专题练测8 二次函数的综合(课件PPT)-【中考导学案】2024年中考数学练测（甘肃专用）

专题练测8　 二次函数的综合 2024甘肃数学 1．(2022·武威凉州区模拟) 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D.已知A(－1，0)，C(0，3)． (1)求抛物线的解析式； 解：把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA＋MC的值最小，求此时点M的坐标． 解：由抛物线对称性可知，直线BC与抛物线对称轴的交 点就是所求点M，此时MA＋MC＝MB＋MC＝BC最小． 又∵抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴是直线x＝－ ＝1，由于点A(－1，0)，∴点B(3，0)． 设直线BC的解析式为y＝kx＋d，则 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 解得 ∴直线BC的解析式为y＝－x＋3. 当x＝1时，y＝－1＋3＝2. ∴此时点M的坐标为(1，2)． 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 2．(2023春·金昌期中) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ a(x－1)2＋与x轴交于A，B(4，0)两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 解：将B(4，0)代入y＝a(x－1)2＋， 即0＝9a＋.解得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋. 令x＝0，则y＝－＝4. 令y＝0，则－(x－1)2＋＝0. 解得x1＝4，x2＝－2.∴A(－2，0)，C(0，4)． 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 解：存在点P，使△BCP是直角三角形． ∵y＝－(x－1)2＋，对称轴为直线x＝1，B(4，0)， C(0，4)，设P(1，n)， ∴BC2＝42＋42＝32，BP2＝(4－1)2＋n2， PC2＝12＋(4－n)2. ①当∠BCP＝90°时，BP2＝BC2＋PC2， ∴(4－1)2＋n2＝32＋12＋(4－n)2.解得n＝5； 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ②当∠CBP＝90°时，PC2＝BC2＋BP2， ∴12＋(4－n)2＝(4－1)2＋n2＋32.解得n＝－3； ③当∠BPC＝90°时，BC2＝BP2＋PC2， 32＝(4－1)2＋n2＋12＋(4－n)2，解得n＝2－或 n＝2＋. 综上所述：P(1，5)，(1，－3)，. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (3)如图，M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 解：存在点M使AM＋OM最小，理由如下： 作点O关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M， 连接BQ，由对称性可知，OM＝QM， ∴AM＋OM＝AM＋QM≥AQ. 当A，M，Q三点共线时，AM＋OM有最小值． ∵B(4，0)，C(0，4)，∴OB＝OC. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ∴∠CBO＝45°. 由对称性可知∠QBM＝45°，∴BQ⊥BO.∴Q(4，4)． 设直线AQ的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， ∴解得 ∴直线AQ的解析式为y＝. 设直线BC的解析式为y＝mx＋4， 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ∴4m＋4＝0.∴m＝－1. ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4. 联立方程组解得 ∴M. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 3．(2022·酒泉肃州区模拟) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴交于点A(0，－3)，B(－1，0)，E(3，0)，P为抛物线上的动点，设点P的横坐标为t. (1)若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求点C的 坐标及抛物线的解析式； 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点B(－1，0)，E(3，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，A(0，－3)， ∴C(2，－3)． ∵y＝a(x－3)(x＋1)＝a(x2－2x－3)， ∴－3a＝－3，解得a＝1. ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (2)若点P在第四象限，连接PA，PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？ 解：过点P作y轴的平行线交AE于点H. 由点A，E的坐标得直线AE的解析式为y＝x－3. 设P(t，t2－2t－3)，则H(t，t－3)． ∴△PAE的面积为(t－3－t2＋2t＋3) ＝(－t2＋3t)＝－. ∴当t＝时，△PAE的面积最大，最大面积为. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (3)是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在．点P的坐标为(－2，5)或(1，4)． [∵OA＝OE＝3，∠AOE＝90°， ∴∠AEO＝45°. ①当∠PEA＝90°时，PE⊥AE， ∴∠OEP＝45°. ∴直线PE过点E(3，0)和(0，3)． 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ∴直线PE的解析式为y＝－x＋3. 令x2－2x－3＝－x＋3，解得x1＝－2，x2＝3(舍去)．此时P(－2，5)； ②当∠PAE＝90°时，同理可得P(1，－4)． 故点P的坐标为(－2，5)或(1，－4)．] 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 4．(2022·张掖校级模拟) 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝8，B点横坐标为2，延长矩形OBDC的DC边交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式； 图1 解：由题意，得B(2，0)，A(－6，0)． ∴y＝a(x＋6)(x－2)＝ax2＋bx＋4. ∴－12a＝4，即a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－x＋4. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (2)如图2，若P是直线EO上方的抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线EO于点M，求PM的最大值； 图2 解：∵抛物线对称轴是直线x＝－2，C(0，4)， ∴E(－4，4)． ∴直线EO的解析式为y＝－x. 设P，则M(m，－m)． ∴PM＝－(－m)＝－. ∴当m＝－时，PM最大值是. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (3)如图3，如果F是抛物线对称轴l上一点，抛物线上是否存在点G，使得以F，G，A，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点G的坐标；若不存在，请说明理由． 图3 解：存在．由A(－6，0)，C(0，4)，F(－2，n)，得 ①当AC为平行四边形的对角线时， 点G的横坐标是－6－(－2)＝－4. 当x＝－4时，y＝－×(－4)2－×(－4)＋4＝4.∴G(－4，4)； 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ②当AG为平行四边形的对角线时， 点G的横坐标是4. 当x＝4时，y＝－. ∴G； ③当AF为平行四边形的对角线时， 点G的横坐标是－8. 当x＝－8时，y＝－×(－8)2－×(－8)＋4＝－.∴G. 综上所述，点G的坐标为(－4，4)或或. 图3 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D(1，0)，将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线的解析式； 备用图 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 解：∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，A(3，0)，D(1，0)， ∴E(－1，0)． ∴y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2＋bx＋3. ∴－3a＝3，即a＝－1.∴y＝－(x＋1)(x－3)． ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (2)连接BE，求△BCE的面积； 备用图 解：当x＝0时，y＝3.∴B(0，3)． 设直线AB的解析式为y＝kx＋n(k≠0)． 将A(3，0)，B(0，3)代入y＝kx＋n，得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝－x＋3. ∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D(1，0)， 当x＝1时，y＝－1×1＋3＝2，∴C(1，2)． 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ∵A(3，0)，B(0，3)，C(1，2)，E(－1，0)， ∴AE＝4，OB＝3，CD＝2. ∴S△BCE＝S△ABE－S△ACE＝ ×4×2 ＝2. 故△BCE的面积为2. 备用图 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (3)抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 解：存在．∵A(3，0)，B(0，3)，∴OA＝OB＝3. 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∴∠BAE＝45°. ∵点P在抛物线上， ∴设P(m，－m2＋2m＋3)． ①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于 点M，－1<m<3. 在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°， ∴EM＝P1M，即m－(－1)＝－m2＋2m＋3. 解得m1＝－1(不合题意，舍去)，m2＝2. ∴点P1的坐标为(2，3)； 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于 点N，m<－1或m>3. 在Rt△ENP2中，∠P2EA＝45°，∠P2NE＝90°， ∴EN＝P2N，即m－(－1)＝－(－m2＋2m＋3)． 解得m1＝－1(不合题意，舍去)，m2＝4. ∴点P2的坐标为(4，－5)． 综上所述，点P的坐标为(2，3)或(4，－5)． 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 6．(2022·陇南礼县模拟) 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O(0，0)，A(2，0)，直线y＝2x经过抛物线的顶点B，C是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，连接BC，OC，AB，过点C作CE∥x轴，分别交线段OB，AB于点E，F. (1)求抛物线的解析式； 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O(0，0)， A(2，0)，∴对称轴为x＝1. ∵直线y＝2x经过抛物线的顶点B，∴B(1，2)． 设y＝a(x－1)2＋2. ∵抛物线经过原点O(0，0)，∴a＝－2. ∴抛物线的解析式为y＝－2x2＋4x. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (2)当BC＝CE时，求证：△BCE∽△ABO； 证明：∵BC＝CE，∴∠CEB＝∠CBE. ∵CE∥x轴，∴∠CEB＝∠BOA. ∵B(1，2)，A(2，0)， ∴OB＝AB＝.∴∠BOA＝∠BAO. ∴∠CBE＝∠CEB＝∠BOA＝∠BAO. ∴△BCE∽△ABO. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 (3)当∠CBA＝∠BOC时，求点C的坐标． 解：记CE的延长线与y轴交于点M，过点B作BN⊥ CE，垂足为N. 设C(m，－2m2＋4m)，m>1. ∵∠BEF＝∠BOC＋∠ECO，∠BFE＝∠CBA ＋∠BCE，∠CBA＝∠BOC，∠BEF＝∠BFE， ∴∠ECO＝∠BCE.∴tan ∠ECO＝tan ∠BCE. ∵CE∥x轴，∴∠OMC＝∠BNC＝90°. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 ∴，即. ∴，即－(m－2)＝m－1. ∴m＝.∴C. 返回首页 专题练测8　二次函数的综合 首页 1 2 3 4 6 5 总目录 本讲内容结束 $$