专题06 线段与角的等量代换模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（沪科版2024）

专题06 线段与角的等量代换 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 1 模型1.线段与角度的等量代换模型 1 34 模型1.线段与角度的等量代换模型 等量即相等的量，代换即替代、更换，等量代换的意思就是相等的量可以互换，更通俗点儿说，如果几个量都等于某一个量，那么这几个量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了针对的对象必须是等式。 等量代换的一般形式：如果a=b，b=c，那么a=c，利用的是等式的传递性。 “等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等； 例1．（23-24·山东·七年级月考）如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（    ）   与的大小关系是 A． B． C． D．无法确定 例2．（23-24·福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 例3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知B、C在线段上． (1)图中共有 　 　条线段；(2)若．①比较线段的大小：　 　（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若，M是的中点，N是的中点，求的长度． 例4．（23-24七年级上·上海·课后作业）如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（） A．∠AOC=∠AOD B．∠AOD=∠BOD C．∠AOC=∠BOD D．以上都不对 例5．（23-24七年级上·浙江·课后作业）如图所示，∠AOC＝90°，∠AOB＝∠COD，则∠BOD＝ °． 例6．（23-24云南昭通·七年级统考阶段练习）如图所示，已知，，则的度数是（   ） A．30° B．80° C．40° D．45°    例7．（23-24浙江·七年级课堂例题）已知，，如果，那么，依据是(    ) A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 例8．（23-24湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 例9．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，两个直角和有公共顶点，射线在的内部，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线，其中正确的是 ．（填序号） 例10．（23-24黑龙江省哈尔滨市七年级期末）如图，已知．    (1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数． 例11．（23-24山东七年级期中题）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，请判断与的数量关系，并说明理由 (2)如图2，，，请判断与的数量关系，并说明理由 (3)由（1）（2）你得出的结论是：如果______，那么______． (4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，则求这两个角度数． 例12．（2023浙江七年级期末）如图，． (1)已知过直线上点有，条射线，，求的度数； (2)若直线与直线相交于点，求图中各锐角的度数． 1．（2023·重庆七年级课时练习）如图，点C, D在线段AB上，若AC=DB, 则（    ） A．AC=CD B．CD=DB C．AD=2DB D．AD=CB 2．（2023·广东深圳·七年级统考期末）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）如图所示，用量角器度量一些角的度数．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的大小相同 D．与互余 4．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，和都是直角，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·北京延庆·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB， ∠1与∠2互余， 那么图中相等的角有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 6．（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图，，，，下列判断： ①射线是的角平分线；②是的补角； ③；④的余角有和．其中正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 7．（23-24河南省驻马店市七年级月考）如图，直线a，b相交于点O，因为∠1+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，所以∠1＝∠3，这是根据（　　） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 8．（23-24广东深圳七年级期中）如图，如果∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠1＝∠2，这是根据（　　） A．直角都相等 B．等角的余角相等 C．同角的余角相等 D．同角的补角相等 9．（23-24山西省太原市七年级期中）如图，将一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，此时，得到此结论的依据是（    ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 10．（23-24山西七年级期中）如图所示，已知，，则图中，这是根据(　　)    A．直角都相等 B．等角的余角相等 C．同角的余角相等 D．同角的补角相等 11．（23-24广东七年级期中）如图，和都是直角．下列结论： ①；②；③若平分，则平分； ④的平分线和的平分线是同一条射线．其中正确的是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（2024七年级上·重庆·专题练习）如图，，则与的大小关系是： ．（填“＞”或“＜”或“＝”） 13．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，，过点作射线，，使，则 ． 14．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）在同一平面内，，与互余，则为 ． 15．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）如图所示，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOE＝2∠DOE，则∠COE的度数是 ． 16．（2023·云南昆明·统考二模）如图所示，，若，则的度数为 ． 17．（2023·江苏苏州·七年级校考期末）如图，已知线段AB＝10cm，点C、D是线段AB上两点，且AC＝BD＝8cm，M、N分别是线段AC、AD的中点，求线段MN的长度． 18．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，，，三点在同一直线上，点在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)比较线段的大小： （填“>”、“=”或“<”）； (3)若，，求的长． 19．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图，已知B、C在线段上．    (1)图中共有 条线段；(2)若．①比较线段的大小： （填：“>”、“=”或“<”）； ②若，，M是的中点，N是的中点，求的长度．    20．（2023春·四川乐山·七年级统考期末）如图，在直角中，，是斜边上的高，，求：    （1）的度数；（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式） 解：（1）∵，（已知）， 又∵（______）， ∴（______）． （2）∵（______）， ∴（等式的性质）． ∵（已知）， ∴（垂直定义）． ∴______（等量代换）． 21．（2023北京市七年级期末）如图，∠AOB=90°，∠COD=90°，OE平分∠BOC，若∠1=30°，求∠COE的度数． 解：∵∠AOB=90° ∴∠1与∠2互余　 　 ∵∠COD=90° ∴∠BOC与∠2互余 ∴∠1=∠　 　（　 　） ∵∠1=30° ∴∠BOC=30°　 　 ∵OE平分∠BOC（已知） ∴∠COE=∠BOC　 　 ∴∠COE=15° 22．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，和都是直角．    (1)如果，求的度数； (2)当变小时，则的度数______（填“变大”、“不变”或“变小”）； (3)在图2中利用能够画直角的工具画一个与相等的角． 23．（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，如图所示，解答下列问题：（1）如图1，，，与的数量关系是 （2）如图2，，，与的数量关系是 （3）由（1）（2）得出的结论是 （4）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角的度数分别是多少？ 24．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）如图所示，，平分，平分． (1)试判断与的关系，并说朋理由； (2)若，求的度数． 25．（23-24重庆市七年级数学）如图，已知，平分，平分． (1)求的度数；(2)如果，那么是多少度？ (3)如果，那么是多少度？（用含的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 线段与角的等量代换 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 1 模型1.线段与角度的等量代换模型 1 34 模型1.线段与角度的等量代换模型 等量即相等的量，代换即替代、更换，等量代换的意思就是相等的量可以互换，更通俗点儿说，如果几个量都等于某一个量，那么这几个量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了针对的对象必须是等式。 等量代换的一般形式：如果a=b，b=c，那么a=c，利用的是等式的传递性。 “等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。 1）线段的等量代换 图1 图2 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 证明:如图1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF. 如图2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 条件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 证明：如图1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 如图2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2. ∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°， ∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等； 例1．（23-24·山东·七年级月考）如图，点在线段上，且，则与的大小关系是（    ）   与的大小关系是 A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据，即可的出结论． 【详解】解：∵，，∴，即：；故选C． 【点睛】本题考查线段的和差计算，正确的识图，理清线段之间的和差关系，是解题的关键． 例2．（23-24·福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 【答案】B 【分析】根据线段的和差关系计算即可得到结论． 【详解】解：∵，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD ∵，，∴BD＝7，∴AC＝7，故选：B． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键． 例3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知B、C在线段上． (1)图中共有 　 　条线段；(2)若．①比较线段的大小：　 　（填：“＞”、“＝”或“＜”）； ②若，M是的中点，N是的中点，求的长度． 【答案】(1)6(2)①②18 【分析】（1）依据在线段上，即可得到图中共有线段． （2）①依据，即可得到,进而得出；②依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． 【详解】（1）解：在线段上, 图中共有线段共6条故答案为：6 （2）解：①若，则，即故答案为： ②, 是的中点,是的中点, 【点睛】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． 例4．（23-24七年级上·上海·课后作业）如图所示，∠AOB=∠COD=90°，则下列叙述中正确的是（） A．∠AOC=∠AOD B．∠AOD=∠BOD C．∠AOC=∠BOD D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等,找到与∠AOD互余的角解题即可. 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠BOD+∠AOD=∠AOD+∠AOC,∴∠AOC=∠BOD,故选C. 【点睛】本题考查了余角的性质,属于简单题,找到∠AOD的余角是解题关键. 例5．（23-24七年级上·浙江·课后作业）如图所示，∠AOC＝90°，∠AOB＝∠COD，则∠BOD＝ °． 【答案】90 【分析】利用余角的定义计算． 【详解】解：∠AOC=90°即∠AOB+∠BOC=90° ∵∠AOB=∠COD∴∠COD+∠BOC=90°即∠BOD=90°．故答案为：90 【点睛】此题主要考查了学生互为余角的性质．利用此性质即可求出要求的角． 例6．（23-24云南昭通·七年级统考阶段练习）如图所示，已知，，则的度数是（   ） A．30° B．80° C．40° D．45°    【答案】C 【分析】根据∠AOB=140°，∠AOC=∠BOD=90°，先求出∠BOC，然后再求∠COD． 【详解】解：∵∠AOB=140°，∠AOC=∠BOD=90°，∴∠BOC=∠AOB−∠AOC=140°−90°=50°， ∴∠COD=∠BOD−∠BOC=90°−50°=40°，故选：C． 【点睛】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是分清题中角之间的关系． 例7．（23-24浙江·七年级课堂例题）已知，，如果，那么，依据是(    ) A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 【答案】C 【分析】根据等角的余角相等进行解答． 【详解】解：∵，，∴与互余，与互余， 又∵，∴的余角与的余角相等，即(等角的余角相等)．故选：C． 【点睛】本题主要考查了等角或同角的余角相等的性质，熟记这个余角的性质是解题的关键． 例8．（23-24湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 【答案】C 【分析】根据等量代换即可求解． 【详解】解：∵，∴（等量代换）故选C 【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．替换关系式是一个等式，用替换关系式把原本的未知量或变量转换为新的未知量或变量的依据是“等量代换”，求出新的未知量或变量后，再运用替换关系式求出原本的未知量或变量的依据也是“等量代换”． 例9．（23-24七年级上·河南郑州·期末）如图，两个直角和有公共顶点，射线在的内部，下列结论：①；②；③若平分，则平分；④的平分线与的平分线是同一条射线，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、角平分线的定义，根据角的计算和角平分线的定义，逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， ，，，故①正确，符合题意； 只有当、分别为和的平分线时，，故②错误，不符合题意； ，平分，， ，平分，故③正确，符合题意； ，， 的平分线与的平分线是同一条射线，故④正确， 综上所述，正确的有①③④，故答案为：①③④． 例10．（23-24黑龙江省哈尔滨市七年级期末）如图，已知．    (1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数． 【答案】(1)见解析(2)(3)图见解析，的度数是或或 或 【分析】（1）观察图形，可知已知的两等角存在公共部分，同时减去，即可得解； （2）观察图形中角之间的位置关系，得，由角平分线，得； （3）由，分情况：①在内部：由，进一步分情况讨论，在内部或在外部，②在外部：进一步分情况讨论，在内部或在外部；分别求解． 【详解】（1）解：，， ，； （2）由（1）可知，，，， 平分，，的度数是； （3）的度数是或或或， 理由如下：如图1，， ，，       ， 又，，， 如图2，，即， 又，，，    如图3，，， 又，， 如图，，  ， ， 综上所述，的大小为或或 或． 【点睛】本题考查角的数量关系和计算，角平分线的定义；根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． 例11．（23-24山东七年级期中题）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，请判断与的数量关系，并说明理由 (2)如图2，，，请判断与的数量关系，并说明理由 (3)由（1）（2）你得出的结论是：如果______，那么______． (4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，则求这两个角度数． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析 (3)一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补(4)，或， 【分析】（1）根据垂线的定义，得出，，根据直角三角形两锐角互余，得出，，最后根据，得出结论即可；（2）根据垂线的定义得出，，，根据四边形内角和，得出，最后得出结论即可；（3）根据解析（1）（2）总结归纳出结论即可；（4）设另一个角的度数为，则这个角的度数为，根据这两个角相等或互补两种情况列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵，，∴，， ∴，，∵∴． （2）∵，，∴，， ∴，∴． （3）一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，这两个角相等或互补． （4）设另一个角的度数为，则这个角的度数为， 根据题意可得或 解得或， 当时，，当时，，∴这两个角的度数为，或，． 【点睛】本题主要考查补角的定义和垂直的定义，余角的性质，直角三角形的性质，四边形内角和，在解题的过程中，要注意分类讨论． 例12．（2023浙江七年级期末）如图，． (1)已知过直线上点有，条射线，，求的度数； (2)若直线与直线相交于点，求图中各锐角的度数． 【答案】(1) (2)图中各锐角的度数为 【分析】（1）根据得出，根据图形可得，，，即可求解； （2）根据，得出，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴， ∴，． ∴； （2）解：∵，∴， ∴，∴，∴，∴． ∴图中各锐角的度数为． 【点睛】本题考查了垂线、对顶角、邻补角，解决本题的关键是掌握垂线、对顶角、邻补角定义． 1．（2023·重庆七年级课时练习）如图，点C, D在线段AB上，若AC=DB, 则（    ） A．AC=CD B．CD=DB C．AD=2DB D．AD=CB 【答案】D 【详解】根据题意，由AC=DB，可知AC+CD=DB+CD，即AD=BC，而其余选项均无法判断. 故选D. 【点睛】注意根据等式的性质进行变形，读懂题意是解题的关键． 2．（2023·广东深圳·七年级统考期末）如图，，点、分别是线段上两点（，），用圆规在线段上分别截取，，若点与点恰好重合，则的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由作图可得点和点分别是、的中点，再根据线段中点的定义可得答案． 【详解】解：，，点与点恰好重合， 点和点分别是、的中点，，， ．故选：C． 【点睛】本题主要考查两点间的距离，解题的关键是熟练掌握线段中点的定义． 3．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）如图所示，用量角器度量一些角的度数．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的大小相同 D．与互余 【答案】D 【分析】根据量角器的位置读出个角的度数即可． 【详解】解：A、，故选项错误；B、，故选项错误； C、，，它们的大小不相等，故选项错误； D、，它们互余，故选项正确．故选：D． 【点睛】本题主要考查了余角和补角，角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键． 4．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，和都是直角，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等即可求解． 【详解】∵和都是直角，即，∴， ∵，∴，故选：C． 【点睛】本题考查了同角的余角相等，熟练掌握知识点是解题的关键． 5．（23-24七年级下·北京延庆·期末）如图，点A，O，B在一条直线上，OE⊥AB， ∠1与∠2互余， 那么图中相等的角有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】D 【分析】根据垂直的定义、互为余角的两个角的和等于90°以及等角的余角相等解答即可． 【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∠2+∠BOD＝90°， ∵∠1与∠2互余，∴∠COD＝∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠BOD，∠2＝∠AOC，∠AOE＝∠COD，∠BOE＝∠COD， ∴图中相等的角有5对．故选：D． 【点睛】本题考查了垂直和互余的定义以及等角的余角相等的应用，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键． 6．（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图，，，，下列判断： ①射线是的角平分线；②是的补角； ③；④的余角有和．其中正确的是（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的性质，余角、补角的定义，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义．根据角平分线定义可得射线是的角平分线；根据补角定义可得是的补角；根据余角性质得出；根据余角定义可判断的余角有和． 【详解】解：∵， ∴射线是的角平分线，故①正确； ∵，且的补角是， ∴是的补角，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴是的余角，是的余角， ∵， ∴的余角有和，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④． 故选：C． 7．（23-24河南省驻马店市七年级月考）如图，直线a，b相交于点O，因为∠1+∠2＝180°，∠3+∠2＝180°，所以∠1＝∠3，这是根据（　　） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】C 【分析】根据同角的补角相等即可求解． 【详解】解：∵∠1与∠3都是∠2的补角，∴∠1＝∠3（同角的补角相等）．故选：C 【点睛】本题考查了“同角的补角相等”这一定理的应用，熟知“同角的补角相等”是解题的关键． 8．（23-24广东深圳七年级期中）如图，如果∠AOB＝∠COD＝90°，那么∠1＝∠2，这是根据（　　） A．直角都相等 B．等角的余角相等 C．同角的余角相等 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】根据余角的概念证明，即可得到答案． 【详解】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠1+∠BOC＝90°，∠2+∠BOC＝90°，∴∠1＝∠2，依据是同角的余角相等，故选：C． 【点睛】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补． 9．（23-24山西省太原市七年级期中）如图，将一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，此时，得到此结论的依据是（    ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．等角的余角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【分析】本题考查三角板的运算，同角的余角相等，结合三角板的特征即，即可作答． 【详解】解：依题意， 则（同角的余角相等），即，故选：A． 10．（23-24山西七年级期中）如图所示，已知，，则图中，这是根据(　　)    A．直角都相等 B．等角的余角相等 C．同角的余角相等 D．同角的补角相等 【答案】C 【分析】根据垂直的定义和同角的余角相等得出答案． 【详解】解：，，， 根据同角的余角相等可得，，故选：C． 【点睛】本题考查垂线，余角与补角，掌握同角的余角相等是正确判断的关键． 11．（23-24广东七年级期中）如图，和都是直角．下列结论： ①；②；③若平分，则平分； ④的平分线和的平分线是同一条射线．其中正确的是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据角的计算和角平分线性质，对四个结论逐一进行计算即可． 【详解】解：①∵， ∴，，∴；故①正确． ②∵，故②正确； ③∵，平分， ∴，则，∴平分；故③正确． ④∵，（已证）； ∴的平分线与的平分线是同一条射线．故④正确．故选：A． 【点睛】此题主要考查学生对角的计算，角平分线的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题． 12．（2024七年级上·重庆·专题练习）如图，，则与的大小关系是： ．（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查了线段之间的大小关系，根据可得即可求解． 【详解】解：∵，∴，∴．故答案为： 13．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图，，过点作射线，，使，则 ． 【答案】或或 【分析】根据题意，画出图形，分类讨论，根据角度的和差进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴； 如图所示， ∵，， ∴； 如图所示， ∵，， ∴； 故答案为：或或 【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，分类讨是解题的关键． 14．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）在同一平面内，，与互余，则为 ． 【答案】90或40/40或90 【分析】分在和之间，在和之间两种情况，根据互余的定义和角的和差关系分别求解． 【详解】解：分两种情况： 当在和之间时，如图：    与互余，； 当在和之间时，如图：    与互余，，， ； 综上可知，为或，故答案为：90或40． 【点睛】本题考查余角、角的和差关系，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解． 15．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）如图所示，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOE＝2∠DOE，则∠COE的度数是 ． 【答案】75°． 【分析】根据角平分线的定义以及余角的性质求得∠BOD的度数，然后根据∠BOE=2∠DOE即可求解． 【详解】∵OC平分∠AOB，∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°， ∴∠BOD＝90°﹣∠BOC＝45°， ∵∠BOE＝2∠DOE， ∴∠BOE+∠DOE＝3∠DOE＝∠BOD＝45°， ∴∠DOE＝15°， ∴∠BOE＝2×15°＝30°， ∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝45°+30°＝75°． 故答案为：75°． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和角度的计算，根据角平分线的定义得出所求角与已知角的关系转化求解．正确求得∠BOD的度数是解题的关键． 16．（2023·云南昆明·统考二模）如图所示，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】直接根据角的和差即可得． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了角的和差，掌握角的和差运算是解题关键． 17．（2023·江苏苏州·七年级校考期末）如图，已知线段AB＝10cm，点C、D是线段AB上两点，且AC＝BD＝8cm，M、N分别是线段AC、AD的中点，求线段MN的长度． 【答案】3cm. 【分析】可以求出AD=BC，然后求出AD的长度，再根据中点的定义，求出AN与AM的长度，两者相减就等于MN的长度． 【详解】∵AC=BD， ∴AB-AC=AB-BD， 即BC=AD， ∵AB=10cm，AC=BD=8cm， ∴AD=10-8=2cm， ∵M、N分别是线段AC、AD的中点， ∴AN=AD=1cm，AM=4cm， ∴MN=AM-AN=4-1=3cm． 【点睛】本题考查了中点的定义及两点之间的距离的求法，准确识图是解题的关键． 18．（23-24七年级上·山东济宁·期末）如图，，，三点在同一直线上，点在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)比较线段的大小： （填“>”、“=”或“<”）； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2)=(3) 【分析】本题考查线段长短的计算及作一条线段等于已知线段，对线段长进行大小比较以及对线段长度求值，结合图形求解是解题关键． （1）以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，即为所求； （2）由线段得出，即可得出结论； （3）由已知求出，得出，即可得出的长． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，长为半径画弧交的延长线于点，即为所求， ； （2）解：， ， ； 故答案为：； （3）解：，， ， ， ． 19．（23-24七年级上·河北唐山·期中）如图，已知B、C在线段上．    (1)图中共有 条线段；(2)若．①比较线段的大小： （填：“>”、“=”或“<”）； ②若，，M是的中点，N是的中点，求的长度．    【答案】(1)6 (2)①；②17 【分析】（1）根据线段的定义（直线上两个点和它们之间的部分叫做线段）即可得； （2）①根据即可得； ②先根据线段和差可得，再根据线段中点的定义可得，，从而可得，然后根据即可得． 【详解】（1）解：图中的线段有，共6条， 故答案为：6． （2）解：①，， ， 故答案为：； ②，， ， 是的中点，是的中点， ， ， ． 【点睛】本题考查了线段、与线段中点有关的运算，熟练掌握线段的运算是解题关键． 20．（2023春·四川乐山·七年级统考期末）如图，在直角中，，是斜边上的高，，求：    （1）的度数； （2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式） 解：（1）∵，（已知）， 又∵（______）， ∴（______）． （2）∵（______）， ∴（等式的性质）． ∵（已知）， ∴（垂直定义）． ∴______（等量代换）． 【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；等量代换； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 【分析】根据三角形的外角定理、等量代换、等式的性质、垂直定义等进行填空即可． 【详解】（1）∵，（已知）， 又∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， ∴（等量代换）． （2）∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）， ∴（等式的性质）． ∵（已知）， ∴（垂直定义）． ∴（等量代换）． 【点睛】本题考查了三角形的外角定理、等量代换、等式的性质、垂直定义等知识点，解题的关键是熟练相等的性质和定理． 21．（2023北京市七年级期末）如图，∠AOB=90°，∠COD=90°，OE平分∠BOC，若∠1=30°，求∠COE的度数． 解：∵∠AOB=90° ∴∠1与∠2互余　 　 ∵∠COD=90° ∴∠BOC与∠2互余 ∴∠1=∠　 　（　 　） ∵∠1=30° ∴∠BOC=30°　 　 ∵OE平分∠BOC（已知） ∴∠COE=∠BOC　 　 ∴∠COE=15° 【答案】答案见解析. 【详解】试题分析：由∠AOB=90°，∠COD=90°，若∠1=30°，得∠BOC=30°，又OE平分∠BOC，从而得. 试题解析： 22．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）如图1，和都是直角．    (1)如果，求的度数； (2)当变小时，则的度数______（填“变大”、“不变”或“变小”）； (3)在图2中利用能够画直角的工具画一个与相等的角． 【答案】(1) (2)变大 (3)见解析 【分析】（1）根据直角的定义得到，由此可得，则； （2）仿照（1）的求解方法求出即可得到结论； （3）根据同角的余角相等仿照图（1）画图即可． 【详解】（1）解：∵和都是直角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵和都是直角， ∴， ∴， ∴， ∴当变小时，则的度数变大， 故答案为：变大； （3）解：如图2所示：．    【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，同角的余角相等，灵活运用所学知识是解题的关键． 23．（23-24七年级下·吉林长春·开学考试）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，如图所示，解答下列问题：（1）如图1，，，与的数量关系是 （2）如图2，，，与的数量关系是 （3）由（1）（2）得出的结论是 （4）若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角的度数分别是多少？ 【答案】（1）相等；（2）互补；（3）一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等或互补；（4）30°和30°或70°和110° 【分析】（1）利用三角形的内角和定理，对顶角的性质解决问题即可． （2）利用四边形内角和定理即可解决问题． （3）利用（1）（2）中结论即可解决问题． （4）利用（1）（2）中结论，构建方程即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1中，设DE交AB于M，EF交AB于N，交BC于Q． ∵DE⊥AB，EF⊥BC， ∴∠EMN=∠EQB=90°， ∵∠ENM=∠BNF， 而∠1=180°-∠EQB- ∠BNF，∠2=180°-∠EMN-∠ENM ∴∠1=∠2． 故答案为相等． （2）如图2中， ∵DE⊥AB，EF⊥BC， ∴∠EMB=∠EQB=90°， 又四边形EMBF内角和为360° ∴∠2+∠1=180°． 故答案为互补． （3）由上述情形，用文字语言叙述结论：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补． 故答案为：如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补． （4）设两个角分别为：x°和（2x-30）°， 由（1）（2）可知：x=2x-30或x+2x-30=180°， 解得x=30或70， ∴两个角分别为：30°和30°或70°和110°． 【点睛】本题考查了垂线，一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 24．（23-24七年级上·云南曲靖·期末）如图所示，，平分，平分． (1)试判断与的关系，并说朋理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，即可求解； （2）根据，可得，再由角平分线的定义可得，从而得到，再由，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，角与角之间的数量关系，明确题意，熟练掌握角与角之间的数量关系是解题的关键． 25．（23-24重庆市七年级数学）如图，已知，平分，平分． (1)求的度数； (2)如果，那么是多少度？ (3)如果，那么是多少度？（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的计算、余角和补角、角平分线的定义，根据题目的已知条件并 图形进行分析是解此题的关键． （1）利用角平分线的定义可得，，然后利用角的和差关系进行计算即可得出答案； （2）利用角的和差关系求得，从而可得，最后利用角平分线的定义进行计算即可； （3）利用（2）的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ； （2）解：，， ， ； 平分， ； （3）解：， ， ， 平分， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 学科网（北京）股份有限公司 $$