专题13：整式加减中的有关规律问题（期末压轴题专练）--2024-2025学年人教版七年级上册数学期末压轴题专题训练

专题13：整式加减中的有关规律问题（期末压轴题专练） 1．观察下列有规律的数：，，，，，，根据规律可知： (1)第7个数是_____． (2)是第_____个数． (3)计算： 2．如图，将一串数按下列规律排列．    (1)在 A 位置的数是正数还是负数？ (2)负数排在 A ， B ， C ， D 中的什么位置？ (3)第个数是正数还是负数？排在对应于 A ， B ， C ， D 中的哪个位置上？ 3．观察下列三行数，并完成后面的问题： ①，4，，16，…； ②1，，4，，… ③0，3，，9，…； (1)思考第①行数的规律，写出第7个数字是_____，第n个数字是_____；（用含n的代数式表示） (2)第②行数第n个数字是______；第③行数第n个数字是_____；（用含n的代数式表示） (3)设x、y、z分别表示第①、②、③行数的第n个数字，求的值． 4．观察下列两行数： 第一行：，，，，，，，； 第二行：，，，，，，，． 第一行数的第（为正整数）个数用来表示，第二行数的第个数用来表示． (1)根据规律，_____；_____；（用含的代数式表示） (2)求的值； 5．观察下列各式，回答问题 ；；；… 按上述规律填空： (1)______＋______； (2)请写出第n个式子： (3)计算： 6．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按上述规律，回答以下问题： (1)用含的代数式表示第个等式为　　　　； (2)求的值． 7．观察以下等式： ； ； ； ， (1)请写出第个等式：________________； (2)根据规律，用含字母的式子表示第个等式：________________； (3)计算：． 8．观察下列关于，的单项式：，，，，． (1)直接写出第5个单项式：________； (2)第20个单项式的系数和次数分别是多少？ (3)系数的绝对值为2025的单项式的次数是多少？ (4)试写出第个单项式． 9．如图由若干个小圆圈组成的一个形如正三角形的图案，第1层有1个圆圈，每一层都比上一层多1个圆圈，一共堆了层． (1)如图1所示，第100层有_______个小圆圈，从第1层到第层共有_______小圆圈； (2)我们自上往下按图2的方式排列一串连续的正整数1，2，3，…，则第20层的第5个数是_______； (3)我们自上往下按图3的方式排列一串整数31，，35，，…，则求从第1层到第20层的所有数的绝对值的和为多少? 10．规律探究： ；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)请用一个含有n（n为正整数）的等式表示题目中的规律________________； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 11．某会议中心购买了一批长方形会议桌，每张会议桌的长边可以坐个人，短边只能坐个人．按照如图所示的规律拼摆会议桌，能够得到不同型号的大桌子． (1)型号的大桌子可以坐多少人？ (2)型号的大桌子可以坐多少人？ (3)如果有人参会，那么哪个型号的大桌子恰好可以坐下？请说明理由． 12．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)认真观察，并在后面的横线上写出相应的等式． (2)结合（1）观察下列点阵图，并在后面的横线上写出相应的等式． (3)通过猜想，写出（2）中与第个点阵相对应的等式______． 13．烷烃是一类由碳（C）、氢（H）元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等的原料，也可用于动植物的养护，通常根据碳原子的个数被命名为甲烷，乙烷，丙烷、丁烷、戊烷、……癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷等）等，甲烷的化学式为（表示含有1个碳原子和4个氢原子），乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，它们的分子结构模型如图所示，按照此规律，烷的化学式为．    (1)戊烷的化学式中的____________，____________． (2)烷的化学式中的____________，____________．（用含的代数式表示） (3)十五烷中所有原子（碳原子和氢原子）总数为多少？ 14．如下图，通过观察，小丽同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：图（1）中共有1个黑色小正方形，图（2）中共有个黑白小正方形，图（3）中共有个黑白小正方形，图（4）中共有个黑白小正方形，回答下列问题： (1)根据前四个图中计算黑白小正方形总个数的方法和规律，则第（5）个图中计算小正方形个数的等式是：______； (2)根据规律，第50个图比第49个图多______个小正方形； (3)根据上述得出的方法和规律，计算：的值． 15．用长的绳子分别围出1个，2个，3个，…，正方形如图： (1)在下表“△”处填上具体数值： 正方形个数 1 2 3 4 … 每个正方形的边长（） 12 6 △ △ … 所有正方形的顶点总数 4 7 △ △ … 所有正方形的总面积 144 72 △ △ … (2)正方形的个数与边长成_____关系；正方形的边长与总面积成_____关系； (3)若正方形的个数是，顶点总数是，试用一个等式表示与的关系． 16．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． (1)《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的棍棒，每日取它的一半，永远也截不完．如果将一根一尺长的棍棒看成单位“1”，每天截取一半，裁取5次，则截取的棍棒总长度是多少？ (2)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则； 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则； 以此类推，如图3，； …… _________； 应用：计算． 17．用同样规格的黑白两种颜色的正方形地砖，按如图所示的方式组成图案： (1)根据排列规律，第4个图案中有_____个黑色正方形地砖，有_____个白色正方形地砖； (2)请写出第（为正整数）个图案中黑色正方形地砖数和白色正方形地砖数（用含的代数式表示）． 18．如图，这是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的．按照这样的规律进行下去． (1)图2中，灰色小正方形的个数为_____；图3中，灰色小正方形的个数为_____． (2)在图中，白色小正方形的个数为_____（用含的代数式表示）． (3)若在图中有2029个灰色小正方形，求的值． 19．观察下列图形中点的个数． (1)图中点的个数是_______； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有个点，那它是第_____个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第个图形中所有点的个数为______（用含的代数式表示）． 20．下列是用火柴棒拼出的一列图形： 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第5个图形中共有 根火柴，第7个图形中共有 根火柴． (2)第n个图形中共有 根火柴（用含n的式子表示）． (3)若，如．规定，如．求的值（请给出你的计算过程）． 21．如图是用五角星摆成的三角形图案，每条边上有个点（即五角星），每个图案的总点数（即五角星总数）用表示． (1)观察图案，当时， ； (2)分析上面的一些特例，你能得出怎样的规律？（用表示 (3)当时，求． 22．用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有5颗棋子，第2个图形中有8颗棋子，第3个图形中有颗棋子，第4个图形中有颗棋子，…，按照这种方式摆下去． (1)第5个图形中有________颗棋子，第7个图形中有________颗棋子； (2)用含的代数式表示第个图形中棋子的数量； (3)第个图形中有多少颗棋子？请计算求解． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)11 (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，分数的加减运算； （1）观察所给式子规律发现第个数是；写出第7个数字，即可求解； （2）由（1）所得规律，时满足； （3）将所求式子变形为，再裂项计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，，，，根据规律可知：第个数是； ∴第7个数是 故答案为： （2）解：∵， ∴是第个数； 故答案为：11 （3） ． 2．(1)在A位置的数是正数 (2)负数排在 B 和 D 的位置 (3)第个数为正数，排在A 的位置 【分析】本题考查正数和负数的实际应用，熟练的通过观察和归纳找到与有理数相关的规律是解题的关键，通过观察，题目中每4个数为一组，用除以4，根据余数解答，若能整除，则在A的位置，若余数为1，则在B的位置，若余数为2，则在C的位置，若余数为3，则在D的位置， （1）通过观察可得到在A位置的数是正数； （2）通过观察可得负数排在 B 和 D 的位置； （3）通过观察可得到规律：，第个数是第组的最后一个数字，可得答案． 【详解】（1）解：通过观察可得：在A位置的数是正数； （2）解：通过观察可得：负数排在 B 和 D 的位置， （3）解：通过观察可得：奇数为负，偶数为正， ∴第个数是正数， 每4个数看成一组，（组）， ∴第个数排在A位置． 3．(1)；． (2)， (3)1 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类问题，探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键． （1）第①行的数字是的序数次幂，据此可得； （2）第②行的数字是的序数减一次幂，第③行的数字是第②行对应数字与1的差的相反数，据此可得； （3）由（1），（2）的数字规律表示出x、y、z的值，然后计算它们的和． 【详解】（1）解：∵①，4，，16，…； ∴第①行的数是：，，，，…， ∴第①行的第7个数为， ∴第n个数为； （2）解：∵1，，4，，… ∴第②行的数是：，，，，…， ∴第②行数第n个数字是； ∵0，3，，9，…； ∴第③行的数是：，，，，…， ∴第②行数第n个数字是； （3）解：∵分别表示第①②③行数的第n个数字， ∴，，， ∴ ． 4．(1)， (2) 【分析】本题主要考查了数字变化类的规律探索，有理数乘方的计算，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数据． （1）根据题目中数字的特点可知，第一行第n个数的绝对值为，当n为偶数时，符号为正，当n为奇数时，符号为负，第二行第n个数比第一行第n个数大1，据此求解即可； （2）根据（1）求出的结果代入，求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知：第一行第n个数的绝对值为，当n为偶数时，符号为正，当n为奇数时，符号为负， ∴第一行第n个数为：，即； 第二行第n个数比第一行第n个数大1， 第二行第n个数为：，即， 故答案为：，； （2）由（1）知：，， ． 5．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的四则混合运算，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据两个因数的规律求解即可． （2）利用（1）的特点，总结归纳即可． （3）利用（1）中的规律，拆项求解． 【详解】（1）；；， ． （2）由（1）可归纳得， 第n个式子：． （3） ． 6．(1)， (2) 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是发现式子的变化特点，写出相应的代数式． （1）根据前面3个等式体现的特征，总结归纳规律即可； （2）按照（1）中规律先裂项，再计算即可． 【详解】（1）由题目中的式子可得， ， 故答案为：，； （2） ． 7．(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是仔细阅读题目，根据题目所给的内容，发现规律，利用规律解决问题． 根据前三个等式中的指数的变化规律写出第个等式即可； 根据的规律写出第个等式； 首先设，则有，把两个等式的左右两边分别相减即可． 【详解】（1）解：； ； ； 第个等式应为； （2）解：由的规律可知： 第个等式为：； （3）解：设， 则有， ． 8．(1) (2)系数是，次数是41 (3) (4) 【分析】本题主要考查了数字变化规律问题，单项式的系数和次数，绝对值的定义， 对于（1），根据数字变化的特点得出系数是，字母x的指数与序号数相同，字母y的指数是序号数加1，根据规律解答即可； 对于（2），先根据规律写出第20个单项式，再解答； 对于（3），先根据规律写出单项式，再解答； 对于（4），根据规律直接写出即可． 【详解】（1）第5个单项式为． 故答案为：； （2）由题意，得第20个单项式为，所以第20个单项式的系数是，次数是41； （3）因为系数的绝对值为2025，所以，解得， 所以系数的绝对值为2025的单项式的次数为； （4）第个单项式为． 9．(1)， (2)195 (3)50400 【分析】本题考查了根据图形的变化规律列式，计算等知识，理解图形的变化规律，并寻找其中规律是解题关键． （1）观察图1发现规律：第n层有n个小圆圈，从第1层到第n层共有圆圈的个数为，计算即可得圆圈的个数，进而可得结论； （2）观察图2发现规律：从1开始的自然数列，第n层放n个，进而可得第20层第5个数； （3）观察图3发现规律：第n层放n个，从第1个数开始，符号“”周期变化，绝对值依次加2，可得第20层最后一个数的绝对值，最后得第1层到第20层所有数的绝对值和． 【详解】（1）解：图规律：第层有个小圆圈，则第层有个小圆圈， 因为． 所以从第层到第层共有个小圆圈； 故答案为：，； （2）图规律：从开始的自然数列，第层放个，则第层第个数为： ． 故答案为：195； （3）图规律：第层放个，从第个数开始，符号“、”周期变化，绝对值依次加， 则第20层最后一个数的绝对值为： ， 则第层到第20层所有数的绝对值和为： ． 10．(1)55 (2) (3)1630 【分析】本题考查了数字类规律探究，找出规律是解答本题的关键． （1）根据已知算式特点写出答案即可； （2）观察已知算式的特点写出等式即可； （3）根据（2）中总结的规律求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 11．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查图形规律，理解图示中的数量关系，找出规律是解题的关键． （1）根据图形中的数量关系即可求解； （2）由数量关系，找出规律即可求解； （3）根据（2）中的规律列式求解即可． 【详解】（1）解：型号1坐了：人， 型号2坐了：人， ∴型号3可以坐：人； （2）解：型号的大桌子可以坐人； （3）解：， 解得，， ∴有人参会，型号8的大桌子恰好可以坐下． 12．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类和图形类，解答此类问题的关键是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律． （1）根据题中所给出的规律求解即可； （2）根据题中所给出的规律求解即可； （3）根据（1）（2）中所给出的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据题中所给出的规律可知：， 故答案为：； （2）解：由图示可知点的总数是，所以， 故答案为：； （3）解：由（1）（2）可知， 故答案为：． 13．(1)5，12 (2)， (3) 【分析】本题考查了图形类规律的探索，正确理解烷烃中碳原子和氢原子个数的规律是解题的关键． （1）根据烷烃中碳原子和氢原子个数的规律，即得答案． （2）根据解析（1）得出的规律，即可得出答案； （3）分别求出十五烷中a、b的值，再相加即可． 【详解】（1）解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为， ， 烷的化学式为， ∴戊烷的化学式为 即，． 故答案为：5，12； （2）由（1）可知，， 故答案为：，； （3）解：当时，，， 所以十五烷中所有原子总数为． 14．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形的变化规律． （）根据各图形中小正方形个数的变化可找出变化规律即可求出结论； （）根据各图形中小正方形个数的变化可找出变化规律“第个图形中有小正方形的个数为：（个）”，然后把和代入即可求解； （）利用（）的规律即可求解． 【详解】（1）解：图（）中共有个黑色小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， ∴图（）中共有个黑白小正方形， 故答案为：； （2）解：∵图（）中共有个黑色小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， ， 则图（）中共有个黑白小正方形， ∴第个图比第个图多（个）， 故答案为：； （3）解：由（）得图（）中共有个黑白小正方形， ∴当，解得：， ∴． 15．(1)见解析 (2)反比例；正比例 (3) 【分析】本题考查了图形类规律探究，反比例关系，正比例的判断，根据题意并结合已知图形找到规律是解题的关键． （1）正方形的边长与正方形的个数的乘积为12，所有正方形的顶点总数每次增加3个，正方形的面积与正方形的个数的乘积为144，据此可得答案； （2）利用（1）中所得规律可得答案； （3）由所有正方形的顶点总数是1与序数的3倍的和可得答案． 【详解】（1）解：完成表格： 正方形个数 1 2 3 4 … 每个正方形的边长（） 12 6 4 3 … 所有正方形的顶点总数 4 7 10 13 … 所有正方形的总面积 144 72 48 36 … （2）解：1个正方形，共条边，每个正方形的边长为，总面积为：； 2个正方形，共条边，每个正方形的边长为，总面积为：； 3个正方形，共条边，每个正方形的边长为，总面积为：； 4个正方形，共条边，每个正方形的边长为，总面积为：； ； （一定），即正方形的个数每个正方形的边长（一定），（一定），即总面积正方形的边长每个正方（一定）， 正方形的个数与每个正方形的边长成反比例关系；正方形的边长与总面积成正比例关系； （3）解：1个正方形，共4个顶点； 2个正方形，共7个顶点； 3个正方形，共10个顶点； 4个正方形，共13个顶点； ； n个正方形，共个顶点； ． 16．(1) (2)， 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，图形类规律探索，含乘方的有理数混合运算等知识点，通过观察发现一般规律并应用该规律进行计算是解题的关键． （1）按照有理数的加法运算法则进行计算即可； （2）通过观察可以发现一般规律，从而得出答案，然后应用该规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，截取的棍棒总长度为： ， 答：截取的棍棒总长度是； （2）解：通过观察可以发现： ， 故答案为：； ． 17．(1)13；14 (2)黑色正方形地砖数为，白色正方形地砖数为 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现黑色正方形的个数依次增加3，白色正方形的个数依次增加7是解题的关键． （1）依次求出图形中黑色正方形和白色正方形的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给图形可知， 第1个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：； 第2个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：； 第3个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：； 第4个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：； 故答案为：13，14； （2）由（1）知，第个图案中，黑色正方形地砖数为，白色正方形地砖数为． 18．(1)9；13 (2) (3)507 【分析】本题主要考查了图形规律探索，结合题意确定图形中白色小正方形和灰色小正方形的变化规律是解题关键． （1）结合图2和图3中灰色小正方形的数量，即可获得答案； （2）根据图1、图2和图3中白色小正方形的个数，可知在图中，白色小正方形的个数为，即可获得答案； （3）根据图1、图2和图3中灰色小正方形的个数，可知在图中，灰色小正方形的个数为，据此即可获得答案． 【详解】（1）解：图2中，灰色小正方形的个数为9；图3中，灰色小正方形的个数为13． 故答案为：9；13； （2）根据题意，图1中，白色小正方形的个数为， 图2中，白色小正方形的个数为， 图3中，白色小正方形的个数为， …… 则在图中，白色小正方形的个数为． 故答案为：； （3）根据题意，图1中，灰色小正方形的个数为， 图2中，灰色小正方形的个数为， 图3中，灰色小正方形的个数为， …… 则在图中，灰色小正方形的个数为， 若在图中有2029个灰色小正方形，即有， 解得． 19．(1)； (2)； (3)． 【分析】（）第个图形中的点的个数为，第个图形中的点的个数为，第个图形中的点的个数为，找出规律即可求解； （）第个图形中的点的个数为，第个图形中的点的个数为，第个图形中的点的个数为，找出规律即可求解； （）第个图形中的点的个数为，第个图形中的点的个数为，第个图形中的点的个数为，找出规律即可求解； 本题考查了图形的变化规律，观察图形，找出规律是解题的关键． 【详解】（1）解：第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 故答案为：； （2）第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， ； 第个图形中的点的个数为：， 故答案为：； （3）第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， 第个图形中的点的个数为：， ； 第个图形中的点的个数为：， 故答案为：． 20．(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查图形的规律，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）观察发现每增加一个图案增加三根火柴，从而得到规律，代入求解即可求得总数． （2）根据（1）中规律即可得出结论． （3）根据题意，代入，计算即可． 【详解】（1）观察图形可知，第一个图形有根， 第二个图形有根， 第三个图形有根， 第四个图形有根， 第五个图形有根， 第六个图形有根， 第七个图形有根， 第五个图形有根，第七个图形有根． （2）第n个图形有根， 第n个图形中共有根火柴． （3） ． 21．(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是图形类的规律探究，代数式求值，掌握“探究的方法，并运用规律解题”是关键． （1）分别计算前5个图形的五角星的总数，且用含有相同规律分形式表示出来； （2）由（1）的发现，再归纳即可； （3）把代入归纳出来的规律表达式中进行计算即可． 【详解】（1）解：∵当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，； （2）解：由（1）归纳可得： 每条边上有个点时，； （3）解：当时，． 22．(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了图形的规律探究,代数式求值．根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，第5个图形中有颗棋子，第7个图形中有颗棋子，计算求解即可； （2）由题意知，第个图形中棋子的数量为，计算求解即可； ∴用含的代数式表示第个图形中棋子的数量为； （3）将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第1个图形中有5颗棋子， 第2个图形中有颗棋子， 第3个图形中有颗棋子， 第4个图形中有颗棋子，…， ∴第5个图形中有颗棋子，第7个图形中有颗棋子， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，第个图形中棋子的数量为， ∴用含的代数式表示第个图形中棋子的数量为； （3）解：当时，， ∴第个图形中有颗棋子． 学科网（北京）股份有限公司 $$