出秒后点表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可； 根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解； 根据两点之间的距离公式求出，得到，当时即可求出常数的值，进而求出定值． 【详解】解：（）∵与互为倒数，与互为相反数， ∴，，∴； 线段的中点表示的数为；故答案为：；； （）秒后，点表示的数为，点表示的数为， ∵点是线段的中点，∴点表示的数是，故答案为：； 当点为中点时，则，解得，不合，舍去； 当点为中点时，则，解得； 当点为中点时，则，解得；∴运动时间的值为或； 当点在点左侧时，，， ∴， 当时，∴，此时，定值． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线段中点计算公式是解题的关键． 例3．（2024·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 【答案】(1)(2)8或24(3)，见解析 【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解； （2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解； （3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系． （1）解：∵ M为AP的中点，，∴ ， ∵线段，N为BP的中点，∴．故答案是：2； （2）解：①当点P在线段AB上，时，如图， ∵，，∴，解得：． ②当点P在线段AB的延长线上，时，如图， ∵，，∴，解得：． 综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24． （3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键． 模型4.阅读理解型（新定义）模型 例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 【答案】（1）是；（2）；（3）当为或或时，为、的巧点 【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据“巧点”的定义解答即可； （2）点为线段的巧点，则最长时，满足，即，即可求解； （3）根据“巧点”的定义，分为或或，三种情况，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点在线段上，点为线段的中点， ∴，∴点是线段的的“巧点”，故答案为：是． （2）解：点在线段上，点为线段的巧点，∴则最长时，满足， 即，∴，故答案为：． （3）解：秒后，，，， ∵为、的巧点∴或，或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴当为或或时，为、的巧点． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________； 若，，则_________． (2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值； ②若，则当为何值时，； ③若时，，则___________． 【答案】(1)；18(2)①；②；③或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，线段的数量关系，解题关键在于理解新定义，根据新定义列出方程即可．（1）根据新定义，列出式子即可．（2）①设，，表示出，列式子求解． ②根据定义，，表示出，即可求解．③分两种情况进行讨论，一个是当在的左侧时，一个当在的右侧时，根据新定义列出式子，进行求解． 【详解】（1）解：若，，则， 若，，则， ∵，∴． ∵∴．故答案为：；18； （2）①，．∵，∴． ∴．∴； ②∵，，∴，则． ∴，， ∵，∴，故； ③∵．∴，．分两种情况： 当在的左侧时， ∵，∴．∴． 可知，，则； 当在的右侧时， ．， 则；综上所述，或；故答案为：或． 例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①5，；②M点为，N点为 (2)为，为(3)存在，n为5，为 【分析】（1）①由题意可得，从而得到，再由，可得，即可求解；②根据，可得，即可． （2）由（1）中②可得两点的值，再进行一次“准相向运动”计算，根据点和也关于中点1对称，且k值不变即可求解．（3）根据题意可得，根据，可得点，到的中点的距离相等，从而表达出对应和的值，从特殊取值过程中，研究n和点以及点的关系，总结出一般规律进行解题． 【详解】（1）解：①∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴， 又∵，， ∴M点为5，N点为，故答案为：5，． ②∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴． ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3， ∴，且中点所对应的数为1， 又∵，∴中点所对应的数也为1， ∵，， ∴M点为，即，N点为，即； （2）解：由（1）中②可得M点为，N点为，点和也关于中点1对称， ∴．∴， ∴．∴为，为． （3）解：存在，理由：∵，A，B两点完成了n次“准相向运动”， ∴， ∵数轴上A，B两点表示的数分别是和3，∴的中点所表示的数为1， ∵A点和B点的速度相同，时间也相同，那么运动路程也相同， ∴．∴．∴，∴点，到的中点的距离相等， 当n为1时，根据（1）得：此时点为5，为， 当n为2时，为，为， 当n为3时，为，为， 当n为4时，为，为， 以此类推发现n为奇数时，为正数，而正数的规律是， 令，∴， ∴，∴． ． 当表示的数为65时，，解得：． 又∵和关于1对称，∴为． 答：存在次数n使得为65，此时n为5，为． 【点睛】本题考查列代数式的表达能力，数轴上表示数，利用数轴上线段中点解决相关问题，乘方，数的规律总结能力以及数轴相关知识运用，难度偏大，利用数形相结合是解题的关键． 1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（　　） 甲：当点B与点O重合时，； 乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则； 丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变 A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙 【答案】D 【分析】甲：画出图形，利用线段的和差可判断甲的说法； 乙：画出图形，设点P表示的数为x，则，可判断乙的说法； 丙：设点B表示的数是m，则点C表示的数是，利用中点公式表示出M、N表示的数即可求解． 【详解】甲：如图1，当点B与点O重合时， ，故甲的说法错误； 乙：如图2，当点C与点A重合时， 设点P表示的数为x，则， ∴，故乙的说法正确； 丙：点B表示的数是m，则点C表示的数是， ∵O是原点，点A表示的数是4，M，N为线段的中点， ∴点M表示的数是，点N表示的数是， ∴，故丙的说法正确．故选D． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点的计算，整式的加减等知识，数形结合是解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵，即与重合，∴与C之间的距离为．故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 3．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动． 设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 【答案】 7.2 【分析】（1）由题意知，点从，运动时间为秒，点从，运动时间为秒，由，可知当点到达终点时，点运动路程为，由，可判断点的位置； （2）由题意知，；（3）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点从，运动时间为秒， 点从，运动时间为秒， ∵，∴当点到达终点时，点运动路程为， ∵，∴点在边上，故答案为：； （2）解：由题意知，，故答案为：； （3）解：由题意知，，解得，，故答案为：7.2． 【点睛】本题考查动点，列代数式，一元一次方程的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，． 【答案】2或18 【分析】设线段运动的时间为t秒，则，，，，．分两种情况计算：①当M点在N点左侧时，②当M点在N点右侧时，分别将和用含有t的式子表示出来，根据列方程即可求出t的值． 本题主要考查了线段的中点、线段的和差、直线上的动点问题，解题的关键是正确的把各条线段用含有t的式子表示出来，并且注意分类讨论． 【详解】， 设线段运动的时间为t秒，则，，，， ∵点N是线段的中点， ． ①当M点在N点左侧时 ， ， ， ， 解得． ②当M点在N点右侧时， ， ， ， ， 解得． 综上，线段运动2秒或18秒时，． 故答案为：2或18． 5．（23-24七年级上·云南·期末）如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可） (2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？ (3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 【答案】(1)(2)经过2秒，秒，P、Q两点相距；(3) 【分析】（1）根据，求得，得到，求得，根据线段中点的定义得到，求得，由此即得到结论； （2）分点P、Q相遇前和点P、Q相遇后两种情况，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得； （3）先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出和的长，从而即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点P在线段上时，，， ∴，而， ∴， ∴， ∵点Q是线段的中点 ∴，而， ∴， ∴点Q的运动速度为； （2）解：设运动时间为t秒 则， ∵点Q运动到O点时停止运动 ∴点Q最多运动时间为 依题意，分以下两种情况： ①当点P、Q相遇前， ，即， 解得 ②当点P、Q相遇后， ， ， 解得：，经检验不符合题意，舍去； 当时，与重合，停止运动， 此时， 当再运动时，相距， 此时， 综上，经过2秒，秒，P、Q两点相距； （3）解：如图，设， 点P在线段上，则，即， 点E、F分别为和的中点， ， 则． 【点睛】本题考查了线段的和差、线段的中点定义，一元一次方程的应用等知识点，较难的是题（2），依题意，正确分两种情况讨论是解题关键． 6．（23-24七年级上·天津和平·期末）已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）．(1)若 满足 ；①当 点与 点重合时， ； ②、分别是 、的中点，当 时，求 的长； (2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 【答案】(1)①；②； (2)8或4 【分析】（1）①本题考查了线段的和差，解题的关键是根据平方非负性求出a，b得值；②本题考查了线段得和差，解题的关键是正确画图，注意两种情况； （2）本题考查了线段的和差，解题的关键是正确画图，注意两张情况． 【详解】（1）解：， ， ， ①当D点与B点重合时， ； ②如下图1， 分别为线段的中点， ， ； 如上图2，分别为线段的中点， ， ； （2）如下图， 由题意得： ， ； 如下图， ， ． 7．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）。(1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 8．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：数轴上有点A，表示的数为a，且满足关于x的方程为一元一次方程．数轴上还存在线段和线段（点M始终在点N左边，点P始终在点Q左边）． (1)当三点重合，且，时，求的值及所表示的数． (2)如图，若线段的中点为，线段的中点为，求的值． (3)在（1）的条件下，点M从A点出发，使线段以1个单位每秒的速度向右匀速运动，点P从A点出发，使线段以3个单位每秒的速度向右匀速运动，当点P与点N重合时，线段以原速返回向左运动，当点Q与点M相遇时，线段再次以原速向右运动……当点N所表示的数为时，求点P与点N共相遇了多少次？ 【答案】(1)；点表示的数为；点表示的数为(2)(3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义可求出的值，由三点重合，，可得，，进而可求出点所表示的数；（2）由线段的中点为，线段的中点为可得：，；再通过线段的和差关系可得，即可得出结果；（3）计算出从点与点第一次重合到点与点第二次重合所需时间为秒；即从点与点第一次重合后的每秒，点与点相遇一次；依次计算即可； 【详解】（1）解：∵关于x的方程为一元一次方程 ∴解得： ∵三点重合∴， ∴点表示的数为：；点表示的数为： （2）解：∵线段的中点为，线段的中点为∴， ∴∴ （3）解：在（1）的条件下表示的数为，当点所表示的数为时； ∴线段的总运动时间为：（秒） 点与点第一次重合所用时间为：（秒） 从点与点第一次重合到点与点第二次重合所需时间为： （秒） 即从点与点第一次重合后的每秒，点与点相遇一次； 故点与点共相遇：（次） 答：当点所表示的数为时，求点与点共相遇了次． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义、线段的和差关系、图形运动中的周期规律；熟练掌握上述基础知识是解题的关键． 9．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒． (1)当时，①______，②此时线段的长度______； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①2，②； (2)当时，，当时，； (3)的长度不变，为 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义，列代数式： （1）①根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；②根据线段的和差关系和线段中点的定义可得答案； （2）分当时，当时，两种情况讨论求解即可； （3）根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系可得． 【详解】（1）解；①由题意得，； ②∵，， ∴， ∵N是线段的中点， ∴； （2）解：当时，， 当时，； （3）解：∵点C和点N分别是的中点， ∴， ∴， ∴的长度不变，为． 10．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，满足，，且为最大的负整数，点为线段上一点，将射线沿点对折后落在射线上，点的对应点为，点为的中点． (1)求的值；(2)动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．设运动的时间为秒，当，相遇时，求的值． 【答案】(1)2．(2)． 【分析】本题考查的是负整数的定义，线段中点的定义，一元一次方程的几何应用，理解题意是关键． （1）先求解，，由中点的定义可得，再建立方程求解即可； （2）当点，相遇时，结合，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，，且为最大的负整数， ，，． 由题意，得，． 为的中点， ， 即， 解得． 的值为2． （2）解：根据题意，得，，． 当点，相遇时，由， ，解得． 当，相遇时，． 11．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数轴上A，两点对应的数分别是，12，线段在数轴上运动，点在点的左边，且，点始终是的中点． (1)如图1，当线段运动到A，之间时，若，则______；______； (2)如图2，当线段运动到点，分别在点A两侧时，设在数轴上对应的数为． ①＝______（用含的代数式表示）；②求与的数量关系； (3)当线段运动到点在数轴上表示数的位置时，动点从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向运动；当点或点中有一点到达点时，另一点也随之停止运动．求运动多长时间时，，两点间的距离为1个单位长度？ 【答案】(1)4，4 (2)①；② (3)1秒或3秒 【分析】（1）两点间的距离公式求出的长，，求出的长，进而求出的长，进一步求出的长即可； （2）①中点，求出的长，再用表示出即可；②用表示出，即可得出与的数量关系； （3）分两种情况讨论，利用两点距离公式列出方程可求解． 【详解】（1）解：∵A、B两点对应的数分别是、12， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4，4； （2）解：①∵点F是的中点，在数轴上对应的数为， ， ∴， ∴． 故答案为：； ②∵，， ∴； （3）解：∵点C运动到数轴上表示数，， ∴点E表示的数为； ， ， 当点P向数轴正方向运动，且与Q没有相遇时， 由题意可得：， 解得； 当点P向数轴正方向运动，且与Q相遇后时， 由题意可得：， 解得； 综上所述：运动1秒或3秒时，P、Q两点间的距离为1个单位长度． 【点睛】本题考查两点间的距离公式，线段中点有关的计算，列代数式，一元一次方程的应用．掌握两点间的距离公式，正确的列出代数式和方程，是解题的关键． 12．（23-24七年级上·重庆长寿·期末）如图，P是定长线段上一点，两点分别从出发以、的速度沿直线先向左运动（C在线段上，D在线段上）．    (1)若运动到任一时刻时，总有，请说明； (2)在（1）的条件下，Q是直线上一点，且，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段上），分别是的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)②正确， 【分析】本题考查了两点间的距离， （1）设C，D运动的时间是秒，先表示出，进而求解即可； （2）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （3）若C、D运动5秒后， 设，则．求得，当M、N分别是的中点时，的值不变． 设当C点停止后D点继续运动秒．分别表示出，继而求出，进而表示出，即可求解． 能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）设C，D运动的时间是秒． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （3）②的值不变，正确，理由如下： 若C、D运动5秒后，则，， 由（1）知， 设，则． ∵， ∴， 解得， ∴， 当M、N分别是的中点时，的值不变． 设当C点停止后D点继续运动秒． 则， ∴， ∴，∴． 13.（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点、、、，其中，点对应的数是． (1)若，则点对应的数是______； (2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点处以单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为个单位． (3)在（2）的条件下，将线段、分别绕点、点竖直向上折起，连接线段，围成如图3的长方形中，点从点出发，以单位/的速度沿点－－－匀速运动，最终到达点．设点运动时间为秒，问：为何值时，的面积为？ 【答案】(1)(2)或(3)或 【分析】（1）根据，，得到，再利用两点之间的距离公式即可求解； （2）由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为，分为碰板前后两种情况讨论，①甲、乙碰到板子前（），得到，解得，符合题意；②甲、乙碰到板子后（），得到，解得，符合题意，由此即可解答；（3）先分别计算出当点运动到点、、时的时间值，再分类讨论当运动到、、上的情况，根据面积公式列方程求出时间即可． 【详解】（1），， ，， 点对应的数是，点对应的数是，故答案为：； （2），，即， 由题意可得甲、乙碰到板子的时间均为，分类讨论，分为碰板前后两种情况， ①甲、乙碰到板子前（），甲距离点：，乙距离点：， 解得：，，符合题意； ②甲、乙碰到板子后（）甲与点的距离为：，乙与点的距离为：， ，解得：，，符合题意， 综上所述，或为时，甲、乙两小球之间的距离为个单位； （3）当点运动到点时，， 当点运动到点时，，当点运动到点时，， ①当点在运动时， ，， 即，解得：，符合题意；        ②当点在运动时，，， 由（2）得，， 即，解得：，符合题意； ③当点在运动时，，， ，即，解得：，不符合题意； 综上所述，为或时，的面积为． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，线段的和差关系，三角形的面积，解题的关键是掌握两点之间的距离公式，理解题意找到其中蕴含的等量关系，学会用分类讨论的思想解决问题． 14．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可； （2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可； （3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， ∵，∴，∴， ∵，∴；    （2）解：设运动时间为，则，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴． （3）解：∵，∴，，， ∵，∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，∴， ∵，∴，∴，∴．    当点P在点B右边时，∵，， ∴，∴；综上，或． 【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果． 15．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 【答案】(1)，(2)之间的距离(3)或时，等式成立 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点等知识．运动过程中用含的式子表达线段的长度是解决本题的关键．（1）用含式子表示，即可求解； （2）由题意先求和，根据中点定义求出和，即可求得的距离； （3）分两种情况：当点到达点之前时，当点到达点返回时，分别表示、，代入题中等式，即可求出时间． 【详解】（1）解：，， 又，，． （2）如图， 点的运动速度为，点的运动速度为，运动时间为， ，， 又、是线段、的中点，，， ． （3）当点到达点之前时，即时， 由题意得，，，， 又，，解得：； 当点到达点返回时，即时， 由题意得，，， 又，，解得：， 综上所述，当或时，等式成立． 16．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______； (2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由见详解 【分析】本题考查了绝对值的非负性，线段的中点、和差的计算， （1）根据几个非负性项之和为0，则每一个非负性均为0，据此即可求解； （2）分当点P在线段上时；当点P在点N左侧，点Q在线段上时；当点P、点Q均在点N左侧时，三种情况讨论，画出图形，根据线段的中点、和差即可计算求解． 【详解】（1）∵，又∵，， ∴，，∴，，故答案为：，； （2）当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，，理由如下：设点P表示的数为x， ∵，，∴， 当点P在线段上时，如图，    ∵点P表示的数为x，点N表示的数为，点M表示的数为， ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴， ∴， ∴，∴； 当点P在点N左侧，点Q在线段上时，即，如图，    ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，且， ∴，则：，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； 当点P、点Q均在点N左侧时，如图，    ∴，，∴， ∵Q为的中点，∴，且，∴， ∴，∴， ∴， 综上所述：当点P在线段上时，；当点P在点N左侧，点Q在线段上时，；当点P、点Q均在点N左侧时，． 17．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 【答案】(1)(2)(3)(4)或 【分析】（1）根据线段之间的数量关系代入解答即可； （2）根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题； （3）由题意可知，点C表示的数是，设M点离O点近，且，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；（4）根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，；②点P在点C左侧，． 【详解】（1）解：由题意得，∴， ∵，∴； （2）解：如图，∵， 当时，，，即点也是图1中线段的圆周率点， 与的数量关系是相等；故答案为：； （3）解：由题意可知，点C表示的数是， ∵点M、N均为线段的圆周率点，不妨设M点离O点近，且， ∴，∴，解得：， ∴，∴； （4）解：由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：， 当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时， ①如图①，点P在点C左侧， ∵，，∴； 如图②，点P在点C左侧， ∵，∴，∴； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键． 18．（2024·江苏·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，． 【答案】(1)，(2)①3；②2或6 【分析】（1）根据“点值”的定义即可得出答案； （2）①设运动时间为t，再根据的值是个定值即可得出m的值； ②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动时两种情况加以分析即可 【详解】（1）解：∵，，∴∴，∵，∴ （2）解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，则， ∵的值是个定值，∴的值是个定值，∴m=3 ②当点Q从点B向点A方向运动时，∵∴∴t=2 当点Q从点A向点B方向运动时，∵∴∴t=6∴t的值为2或6 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义，并能运用是本题的关键． 19.（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）先求出，，根据，求出，，最后求出结果即可； （2）设运动时间为，则，，求出，，根据，得出，求出，再根据求出结果即可； （3）当点P在O、B之间时，根据，得出，，求出，根据求出，根据，得出，求出，最后求出比值即可；当点P在点B右边时，可得，进而可得结果． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，， ∵，∴，∴， ∵，∴；    （2）解：设运动时间为，则，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴． （3）解：∵，∴，，， ∵，∴点P在点O右边， 当点P在O、B之间时，∴， ∵，∴，∴，∴．    当点P在点B右边时，∵，，∴，∴； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了线段的和差运算，解题的关键是数形结合，根据线段之间的数量关系求出结果． 20．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究： （1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______ （2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______ 拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？ 【答案】（1）；；（2）或；（3）11或13 【分析】(1)根据点P运动的速度及的长，即可解答； (2)根据点P运动的速度及、的长，即可解答； (3)分两种情况，列出方程即可分别求解． 【详解】解：（1）线段长为，点从点A以的速度向点运动， ，，故答案为：，； （2），，动点以的速度从A点沿着运动， 当点P在上时，，当点P在上时，， 故答案为：或； （3）当点在点的左边时，，即，，解得， 当点在点的右侧时，，，解得，故为11或13时，． 【点睛】本题考查了动点问题，列代数式，一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 线段中的四类动态模型 线段中的动态模型一直都是一大难点和常考点，它经常以压轴题的形式出现。考查样式也是很丰富，和平时所学的内容结合在一起考。本专题就线段中的动态模型（与中点、和差倍分结合的动点问题；定值问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1 模型2.线段上动点问题中的定值模型 3 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 4 模型4.阅读理解型（新定义）模型 6 8 模型1.线段中点、和差倍分关系中的动态模型 1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。 2、线段的动态模型解题步骤： 1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 例1．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，已知线段，点以每秒的速度从点沿向点运动，经过1秒后点以每秒的速度从点沿向点运动，当点到达点时，、同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)当时，求线段的长度；(2)当为何值时，线段的长为？ (3)当为何值时，使得点恰好是、、中两点为端点的线段的中点？ 例2．（24-25七年级上·河北衡水·期中）如图，已知数轴上A，B两点所表示的数分别为和8． (1)若点A，B分别以每秒1和3个单位长度的速度向左移动，直接写出移动多少秒时，A，B两点的距离恰好为8？(2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由．(3)在第（2）问的条件下，点P所表示的数是多少时，？ 例3．（23-24七年级上·天津和平·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M，B出发以的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值；(2)若点C、D运动时，总有，求的值；(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，直接写出的值． 模型2.线段上动点问题中的定值模型 例1．（24-25七年级上·广东·假期作业）在数轴上点A，，所表示的数分别是，6，． (1)求的长；(2)若点是的中点，用含的代数式表示的长；(3)若点以每秒5个单位的速度向左运动，同时，点以每秒20个单位的速度向右运动，点从原点开始以每秒1个单位的速度向右运动，记的中点为，的中点为，试通过计算说明的结果是定值． 例2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）如图（）所示，已知直线上有两点，，有一根木棒放在直线上，将木棒沿直线左右水平移动．当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置，当点与重合时，点刚好落在点移动前的位置．    (1)直接写出木棒的长；(2)木棒在射线上移动的过程中，当时，求的长； (3)另一根木棒长为，和在直线上的位置如图（）所示，其中点与重合，点与重合．木棒以个单位长度/秒的速度向左移动，木棒以个单位长度/秒的速度向右移动，它们同时出发，设运动时间为秒，若式子的值为定值，请直接写出此时的取值范围，并写出这个定值． 例3．（2024七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 模型3.线段上动点问题中的存在性（探究性）模型 例1．（2023·江苏南通·七年级月考）如图，数轴上点A，C对应的实数分别为和4，线段，，，若线段以3cm/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1cm/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时？(2)线段与线段从开始相遇到完全离开共经过多长时间？ (3)P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式．若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______． 【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点． ①点表示的数是______（用含的代数式表示）； ②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间； ③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由． 例3．（2024·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒． (1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由． 模型4.阅读理解型（新定义）模型 例1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”． （1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； （2）若，点是线段的巧点，则最长为______； 【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由． 例2．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作． 【理解与应用】(1)已知点在线段上．若，，则________； 若，，则_________． (2)如图2，线段， 是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为， 当其中一点到达点时，两点都停止运动． ①若点在上运动时，总有，求出的值； ②若，则当为何值时，； ③若时，，则___________． 例3．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…． (1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ； ②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）； (3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由． 1．（2023秋·江苏·七年级专题练习）如图，在数轴上，O是原点，点A表示的数是4，线段（点B在点C的左侧）在直线上运动，且．下列说法正确的是（　　） 甲：当点B与点O重合时，； 乙：当点C与点A重合时，若P是线段延长线上的点，则； 丙：在线段运动过程中，若M，N为线段的中点，则线段的长度不变 A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 3．（2023秋·河北邢台·七年级统考期末）已知长方形中，，，动点从点出发沿以每秒2个单位的速度运动；同时，点也从点出发以每秒3个单位的速度沿运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒．    （1）当点到达终点时，点在边 ；（2）当点在边上运动时，用表示的式子为 ； （3）点、相遇时， 秒． 4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧），若线段的端点从点开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点从点开始以2个单位/秒的速度向右运动，点是线段的中点，则线段运动 秒时，． 5．（23-24七年级上·云南·期末）如图，在射线上有三点，满足．点从点出发，沿方向以的速度运动；点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发． (1)当（在线段上）时，点运动到的位置恰好是线段的中点，则点的运动速度为____________．（直接写出答案即可）(2)若点的运动速度为，经过多长时间两点相距？(3)当点运动到线段上时，分别取和的中点则____________．（直接写出答案即可） 6．（23-24七年级上·天津和平·期末）已知线段 ，线段 在直线 上运动（ 在 的左侧，在 的左侧）．(1)若 满足 ；①当 点与 点重合时， ； ②、分别是 、的中点，当 时，求 的长； (2)当线段 运动到 点距离 点一个单位长度时，若有一点 在 点右侧且位于线段 的延长线上，试求 的值． 7．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）。(1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值；(3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空）(4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 8．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：数轴上有点A，表示的数为a，且满足关于x的方程为一元一次方程．数轴上还存在线段和线段（点M始终在点N左边，点P始终在点Q左边）．(1)当三点重合，且，时，求的值及所表示的数． (2)如图，若线段的中点为，线段的中点为，求的值． (3)在（1）的条件下，点M从A点出发，使线段以1个单位每秒的速度向右匀速运动，点P从A点出发，使线段以3个单位每秒的速度向右匀速运动，当点P与点N重合时，线段以原速返回向左运动，当点Q与点M相遇时，线段再次以原速向右运动……当点N所表示的数为时，求点P与点N共相遇了多少次？ 9．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒． (1)当时，①______，②此时线段的长度______； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由． 10．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）如图，数轴上，，三点对应的数分别是，，，满足，，且为最大的负整数，点为线段上一点，将射线沿点对折后落在射线上，点的对应点为，点为的中点． (1)求的值；(2)动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向点运动，同时动点从点出发沿数轴以每秒2个单位的速度向点运动．设运动的时间为秒，当，相遇时，求的值． 11．（23-24七年级上·山东潍坊·期末）数轴上A，两点对应的数分别是，12，线段在数轴上运动，点在点的左边，且，点始终是的中点． (1)如图1，当线段运动到A，之间时，若，则______；______； (2)如图2，当线段运动到点，分别在点A两侧时，设在数轴上对应的数为． ①＝______（用含的代数式表示）；②求与的数量关系； (3)当线段运动到点在数轴上表示数的位置时，动点从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向运动；当点或点中有一点到达点时，另一点也随之停止运动．求运动多长时间时，，两点间的距离为1个单位长度？ 12．（23-24七年级上·重庆长寿·期末）如图，P是定长线段上一点，两点分别从出发以、的速度沿直线先向左运动（C在线段上，D在线段上）．    (1)若运动到任一时刻时，总有，请说明； (2)在（1）的条件下，Q是直线上一点，且，求的值； (3)在（1）的条件下，若运动5秒后，恰好有，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段上），分别是的中点，下列结论：①的值不变；②的值不变．只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并求值． 13.（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如图1，已知数轴上从左向右依次有四点、、、，其中，点对应的数是． (1)若，则点对应的数是______； (2)如图2，在（1）的条件下，若一小球甲在数轴上从点处以单位/秒的速度向右运动，同时另一小球乙从点处以单位/秒的速度向左运动，当甲乙两小球开始运动时，立即在点和点处各放一块挡板，其中，当球在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒，问：为何值时，甲、乙两小球之间的距离为个单位． (3)在（2）的条件下，将线段、分别绕点、点竖直向上折起，连接线段，围成如图3的长方形中，点从点出发，以单位/的速度沿点－－－匀速运动，最终到达点．设点运动时间为秒，问：为何值时，的面积为？ 14．（23-24七年级·福建·期末）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 15．（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）材料阅读：对线段而言，当点在线段上，且点是的中点时，有，反过来，当有时，则点为线段的中点． (1)如图1，点在线段上，若，则______；若，则______； (2)如图2，已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，点的运动速度为，点的运动速度为，若它们相遇则点同时停止运动．线段的中点为点，线段的中点为点，运动时，求两中点之间的距离； (3)已知线段，点分别从点和点同时出发，相向而行，若点的运动速度分别为和，点到达点后立即以原速返回，点到达点时，点同时停止运动，设运动时间为s，则当为何值时，等式成立？ 16．（23-24七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，且．      (1)______，______； (2)P为数轴上的动点，设Q为的中点，点P从点M向左运动时，请探究与的数量关系，并说明理由． 17．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、点B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离表示为． 【探索新知】如图1，点C将线段分成和两部分，若，则称点C是线段的圆周率点，线段称作互为圆周率伴侣线段 (1)若，则______； (2)若点D也是图1中线段的圆周率点（不同于C点），则______（填“<”、“”、“>”） 【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置 (3)若点M、N均为线段的圆周率点，求线段的长度； (4)在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒3个单位长度、每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒．当点P在点C左侧时，P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点，请求出t的值 18．（2024·江苏·七年级校考阶段练习）【概念与发现】当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则；反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；②t为何值时，． 19.（2023春·福建福州·七年级统考开学考试）如图，已知，点C、D分别为线段、上的动点，若点C从点O出发以的速度沿方向运动，同时点D从点B出发以的速度沿方向运动．    (1)如图1，当运动时间为时，求的值；(2)如图1，若在运动过程中，始终保持，求OA的长；(3)如图2，在（2）的条件下，延长BO到点M，使，点P是直线OB上一点，且，求的值． 20．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究： （1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______ （2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______ 拓展与延伸：（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$